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第23讲 简单的三角恒等变换--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练
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这是一份第23讲 简单的三角恒等变换--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练，文件包含第23讲简单的三角恒等变换原卷版docx、第23讲简单的三角恒等变换解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
1.半角公式
(1)公式Sα2:sin α2=±1-csα2.
(2)公式Cα2:cs α2=±1+csα2.
(3)公式Tα2:tan α2=±1-csα1+csα(符号由角的范围确定).
2.常用的部分三角公式
(1)1-cs α= ,1+cs α= .(升幂公式)
(2)1±sin α= .(升幂公式)
(3)sin α=2tan α21+tan2α2,cs α= ,tan α= .(万能公式)
(4)asin α+bcs α=a2+b2 ,其中sin φ=ba2+b2,cs φ=aa2+b2.(辅助角公式)
3.三角恒等变换的基本技巧
(1)变换函数名称:使用诱导公式.
(2)升幂、降幂:使用倍角公式.
(3)常数代换:如1=sin2α+cs2α=tan π4.
(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.
2.(1)2sin2α2 2cs2α2
(2)（sin α2±cs α2）2
(3)1−tan2α21+tan2α2 2tanα21−tan2α2
(4)sin(α+φ)
分类训练
探究点一 三角函数式的化简
例1 (1)21+sin4+2+2cs4=( )
A.2cs 2B.2sin 2
C.4sin 2+2cs 2D.2sin 2+4cs 2
(2)化简:cs（π2-α）cs(2π-β)-sin（32π -α）sin(π+β)= .
例1 [思路点拨] (1)将1拆解为sin22+cs22,将cs 4和sin 4利用二倍角公式拆开,使得根号下的式子变成完全平方的形式,再根据符号整理;(2)由题意利用诱导公式、两角差的正弦公式,化简所给的式子,可得结果.
(1)B (2)sin(α -β) [解析] (1)∵1+sin4=sin22+2sin2cs2+cs22=(sin2+cs2)2=sin 2+cs 2,2+2cs4=2(1+cs4)=2(1+2cs22-1)=4cs22=-2cs 2,
∴21+sin4+2+2cs4=2sin 2+2cs 2-2cs 2=2sin 2,故选B.
(2)cs（π2-α）cs(2π-β)-sin(32π -α)sin(π+β)=sin α cs β -(-cs α)(-sin β)=sin(α -β).
[总结反思] (1)三角函数式的化简要遵循的“三看”原则:
①一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理拆分,从而正确使用公式;
②二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;
③三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等.
(2)三角函数式化简的常见方法有弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂与升幂.余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用.化简结果要求函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.
变式题 已知α∈(0,π),化简:
(1+sinα+csα)·(cs α2-sin α2)2+2csα= .
变式题 cs α [解析] ∵α∈(0,π),∴α2∈(0,π2),
∴(1+sinα+csα)·(cs α2-sin α2)2+2csα=
(1+2sin α2cs α2+2cs2 α2-1)(cs α2-sin α2)2+2(2cs2α2-1)=
2cs α2(sin α2+cs α2)·(cs α2-sin α2)|2cs α2|=
2cs α2·csα2cs α2=cs α.
探究点二 三角函数式的求值
角度1 给值求值
例2 已知α∈(0,π2),2sin 2α=cs 2α+1,则sin α=( )
A.15B.55
C.33D.255
例2 [思路点拨] 利用二倍角公式把2sin 2α=cs 2α+1化简为2sin α=cs α,进而利用同角三角函数的基本关系式求出sin α.
B [解析] 2sin 2α=cs 2α+1⇒4sin αcs α=2cs2α,因为α∈(0,π2),所以cs α≠0,所以2sin α=cs α,代入sin2α+cs2α=1得sin2α=15,而α∈(0,π2),
所以sin α=55.
[总结反思] 给值求值是指已知某个角的三角函数值(或三角函数式的值),求与该角相关的其他三角函数值(或三角函数式的值)的问题,解题关键在于“变角”,使角相同或具有某种关系.
变式题 (1)已知0<α<π2<β<π,又sin α=35,cs(α+β)=-45,则sin β=( )
A.0B.0或2425
C.2425D.0或-2425
(2)已知tan(π4+α)=-2,则1-sin2αcs2α= .
变式题 (1)C (2)-12 [解析] (1)因为0<α<π2,sin α=35,所以cs α=1−sin2α=45.因为cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β=45cs β-35sin β=-45,所以cs β=34sin β-1.因为cs2β+sin2β=1,所以(34sin β-1）2+sin2β=1,整理可得25sin2β-24sin β=0,因为π2<β<π,所以sin β≠0,所以sin β=2425.故选C.
