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2023-2024学年上海市浦东新区民办欣竹中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年上海市浦东新区民办欣竹中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. (x+1)(x−2)=x(x+3)B. x2+2x=2
C. x2+2 x=4D. x2+4=0
2.2 a−1的一个有理化因式是( )
A. 2 a−1B. 2 a−1C. 2 a+1D. 2 a+1
3.反比例函数y=kx的图象经过点(2,−32)、A(x1,y1)、B(x2,y2)，其中x1>x2>0，那么y1、y2的大小关系是( )
A. y1>y2B. y14.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A=∠B+∠CB. a：b：c=5：12：13
C. a2=(b+c)(b−c)D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
5.下列命题的逆命题是假命题的是( )
A. 关于某一条直线对称的两个三角形全等
B. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
C. 在一个角的内部，在角平分线上的点到这个角两边的距离相等
D. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
6.在△ABC中，AB=2 3，AC=2，∠B=30°，求BC的长( )
A. 4B. 2C. 4或6D. 2或4
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.化简： 8x3(x>0)= ______．
8.在实数范围内因式分解：2x2−2x−1=______．
9.函数y=x−2 1−x的定义域是______．
10.已知正比例函数的图象经过点(−2,6)，那么这个函数中的函数值y随自变量x值的增大而______．
11.已知关于x的一元二次方程mx2−2x−1=0有实数根，那么m的取值范围是______．
12.已知函数f(x)=22−x，那么f( 3)= ______．
13.如果两个定点A、B的距离为3厘米，那么到点A、B的距离之和为3厘米的点的轨迹是
14.如图，在长为20米、宽为15米的长方形绿地内，修筑三条相同宽且分别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成6块，这6块绿地的总面积为252平方米.如果设道路宽为x米，由题意所列出关于x的方程是______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，如果AC=9cm，那么AD= ______cm．
16.已知△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的高，且BC=2AD，那么此三角形的顶角的度数为______．
17.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC= 3，BC=1，将△ACB绕着点B旋转60°得到△A1C1B，点A与A1对应，点C与C1对应，联结AC1，则AC1= ______．
18.如图，在等边△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD=CE，AE，BD相交于点M，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H.若BE=2EC=4，则MH的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
14st 6st2⋅ 5s312t．
20.(本小题6分)
解方程：14x2−x−2=0．
21.(本小题6分)
解不等式：12(3− 8x)<1+ 18x.
22.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=1，BC= 3，CD=2，AD=2 2，求∠BAD的度数．
23.(本小题6分)
某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段OB、BC表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题：
(1)求这天的温度y与时间x(0≤x≤5)的函数关系式；
(2)求恒温系统设定的恒定温度；
(3)若大棚内的温度低于10℃不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？
24.(本小题8分)
综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab×4+(b−a)2，从而得到等式c2=12ab×4+(b−a)2，化简便得结论a2+b2=c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则S△ABC为______，AB边上的高为______．
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l//y轴，且直线l分别与反比例函数y=8x(x>0)和y=kx(x>0)的图象交于P、Q两点.S△POQ=14．
(1)求k的值；
(2)当∠QOM=45°时，求直线OQ的解析式；
(3)在(2)的条件下，若x轴上有一点N，使得△NOQ为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的N点的坐标．
26.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点(不与点A、C重合)，EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，连接DE、DF．
(1)如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB；
(2)如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)当BE=BF时，求线段CD的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.(x+1)(x−2)=x(x+3)，
