2023-2024学年山东省潍坊市诸城实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省潍坊市诸城实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段AB.已知坡长AB为m米，坡角∠ABH为α，则坡AB的铅垂高度AH为( )
A. msinα米B. msinα米C. mcsα米D. mtanα米
2.如图，在半圆ACB中，AB=6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若BC恰好过圆心O，则BC的长是( )
A. 3 3
B. π
C. 2π
D. 4 π
3.如图，AB，CD是⊙O的两条直径，点E是劣弧BC的中点，连接BC，DE.若∠ABC=32°，则∠CDE的度数为( )
A. 34°
B. 29°
C. 32°
D. 24°
4.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中( )
A. 两锐角都大于45°B. 有一个锐角小于45°
C. 有一个锐角大于45°D. 两锐角都小于45°
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=130°，则∠BOD的度数为( )
A. 50°
B. 100°
C. 130°
D. 150°
6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接OD、BD，且BD=BC，若∠BOD=50°，则∠ABC的度数为( )
A. 65°
B. 50°
C. 30°
D. 25°
7.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=8，BC=4 3，点D为边AC上一点，点F在BC的延长线上，BC=2CF.若四边形DCFE是平行四边形，连接AE，BE，则图中阴影部分的面积为( )
A. 24B. 12C. 8D. 6
8.如图，点A，B的坐标分别为A(2,0)，B(0,2)，点C为平面直角坐标系内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为( )
A. 2+1B. 2+12C. 2 2+1D. 2 2−12
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列语句中，错误的有( )
A. 相等的圆心角所对的弧相等
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 长度相等的两条弧是等弧
D. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴
10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论正确的是( )
A. tanB=ACBCB. tanB=ADBDC. tanB=CDADD. tanB=ABAC
11.如图，已知锐角∠AOB，按如下步骤作图：(1)在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；(2)分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；③连接OM，MN，ND.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是( )
A. ∠COM=∠COD
B. 若OM=MN，则∠AOB=20°
C. MN/​/CD
D. ∠COD=3∠MND
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
12.数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘隔开的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：其中能根据所测数据求出A，B两树距离的有______．
A.AC，∠ACB
B.EF，DE，∠F
C.CD，∠ACB，∠ADB
D.∠F，∠ADB，FB
13.在△ABC中，若|sinA−12|+( 22−csB)2=0，则∠C的度数是______．
14.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是______．
15.如图，一下水管道横截面为圆形，直径为260cm，下雨前水面宽为100cm，一场大雨过后，水面宽为240cm，则水位上升______cm．
16.如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 ．
四、解答题：本题共6小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题16分)
计算：
(1)tan60°cs30°−3sin245°；
(2)cs60°−2sin245°+3tan230°+sin30°．
18.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AB=6，∠A=45°，∠B=75°，求AB边上的高．
19.(本小题12分)
如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
(1)求证：CF=BF；
(2)若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．
20.(本小题12分)
如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．
(1)求证：△ABD为等腰三角形．
(2)求证：AC⋅AF=DF⋅FE．
21.(本小题12分)
某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处，测得河流右岸D处的俯角为30°，线段AM=24 3米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上，其中tanα=2.求河流的宽度CD(结果精确到1米，参考数据： 3≈1.7)．
22.(本小题14分)
根据素材解决问题．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可得：sinα=AHAB=AHm，
则坡AB的铅垂高度AH为：AH=msinα米．
故选：B．
直接利用锐角三角函数关系，进而计算得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接AC，如图，
∵半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O，
∴ED=EO，
∴OE=12OB，
∵OD⊥BC，
∴∠OBC=30°，即∠ABC=30°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC= 3AC=3 3．
故选：A．
过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接AC，根据折叠的性质得到ED=EO，则OE=12OB，则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC=30°，即∠ABC=30°，根据圆周角定理得∠ACB=90°，根据含30度的直角三角形三边的关系得BC= 3AC=3 3．
本题考查了垂径定理，折叠的性质和圆周角定理，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3.【答案】B
【解析】解：连接OE，如图，
∵∠ABC=32°，
∴∠AOC=2∠ABC=64°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=116°，
∵点E是劣弧BC的中点，
∴∠COE=∠BOE=12∠BOC=58°，
∴∠CDE=12∠COE=29°．
故选：B．
连接OE，如图，先根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=64°，则利用邻补角可计算出∠BOC=116°，再根据圆心角、弧、弦的关系，利用点E是劣弧BC的中点得到∠COE=∠BOE=58°，然后根据圆周角定理得到∠CDE的度数．
本题考查了周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
4.【答案】A
【解析】解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中两锐角都大于45°，