(2)由tan（π4+α）=tan π4+tanα1-tan π4tanα=1+tanα1-tanα=-2,得tan α=3,∴1−sin2αcs2α=(csα-sinα)2cs2α−sin2α=csα−sinαcsα+sinα=1−tanα1+tanα=1−31+3=-12.
角度2 给角求值
例3 sin 25°cs 20°-cs 155°sin 20°=( )
A.-22B.22
C.-12D.12
例3 [思路点拨] 先利用诱导公式,再利用两角和的正弦公式化简即得解.
B [解析] 原式=sin 25°cs 20°+cs 25°sin 20°=sin(25°+20°)=sin 45°=22.故选B.
[总结反思] 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.
变式题 求值:
3-tan12°(2cs212°-1)sin12°= .
变式题 8 [解析] 原式=3-sin12°cs12°cs24°sin12°=3cs12°−sin12°cs24°sin12°cs12°=2sin(60°−12°)14sin48°=2sin48°14sin48°=8.
角度3 给值求角
例4 已知cs（α+π3)=3314,α∈(0,π2).
(1)求cs α的值;
(2)若tan(α+β)=5311,β∈(0,π2),求β的值.
例4 [思路点拨] (1)根据α∈(0,π2),得到α+π3∈(π3,5π6),由cs(α+π3)=3314求得sin(α+π3)=1314,然后由cs α=cs(α+π3-π3)=cs(α+π3)cs π3+sin(α+π3)sin π3求解;(2)由(1)知tan α=312,然后由tan β=tan(α+β-α)=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)·tanα求解.
解:(1)因为α∈(0,π2),所以α+π3∈(π3,5π6),
又cs(α+π3)=3314,所以sin(α+π3)=1314,
所以cs α=cs(α+π3-π3)=cs(α+π3)cs π3+sin(α+π3)sin π3=3314×12+1314×32=437.
(2)由(1)知tan α=312,所以tan β=tan(α+β-α)=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)·tanα=5311-3121+5311×312=33,
因为β∈(0,π2),所以β=π6.
[总结反思] 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时有以下原则:
(1)已知正切函数值,则选正切函数.
(2)已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是(0,π2),则选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦函数较好;若角的范围为(-π2,π2),则选正弦函数较好.
变式题 已知cs α=17,cs(α-β)=1314,若0<β<α<π2,则β= .
变式题 π3 [解析] 由cs α=17,0<α<π2,得sin α=1-cs2α=1-(17) 2=437.由0<β<α<π2,得0<α-β<π2,又cs(α-β)=1314,∴sin(α-β)=1-cs2(α-β)=1-(1314) 2=3314.由β=α-(α-β)得cs β=cs [α-(α-β)]=cs αcs(α-β)+sin αsin(α-β)=17×1314+437×3314=12.∵β∈0,π2,∴β=π3.
探究点三 三角恒等变换的综合应用
例5 已知函数f(x)=3sin xcs x-sin2(x+π2)+12,x∈R.若α,β∈(0,π2),且f(α2+π12)=55,f(β2-π6)=-31010,求sin(α+β)的值.
例5 [思路点拨] 化简得到f(x)=sin(2x-π6),代入数据计算得到sin α=55,cs α=255,cs β=31010,sin β=1010,再利用两角和的正弦公式计算得到答案.
解:由题知f(x)=32sin 2x-1−cs(2x+π)2+12=32sin 2x-1+cs2x2+12=32sin 2x-12cs 2x=sin(2x-π6).∵f(α2+π12)=55,∴sin α=55.
∵α∈(0,π2),∴cs α=255.∵f(β2-π6)=-31010,∴sin(β-π2)=-31010,∴cs β=31010.∵β∈(0,π2),∴sin β=1010.
∴sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β=55×31010+255×1010=22.
[总结反思] (1)进行三角恒等变换时要抓住:变角、变函数名称、变结构.尤其要注意角之间的关系,注意公式的逆用和变形使用.
(2)把y=asin x+bcs x化为y=a2+b2sin(x+φ)的形式,可进一步研究函数的周期、单调性、最值等.
变式题 已知向量a=(cs x2+sin x2,2sin x2),b=(cs x2-sin x2,3cs x2),函数f(x)=a·b.
(1)求函数f(x)的最大值,并指出f(x)取得最大值时x的取值集合;
(2)若α,β为锐角,cs(α+β)=1213,f(β)=65,求f(α+π6)的值.
变式题 解:(1)f(x)=cs2x2-sin2x2+23sinx2cs x2=cs x+3sin x=2sin(x+π6),
令x+π6=π2+2kπ,k∈Z,得x=π3+2kπ,k∈Z,
∴f(x)的最大值为2,当f(x)取得最大值时,x的取值集合为xx=π3+2kπ,k∈Z.