整理得：−x−2=3x，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.方程x2+2x=2是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.方程x2+2 x=4是无理方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.x2+4=0是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义(只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)是解此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：(2 a−1)(2 a+1)
=(2 a)2−12
=4a−1，
所以2 a−1的一个有理化因式是2 a+1，
故选：C．
有理化因式是指两个含有根式的代数式，当它们相乘时，它们的积不含有根式，这样的两个代数式互称为有理化因式，由此判断即可．
本题考查了分母有理化，解题的关键是熟记有理化因式的定义．
3.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点(2,−32)，
∴k=−3，
∴反比例函数解析式为y=−3x，
∵k<0，反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，x1>x2>0，
∴y1>y2，
故选：A．
先求出k=−3<0，根据k<0，反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，x1>x2>0，得到结果即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，k<0，反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大是关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°．
∴△ABC为直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵a：b：c=5：12：13
∴设a=5x，b=12x，c=13x，
∵(5x)2+(12x)2=(13x)2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵a2=(b+c)(b−c)，即a2=b2−c2，
∴b2=a2+c2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5
∴设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，
3x+4x+5x=180°，
解得：x=15°，
最大角=5x=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
本题考查了三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误．
5.【答案】A
【解析】解：A、逆命题为两个全等三角形关于某一条直线对称，错误，是假命题，符合题意；
B、逆命题为线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、逆命题为到角的两边距离相等的点在角的平分线上，正确，是真命题，不符合题意；
D、逆命题为两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意．
故选：A．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
6.【答案】D
【解析】′解：①如图：△ABC为锐角三角形．
过点A作AD⊥BC于点D．
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵∠B=30°，AB=2 3，
∴AD= 3．
∴BD= AB2−AD2=3．
∵AC=2，
∴CD=C′D= AC2−AD2=1．
∴BC=BD+CD=3+1=4．
②如图：△ABC为钝角三角形．
过点A作AD⊥BC于点D．
由①可得：BD=3，CD=1．
∴BC=BD−CD=2．
故选：D．
△ABC可能为锐角三角形，也可能为钝角三角形，画出相关图形，得到锐角△ABC和钝角△ABC.作AD⊥BC于点D，根据∠B=30°，可得AD长 3，利用勾股定理可得BD长和CD长，让它们相加或相减即可得到BC的长．
本题考查勾股定理的应用．把所给三角形进行分类讨论是解决本题的关键．用到的知识点为：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形的两条直角边为a，b，斜边为c.那么a= c2−b2．
7.【答案】2x 2x
【解析】解：∵x>0，
∴ 8x3=2x 2x，
故答案为：2x 2x．
根据二次根式的性质进行化简即可．
本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是正确化简的关键．
8.【答案】2(x−1+ 32)(x−1− 32)
【解析】【分析】
本题考查了在实数范围内分解因式，解题关键是掌握运用求根公式分解因式.先求出方程2x2−2x−1=0的两根，再根据ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)，其中x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，即可分解因式．
【解答】
解：∵2x2−2x−1=0时，x=1± 32，
∴2x2−2x−1=2(x−1+ 32)(x−1− 32)；
故答案为2(x−1+ 32)(x−1− 32)．
9.【答案】x<1
【解析】解：由题意得：1−x>0，
解得：x<1，
故答案为：x<1．
根据二次根式 a(a≥0)，以及分母不为0可得：1−x>0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式 a(a≥0)，以及分母不为0是解题的关键．
10.【答案】减小
【解析】解：设正比例函数的解析式为y=kx，
∵正比例函数的图象经过点(−2,6)，
∴6=−2k，
∴k=−3<0，
∴这个函数中的函数值y随自变量x值的增大而减小．
故答案为：减小．
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再根据正比例函数的性质即可找出函数值y随自变量x值的增大而减小．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．