故选：A．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
5.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
由于四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的对角互补即可求得∠A的度数，而∠A、∠BOD是同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到∠BOD的度数．
【解答】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，而∠C=130°，
∴∠A=180°−∠C=50°，
∴∠BOD=2∠A=100°．
6.【答案】A
【解析】解：连接OC，
∵BD=BC，
∴∠BOD=∠BOC=50°，
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OCB=12(180°−∠BOC)=65°，
故选：A．
连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系可得∠BOD=∠BOC=50°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ABH中，AH=AB⋅sin∠ABH=8×sin60°=4 3，
∵BC=2CF，BC=4 3，
∴CF=2 3，
∵四边形DCFE是平行四边形，
∴DE=CF=2 3，
由图可得△ADE和△DEB以DE为底边时，它们的高的和为AH的长，
∴S阴影=S△ADE+S△DEB=12DE⋅AH=12×2 3×4 3=12．
故选：B．
作出辅助线，构造直角三角形，求出AH，根据已知条件求出DE，由图可得△ADE和△DEB以DE为底边时，它们的高的和为AH的长，进而求出阴影部分的面积．
本题考查解直角三角形，平行四边形的性质及三角形的面积，解题的关键是作出相应的辅助线．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了点与圆的位置关系，坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．
根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，当点C是线段DB延长线与圆B的交点时，OM最大，再根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】
解：如图，
∵点C为平面直角坐标系内一点，BC=1，
∴点C在⊙B上，且半径为1，
取OD=OA=2，连接CD，
∵M为AC中点，
∴AM=CM
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=12CD．
当OM最大时，即CD最大，而当D，B，C三点共线，即C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=OD=2，∠BOD=90°，
∴BD= OD2+OB2=2 2，
∴CD=2 2+1，
∴OM=12CD= 2+12，即OM的最大值为 2+12，
故选：B．
9.【答案】ABCD
【解析】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项符合题意；
B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故本选项符合题意；
C、能够互相重合的两条弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，故本选项符合题意；
D、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴，故本选项符合题意；
故选：ABCD．
由圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，等弧的概念，圆的对称性，即可判断．
本题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，等弧的概念，圆的认识，掌握以上知识点是解题的关键．
10.【答案】BC
【解析】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠B=∠DAC，
在Rt△ABC中，tanB=ACAB，故选项A、D不正确；
在Rt△ABD中，tanB=ADBD，故选项B正确；
在Rt△ADC中，tan∠DAC=DCAD，
∴tanB=DCAD，故选项C正确；
故选：BC．
根据正切函数的定义即可一一判断．
本题考查了正切函数的定义和直角三角形的性质，熟练掌握和运用正切函数的定义和求法是解题的关键．
11.【答案】ABC
【解析】解：A、CD=MC，CD=MC，因此∠COM=∠COD，故A符合题意；
B、连接ON，由OM=ON=MN，得到∠MON=60°，而MC=CD=DN，因此∠AOB=13∠MON=20°，故B符合题意；
C、由OM=ON，∠OMK=∠ONL，∠MOK=∠NOL，得到△OMK≌△ONL(ASA)，因此OK=OL，得到∠OKL=∠OLK，由OC=OD，得到∠OCD=∠ODC，则∠OKL=∠OCD，得到MN/​/CD，
故C符合题意；
D、由圆周角定理得到∠COD=∠MND，故D不符合题意．
故选：ABC．
由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题．
本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，关键是掌握圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理．
12.【答案】A，C
【解析】解：A选项中知道∠ACB和AC长，可以根据AB=AC⋅tan∠ACB求出AB，
故A选项正确；
B选项中tan∠F=DEEF，得不到与AB相关的具体数量关系，
故B选项不正确；
C选项中根据ABtan∠ADB−ABtan∠ACB=CD，即可计算出AB，
故C选项正确；
D选项中∠F+∠ADB=90°，FB得不到与AB相关的具体数量关系，
故D选项不正确，
故答案为：A，C．
分别根据选项中的数据计算AB的值即可．
本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握三角函数的概念是解题的关键．
13.【答案】105°
【解析】解：∵|sinA−12|+( 22−csB)2=0，
∴sinA−12=0， 22−csB=0，
即sinA=12，csB= 22，
∴∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=105°．
故答案为：105°．
先利用非负数的性质得到sinA−12=0， 22−csB=0，即sinA=12，csB= 22，则根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数．
本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质．
14.【答案】2
【解析】解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF=CF=12CD，BF=12BE，CD=BE，BE⊥CD，
∴BF=CF，
根据题意得：AC/​/BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP=BD：AC=1：3，
∴DP：DF=1：2，
∴DP=PF=12CF=12BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF=BFPF=2，
∵∠APD=∠BPF，
∴tan∠APD=2．
故答案为：2．
首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
15.【答案】170或70
【解析】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB，
由垂径定理得：BC=12AB=50cm，
在Rt△OBC中，OC= 1302−502=120cm，
当水位上升到圆心以下，水面宽240cm时，
则OC′= 1302−1202=50cm，
水面上升的高度为：120−50=70cm；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：120+50=170cm，
综上可得，水面上升的高度为170cm或70cm．
