2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高三（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高三（上）期末数学试卷(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}，则A∪B=( )
A. {1}B. {1,2}C. {0,1,2,3}D. {−1,0,1,2,3}
2.若复数z满足i⋅z=3−4i，则|z|=( )
A. 1B. 5C. 7D. 25
3.已知向量a=(1,m)，b=(3,−2)，且(a+b)⊥b，则m =( )
A. −8B. −6C. 6D. 8
4.已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.若将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为
( )
A. x=kπ2−π6(k∈Z)B. x=kπ2+π6(k∈Z)
C. x=kπ2−π12(k∈Z)D. x=kπ2+π12(k∈Z)
6.函数y=xcsx+sinx在区间[−π,π]的图象大致为
( )
A. B.
C. D.
7.若2 ​x−2 ​y<3− ​x−3− ​y，则
( )
A. ln(y−x+1)>0B. ln(y−x+1)<0
C. ln|x−y|>0D. ln|x−y|<0
8.已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+ex是偶函数，y=f(x)−3ex是奇函数，则f(x)的最小值为( )
A. eB. 2 2C. 2 3D. 2e
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a，b，c∈R，则
( )
A. 若a>b>0，则1a>1bB. 若ac2>bc2，则a−c>b−c
C. 若a>b>0，则a> ab>bD. 若a10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(π12+x)=f(π12−x)
C. f(x)在[π2,π]上单调递增
D. f(x−π6)为奇函数
11.已知直线l:ax+by−r2=0与圆C:x2+y2=r2，点A(a,b)，则下列说法正确的是
( )
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
12.已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则( )
A. a1d>0B. a1d<0C. dS4>0D. dS4<0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y2b2=1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 .
14.已知a∈R，函数f(x)=x2−4,x>2|x−3|+a,x⩽2若f(f( 6)=3，则a= ．
15.若sinα+sinβ= 33(csβ−csα)&α、β∈(0,π)，则α−β的值是______．
16.已知∠ACB=90°，M为平面ABC外一点，MC= 3，点M到∠ACB两边AC，BC的距离均为 2，那么M到平面ABC的距离为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足(a−c)sinC=(a+b)(sinA−sinB)．
(1)求角B；
(2)若b=2，△ABC的面积为 3，求△ABC的周长．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x(aex+1)，a∈R．
(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)≥x2在(0,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦EF交CD于点G，其中DG=2，DE=DF．
(1)证明：平面AEF⊥平面ABCD；
(2)判断母线BC上是否存在点P，使得直线PE与平面AEF所成的角的正弦值为45，若存在，求CP的长；若不存在，请说明理由．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin2x+2 3sinxcsx−1．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)图象向右平移π6个单位长度得到g(x)的图象，若g(θ2+π12)=−27，θ∈(0,π2)，求sinθ的值．
21.(本小题12分)
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，2Sn=an2+an，n∈N+．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=(n−1)2nanan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−aln(1+x)，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：对于任意正整数n，都有1+13+15+…+12n−1>12ln(2n+1)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查集合的并集运算，属于基础题．
先求出集合B，然后求并集即可．
【解答】
解：集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}=0,1，
∴A∪B=0,1,2,3．
故选C．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数模的求法，是基础题．
把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．
【解答】
解：由i⋅z=3−4i，得z=3−4ii，