11.【答案】m≥−1且m≠0
【解析】解：∵一元二次方程mx2−2x−1=0有实数根，
∴Δ=(−2)2−4m⋅(−1)≥0，且m≠0，
解得：m≥−1且m≠0．
故答案为：m≥−1且m≠0．
根据一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式并计算即可．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，一元二次方程有实数根”是解题的关键．
12.【答案】4+2 3
【解析】解：当x= 3时，
f( 3)=22− 3
=2(2+ 3)(2− 3)(2+ 3)
=4+2 3．
故答案为：4+2 3．
把x= 3代入函数关系式进行计算即可．
本题考查了函数值，把x的值代入函数关系式进行计算是解题的关键．
13.【答案】线段AB
【解析】【分析】
本题考查了轨迹，解决本题的关键是根据三角形三边的关系确定点的轨迹．定点A、B的距离为3厘米，到点A、B的距离之和为3厘米，通过这两个数据不难联想到这个点恰好在线段AB上．
【解答】
解：不妨设这个点为P，由AP+BP≥AB，取等号的条件是P在线段AB上．
所以到点A、B的距离之和为3厘米的点的轨迹是线段AB．
14.【答案】(20−2x)(15−x)=252
【解析】解：根据题意知：(20−2x)(15−x)=252．
故答案为：(20−2x)(15−x)=252．
根据题意知：则其余空白部分可合成长为(20−2x)米，宽为(15−x)米的矩形，根据绿地的总面积为252平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE=CD，
在Rt△ADE中，∠A=30°，
∴DE=12AD，
∴DC=12AD，
∵AC=9cm，
∴AD=6cm．
故答案为：6．
本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得到DE=CD，根据直角三角形的性质得到
DE=12AD，最后根据题意计算，得到答案．
16.【答案】30°或90°
【解析】解：如图1，取AB的中点E，连接DE，
∵BC=2AD，BA=BC，
∴AD=AE，
∵AD⊥BD，E是BA的中点，
∴ED=12AB=AE，
∴△AED是等边三角形，
∴∠EAD=60°，
∴∠B=30°；
如图2，△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴BD=DC，
∵AD=12BC=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=45°，
∴∠BAC=90°；
故答案为：30°或90°．
根据题意画出图形，分情况讨论，根据等边三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可求解．
本题考查了等边三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论并画出图形是解题的关键．
17.【答案】1或 7
【解析】解：∵∠C=90°，AC= 3，BC=1，
∴AB= AC2+BC2=2，
∴BC=12AB，
∴∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
将△ACB绕着点B逆时针旋转60°得到△A1C1B，如图，
∴BC=BC1=1，
∴AC1=AB−BC1=2−1=1；
将△ACB绕着点B顺时针旋转60°得到△A1C1B，如图，过点A作AD⊥BC1，交C1B的延长线于点D，
∴BC=BC1=1，∠ABC=∠A1BC1=60°，
∴∠ABC1=120°，
∴∠ABD=60°，
∴BD=1，AD= 3，
∴DC1=2，
∴AC1= AD2+C1D2= 7，
综上所述，AC1的长为1或 7．
由勾股定理求出AB=2，分两种情况，由旋转的性质及直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
18.【答案】6 77
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ACE和△BAD中，
AC=AB∠C=∠BADCE=AD，
∴△ACE≌△BAD(SAS)，
∴∠CAE=∠ABD，
∴∠BMH=∠BAE+∠ABD=∠CAE+∠BAE=60°，
∴∠DBH=30°，
∴BH= 3MH，
∵BE=2EC=4，
∴EC=2，BC=6，
如图，过点A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF=3，
∴EF=1，AF= 3BF=3 3，
∴AE= AF2+EF2=2 7，
∵BH⊥AE，
∴S△ABE=12AE⋅BH=12BE⋅AF，
∴BH=BE⋅AFAE=6 217，
∴MH=6 77，
故答案为：6 77．
由“SAS”可证△ACE≌△BAD，由全等三角形的性质可得∠CAE=∠ABD，可证∠BMH=60°，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
19.【答案】解：原式=14st 6⋅5s3st2⋅12t
=14st 5s22t3
=14st⋅s2t2 10t
=7t3 10t．
【解析】根据二次根式的乘除法则计算即可．
本题考查了二次根式的乘除法则，熟练掌握二次根式的乘除法则是关键．
20.【答案】解：方程化为x2−4x−8=0，
∵a=1，b=−4，c=−8，
∴Δ=(−4)2−4×1×(−8)=48>0，
∴x=4± 482×1=4±4 32=2±2 3，
∴x1=2+2 3，x2=2−2 3．
【解析】先把二次项系数化为整数系数，再计算出根的判别式的值，然后根据求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程−公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
21.【答案】解：12(3− 8x)<1+ 18x
32− 2x<1+3 2x
− 2x−3 2x<1−32
−4 2x<−12
x> 216．
【解析】先化简，再利用解不等式的方法与步骤解出答案即可．
此题考查解不等式的步骤与方法以及二次根式的化简．
22.【答案】解：连接AC，
∵∠ABC=90°，AB=1，BC= 3，
∴AC= AB2+BC2= 12+( 3)2=2，
∴AB=12AC，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°−∠ACB=60°，
∵CD=2，AD=2 2，
