2023-2024学年吉林省白山十六中、吉林五中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省白山十六中、吉林五中九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列事件是随机事件的是( )
A. 长为3cm，5cm，9cm的三条线段能围成一个三角形 B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 平面内两直线相交，对顶角相等 D. 直角三角形的两个锐角互余
3.下列各项中，y是x的反比例函数的是( )
A. y=−x8B. y=2x−1C. y=7xD. y=−5x
4.某农家前年水蜜桃亩产量为800千克，今年的亩产量为1250千克，设从前年到今年的年平均增长率为x，则可列方程( )
A. 800(1+2x)=1250B. 800(1+x2)=1250
C. 800(1+x)=1250D. 800(1+x)2=1250
5.如图，线段AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，∠E=40°，则∠CDB=( )
A. 20° B. 25°
C. 40° D. 50°
6.如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线ACB)的薄壳屋顶.已知它的拱宽AB为4米，拱高CO为0.8米.为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式.图②是以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为( )
A. y=−0.2x2+0.8B. y=−0.2x2−0.8
C. y=0.2x2+0.8 D. y=−0.2x+0.4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.一元二次方程x2+5x+1=0的根的判别式的值是______ ．
8.若反比例函数y=k−9x的图象分布在第一、三象限，则k的取值范围是______ ．
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为 ．
10.在一个不透明的布袋中装有18个红球和若干个白球，除颜色外其他都相同，小华通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5左右，则布袋中白球可能有______ 个.
11.如图，在平面直角坐标系中，直线y1=k1x+1与双曲线y2=k2x交于A(−2,3)、B(m,−2)两点，则关于x的不等式k1x+1>k2x的解集为______ ．
12.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD=8cm，AB=10cm，则AE= ______ ．
13.如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB1C1，∠C=90°，若∠BAC1=18°，∠B=60°，则旋转角∠CAC1= ______ 度.
14.如图①是明清时期女子主要裙式之一的马面裙，图②马面裙可以近似地看作扇环，其中AD的长度为13π米，BC的长度为35π米，圆心角∠AOD=60°，则裙长AB为______ 米.
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
解方程：x2−2x−4=0．
16.(本小题5分)
已知抛物线L：y=(a−5)x2+x+3(a是常数，且a≠5)．
(1)若抛物线L在其对称轴左侧的部分是上升的，求a的取值范围；
(2)若抛物线L有最低点，且与抛物线y=−3x2的形状相同，求a的值．
17.(本小题5分)
如图，点P是反比例函数y=kx(x<0)的图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，连接OP，△AOP的面积为6．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若OA=4，点B是反比例函数y=kx(x<0)上的点，当S△OAB=12时，直接写出点B的坐标．
18.(本小题5分)
有3张卡片，正面分别印有“祖”(用字母A代替)、“国”(用字母B代替)、“强”(用字母C代替)的字样，卡片的形状、大小、质地等都相同，放在一个不透明的盒子中，将卡片洗匀.先从盒子中随机取出一张卡片，记录后不放回，再从剩余的卡片中随机取出一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求取出的两张卡片恰好组成“祖国”的概率．
19.(本小题7分)
若一个角的补角比它的余角的2倍还多70°，则这个角的度数为多少度？
20.(本小题7分)
先化简，再求值：2(x2+4x)−(2x2+5x−4)，其中x=−8．
21.(本小题7分)
如图，抛物线y=a(x−4)2+8与x轴交于点A、B，C是抛物线的顶点，▱ABCD的顶点D在y轴上．
(1)求a的值；
(2)若抛物线沿其对称轴向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．
22.(本小题7分)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，作OF⊥AB交AC于点F，点E在AB的延长线上，EM经过点C，且∠ACE+∠AFO=180°．
(1)求证：EM是⊙O的切线；
(2)若∠A=∠E，⊙O的半径为1，求阴影部分的面积．
23.(本小题8分)
如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA=3，反比例函数y=4x在第一象限的图象经过点C，交AB于点D，点B坐标为(5,n)．
(1)求n的值和点C的坐标；
(2)若D是AB的中点，求OD的长．
24.(本小题8分)