∴|z|=|3−4ii|=|3−4i||i|= 32+(−4)21=5．
故选：B．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了向量垂直的充要条件，向量的坐标运算，属于基础题．
求出向量a+b的坐标，根据向量垂直的充要条件，得到关于m的方程，求解即可．
【解答】解：∵向量a=(1,m)，b=(3,−2)，
∴a+b=(4,m−2)，
又∵(a+b)⊥b，
∴(a+b)·b=12−2(m−2)=0，
解得m=8．
故选D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题借助空间的位置关系，考查了充分条件和必要条件，属于基础题．
由m，n，l在同一平面，则m，n，l两两相交或m，n，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．
【解答】
解：空间中不过同一点的三条直线m，n，l，若m，n，l在同一平面，
则m，n，l两两相交或m，n，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．
故充分性不成立；
若m，n，l两两相交，则m，n，l在同一平面，故必要性成立．
故m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件，
故选：B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的变换规律的应用及正弦函数的图象性质，属于中档题．
由函数图象变换法则得出平移后的函数的解析式，然后利用正弦函数的性质求解即可．
【解答】
解：将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，
得到y=2sin[2(x+π12)]=2sin(2x+π6)的图象，
令2x+π6=kπ+π2(k∈Z)，
得：x=kπ2+π6(k∈Z)，
即平移后的图象的对称轴方程为x=kπ2+π6(k∈Z)．
故选B．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，掌握函数的奇偶性与函数值的特点是关键，属于中档题．
先判断函数的奇偶性，再利用f(π)的符号确定选项．
【解答】
解：y=f(x)=xcsx+sinx，
则f(−x)=−xcsx−sinx=−f(x)，
∴f(x)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C，D，
当x=π时，y=f(π)=πcsπ+sinπ=−π<0，故排除B．
故选：A．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用，属于中档题．
由2x−2y<3−x−3−y，可得2x−3−x<2y−3−y，令f(x)=2x−3−x，则f(x)在R上单调递增，且f(x)【解答】
解：由2x−2y<3−x−3−y，可得2x−3−x<2y−3−y，
令f(x)=2x−3−x，则f(x)在R上单调递增，且f(x)所以x0，
由于y−x+1>1，故ln(y−x+1)>ln1=0，
因为不确定|x−y|与1的大小，故CD错误，
故选：A．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查奇函数和偶函数的定义以及利用基本不等式求最值，难度一般，属于中档题．
首先结合奇函数和偶函数求出f(x)的解析式，再结合基本不等式进行求解即可．
【解答】
解：∵y=f(x)+ex 是偶函数，
∴f(−x)+e−x=f(x)+ex，
进而得到：fx−f(−x)=e−x−ex，①
∵y=f(x)−3ex 是奇函数，
∴f(−x)−3e−x=3ex−f(x)，
进而得到：fx+f(−x)=3e−x+3ex，②，
由①+②得到：f(x)=ex+2e−x=ex+21ex⩾2 2，当且仅当 ex=2ex时取得等号，
故选B．
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查利用不等式的性质判断不等关系，属于中档题．
由不等式的性质，结合作差法比较大小、特殊值法等依次判断即可．
【解答】
解：对于A，若a>b>0，令a=2，b=1，则1a=12，1b=1，1a<1b，故A错误;
对于B，若ac2>bc2，显然c2>0，则a>b，则a−c>b−c，故B正确;
对于C，因为a>b>0，所以a ab= a b>1，所以a> ab，同理可得 ab>b，即a> ab>b，故C正确;对于D，aa−1−bb−1=a(b−1)−b(a−1)(a−1)(b−1)=b−a(a−1)(b−1)，
因为a0，故b−a(a−1)(b−1)>0，即aa−1>bb−1，故D错误．
故选BC．
10.【答案】ABD
【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象，
可得A=2，2sinφ= 3，∴φ=π3或2π3(不符合图象，舍去)．
再根据五点法作图，可得ω×π3+π3=π，∴φ=π3，f(x)=2sin(2x+π3).
由函数的解析式，可得函数的最小正周期为2π2=π，故A正确；
令x=π12，求得f(x)=2，为最大值，可得函数f(x)的图像关于直线x=π12对称，故有f(x+π12)=f(π12−x)，故B正确；
在[π2,π]上，2x+π3∈[4π3,7π3]，函数f(x)不单调，故C错误；
由题意可得，f(x−π6)=2sin(2x−π3+π3)=2sin2x，为奇函数，故D正确．
故选：ABD．
根据题意，由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，由五点法作图求出ω的值，可得函数f(x)的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2,r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解．
【解答】
解：圆心C0,0到直线l的距离d=r2 a2+b2，