∴AC2+CD2=22+22=8，AD2=(2 2)2=8，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
∵AC=CD=2，
∴∠CAD=∠D=45°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=105°，
∴∠BAD的度数为105°．
【解析】连接AC，先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=2，从而可得AB=12AC，进而可得∠ACB=30°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC=60°，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ACD=90°，最后根据AC=CD=2，可得∠CAD=∠D=45°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设直线OB的函数解析式为：y=kx(k≠0)，根据题意，
∴可得方程8=2k，
∴k=4，
∴正比例函数解析式为y=4x(0≤x≤5)；
根据图象可知：y=20(5≤x≤10)；
(2)∵y=4x(0≤x≤5)；
当x=5时，y=20，
∴恒定温度为：20℃．
(3)设10≤x≤24小时内函数解析式为：y=kx，
根据题意，可得方程：20=k10，
∴k=200，
∴函数解析式为：y=200x(10≤x≤24)，
∴24小时函数解析式为：y=4x(0≤x≤5)20(5≤x≤10)200x(10≤x≤24)，
∵当0≤x≤5时，10=4x，
∴x=2.5，
∵当10≤x≤24时，10=200x，
∴x=20，
∴在20时～24时4小时之间是气温是低于10℃的，
∴气温低于10℃的总时间为：2.5+4=6.5(h)，
∴气温高于10℃的适宜温度是：24−6.5=17.5(h)．
答：相对有利于水果生长的时间共17.5小时．
【解析】(1)根据图象设正比例函数解析式为y=kx，根据图象可知函数解析式；
(2)把x=5代入解析式y=4x(0≤x≤5)，即可求出恒定温度；
(3)根据图象可知整个图象由三部分组成：正比例函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出y=10时x的值，用24小时减去这些时间即可．
本题考查了一次函数、反比例函数和常函数解析式，解答本题的关键是找出临界点．
24.【答案】6 6 55
【解析】解：(1)S四边形ABDC=12×AD×CB=12c2，
S梯形AEDC=12(AC+ED)×AE=12(b+a)b，
S△EBD=12×ED×BE=12a(a−b)，
∵S四边形ABDC=S梯形ACDE+S△BED，
∴12c2=12(b+a)b+12a(a−b)，
化简得：c2=b2+a2；
(2)设AB边上的高为h，则：
S△ABC=4×4−12×2×4−12×2×4−12×2×2=6，
AB= 22+42=2 5，
∴S△ABC=12AB×h=12×2 5h=6，
∴h=6 55，
即AB边上的高是6 55，
故答案为：6，6 55．
(1)表示出三个图形的面积进行加减计算可证a2+b2=c2；
(2)计算出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AB边上的高．
本题考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】解：(1)∵S△POQ=S△POM+S△MOQ=14，S△POM=12×8=4，S△QOM=12|k|，
∴12|k|+4=14，
∵k<0，
∴k=−20；
(2)由(1)得反比例函数的解析式为y=−20x，
∵∠QOM=45°，l//y轴，
∴∠QOM=∠OQM=45°，
∴MO=MQ，
设Q(a,−a)，
∴−a2=−20，
∴a=2 5(负值已舍去)，
∴点Q的坐标为(2 5,−2 5)，
设直线OQ的解析式为y=kx，将点Q的坐标(2 5,−2 5)代入得：
−2 5=2 5k，
解得：k=−1，
∴直线OQ的解析式为y=−x；
(3)∴OQ= (2 5)2+(2 5)2=2 10，
若△NOQ为等腰三角形，可分三种情况：
①若OQ=ON=2 10，则N(2 10,0)或(−2 10,0)；
②若QO=ON，则NO=2OM=4 5，则N(4 5,0)；
③若NO=NQ，设点N(n,0)，则n2=(n−2 5)2+(2 5)2，
解得：n=2 5，
∴n(2 5,0)，
综上所述，满足条件的点N的坐标为：(2 5,0)或(2 10,0)或(−2 10,0)或(4 5,0).
【解析】(1)由S△POQ=S△POM+S△MOQ=14，S△POM=12×8=4，S△QOM=12|k|，推导出12|k|+4=14，解解答即可得到k的值；
(2)设Q(a,−a)，代入反比例函数y=−20x中即可得到Q坐标，进而得出OQ解析式；
(2)首先利用勾股定理得OQ= (2 5)2+(2 5)2=2 10，当若OQ=ON=2 10，则N(2 10,0)或(−2 10,0)；若QO=ON，则NO=2OM=4 5，则N(4 5,0)；若NO=NQ，设点N(n,0)，则n2=(n−2 5)2+(2 5)2，从而解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，k的几何意义，等腰三角形等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，
∴AC=2，BC= 22−12= 3，∠A=60°，
∵BD⊥AC，BD⊥EF，
∴EF//AC，∠ABD=30°，
∴∠EFB=∠C=30°，
∴AD=12AB=12，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB=30°，
∴∠AED=30°+30°=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴DE=AD=12，
∴BE=DE=12，
又∵∠EFB=30°，
∴EF=2BE=1，
∴AB=EF；
(2)解：如图，EF过点A，EF是BD的垂直平分线，
∴AD=AB=1，CD=x=1，
如图，EF过点C，
∴CD=CB=x= 3，
∴E，F分别在AB，BC上，
∴1≤x≤ 3，
过点F作FN⊥AC于点N，
∵CD=x，CF=y，则BF= 3−y，
∴FN=12y，CN= y2−(12y)2= 32y，
同理FD=FB= 3−y，
∴DN= ( 3−y)2−(12y)2，
∵CD=DN+CN=x，
∴ ( 3−y)2−(12y)2+ 32y=x，
∴y= 3x2−3 33x−6(1≤x≤ 3).