(2)由α,β为锐角,cs(α+β)=1213,得sin(α+β)=513,
由f(β)=65,得sin(β+π6)=35,
∵0<β<π2,∴π6<β+π6<2π3,
又sin(β+π6)=35∈(12,22),∴π6<β+π6<π4,
∴cs(β+π6)=45,
∴cs(α-π6)=cs (α+β)-(β+π6)=cs (α+β)cs(β+π6)+sin (α+β)sin(β+π6)=6365,
∴f(α+π6)=2sin(α+π3)=2sin(π2+α-π6)=2cs(α-π6)=12665.
同步作业
1.sin235°−12sin20°=( )
A.12 B.-12
C.-1D.1
1.B [解析] 依题意,原式=1−cs 70°2-12sin20°=-12×cs 70°sin20°=-12×sin20°sin20°=-12,故选B.
2.已知α为锐角,sin(α-π4)=35,则sin α=( )
A.210B.225
C.325D.7210
2.D [解析] 因为α为锐角,所以α-π4∈(-π4,π4),又sin (α-π4)=35,所以cs(α-π4)=45,所以sin α=sin(α-π4+π4)=sin(α-π4)cs π4+cs(α-π4)sin π4=35×22+45×22=7210.故选D.
3.设sin(α+π6)=435-cs α,则cs(π3-2α)=( )
A.-1825B.1825
C.-725D.725
3.D [解析] 依题意,sin α·32+cs α·12=435-cs α,即sin α·32+cs α·32=435,所以sin α·12+cs α·32=45,即cs(π6-α)=45,故cs(π3-2α)=2cs2(π6-α)-1=2×1625-1=725,故选D.
4.设α为锐角,若cs(α+π6)=45,则sin(2α+π3)的值为( )
A.1225B.2425
C.-2425D.-1225
4.B [解析] ∵α为锐角,∴0<α<π2,∴π6<α+π6<2π3.∵cs(α+π6)=45,∴sin(α+π6)=1−cs2(α+π6)=35,∴sin(2α+π3)=sin 2(α+π6)=2sin(α+π6)cs(α+π6)=2×35×45=2425,故选B.
5.已知cs2x2cs(x+π4)=15,则sin 2x等于( )
A.-2425
B.-45
C.2425
D.255
5.A [解析] cs2x2cs(x+π4)=
cs2x-sin2x2(csxcs π4-sinxsin π4)=
(csx-sinx)(csx+sinx)csx-sinx=cs x+sin x=15,平方得1+sin 2x=125,故sin 2x=-2425.
6.(多选题)若函数y=asin x+bcs x(其中a,b∈R,且a,b>0)可化为y=a2+b2cs(x-φ),则φ应满足条件( )
A.tan φ=ba
B.cs φ=ba2+b2
C.tan φ=ab
D.sin φ=aa2+b2
6.BCD [解析] 由题意得y=asin x+bcs x=a2+b2(aa2+b2sin x+ba2+b2cs x)=a2+b2cs(x-φ),其中cs φ=ba2+b2,sin φ=aa2+b2,tan φ=ab,故选BCD.
7.已知sin(α-π3)=34,则sin(2α-π6)= .
7.-18 [解析] ∵sin(α-π3)=34,∴sin(2α-π6)=sin(2α-2π3+π2)=cs(2α-2π3)=1-2sin2(α-π3)=1-2×916=-18.
8.已知sin 2α=23,则cs2(α+π4)=( )
A.16B.13
C.12D.23
8.A [解析]∵sin 2α=23,∴cs2(α+π4)=1+cs(2α+π2)2=1-sin2α2=1-232=16.
故选A.
9.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”,他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用,黄金分割比例t=5-12≈0.618,还可以表示成2sin 18°,则2cs227°−1t4−t2=( )
A.4B.5-1
C.2D.12
9.D [解析] 由题意可得t=2sin 18°,∴2cs227°-1t4-t2=cs 54°2sin 18°4-4sin218°=sin 36°4sin 18°cs 18°=12.故选D.
10.已知α为锐角,cs α=35,则tan(π4-α2)=( )
A.13B.12
C.2D.3
10.A [解析] ∵α为锐角,∴0<α2<π4,又cs α=35,cs α=2cs2α2-1=1-2sin2α2,∴cs α2=255,sin α2=55,∴tan α2=sin α2cs α2=55255=12,∴tan(π4-α2)=tan π4-tan α21+tan π4tan α2=1-121+1×12=13,故选A.