故答案为：170或70．
分两种情形分别求解即可解决问题；
本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
16.【答案】5
【解析】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
根据圆的确定条件先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式= 3× 32−3×( 22)2
=32−32
=0；
(2)原式=12−2×( 22)2+3×( 33)2+12
=12−2×12+3×13+12
=12−1+1+12
=1．
【解析】利用特殊锐角三角函数值计算即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
18.【答案】解：过B作BD⊥AC于D，则∠BDA=∠BDC=90°，
∵∠A=45°，
∴∠ABD=45°=∠A，
∴AD=BD，
∵AB=6，
∴BD=AD=AB×sin∠A=6× 22=3 2，
∵∠ABC=75°，∠ABD=45°，
∴∠CBD=30°，
∵tan30°=CDBD，
∴CD=BD×tan30°=3 2× 33= 6，
∴AC=AD+CD=3 2+ 6，
设AB边上的高为h，
∵S△ACB=12AC⋅BD=12×(3 2+ 6)×3 2
=9+3 3，
∴12AB⋅h=9+3 3，
解得：h=3+ 3，
即AB边上的高为3+ 3．
【解析】过B作BD⊥AC于D，则∠BDA=∠BDC=90°，然后根据等腰直角三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求出AC与BD的长度，然后根据△ABC的面积即可求出AB边上的高．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
19.【答案】解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°−∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠ECB=90°−∠ABC，
∴∠ECB=∠A．
又∵C是BD的中点，
∴CD=CB，
∴∠DBC=∠A，
∴∠ECB=∠DBC，
∴CF=BF；
(2)∵BC=CD，
∴BC=CD=6．
∵∠ACB=90°，
∴AB= BC2+AC2= 62+82=10，
∴⊙O的半径为5．
∵S△ABC=12AB·CE=12BC·AC，
∴CE=BC⋅ACAB=6×810=245．
【解析】(1)要证明CF=BF，可以证明∠ECB=∠DBC；由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，由CE⊥AB，得∠CEB=90°，则∠ECB=∠A，又∠DBC=∠A，则∠ECB=∠DBC；
(2)在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，又知BC=CD，可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形面积可以求得CE的长．
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．
20.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠DCB+∠DAB=180°，
∵∠MCD+∠DCB=180°，
∴∠MCD=∠DAB，
∵CD为∠BCA的外角的平分线，
∴∠MCD=∠ACD，
∵∠DCA和∠DBA都对弧AFD，
∴∠DCA=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴DB=DA，
∴△ABD为等腰三角形．
(2)由(1)知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，
∴∠BDC=∠ADF，弧CD=弧DF，CD=DF，①
∴∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，
即∠CDA=∠BDF，
而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°，
∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，
同理∠DCA=∠AFE
∴在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，
∴△CDA∽△FAE，
∴即CD⋅EF=AC⋅AF，
又由①有AC⋅AF=DF⋅EF命题即证．
【解析】(1)CD为∠BCA的外角的平分线得到∠MCD=∠ACD，求出∠MCD=∠DAB推出∠DBA=∠DAB即可；
(2)由在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，得出△CDA∽△FAE，即可推出CD⋅EF=AC⋅AF．
本题主要考查对圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键．
21.【答案】解：过点B作BE⊥MD于点E.则四边形AMEB是矩形．

∴BE=AM=24 3，ME=AB=12米，
∵AF//MD，
∴∠ACM=α．
在Rt△AMC中，∠AMC=90°，
∴tanα=AMMC=2，
∴24 3MC=2，
∴MC=12 3米，
在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠DBE=90°−30°=60°，
∴tan∠DBE=DEBE，
∴tan60°=DE24 3= 3，
∴DE=24 3× 3=72(米)，
CD=DE−CE=DE−(MC−ME)=72−(12 3−12)=84−12 3≈84−12×1.7=84−20.4=64(米)．
答：河流的宽度CD约为64米．
【解析】过点B作BE⊥MD于点E，分别解Rt△AMC、Rt△BDE即可．
本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题，作垂线构造直角三角形是解答本题的关键．
22.【答案】解：任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，如图，

设桥拱的半径为r m，则OD=(r−4)m，
∵OC⊥AB，
∴AD=BD=12AB=8m，
∵OD2+AD2=OA2，
∴(r−4)2+82=r2，
∴r=10，
∴圆形拱桥的半径为10m．
任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加(900−500 3)吨的货物才能通过．理由：
当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M，连接OE，OH，如图，

∵四边形EFGH为矩形，
∴EH/​/FG，
∵OC⊥AB，
∴OM⊥EH．
∴EM=12EH=5，
∴OM= OE2−EM2=5 3m，
∵OD=6m，
∴DM=5 3−6<3，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，
∴船在水面部分可以下降的高度y=3−(5 3−6)=(9−5 3)m.
∵y=1100x，
∴x=100(9−5 3)=(900−500 3)吨，
∴至少要增加(900−500 3)吨的货物才能通过．
【解析】任务1，设圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，设桥拱的半径为r m，则OD=(r−4)m，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题；
任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数．
本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB=16m，拱顶离水面的距离CD=4m．
素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF=3m，EH=10m.因水深足够，货船可以根据需要运载货物.据调查，船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x(吨)满足函数关系式y=1100x．
问题解决
任务1
确定桥拱半径
求圆形桥拱的半径
任务2
拟定设计方案
根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？