(3)当BE=BF时，同理ED=EB，FB=FD，
∴BE=ED=DF=BF，
在△BED和△BFD中，
∵BE=BFED=FDBD=BD，
∴△BED≌△BFD(SSS)，
∴∠EBD=∠FBD=12∠ABC=45°，
∴∠FDB=45°，
∴∠BFD=90°，
设BF=DF=n，
∴n+ 3n= 3，
∴n= 3 3+1=3− 32，
∴CD=2n=3− 3．
【解析】此题是三角形综合题，本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，全等三角形的判定与性质，熟练的掌握以上知识是解本题的关键．
(1)由直角三角形的性质求出BC，AD，证明△AED是等边三角形，由等边三角形的性质得出DE=AD=12，则可得出结论；
(2)过点F作FN⊥AC于点N，由直角三角形的性质及勾股定理可得出结论；
(3)证明△BED≌△BFD(SSS)，由全等三角形的性质得出∠EBD=∠FBD=12∠ABC=45°，则∠FDB=45°，设BF=DF=n，求出n的值可得出答案．
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. (x+1)(x−2)=x(x+3)B. x2+2x=2
C. x2+2 x=4D. x2+4=0
2.2 a−1的一个有理化因式是( )
A. 2 a−1B. 2 a−1C. 2 a+1D. 2 a+1
3.反比例函数y=kx的图象经过点(2,−32)、A(x1,y1)、B(x2,y2)，其中x1>x2>0，那么y1、y2的大小关系是( )
A. y1>y2B. y1
A. ∠A=∠B+∠CB. a：b：c=5：12：13
C. a2=(b+c)(b−c)D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
5.下列命题的逆命题是假命题的是( )
A. 关于某一条直线对称的两个三角形全等
B. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
C. 在一个角的内部，在角平分线上的点到这个角两边的距离相等
D. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
6.在△ABC中，AB=2 3，AC=2，∠B=30°，求BC的长( )
A. 4B. 2C. 4或6D. 2或4
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.化简： 8x3(x>0)= ______．
8.在实数范围内因式分解：2x2−2x−1=______．
9.函数y=x−2 1−x的定义域是______．
10.已知正比例函数的图象经过点(−2,6)，那么这个函数中的函数值y随自变量x值的增大而______．
11.已知关于x的一元二次方程mx2−2x−1=0有实数根，那么m的取值范围是______．
12.已知函数f(x)=22−x，那么f( 3)= ______．
13.如果两个定点A、B的距离为3厘米，那么到点A、B的距离之和为3厘米的点的轨迹是
14.如图，在长为20米、宽为15米的长方形绿地内，修筑三条相同宽且分别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成6块，这6块绿地的总面积为252平方米.如果设道路宽为x米，由题意所列出关于x的方程是______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，如果AC=9cm，那么AD= ______cm．
16.已知△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的高，且BC=2AD，那么此三角形的顶角的度数为______．
17.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC= 3，BC=1，将△ACB绕着点B旋转60°得到△A1C1B，点A与A1对应，点C与C1对应，联结AC1，则AC1= ______．
18.如图，在等边△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD=CE，AE，BD相交于点M，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H.若BE=2EC=4，则MH的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
14st 6st2⋅ 5s312t．
20.(本小题6分)
解方程：14x2−x−2=0．
21.(本小题6分)
解不等式：12(3− 8x)<1+ 18x.
22.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=1，BC= 3，CD=2，AD=2 2，求∠BAD的度数．
23.(本小题6分)
某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段OB、BC表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题：
(1)求这天的温度y与时间x(0≤x≤5)的函数关系式；
(2)求恒温系统设定的恒定温度；
(3)若大棚内的温度低于10℃不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？
24.(本小题8分)
综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab×4+(b−a)2，从而得到等式c2=12ab×4+(b−a)2，化简便得结论a2+b2=c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则S△ABC为______，AB边上的高为______．
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l//y轴，且直线l分别与反比例函数y=8x(x>0)和y=kx(x>0)的图象交于P、Q两点.S△POQ=14．
(1)求k的值；
(2)当∠QOM=45°时，求直线OQ的解析式；
(3)在(2)的条件下，若x轴上有一点N，使得△NOQ为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的N点的坐标．
26.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点(不与点A、C重合)，EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，连接DE、DF．
(1)如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB；
(2)如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)当BE=BF时，求线段CD的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.(x+1)(x−2)=x(x+3)，