11.若sin(α+π5)=-13,α∈(0,π),则cs(π20-α)=( )
A.4-26
B.-4+26
C.-4-26
D.4-26或-4-26
11.C [解析] 因为(α+π5)+(π20-α)=π4,所以π20-α=π4-(α+π5),因为α∈(0,π),所以α+π5∈(π5,6π5),又因为sin(α+π5)=-13<0,所以α+π5∈(π,6π5),所以cs(α+π5)=-1−(−13) 2=-223,所以cs(π20-α)=cs [π4-(α+π5)]=cs π4cs(α+π5)+sin π4sin(α+π5)=22×(-223)+22×(-13)=-4-26.故选C.
12.若2sin(α+π3)=3sin α-7,则tan α=( )
A.-233B.233
C.-32D.32
12.A [解析] 因为2sin(α+π3)=3sin α-7,
所以2(12sin α+32cs α)=3sin α-7,
即2sin α-3cs α=7,所以7(27sin α-37cs α)=7,即sin(α-φ)=1,其中sin φ=37,cs φ=27,所以α-φ=2kπ+π2,k∈Z,所以α=2kπ+π2+φ,k∈Z,所以sin α=sin(2kπ+π2+φ)=sin(π2+φ)=cs φ=27,cs α=cs(2kπ+π2+φ)=cs(π2+φ)=-sin φ=-37,所以tan α=-233.故选A.
13.(多选题)已知α,β是锐角,cs α=55,cs(α-β)=31010,则cs β=( )
A.22
B.7210
C.210
D.-22
13.AC [解析] 由α是锐角,cs α=55,得sin α=1−cs2α=255.由β是锐角,得-β∈(-π2,0),所以α-β∈(-π2,π2),又cs(α-β)=31010,所以sin(α-β)=±1010,则cs β=cs [α-(α-β)]=cs αcs(α-β)+sin αsin(α-β)=55×31010±255×1010=32±2210,即cs β=22或cs β=210.故选AC.
14.已知cs θ=-725,θ∈(π,2π),则sin θ2+cs θ2= .
14.15 [解析] 由题知θ2∈(π2,π),
∴sin θ2=1-csθ2=45,cs θ2=-1+csθ2=-35,∴sin θ2+cs θ2=15.
15.化简:1+cs20°2sin20°-sin 10°(1tan5°-tan 5°).
15.解:原式=2cs210°2×2sin10°cs10°-sin 10°·(cs5°sin5°-sin5°cs5°)=cs10°2sin10°-sin 10°·cs25°-sin25°sin5°cs5°=cs10°2sin10°-sin 10°·cs10°12sin10°=cs10°2sin10°-2cs 10°=cs10°-2sin20°2sin10°=cs10°-2sin(30°-10°)2sin10°=cs10°-2(12cs10°-32sin10°)2sin10°=3sin10°2sin10°=32.
16.已知函数f(x)=sin2x+23sin xcs x+sin(x+π4)sin(x-π4).
(1)求f(x)的图象的对称中心;
(2)若x=x0(0≤x0≤π2)为f(x)的一个零点,求cs 2x0的值.
16.解:(1)f(x)=sin2x+23sin xcs x+sin(x+π4)sin(x-π4)=sin2x+3sin 2x+12(sin x+cs x)(sin x-cs x)=1-cs2x2+3sin 2x-12cs 2x=3sin 2x-cs 2x+12=2sin(2x-π6)+12,令2x-π6=kπ,k∈Z,解得x=π12+kπ2,k∈Z,∴f(x)的图象的对称中心为(π12+kπ2,12),k∈Z.
(2)根据题意得f(x0)=2sin(2x0-π6)+12=0,
∴sin(2x0-π6)=-14,∵0≤x0≤π2,∴-π6≤2x0-π6≤5π6,∴-π6<2x0-π6<0,∴cs(2x0-π6)=154,∴cs 2x0=cs[(2x0-π6)+π6]=154×32+14×12=35+18.
17.已知函数f(x)=2sin(π2+x)sin(π3+x),x∈R.
(1)求函数f(x)的周期,并写出函数f(x)的单调递增区间;
(2)已知x0∈(π6,π2),且f(x0)=45+32,求f(x0+π6)的值.
17.解:(1)f(x)=2cs x(12sin x+32cs x)=12sin 2x+32cs 2x+32=sin(2x+π3)+32,所以函数f(x)的周期为2π2=π.令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z,故函数f(x)的单调递增区间为[kπ-5π12,kπ+π12],k∈Z.
(2)由f(x0)=45+32,得sin(2x0+π3)=45,又x0∈(π6,π2),所以2x0+π3∈(2π3,4π30,故cs（2x0+π3）=-35,故f（x0+π60=sin[(2x0+π3)+π3]+32=12sin(2x0+π3)+32cs(2x0+π3)+32=2+35.