若点Aa,b在圆C上，则a2+b2=r2，所以d=r2 a2+b2=|r|，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点Aa,b在圆C内，则a2+b2|r|，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点Aa,b在圆C外，则a2+b2>r2，所以d=r2 a2+b2<|r|，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点Aa,b在直线l上，则a2+b2−r2=0即a2+b2=r2，
所以d=r2 a2+b2=r，直线l与圆C相切，故D正确．
故选ABD．
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．
由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．
【解答】
解：设等差数列{an}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，
由a3，a4，a8成等比数列，得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d)，整理得：3a1d=−5d2，
∵d≠0，∴d=−35a1，
∴a1d=−35a12<0，
dS4=−35a1[4a1+4×32×(−35a1)]=−35a1(4a1−185a1)=−625a12<0．
故选：BD．
13.【答案】y=± 2x
【解析】【分析】
本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．
把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．
【解答】
解：∵双曲线x2−y2b2=1(b>0)经过点(3,4)，
∴32−16b2=1，解得b2=2，即b= 2．
又a=1，∴该双曲线的渐近线方程是y=± 2x．
故答案为：y=± 2x．
14.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查已知分段函数的函数值求参，属基础题．
根据题意列方程求解即可．
【解答】
解：由题意知，f( 6)=( 6)2−4=2，
则f(f( 6))=f(2)=|2−3|+a=3，解得a=2．
故答案为2．
15.【答案】2π3
【解析】解：原式化为：2sinα+β2csα−β2= 33×2sinα+β2sinα−β2
所以tanα−β2= 3，因为α，β∈(0,π)，所以α−β=2π3
故答案为：2π3
利用和差化积公式化简sinα+sinβ= 33(csβ−csα)α、β∈(0,π)，
本题是基础题，考查三角函数的和差化积，三角函数的特殊值求角，注意角的范围．
16.【答案】1
【解析】解：如图，
设M在平面ABC内的射影为O，则OM⊥平面ABC，
由于AC，BC，OC⊂平面ABC，所以OM⊥AC，OM⊥BC，OM⊥OC，
过O作OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E，F，则ME=MF= 2，
由于∠ACB=90°，所以四边形OECF是矩形，
由于OE∩OM=O，OE，OM⊥平面MOE，所以CE⊥平面MOE，
ME⊂平面MOE，所以CE⊥ME；同理可证得CF⊥MF，
所以CE=CF= ( 3)2−( 2)2=1,OC= 12+12= 2，
所以OM= ( 3)2−( 2)2=1，
即M到平面ABC的距离是1．
故答案为：1．
通过线线垂直、线面垂直以及勾股定理等知识求得M到平面ABC的距离．
本题考查了空间位置关系和空间距离的综合运用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为(a−c)sinC=(a+b)(sinA−sin B)，
所以(a−c)c=(a+b)(a−b)，
化简得c2+b2−a2=ac，
所以csB=c2+a2−b22ac=12，
因为B∈(0,π)，
所以B=π3；
(2)∵S△ABC=12acsinB= 3，
∴ac=4，
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，
即a2+c2=8，
则(a+c)2−2ac=8，
从而有(a+c)2=16，
则a+c=4，
故△ABC的周长为b+(a+c)=6．
【解析】(1)由条件利用正弦定理可得a2+c2−b2=ac，求得csB的值，即可求得B的值；
(2)由面积 3，求出ac，再结合余弦定理求出a+c即可求解．
本题考查正余弦定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x(ex+1)，
则f(0)=0，f′(x)=ex+xex+1，
所以切线的斜率k=f′(0)=2，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x．
(2)f(x)≥x2在(0,+∞)上恒成立，
则a≥x−1ex在(0,+∞)上恒成立，
令g(x)=x−1ex(x>0)，则g′(x)=2−xex，
令g′(x)=0，则x=2，当x>2时，g′(x)<0，当00，
所以g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
则g(x)≤g(2)=1e2，所以a≥1e2，
所以a的取值范围为[1e2,+∞)．
【解析】(1)将a=1代入f(x)中，求出切线的斜率f′(0)，再求出切线方程即可；
(2)由f(x)≥x2在(0,+∞)上恒成立，可得a≥x−1ex在(0,+∞)上恒成立，令g(x)=x−1ex(x>0)，判断g(x)的单调性，再求出a的取值范围即可．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属基础题．
19.【答案】解：(1)证明：由题意可知在下底面圆中，CD是直径，
∵DE=DF，∴G为EF的的中点，且EF⊥CD，
∵EF⊥AD，AD∩CD=D，AD，CD⊂平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，