整理得：−x−2=3x，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.方程x2+2x=2是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.方程x2+2 x=4是无理方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.x2+4=0是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义(只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)是解此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：(2 a−1)(2 a+1)
=(2 a)2−12
=4a−1，
所以2 a−1的一个有理化因式是2 a+1，
故选：C．
有理化因式是指两个含有根式的代数式，当它们相乘时，它们的积不含有根式，这样的两个代数式互称为有理化因式，由此判断即可．
本题考查了分母有理化，解题的关键是熟记有理化因式的定义．
3.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点(2,−32)，
∴k=−3，
∴反比例函数解析式为y=−3x，
∵k<0，反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，x1>x2>0，
∴y1>y2，
故选：A．
先求出k=−3<0，根据k<0，反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，x1>x2>0，得到结果即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，k<0，反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大是关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°．
∴△ABC为直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵a：b：c=5：12：13
∴设a=5x，b=12x，c=13x，
∵(5x)2+(12x)2=(13x)2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵a2=(b+c)(b−c)，即a2=b2−c2，
∴b2=a2+c2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5
∴设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，
3x+4x+5x=180°，
解得：x=15°，
最大角=5x=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
本题考查了三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误．
5.【答案】A
【解析】解：A、逆命题为两个全等三角形关于某一条直线对称，错误，是假命题，符合题意；
B、逆命题为线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、逆命题为到角的两边距离相等的点在角的平分线上，正确，是真命题，不符合题意；
D、逆命题为两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意．
故选：A．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
6.【答案】D
【解析】′解：①如图：△ABC为锐角三角形．
过点A作AD⊥BC于点D．
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵∠B=30°，AB=2 3，
∴AD= 3．
∴BD= AB2−AD2=3．
∵AC=2，
∴CD=C′D= AC2−AD2=1．
∴BC=BD+CD=3+1=4．
②如图：△ABC为钝角三角形．
过点A作AD⊥BC于点D．
由①可得：BD=3，CD=1．
∴BC=BD−CD=2．
故选：D．
△ABC可能为锐角三角形，也可能为钝角三角形，画出相关图形，得到锐角△ABC和钝角△ABC.作AD⊥BC于点D，根据∠B=30°，可得AD长 3，利用勾股定理可得BD长和CD长，让它们相加或相减即可得到BC的长．
本题考查勾股定理的应用．把所给三角形进行分类讨论是解决本题的关键．用到的知识点为：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形的两条直角边为a，b，斜边为c.那么a= c2−b2．
7.【答案】2x 2x
【解析】解：∵x>0，
∴ 8x3=2x 2x，
故答案为：2x 2x．
根据二次根式的性质进行化简即可．
本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是正确化简的关键．
8.【答案】2(x−1+ 32)(x−1− 32)
【解析】【分析】
本题考查了在实数范围内分解因式，解题关键是掌握运用求根公式分解因式.先求出方程2x2−2x−1=0的两根，再根据ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)，其中x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，即可分解因式．
【解答】
解：∵2x2−2x−1=0时，x=1± 32，
∴2x2−2x−1=2(x−1+ 32)(x−1− 32)；
故答案为2(x−1+ 32)(x−1− 32)．
9.【答案】x<1
【解析】解：由题意得：1−x>0，
解得：x<1，
故答案为：x<1．
根据二次根式 a(a≥0)，以及分母不为0可得：1−x>0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式 a(a≥0)，以及分母不为0是解题的关键．
10.【答案】减小
【解析】解：设正比例函数的解析式为y=kx，
∵正比例函数的图象经过点(−2,6)，
∴6=−2k，
∴k=−3<0，
∴这个函数中的函数值y随自变量x值的增大而减小．
故答案为：减小．
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再根据正比例函数的性质即可找出函数值y随自变量x值的增大而减小．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．
11.【答案】m≥−1且m≠0
【解析】解：∵一元二次方程mx2−2x−1=0有实数根，
∴Δ=(−2)2−4m⋅(−1)≥0，且m≠0，
解得：m≥−1且m≠0．
故答案为：m≥−1且m≠0．