1.半角公式
(1)公式Sα2:sin α2=±1-csα2.
(2)公式Cα2:cs α2=±1+csα2.
(3)公式Tα2:tan α2=±1-csα1+csα(符号由角的范围确定).
2.常用的部分三角公式
(1)1-cs α= ,1+cs α= .(升幂公式)
(2)1±sin α= .(升幂公式)
(3)sin α=2tan α21+tan2α2,cs α= ,tan α= .(万能公式)
(4)asin α+bcs α=a2+b2 ,其中sin φ=ba2+b2,cs φ=aa2+b2.(辅助角公式)
3.三角恒等变换的基本技巧
(1)变换函数名称:使用诱导公式.
(2)升幂、降幂:使用倍角公式.
(3)常数代换:如1=sin2α+cs2α=tan π4.
(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.
2.(1)2sin2α2 2cs2α2
(2)（sin α2±cs α2）2
(3)1−tan2α21+tan2α2 2tanα21−tan2α2
(4)sin(α+φ)
分类训练
探究点一 三角函数式的化简
例1 (1)21+sin4+2+2cs4=( )
A.2cs 2B.2sin 2
C.4sin 2+2cs 2D.2sin 2+4cs 2
(2)化简:cs（π2-α）cs(2π-β)-sin（32π -α）sin(π+β)= .
例1 [思路点拨] (1)将1拆解为sin22+cs22,将cs 4和sin 4利用二倍角公式拆开,使得根号下的式子变成完全平方的形式,再根据符号整理;(2)由题意利用诱导公式、两角差的正弦公式,化简所给的式子,可得结果.
(1)B (2)sin(α -β) [解析] (1)∵1+sin4=sin22+2sin2cs2+cs22=(sin2+cs2)2=sin 2+cs 2,2+2cs4=2(1+cs4)=2(1+2cs22-1)=4cs22=-2cs 2,
∴21+sin4+2+2cs4=2sin 2+2cs 2-2cs 2=2sin 2,故选B.
(2)cs（π2-α）cs(2π-β)-sin(32π -α)sin(π+β)=sin α cs β -(-cs α)(-sin β)=sin(α -β).
[总结反思] (1)三角函数式的化简要遵循的“三看”原则:
①一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理拆分,从而正确使用公式;
②二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;
③三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等.
(2)三角函数式化简的常见方法有弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂与升幂.余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用.化简结果要求函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.
变式题 已知α∈(0,π),化简:
(1+sinα+csα)·(cs α2-sin α2)2+2csα= .
变式题 cs α [解析] ∵α∈(0,π),∴α2∈(0,π2),
∴(1+sinα+csα)·(cs α2-sin α2)2+2csα=
(1+2sin α2cs α2+2cs2 α2-1)(cs α2-sin α2)2+2(2cs2α2-1)=
2cs α2(sin α2+cs α2)·(cs α2-sin α2)|2cs α2|=
2cs α2·csα2cs α2=cs α.
探究点二 三角函数式的求值
角度1 给值求值
例2 已知α∈(0,π2),2sin 2α=cs 2α+1,则sin α=( )
A.15B.55
C.33D.255
例2 [思路点拨] 利用二倍角公式把2sin 2α=cs 2α+1化简为2sin α=cs α,进而利用同角三角函数的基本关系式求出sin α.
B [解析] 2sin 2α=cs 2α+1⇒4sin αcs α=2cs2α,因为α∈(0,π2),所以cs α≠0,所以2sin α=cs α,代入sin2α+cs2α=1得sin2α=15,而α∈(0,π2),
所以sin α=55.
[总结反思] 给值求值是指已知某个角的三角函数值(或三角函数式的值),求与该角相关的其他三角函数值(或三角函数式的值)的问题,解题关键在于“变角”,使角相同或具有某种关系.
变式题 (1)已知0<α<π2<β<π,又sin α=35,cs(α+β)=-45,则sin β=( )
A.0B.0或2425
C.2425D.0或-2425
(2)已知tan(π4+α)=-2,则1-sin2αcs2α= .
变式题 (1)C (2)-12 [解析] (1)因为0<α<π2,sin α=35,所以cs α=1−sin2α=45.因为cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β=45cs β-35sin β=-45,所以cs β=34sin β-1.因为cs2β+sin2β=1,所以(34sin β-1）2+sin2β=1,整理可得25sin2β-24sin β=0,因为π2<β<π,所以sin β≠0,所以sin β=2425.故选C.
