初中数学北师大版九年级下册3 确定二次函数的表达式教案
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2.3 确定二次函数的表达式
单元
第二单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能:
①通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究,掌握求表达式的三种方法;
②能灵活根据条件恰当地选择表达式,体会二次函数表达式之间的转化。
过程与方法:
①通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生用数学的意识。
②逐步培养学生分析问题、解决问题的能力;
③领会教学活动中的类比思想,提高学生学习数学的积极性;
情感态度与价值观:
①通过积极参与数学活动过程,培养吃苦精神,发展合作意识和科学精神.
②选择生活中学生感兴趣的题材,使学生能积极参与数学活动,提高学习数学、学好数学的欲望.
重点
灵活运用三种求法求二次函数的表达式。
难点
灵活运用三种求法求二次函数的表达式。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
导入新课
在上节课中,我们已经学习了求一次函数表达式的方法。我们一起回顾下:
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数?通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式?2个
2.求一次函数表达式的方法是什么?它的一般步骤是什么?
二次函数表达式是什么呢?
一般式:y = ax2+bx+c
特殊式:y = ax2+bxy = ax2+c
顶点式:y =a(x-h)2+k
交点式:y= a(x-x1)+(x-x2)
导入:如图是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象,你能求出其表达式吗?
确定二次函数的表达式需要几个条件?怎么求二次函数的表达式?与同伴进行交流.
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题,并探究知识。
导入新课,利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
例题讲解
例题讲解
课堂小结
【例1】已知二次函数y=ax2 + c的图象经过点(2,3)和(-1,-3),求这个二次函数的表达式.
解:∵该图象经过点(2,3)和(-1,-3),
∴3=4a+c-3=a+c ,解得a=2c=-5 .
∴所求二次函数表达式为 y=2x2-5.
【试一试】已知二次函数y=ax2 + bx的图象经过点(-2,8)和(-1,5),求这个二次函数的表达式.
解:∵该图象经过点(-2,8)和(-1,5),
∴8=4a-2b5=a-b,解得a=−1b=−6.
∴ y=-x2-6x.
可以发现,对于特殊条件的二次函数的表达式
对于特殊条件的二次函数, y = ax2+bx, y = ax2+c:
1.特点:①表达式中含有2个未知系数;
②题目中有两个坐标点;
2.解法:
①代:将两个坐标点带入表达式中,得一个方程组;
②解:解方程组;
③写:写出表达式
思考:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数?需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来?3个.
【例2】已知一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点, 求这个二次函数的表达式,并写出它的对称轴和顶点坐标.
解:设所求的二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c , 由已知,将三点(-1,10),(1,4),(2,7)分别代入表达式,得
10=a−b+c4=a+b+c7=4a+2b+c,解得a=2b=−3c=5.
∴二次函数的表达式是y=2x2-3x+5. y= 2x2-3x+5=2(x-34)²+318.
∴二次函数对称轴为直线x=34,顶点坐标为(34,318).
一般情况的二次函数
1.方法:待定系数法
2.步骤:
①设:设表达式为y=ax2+bx+c;
②代:将三个点坐标带入所设二次函数表达式中;
③解:解三元一次方程组,得到a,b,c的值;
④还原:把待定系数用数字换掉,写出函数表达式.
【试一试】已知二次函数的图象经过点(-3,0),(-1,0)和(0,-3),
试求出这个二次函数的表达式.
解: 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,
将 (-3,0),(-1,0)和(0,-3)带入解析式中,得
9a-3b+c=0a-b+c=0c=−3,解得a=−1b=−4c=−3.
∴二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
思考: 在什么情况下,一个二次函数只知道其中的两点就可以确定它的表达式?
【例3】选取顶点(-2,1)和点(1,-8),试求出这个二次函数的表达式.
解:设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,
把顶点(-2,1)代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1,
再把点(1,-8)代入上式得
a(1+2)2+1=-8,
解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
顶点法求二次函数的方法
1.知道抛物线的顶点坐标,求表达式的方法叫做顶点法.