【知识探究】如图①，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一点，以点E为直角顶点的Rt△EFG的两边EF、EG分别与AD、AB相交于点M、N.当EF⊥AD时，请直接写出EM与EN的数量关系______ (不需证明)；
【拓展探究】当Rt△EFG绕点E顺时针旋转到点M与点D重合时，如图②，请探究EM与EN的数量关系，并说明理由；
【迁移运用】在图②的基础上，过点E作EH⊥AB于点H，如图③，求证：H是线段BN的中点．

25.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，CD是△ABC的中线，动点P从点C出发，沿CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时，动点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点Q作QE⊥BC于点E，连接PE，设四边形APEQ与△ADC重叠部分图形的面积为S(S>0)，点P的运动时间为t秒(0(1)DQ的长为______ (用含t的代数式表示)；
(2)四边形APEQ的形状是______ (不需证明)；
(3)求S与t之间的函数关系式；
(4)当S的值为3 3时，直接写出t的值．
26.(本小题10分)
抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于点A(−2,0)和B(4,0)，与y轴交于点C，连接BC.点P是线段BC下方抛物线上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标；
(3)过点C作CH⊥PN于点H，S△BMN=9S△CHM，
①求点P的坐标；
②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
解：A.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义即可判断．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关概念是解题关键．
2.【答案】B
解：A.长为3cm，5cm，9cm的三条线段能围成一个三角形，它是不可能事件，所以A选项不符合题意；
B.射击运动员射击一次，命中靶心，它是随机事件，所以B选项符合题意；
C.平面内两直线相交，对顶角相等，它是必然事件，所以C选项符合题意；
D.直角三角形的两个锐角互余，它是必然事件，所以D选项符合题意．
故选：B．
根据确定事件和随机事件的定义分别对各选项进行判断．
本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．也考查了对顶角、邻补角和直角三角形的性质．
3.【答案】C
解：A、y=−x8是正比例函数，故此选项不符合题意；
B、y=2x−1不是反比例函数，故此选项不符合题意；
C、y=7x，是反比例函数，故此选项符合题意；
D、y=−5x是正比例函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据反比例函数的定义解答即可．
本题考查的是反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的定义．
4.【答案】D
解：去年水蜜桃的亩产量为800×(1+x)，今年水蜜桃的亩产量在去年水蜜桃的亩产量的基础上增加x，
为800×(1+x)×(1+x)，
则列出的方程是800(1+x)2=1250，
故选：D．
可先表示出去年水蜜桃的亩产量，那么去年水蜜桃的亩产量×(1+增长率)=1250，把相应数值代入即可求解．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
5.【答案】B
解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∵∠E=40°，
∴∠COE=90°−40°=50°，
∴∠CDB=12∠COE=25°．
故选：B．
连接OC，根据切线的性质可知∠OCE=90°，再由直角三角形的性质得出∠COE的度数，由圆周角定理即可得出结论．
本题考查的是切线的性质，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键．
6.【答案】A
解：设图②中的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
将A(−2,0)，B(2,0)，C(0,0.8)代入y=ax2+bx+c得：4a−2b+c=04a+2b+c=0c=0.8，
解得：a=−0.2b=0c=0.8，
∴图②中的抛物线的解析式为y=−0.2x2+0.8．
故选：A．
设图②中的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法，即可求出图②中的抛物线的解析式．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据图中点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键．
7.【答案】21
解：∵a=1，b=5，c=1，
∴Δ=b2−4ac=25−4=21．
所以一元二次方程x2+3x+1=0根的判别式的值为21．
故答案为：21．
根据一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac即可求出值．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．
8.【答案】k>9
解：∵反比例函数y=k−9x的图象分布在第一、三象限，
∴k−9>0，
解得k>9．
故答案为：k>9．
让反比例函数的比例系数大于0列式求值即可．
考查反比例函数的性质；用到的知识点为：反比例函数的图象在一、三象限，比例系数大于0．
9.【答案】x=1或x=3
【解析】【分析】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与x轴的两个交点坐标．