(2)由tan（π4+α）=tan π4+tanα1-tan π4tanα=1+tanα1-tanα=-2,得tan α=3,∴1−sin2αcs2α=(csα-sinα)2cs2α−sin2α=csα−sinαcsα+sinα=1−tanα1+tanα=1−31+3=-12.
角度2 给角求值
例3 sin 25°cs 20°-cs 155°sin 20°=( )
A.-22B.22
C.-12D.12
例3 [思路点拨] 先利用诱导公式,再利用两角和的正弦公式化简即得解.
B [解析] 原式=sin 25°cs 20°+cs 25°sin 20°=sin(25°+20°)=sin 45°=22.故选B.
[总结反思] 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.
变式题 求值:
3-tan12°(2cs212°-1)sin12°= .
变式题 8 [解析] 原式=3-sin12°cs12°cs24°sin12°=3cs12°−sin12°cs24°sin12°cs12°=2sin(60°−12°)14sin48°=2sin48°14sin48°=8.
角度3 给值求角
例4 已知cs（α+π3)=3314,α∈(0,π2).
(1)求cs α的值;
(2)若tan(α+β)=5311,β∈(0,π2),求β的值.
例4 [思路点拨] (1)根据α∈(0,π2),得到α+π3∈(π3,5π6),由cs(α+π3)=3314求得sin(α+π3)=1314,然后由cs α=cs(α+π3-π3)=cs(α+π3)cs π3+sin(α+π3)sin π3求解;(2)由(1)知tan α=312,然后由tan β=tan(α+β-α)=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)·tanα求解.
解:(1)因为α∈(0,π2),所以α+π3∈(π3,5π6),
又cs(α+π3)=3314,所以sin(α+π3)=1314,
所以cs α=cs(α+π3-π3)=cs(α+π3)cs π3+sin(α+π3)sin π3=3314×12+1314×32=437.
(2)由(1)知tan α=312,所以tan β=tan(α+β-α)=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)·tanα=5311-3121+5311×312=33,
因为β∈(0,π2),所以β=π6.
[总结反思] 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时有以下原则:
(1)已知正切函数值,则选正切函数.
(2)已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是(0,π2),则选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦函数较好;若角的范围为(-π2,π2),则选正弦函数较好.
变式题 已知cs α=17,cs(α-β)=1314,若0<β<α<π2,则β= .
变式题 π3 [解析] 由cs α=17,0<α<π2,得sin α=1-cs2α=1-(17) 2=437.由0<β<α<π2,得0<α-β<π2,又cs(α-β)=1314,∴sin(α-β)=1-cs2(α-β)=1-(1314) 2=3314.由β=α-(α-β)得cs β=cs [α-(α-β)]=cs αcs(α-β)+sin αsin(α-β)=17×1314+437×3314=12.∵β∈0,π2,∴β=π3.
探究点三 三角恒等变换的综合应用
例5 已知函数f(x)=3sin xcs x-sin2(x+π2)+12,x∈R.若α,β∈(0,π2),且f(α2+π12)=55,f(β2-π6)=-31010,求sin(α+β)的值.
例5 [思路点拨] 化简得到f(x)=sin(2x-π6),代入数据计算得到sin α=55,cs α=255,cs β=31010,sin β=1010,再利用两角和的正弦公式计算得到答案.
解:由题知f(x)=32sin 2x-1−cs(2x+π)2+12=32sin 2x-1+cs2x2+12=32sin 2x-12cs 2x=sin(2x-π6).∵f(α2+π12)=55,∴sin α=55.
∵α∈(0,π2),∴cs α=255.∵f(β2-π6)=-31010,∴sin(β-π2)=-31010,∴cs β=31010.∵β∈(0,π2),∴sin β=1010.
∴sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β=55×31010+255×1010=22.
[总结反思] (1)进行三角恒等变换时要抓住:变角、变函数名称、变结构.尤其要注意角之间的关系,注意公式的逆用和变形使用.
(2)把y=asin x+bcs x化为y=a2+b2sin(x+φ)的形式,可进一步研究函数的周期、单调性、最值等.
变式题 已知向量a=(cs x2+sin x2,2sin x2),b=(cs x2-sin x2,3cs x2),函数f(x)=a·b.
(1)求函数f(x)的最大值,并指出f(x)取得最大值时x的取值集合;
(2)若α,β为锐角,cs(α+β)=1213,f(β)=65,求f(α+π6)的值.
变式题 解:(1)f(x)=cs2x2-sin2x2+23sinx2cs x2=cs x+3sin x=2sin(x+π6),
令x+π6=π2+2kπ,k∈Z,得x=π3+2kπ,k∈Z,
∴f(x)的最大值为2,当f(x)取得最大值时,x的取值集合为xx=π3+2kπ,k∈Z.
