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专练04 恒（能）成立问题三类七法-2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）
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这是一份专练04 恒（能）成立问题三类七法-2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用），文件包含专练04恒能成立问题三类七法原卷版docx、专练04恒能成立问题三类七法解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
热点一
分离参数法解答恒（能）成立问题
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
2.（2023春·江苏无锡·高二统考期末）已知函数，在区间上任取两个不相等的实数，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·河南南阳·高二统考期末）若在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·北京通州·高二统考期末）已知函数为其定义城上的单调函数．则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·陕西咸阳·高二统考期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6.（云南省昆明市2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试题）已知关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·新疆喀什·高二统考期末）已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【规律方法】
分离参数法：
一般地，若a＞f (x)对x∈D恒成立，则只需a＞f (x)max；若a＜f (x)对x∈D恒成立，则只需a＜f (x)min.若存在x0∈D，使a＞f (x0)成立，则只需a＞f (x)min；若存在x0∈D，使a＜f (x0)成立，则只需a＜f (x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围.
热点二
构造函数法解答恒（能）成立问题
8．（辽宁省五校2022-2023学年高二下学期期末数学试题）已知函数的图象恒在的图象的下方，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（贵州省铜仁市2022-2023学年高二下学期7月期末质量监测试数学试题）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023春·广东广州·高二统考期末）已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）若在上恒成立，则实数a的取值范围是为（ ）
A．B．C．D．
12.（2023春·山东聊城·高二统考期末）已知定义域为的函数在上单调递增，且对定义域内任意的，都满足．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是 ．
13.（2023春·安徽·高二校联考期末）已知函数.
(1)若，判断在上的单调性；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
【规律方法】
构造函数的常见类型有：
若，则构造，
若，则构造，
若，则构造，
若，则构造.
若f′(x)>a(a≠0)，则构造函数：h(x)＝f(x)－ax.
若f′(x)±g′(x)>0，则构造函数：h(x)＝f(x)±g(x)．
若f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，则构造函数F(x)＝f(x)g(x)
若f′(x)g(x)－f(x)g′(x)，则构造可导函数y＝eq \f(fx,gx).
热点三
最值比较法解答恒（能）成立问题
14．（2023·全国·统考高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
15．（2023春·湖南·高二校联考期末）已知函数，，若，，使成立，则实数的取值范围是 .
【方法技巧】
比较函数值的大小，通常有三种类型，一是利用函数的单调性或通过引入-1,0,1等中介值完成解答；二是给出看似独立的几个函数值，通过观察其特征，构造函数，应用导数求解；三是给出抽象函数关系，比较函数值大小，一般也要通过构造函数，应用导数求解，构造函数的常见类型和题型二类似.
热点四
“先分离后构造”解答恒（能）成立问题
16．（2023春·北京·高二北京市第十二中学校考期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
17．（2023春·湖南长沙·高二雅礼中学校考期末）已知函数．
(1)证明；
(2)关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【点评】
这类题目的特点，就是首先易于分离参数，然后通过构造函数，应用导数求解.
热点五
两次构造函数，解答恒（能）成立问题
18．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
19．（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）设函数，．
(1)求证：；
(2)若当时，恒成立，求的取值范围．
热点六
先分离参数、再两次构造函数，解答恒（能）成立问题
20．（2023春·天津滨海新·高二统考期末）已知函数，.
(1)若，求m的值及函数的极值；
(2)讨论函数的单调性：
(3)若对定义域内的任意x，都有恒成立，求整数m的最小值.
21．（2023春·山东济宁·高二统考期末）已知函数．
(1)讨论的单调性;
(2)设函数，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
热点七
构造函数法证明恒成立问题
22．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
23.（2023春·广东广州·高二统考期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，令，求证：
24（2023春·河北沧州·高二统考期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：不等式恒成立．
热点一
分离参数法解答恒（能）成立问题
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
2.（2023春·江苏无锡·高二统考期末）已知函数，在区间上任取两个不相等的实数，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·河南南阳·高二统考期末）若在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·北京通州·高二统考期末）已知函数为其定义城上的单调函数．则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·陕西咸阳·高二统考期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6.（云南省昆明市2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试题）已知关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·新疆喀什·高二统考期末）已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【规律方法】
分离参数法：
一般地，若a＞f (x)对x∈D恒成立，则只需a＞f (x)max；若a＜f (x)对x∈D恒成立，则只需a＜f (x)min.若存在x0∈D，使a＞f (x0)成立，则只需a＞f (x)min；若存在x0∈D，使a＜f (x0)成立，则只需a＜f (x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围.
热点二
构造函数法解答恒（能）成立问题
8．（辽宁省五校2022-2023学年高二下学期期末数学试题）已知函数的图象恒在的图象的下方，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（贵州省铜仁市2022-2023学年高二下学期7月期末质量监测试数学试题）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023春·广东广州·高二统考期末）已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）若在上恒成立，则实数a的取值范围是为（ ）
A．B．C．D．
12.（2023春·山东聊城·高二统考期末）已知定义域为的函数在上单调递增，且对定义域内任意的，都满足．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是 ．
13.（2023春·安徽·高二校联考期末）已知函数.
(1)若，判断在上的单调性；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
【规律方法】
构造函数的常见类型有：
若，则构造，
若，则构造，
若，则构造，
若，则构造.
若f′(x)>a(a≠0)，则构造函数：h(x)＝f(x)－ax.
若f′(x)±g′(x)>0，则构造函数：h(x)＝f(x)±g(x)．
若f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，则构造函数F(x)＝f(x)g(x)
若f′(x)g(x)－f(x)g′(x)，则构造可导函数y＝eq \f(fx,gx).
热点三
最值比较法解答恒（能）成立问题
14．（2023·全国·统考高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
15．（2023春·湖南·高二校联考期末）已知函数，，若，，使成立，则实数的取值范围是 .
【方法技巧】
比较函数值的大小，通常有三种类型，一是利用函数的单调性或通过引入-1,0,1等中介值完成解答；二是给出看似独立的几个函数值，通过观察其特征，构造函数，应用导数求解；三是给出抽象函数关系，比较函数值大小，一般也要通过构造函数，应用导数求解，构造函数的常见类型和题型二类似.
热点四
“先分离后构造”解答恒（能）成立问题
16．（2023春·北京·高二北京市第十二中学校考期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
17．（2023春·湖南长沙·高二雅礼中学校考期末）已知函数．
(1)证明；
(2)关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【点评】
这类题目的特点，就是首先易于分离参数，然后通过构造函数，应用导数求解.
热点五
两次构造函数，解答恒（能）成立问题
18．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
19．（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）设函数，．
(1)求证：；
(2)若当时，恒成立，求的取值范围．
热点六
先分离参数、再两次构造函数，解答恒（能）成立问题
20．（2023春·天津滨海新·高二统考期末）已知函数，.
(1)若，求m的值及函数的极值；
(2)讨论函数的单调性：
(3)若对定义域内的任意x，都有恒成立，求整数m的最小值.
21．（2023春·山东济宁·高二统考期末）已知函数．
(1)讨论的单调性;
(2)设函数，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
热点七
构造函数法证明恒成立问题
22．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
23.（2023春·广东广州·高二统考期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，令，求证：
24（2023春·河北沧州·高二统考期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：不等式恒成立．
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