根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，由此求得关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根．
【解答】
解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的解为x=1或x=3．
故答案为：x=1或x=3．
10.【答案】18
解：根据题意，袋中球的总个数约为18÷0.5=36(个)，
所以袋中白球的个数可能为36−18=18(个)，
故答案为：18．
用红球的个数除以球的总个数得出袋中球的总个数，继而可得答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
11.【答案】0解：∵A(−2,3)在双曲线y2=k2x图象上，
∴k2=−6，
反比例函数解析式为：y2=−6x，
∵B(m,−2)在双曲线y2=k2x图象上，
∴m=3，B(3,−2)．
由图象可知：
不等式的解集为：−2>x或0故答案为：−2>x或0根据A点坐标得到反比例函数解析式，再由解析式得到点B的坐标，由A、B两点坐标和图象位置可写出不等式的解集．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
12.【答案】2cm
解：由题意可知，AB垂直平分CD，OC=OA=12AB=5cm，
∴CE=12CD=4cm，
在Rt△CEO中，OE= OC2−CE2= 52−42=3(cm)，
∴AE=OA−OE=2cm．
故答案为：2cm．
结合题意，由垂径定理可得AB垂直平分CD，然后在Rt△CEO中运用勾股定理求得OE即可求解．
本题考查了垂径定理及勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．
13.【答案】48
解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠CAB=30°，
∵∠BAC1=18°，
∴∠CAC1=∠BAC1+∠CAB=18°+30°=48°．
故答案为：48．
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，则∠CAB=30°，则旋转角∠CAC1=∠BAC1+∠CAB，代入已知计算即可．
本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
14.【答案】0.8
解：∵∠AOD=60°，
∴AD的长=60π×OA180=13π，BC的长=60π×OB180=35π，
∴OA=1米，OB=1.8米，
∴裙长AB=OB−OA=0.8(米)．
故答案为：0.8．
由弧长公式求出OA，OB的长，即可得到AB的长．
本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
15.【答案】解：由原方程移项，得
x2−2x=4，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2−2x+1=5，
配方，得
(x−1)2=5，
∴x=1± 5，
∴x1=1+ 5，x2=1− 5．
【解析】在本题中，把常数项−4移项后，在左右两边同时加上一次项系数−2的一半的平方，即可计算得到答案．
本题考查了一元二次方程的解法--配方法．
16.【答案】解：(1)∵抛物线L在其对称轴左侧的部分是上升的，
∴a−5<0，
解得a<5，
∴a的取值范围为a<5；
(2)∵抛物线L有最低点，
∴a−5>0，
又∵抛物线L与抛物线y=−3x2的形状相同，
∴a−5=3，
解得a=8．
【解析】(1)根据抛物线L在其对称轴左侧的部分是上升的，得出a−5<0，解不等式即可；
(2)根据抛物线L有最低点说明抛物线开口向上，再根据抛物线y=−3x2的形状相同得出a的值．
本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数的性质．
17.【答案】解：(1)由于P为反比例函数y=kx的图象上一点，
∴S△AOP=12|k|=6，
又∵函数位于第二象限，
∴k=−12，
∴反比例函数的解析式为y=−12x；
(2)设点B(a,−12a)，
∵OA=4，S△OAB=12，
∴12×4×|−12a|=12，
∴a=±2，
∵点B在第二象限，
∴点B(−2,6)．
【解析】(1)由反比例函数的性质可求解；
(2)由三角形的面积公式可求解．
本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
18.【答案】解：画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中取出的两张卡片恰好组成“祖国”的结果有：AB，BA，共有2种，
∴取出的两张卡片恰好组成“祖国”的概率为26=13．
【解析】画树状图得出所有等可能的结果数以及取出的两张卡片恰好组成“祖国”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19.【答案】解：设这个角的度数是x°，则它的补角为：180°−x°，余角为90°−x°，
由题意，得：(180−x)−2(90−x)=70．
解得：x=70．
答：这个角的度数为70°．
【解析】设出所求的角为x°，则它的补角为180°−x°，余角为90°−x°，根据题意列出方程，再解方程即可求解．
本题考查了余角和补角的定义；根据角之间的互余和互补关系列出方程是解决问题的关键．
20.【答案】解：原式=2x2+8x−2x2−5x+4
=3x+4；
当x=−8时，
原式3×(−8)+4=−24+4=−20．
【解析】将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可．
本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵抛物线y=a(x−4)2+8，
∴顶点C的坐标为(4,8)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD/​/AB，CD=AB=4，