(2)由α,β为锐角,cs(α+β)=1213,得sin(α+β)=513,
由f(β)=65,得sin(β+π6)=35,
∵0<β<π2,∴π6<β+π6<2π3,
又sin(β+π6)=35∈(12,22),∴π6<β+π6<π4,
∴cs(β+π6)=45,
∴cs(α-π6)=cs (α+β)-(β+π6)=cs (α+β)cs(β+π6)+sin (α+β)sin(β+π6)=6365,
∴f(α+π6)=2sin(α+π3)=2sin(π2+α-π6)=2cs(α-π6)=12665.
同步作业
1.sin235°−12sin20°=( )
A.12 B.-12
C.-1D.1
1.B [解析] 依题意,原式=1−cs 70°2-12sin20°=-12×cs 70°sin20°=-12×sin20°sin20°=-12,故选B.
2.已知α为锐角,sin(α-π4)=35,则sin α=( )
A.210B.225
C.325D.7210
2.D [解析] 因为α为锐角,所以α-π4∈(-π4,π4),又sin (α-π4)=35,所以cs(α-π4)=45,所以sin α=sin(α-π4+π4)=sin(α-π4)cs π4+cs(α-π4)sin π4=35×22+45×22=7210.故选D.
3.设sin(α+π6)=435-cs α,则cs(π3-2α)=( )
A.-1825B.1825
C.-725D.725
3.D [解析] 依题意,sin α·32+cs α·12=435-cs α,即sin α·32+cs α·32=435,所以sin α·12+cs α·32=45,即cs(π6-α)=45,故cs(π3-2α)=2cs2(π6-α)-1=2×1625-1=725,故选D.
4.设α为锐角,若cs(α+π6)=45,则sin(2α+π3)的值为( )
A.1225B.2425
C.-2425D.-1225
4.B [解析] ∵α为锐角,∴0<α<π2,∴π6<α+π6<2π3.∵cs(α+π6)=45,∴sin(α+π6)=1−cs2(α+π6)=35,∴sin(2α+π3)=sin 2(α+π6)=2sin(α+π6)cs(α+π6)=2×35×45=2425,故选B.
5.已知cs2x2cs(x+π4)=15,则sin 2x等于( )
A.-2425
B.-45
C.2425
D.255
5.A [解析] cs2x2cs(x+π4)=
cs2x-sin2x2(csxcs π4-sinxsin π4)=
(csx-sinx)(csx+sinx)csx-sinx=cs x+sin x=15,平方得1+sin 2x=125,故sin 2x=-2425.
6.(多选题)若函数y=asin x+bcs x(其中a,b∈R,且a,b>0)可化为y=a2+b2cs(x-φ),则φ应满足条件( )
A.tan φ=ba
B.cs φ=ba2+b2
C.tan φ=ab
D.sin φ=aa2+b2
6.BCD [解析] 由题意得y=asin x+bcs x=a2+b2(aa2+b2sin x+ba2+b2cs x)=a2+b2cs(x-φ),其中cs φ=ba2+b2,sin φ=aa2+b2,tan φ=ab,故选BCD.
7.已知sin(α-π3)=34,则sin(2α-π6)= .
7.-18 [解析] ∵sin(α-π3)=34,∴sin(2α-π6)=sin(2α-2π3+π2)=cs(2α-2π3)=1-2sin2(α-π3)=1-2×916=-18.
8.已知sin 2α=23,则cs2(α+π4)=( )
A.16B.13
C.12D.23
8.A [解析]∵sin 2α=23,∴cs2(α+π4)=1+cs(2α+π2)2=1-sin2α2=1-232=16.
故选A.
9.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”,他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用,黄金分割比例t=5-12≈0.618,还可以表示成2sin 18°,则2cs227°−1t4−t2=( )
A.4B.5-1
C.2D.12
9.D [解析] 由题意可得t=2sin 18°,∴2cs227°-1t4-t2=cs 54°2sin 18°4-4sin218°=sin 36°4sin 18°cs 18°=12.故选D.
10.已知α为锐角,cs α=35,则tan(π4-α2)=( )
A.13B.12
C.2D.3
10.A [解析] ∵α为锐角,∴0<α2<π4,又cs α=35,cs α=2cs2α2-1=1-2sin2α2,∴cs α2=255,sin α2=55,∴tan α2=sin α2cs α2=55255=12,∴tan(π4-α2)=tan π4-tan α21+tan π4tan α2=1-121+1×12=13,故选A.