2.步骤:
①设:设函数表达式是y=a(x-h)2+k;
②代:先代入顶点坐标,到关于a的一元一次方程;
③解:将另一点的坐标代入原方程求出a值;
④写:a用数值换掉,写出函数表达式.
【例4】选取(-3,0),(-1,0),(0,-3),试求出这个二次函数的表达式.
解: ∵(-3,0)(-1,0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.
∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标).
∴得y=a(x+3)(x+1).
再把点(0,-3)代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3,解得a=-1,
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),
即y=-x2-4x-3.
顶点法求二次函数的方法
1.知道抛物线与x轴的交点,求表达式的方法叫做交点法.
2.步骤是:
①设:设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2);
②代:将两交点横坐标x1,x2代入到表达式中,得到关于a的一元一次方程;
③解:将另一点的坐标代入原方程求出a值;
④写:a用数值换掉,写出函数表达式.
一起总结下本节课的知识点:
结合导入的思考和老师的讲解,利用探究学习并掌握确定二次函数的解析式的三种方法。
老师在例题讲解的时候,自己先思考,然后再听老师讲解。
老师在例题讲解的时候,自己先思考,然后再听老师讲解。
学生跟着老师一起进行本节课的小结,学习一些新的方法。
讲授知识,让学生熟练利用探究学习并掌握确定二次函数的解析式的三种方法。
巩固加深对知识的理解与应用,也让学生知道本节课的学习内容和重点。
巩固加深对知识的理解与应用,也让学生知道本节课的学习内容和重点。
巩固加深对知识的理解与应用,也让学生知道本节课的学习内容和重点。
随堂练习
1、如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于( C).
A.8 B.14
C.8或14D.-8或-14
2、已知一条抛物线经过E(0,10),F(2,2),G(4,2),H(3,1)四点,选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为( C )
A.E,F B.E,G
C.E,HD.F,G
3、已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1,且经过点(2,5)和(-2, 13),求这个二次函数的表达式.
解: 已知三点: (0,1),(2,5),(-2,13)
设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,
将三个点坐标带入y=ax2+bx+c,得
1=c5=4a+2b+c13=4a−2b+c,解得a=2b=−2c=1.
∴二次函数的表达式是y=2x2-2x+1.
4、已知抛物线与x轴相交于点A(-1,0),B(1,0),且过点M(0,1),求此函数的表达式.
解:∵点A(-1,0),B(1,0)是图象与x轴的交点,
∴设二次函数的表达式为y=a(x+1)(x-1).
又∵抛物线过点M(0,1),
∴1=a(0+1)(0-1),解得a=-1,
∴所求抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-1),
即y=-x2+1.
5、如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(-4,-3),与y轴交于点B,对称轴是x=-3,求抛物线的表达式.
解:把点A(-4,-3)代入y=x2+bx+c,得
16-4b+c=-3,c-4b=-19.
∵对称轴是x=-3,∴-b2=-3,
∴b=6,∴c=5,
∴抛物线的表达式是y=x2+6x+5;
学生自主完课堂练习中的练习,然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习,检测学生的知识掌握程度,同时便于学生巩固知识。
中考链接
1.(2013•湖州)已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(3,0),B(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点坐标.
解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(3,0),B(﹣1,0).
∴抛物线的解析式为;y=﹣(x﹣3)(x+1),
即y=﹣x2+2x+3,
(2)∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴抛物线的顶点坐标为:(1,4).
2.(2012•徐州)二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0).
(1)求b、c的值;
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴;
解:(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0),
∴3=16+4b+c0=9+3b+c,
解得b=−4c=3;
(2)∵该二次函数为y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1.
∴该二次函数图象的顶点坐标为(2,﹣1),对称轴为直线x=2;
学生自主完课堂练习中的练习,然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习,检测学生的知识掌握程度,同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后,我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点:
跟着老师回忆知识,并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
确定二次函数的解析式
借助板书,让学生知识本节课的重点。
课后练习
教材第43页习题2.6第1、2、3题.
教材第45页习题2.7第1、3题.
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