∵EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面ABCD．
(2)设平面PEF交圆柱上底面于PQ，交AB于点H，
则二面角P−EF−A的大小就是二面角H−EF−A的大小，
分别以下底面垂直于DG的直线为x轴，DG所在直线为y轴，DA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

∵DG=2，底面圆半径为3，∴EG=FG=2 2，
则A(0,0,6)，E(2 2,2,0)，F(−2 2,2,0)，
设H(0,m,6)，(0∴AE=(2 2,2,−6)，AF=(−2 2,2,−6)，EH=(−2 2,m−2,6)，FH=(2 2,m−2,6)，
设平面AEF的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，
由m⋅AE=2 2x1+2y1−6z1=0m⋅AF=−2 2x1+2y1−6z1=0，取z1=1，得m=(0,3,1)，
设平面HEF的法向量为n=(x2,y2,z2)，
由m⋅EF=−4 2x2=0m⋅EH=−2 2x2+(m−2)y2+6z2=0，取y2=−6，得n=(0,−6,m−2)，
∴|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=|m−20| 10⋅ 36+(m−2)2=45，
化简，得3m2+8m−80=0，解得m=4或m=−203(舍)，
∴AH=4，BH=2，
∵EF/​/平面PAB，EF⊂平面PEF，平面PAB∩平面PEF=PQ，
∴EF/​/PQ，PQ⊥AB，且H为PQ中点，
PH=2 2，PB= PH2+BH2=2 3，
∴CP= PB2+BC2= 12+36=4 3，
∴母线BC上存在点P，使得直线PE与平面AEF所成的角的正弦值为45，CP的长为4 3．
【解析】(1)将面面垂直转化为EF⊥平面ABCD，根据圆和圆柱的性质可证；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
本题考查面面垂直的判定与性质、线面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)因为f(x)=2sin2x+2 3sinxcsx−1
=1−cs2x+ 3sin2x−1=2(−12cs2x+ 32sin2x)=2sin(2x−π6)，
所以f(x)的最小正周期T=2π2=π．
(2)将函数f(x)图象向右平移π6个单位长度得到g(x)=2sin[2(x−π6)−π6]=2sin(2x−π2)=−2cs2x，
则g(θ2+π12)=−2cs2(θ2+π12)=−2cs(θ+π6)=−27，
所以cs(θ+π6)=17，
因为θ∈(0,π2)，所以θ+π6∈(π6,2π3)，所以sin(θ+π6)=4 37，
所以sinθ=sin[(θ+π6)−π6]=sin(θ+π6)csπ6−cs(θ+π6)sinπ6=4 37× 32−17×12=1114．
【解析】(1)利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
(2)由(1)可得cs(θ+π6)=17，即可求出sin(θ+π6)，再根据sinθ=sin[(θ+π6)−π6]计算可得．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，
2Sn=an2+an，n∈N+，
当n≥2时，2Sn−1=an−12+an−1，
两式相减得2an=an2+an−an−12−an−1，
化简可得(an−an−1−1)(an+an−1)=0，
又an>0，所以an−an−1−1=0，即an−an−1=1，n≥2，
所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以an=n；
(2)由(1)知，bn=(n−1)2nn(n+1)=2n+1n+1−2nn，
所以Tn=b1+b2+⋯+bn
=(222−211)+(233−222)+⋯+(2n+1n+1−2nn)
=2n+1n+1−2，
所以Tn=2n+1n+1−2．
【解析】(1)利用数列的递推式得到数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求解；
(2)利用裂项相消求和即可求解．
本题考查了数列的递推式和裂项相消求和，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(−1,+∞),f′(x)=1−ax+1=x+1−ax+1，
若a≤0，当x∈(−1,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(−1,+∞)上单调递增；
若a>0，当x∈(−1,a−1)时，f′(x)<0；当x∈(a−1,+∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(−1,a−1)上单调递减，在(a−1,+∞)上单调递增．
综上，当a≤0时，f(x)在(−1,+∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(−1,a−1)上单调递减，在(a−1,+∞)上单调递增．
(2)证明：当a=1时，由(1)知，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)>f(0)=0，所以x−ln(1+x)>0，
对于任意正整数n，令x=22n−1，得12n−1>12ln2n+12n−1，
所以1+13+15+⋅⋅⋅+12n−1>12(ln31+ln53+75+⋯+ln2n+12n−1)=12ln(2n+1)．
【解析】(1)对f(x)求导，分a≤0和a>0两种情况，判断f(x)的单调性即可；
(2)当a=1时，根据条件得到x−ln(1+x)>0，令x=22n−1，得12n−1>12ln2n+12n−1，再证明不等式成立即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属难题．