11.若sin(α+π5)=-13,α∈(0,π),则cs(π20-α)=( )
A.4-26
B.-4+26
C.-4-26
D.4-26或-4-26
11.C [解析] 因为(α+π5)+(π20-α)=π4,所以π20-α=π4-(α+π5),因为α∈(0,π),所以α+π5∈(π5,6π5),又因为sin(α+π5)=-13<0,所以α+π5∈(π,6π5),所以cs(α+π5)=-1−(−13) 2=-223,所以cs(π20-α)=cs [π4-(α+π5)]=cs π4cs(α+π5)+sin π4sin(α+π5)=22×(-223)+22×(-13)=-4-26.故选C.
12.若2sin(α+π3)=3sin α-7,则tan α=( )
A.-233B.233
C.-32D.32
12.A [解析] 因为2sin(α+π3)=3sin α-7,
所以2(12sin α+32cs α)=3sin α-7,
即2sin α-3cs α=7,所以7(27sin α-37cs α)=7,即sin(α-φ)=1,其中sin φ=37,cs φ=27,所以α-φ=2kπ+π2,k∈Z,所以α=2kπ+π2+φ,k∈Z,所以sin α=sin(2kπ+π2+φ)=sin(π2+φ)=cs φ=27,cs α=cs(2kπ+π2+φ)=cs(π2+φ)=-sin φ=-37,所以tan α=-233.故选A.
13.(多选题)已知α,β是锐角,cs α=55,cs(α-β)=31010,则cs β=( )
A.22
B.7210
C.210
D.-22
13.AC [解析] 由α是锐角,cs α=55,得sin α=1−cs2α=255.由β是锐角,得-β∈(-π2,0),所以α-β∈(-π2,π2),又cs(α-β)=31010,所以sin(α-β)=±1010,则cs β=cs [α-(α-β)]=cs αcs(α-β)+sin αsin(α-β)=55×31010±255×1010=32±2210,即cs β=22或cs β=210.故选AC.
14.已知cs θ=-725,θ∈(π,2π),则sin θ2+cs θ2= .
14.15 [解析] 由题知θ2∈(π2,π),
∴sin θ2=1-csθ2=45,cs θ2=-1+csθ2=-35,∴sin θ2+cs θ2=15.
15.化简:1+cs20°2sin20°-sin 10°(1tan5°-tan 5°).
15.解:原式=2cs210°2×2sin10°cs10°-sin 10°·(cs5°sin5°-sin5°cs5°)=cs10°2sin10°-sin 10°·cs25°-sin25°sin5°cs5°=cs10°2sin10°-sin 10°·cs10°12sin10°=cs10°2sin10°-2cs 10°=cs10°-2sin20°2sin10°=cs10°-2sin(30°-10°)2sin10°=cs10°-2(12cs10°-32sin10°)2sin10°=3sin10°2sin10°=32.
16.已知函数f(x)=sin2x+23sin xcs x+sin(x+π4)sin(x-π4).
(1)求f(x)的图象的对称中心;
(2)若x=x0(0≤x0≤π2)为f(x)的一个零点,求cs 2x0的值.
16.解:(1)f(x)=sin2x+23sin xcs x+sin(x+π4)sin(x-π4)=sin2x+3sin 2x+12(sin x+cs x)(sin x-cs x)=1-cs2x2+3sin 2x-12cs 2x=3sin 2x-cs 2x+12=2sin(2x-π6)+12,令2x-π6=kπ,k∈Z,解得x=π12+kπ2,k∈Z,∴f(x)的图象的对称中心为(π12+kπ2,12),k∈Z.
(2)根据题意得f(x0)=2sin(2x0-π6)+12=0,
∴sin(2x0-π6)=-14,∵0≤x0≤π2,∴-π6≤2x0-π6≤5π6,∴-π6<2x0-π6<0,∴cs(2x0-π6)=154,∴cs 2x0=cs[(2x0-π6)+π6]=154×32+14×12=35+18.
17.已知函数f(x)=2sin(π2+x)sin(π3+x),x∈R.
(1)求函数f(x)的周期,并写出函数f(x)的单调递增区间;
(2)已知x0∈(π6,π2),且f(x0)=45+32,求f(x0+π6)的值.
17.解:(1)f(x)=2cs x(12sin x+32cs x)=12sin 2x+32cs 2x+32=sin(2x+π3)+32,所以函数f(x)的周期为2π2=π.令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z,故函数f(x)的单调递增区间为[kπ-5π12,kπ+π12],k∈Z.
(2)由f(x0)=45+32,得sin(2x0+π3)=45,又x0∈(π6,π2),所以2x0+π3∈(2π3,4π30,故cs（2x0+π3）=-35,故f（x0+π60=sin[(2x0+π3)+π3]+32=12sin(2x0+π3)+32cs(2x0+π3)+32=2+35.
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