根据一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式并计算即可．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，一元二次方程有实数根”是解题的关键．
12.【答案】4+2 3
【解析】解：当x= 3时，
f( 3)=22− 3
=2(2+ 3)(2− 3)(2+ 3)
=4+2 3．
故答案为：4+2 3．
把x= 3代入函数关系式进行计算即可．
本题考查了函数值，把x的值代入函数关系式进行计算是解题的关键．
13.【答案】线段AB
【解析】【分析】
本题考查了轨迹，解决本题的关键是根据三角形三边的关系确定点的轨迹．定点A、B的距离为3厘米，到点A、B的距离之和为3厘米，通过这两个数据不难联想到这个点恰好在线段AB上．
【解答】
解：不妨设这个点为P，由AP+BP≥AB，取等号的条件是P在线段AB上．
所以到点A、B的距离之和为3厘米的点的轨迹是线段AB．
14.【答案】(20−2x)(15−x)=252
【解析】解：根据题意知：(20−2x)(15−x)=252．
故答案为：(20−2x)(15−x)=252．
根据题意知：则其余空白部分可合成长为(20−2x)米，宽为(15−x)米的矩形，根据绿地的总面积为252平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE=CD，
在Rt△ADE中，∠A=30°，
∴DE=12AD，
∴DC=12AD，
∵AC=9cm，
∴AD=6cm．
故答案为：6．
本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得到DE=CD，根据直角三角形的性质得到
DE=12AD，最后根据题意计算，得到答案．
16.【答案】30°或90°
【解析】解：如图1，取AB的中点E，连接DE，
∵BC=2AD，BA=BC，
∴AD=AE，
∵AD⊥BD，E是BA的中点，
∴ED=12AB=AE，
∴△AED是等边三角形，
∴∠EAD=60°，
∴∠B=30°；
如图2，△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴BD=DC，
∵AD=12BC=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=45°，
∴∠BAC=90°；
故答案为：30°或90°．
根据题意画出图形，分情况讨论，根据等边三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可求解．
本题考查了等边三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论并画出图形是解题的关键．
17.【答案】1或 7
【解析】解：∵∠C=90°，AC= 3，BC=1，
∴AB= AC2+BC2=2，
∴BC=12AB，
∴∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
将△ACB绕着点B逆时针旋转60°得到△A1C1B，如图，
∴BC=BC1=1，
∴AC1=AB−BC1=2−1=1；
将△ACB绕着点B顺时针旋转60°得到△A1C1B，如图，过点A作AD⊥BC1，交C1B的延长线于点D，
∴BC=BC1=1，∠ABC=∠A1BC1=60°，
∴∠ABC1=120°，
∴∠ABD=60°，
∴BD=1，AD= 3，
∴DC1=2，
∴AC1= AD2+C1D2= 7，
综上所述，AC1的长为1或 7．
由勾股定理求出AB=2，分两种情况，由旋转的性质及直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
18.【答案】6 77
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ACE和△BAD中，
AC=AB∠C=∠BADCE=AD，
∴△ACE≌△BAD(SAS)，
∴∠CAE=∠ABD，
∴∠BMH=∠BAE+∠ABD=∠CAE+∠BAE=60°，
∴∠DBH=30°，
∴BH= 3MH，
∵BE=2EC=4，
∴EC=2，BC=6，
如图，过点A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF=3，
∴EF=1，AF= 3BF=3 3，
∴AE= AF2+EF2=2 7，
∵BH⊥AE，
∴S△ABE=12AE⋅BH=12BE⋅AF，
∴BH=BE⋅AFAE=6 217，
∴MH=6 77，
故答案为：6 77．
由“SAS”可证△ACE≌△BAD，由全等三角形的性质可得∠CAE=∠ABD，可证∠BMH=60°，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
19.【答案】解：原式=14st 6⋅5s3st2⋅12t
=14st 5s22t3
=14st⋅s2t2 10t
=7t3 10t．
【解析】根据二次根式的乘除法则计算即可．
本题考查了二次根式的乘除法则，熟练掌握二次根式的乘除法则是关键．
20.【答案】解：方程化为x2−4x−8=0，
∵a=1，b=−4，c=−8，
∴Δ=(−4)2−4×1×(−8)=48>0，
∴x=4± 482×1=4±4 32=2±2 3，
∴x1=2+2 3，x2=2−2 3．
【解析】先把二次项系数化为整数系数，再计算出根的判别式的值，然后根据求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程−公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
21.【答案】解：12(3− 8x)<1+ 18x
32− 2x<1+3 2x
− 2x−3 2x<1−32
−4 2x<−12
x> 216．
【解析】先化简，再利用解不等式的方法与步骤解出答案即可．
此题考查解不等式的步骤与方法以及二次根式的化简．
22.【答案】解：连接AC，
∵∠ABC=90°，AB=1，BC= 3，
∴AC= AB2+BC2= 12+( 3)2=2，
∴AB=12AC，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°−∠ACB=60°，
∵CD=2，AD=2 2，
∴AC2+CD2=22+22=8，AD2=(2 2)2=8，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
∵AC=CD=2，
∴∠CAD=∠D=45°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=105°，
∴∠BAD的度数为105°．
【解析】连接AC，先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=2，从而可得AB=12AC，进而可得∠ACB=30°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC=60°，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ACD=90°，最后根据AC=CD=2，可得∠CAD=∠D=45°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设直线OB的函数解析式为：y=kx(k≠0)，根据题意，
∴可得方程8=2k，
∴k=4，
∴正比例函数解析式为y=4x(0≤x≤5)；
根据图象可知：y=20(5≤x≤10)；
(2)∵y=4x(0≤x≤5)；
当x=5时，y=20，
∴恒定温度为：20℃．
(3)设10≤x≤24小时内函数解析式为：y=kx，
根据题意，可得方程：20=k10，
∴k=200，
∴函数解析式为：y=200x(10≤x≤24)，
∴24小时函数解析式为：y=4x(0≤x≤5)20(5≤x≤10)200x(10≤x≤24)，
∵当0≤x≤5时，10=4x，
∴x=2.5，
∵当10≤x≤24时，10=200x，
∴x=20，
∴在20时～24时4小时之间是气温是低于10℃的，
∴气温低于10℃的总时间为：2.5+4=6.5(h)，
∴气温高于10℃的适宜温度是：24−6.5=17.5(h)．
答：相对有利于水果生长的时间共17.5小时．
【解析】(1)根据图象设正比例函数解析式为y=kx，根据图象可知函数解析式；
(2)把x=5代入解析式y=4x(0≤x≤5)，即可求出恒定温度；
(3)根据图象可知整个图象由三部分组成：正比例函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出y=10时x的值，用24小时减去这些时间即可．
本题考查了一次函数、反比例函数和常函数解析式，解答本题的关键是找出临界点．
24.【答案】6 6 55
【解析】解：(1)S四边形ABDC=12×AD×CB=12c2，
S梯形AEDC=12(AC+ED)×AE=12(b+a)b，
S△EBD=12×ED×BE=12a(a−b)，
∵S四边形ABDC=S梯形ACDE+S△BED，
∴12c2=12(b+a)b+12a(a−b)，
化简得：c2=b2+a2；
(2)设AB边上的高为h，则：
S△ABC=4×4−12×2×4−12×2×4−12×2×2=6，
AB= 22+42=2 5，
∴S△ABC=12AB×h=12×2 5h=6，
∴h=6 55，
即AB边上的高是6 55，
故答案为：6，6 55．
(1)表示出三个图形的面积进行加减计算可证a2+b2=c2；
(2)计算出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AB边上的高．
本题考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】解：(1)∵S△POQ=S△POM+S△MOQ=14，S△POM=12×8=4，S△QOM=12|k|，
∴12|k|+4=14，
∵k<0，
∴k=−20；
(2)由(1)得反比例函数的解析式为y=−20x，
∵∠QOM=45°，l//y轴，
∴∠QOM=∠OQM=45°，
∴MO=MQ，
设Q(a,−a)，
∴−a2=−20，
∴a=2 5(负值已舍去)，
∴点Q的坐标为(2 5,−2 5)，
设直线OQ的解析式为y=kx，将点Q的坐标(2 5,−2 5)代入得：
−2 5=2 5k，
解得：k=−1，
∴直线OQ的解析式为y=−x；
(3)∴OQ= (2 5)2+(2 5)2=2 10，
若△NOQ为等腰三角形，可分三种情况：
①若OQ=ON=2 10，则N(2 10,0)或(−2 10,0)；
②若QO=ON，则NO=2OM=4 5，则N(4 5,0)；
③若NO=NQ，设点N(n,0)，则n2=(n−2 5)2+(2 5)2，
解得：n=2 5，
∴n(2 5,0)，
综上所述，满足条件的点N的坐标为：(2 5,0)或(2 10,0)或(−2 10,0)或(4 5,0).
【解析】(1)由S△POQ=S△POM+S△MOQ=14，S△POM=12×8=4，S△QOM=12|k|，推导出12|k|+4=14，解解答即可得到k的值；
(2)设Q(a,−a)，代入反比例函数y=−20x中即可得到Q坐标，进而得出OQ解析式；
(2)首先利用勾股定理得OQ= (2 5)2+(2 5)2=2 10，当若OQ=ON=2 10，则N(2 10,0)或(−2 10,0)；若QO=ON，则NO=2OM=4 5，则N(4 5,0)；若NO=NQ，设点N(n,0)，则n2=(n−2 5)2+(2 5)2，从而解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，k的几何意义，等腰三角形等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，
∴AC=2，BC= 22−12= 3，∠A=60°，
∵BD⊥AC，BD⊥EF，
∴EF//AC，∠ABD=30°，
∴∠EFB=∠C=30°，
∴AD=12AB=12，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB=30°，
∴∠AED=30°+30°=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴DE=AD=12，
∴BE=DE=12，
又∵∠EFB=30°，
∴EF=2BE=1，
∴AB=EF；
(2)解：如图，EF过点A，EF是BD的垂直平分线，
∴AD=AB=1，CD=x=1，
如图，EF过点C，
∴CD=CB=x= 3，
∴E，F分别在AB，BC上，
∴1≤x≤ 3，
过点F作FN⊥AC于点N，
∵CD=x，CF=y，则BF= 3−y，
∴FN=12y，CN= y2−(12y)2= 32y，
同理FD=FB= 3−y，
∴DN= ( 3−y)2−(12y)2，
∵CD=DN+CN=x，
∴ ( 3−y)2−(12y)2+ 32y=x，
∴y= 3x2−3 33x−6(1≤x≤ 3).
(3)当BE=BF时，同理ED=EB，FB=FD，
∴BE=ED=DF=BF，
在△BED和△BFD中，
∵BE=BFED=FDBD=BD，
∴△BED≌△BFD(SSS)，
∴∠EBD=∠FBD=12∠ABC=45°，
∴∠FDB=45°，
∴∠BFD=90°，
设BF=DF=n，
∴n+ 3n= 3，
∴n= 3 3+1=3− 32，
∴CD=2n=3− 3．
【解析】此题是三角形综合题，本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，全等三角形的判定与性质，熟练的掌握以上知识是解本题的关键．
(1)由直角三角形的性质求出BC，AD，证明△AED是等边三角形，由等边三角形的性质得出DE=AD=12，则可得出结论；
(2)过点F作FN⊥AC于点N，由直角三角形的性质及勾股定理可得出结论；
(3)证明△BED≌△BFD(SSS)，由全等三角形的性质得出∠EBD=∠FBD=12∠ABC=45°，则∠FDB=45°，设BF=DF=n，求出n的值可得出答案．
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