设A，B的横坐标分别为x1，x2，则|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2=4，
解得a=−2，
(2)∵y=−2(x−4)2+8，
∵y=−2x2+16x−24=−2(x−4)2+8，
∴设平移后抛物线的解析式为y=−2(x−4)2+8+k，
把(0,8)代入得8=−32+8+k，解得k=32，
∴平移后抛物线的解析式为y=−2(x−4)2+40，
即y=−2x2+16x+8．
【解析】(1)易求抛物线的顶点坐标(4,8)，在平行四边形ABCD中，根据平行四边形的性质，CD/​/AB，CD=AB=4，即可求出a的值；
(2)先根据题(1)求出抛物线的解析式，再根据抛物线的平移特点，可设平移后抛物线的解析式为y=−2(x−4)2+8+k，平移后抛物线经过D点，将D(0,8)代入解析式，求出即可．
此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，坐标与图形性质，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)证明：连接OC，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF=90°，
∴∠A+∠AFO=90°，
∵∠ACE+∠AFO=180°，∠ACE+∠ACM=180°，
∴∠AFO=∠ACM，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACO+∠ACM=90°，
∴∠OCM=90°，
∴OC⊥ME，
∴EM是⊙O的切线；
(2)∵∠EOC=2∠A=2∠E，
又∠EOC+∠E=∠OCM=90°，
∴2∠E+∠E=90°，
∴∠E=30°，
∴∠EOC=60°，
∴CE=OCtan60°= 3，
∴S阴影部分=S△OCE−S扇形BOC=12× 3×1−60π×12360=3 3−π6．
【解析】(1)连接OC，根据垂直的定义得到∠AOF=90°，根据三角形的内角和得到∠ACE=90°+∠A，根据等腰三角形的性质得到∠OCM=90°，得到OC⊥CE，于是得到结论；
(2)推出∠EOC=60°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积计算，连接OC是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC=OA=3，
∵点B坐标为(5,n)，
∴C(2,n)，
∵反比例函数y=4x在第一象限的图象经过点C，
∴n=42=2，
∴C(2,2)；
(2)∵n=2，
∴B(5,2)，
∵OA=3，
∴A(3,0)，
∵D是AB的中点，
∴D(4,1)，
∴OD= 42+12= 17．
【解析】(1)根据平行四边形的性质BC=OA=3，即可得到C(2,n)，代入y=4x即可求得n的值，从而求得C的坐标；
(2)根据A、B的坐标求得D的坐标，然后根据勾股定理求解求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，求得点的坐标是解题的关键．
24.【答案】EM=EN
【解析】【知识探究】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∵EF⊥AD，
∴∠AME=90°，
∵∠FEN=90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∴∠ANE=90°，
∴EN⊥AB，
∴EM=EN，
故答案为：EM=EN；
【拓展探究】解：EM=EN，
理由：如图②，过点E作EP⊥AD，垂足为P，过点E作EQ⊥AB，垂足为Q，
∴∠APE=∠DPE=∠AQE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∴四边形AQEP是矩形，
∴∠QEP=90°，
∵∠QEP=∠GEF=90°，
∴∠QEP−∠NEP=∠GEF−∠NEP，
∴∠NEQ=∠DEP，
∵AC平分∠BAD，EP⊥AD，EQ⊥AB，
∴EQ=EP，
∴△NEQ≌△DEP(ASA)，
∴EM=EN；
【迁移运用】证明：如图③，连接EB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，AC平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE，
∵NE=DE，
∴BE=NE，
∵EH⊥AB，
∴H是线段BN的中点．
【知识探究】：根据正方形的性质可得∠BAD=90°，AC平分∠BAD，再根据垂直定义可得∠AME=90°，从而可得四边形ANEM是矩形，然后利用矩形的性质可得∠ANE=90°，从而利用角平分线的性质即可解答．
【拓展探究】：过点E作EP⊥AD，垂足为P，过点E作EQ⊥AB，垂足为Q，根据垂直定义可得∠APE=∠AQE=90°，再根据正方形的性质可得∠BAD=90°，AC平分∠BAD，从而可得四边形AQEP是矩形，进而可得∠QEP=∠GEF=90°，然后利用等式的性质可得∠NEQ=∠DEP，再利用角平分线的性质可得EQ=EP，从而利用AAS可证△NEQ≌△DEP，最后利用全等三角形的性质即可解答；
【迁移运用】：连接EB，根据正方形的性质可得AB=AD，AC平分∠BAD，从而可得∠BAE=∠DAE，然后利用SAS可证△ABE≌△ADE，从而可得BE=DE，进而可得BE=NE，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答．
本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】(4−2t)或(2t−4) 平行四边形
解：(1)∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，
∴AB=2AC=8，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=CD=12AB=4，
当点Q在AD上时，QD=4−2t，
当点Q在BD上时，DQ=2t−4，
故答案为：(4−2t)或(2t−4)；
(2)当0作DM⊥AC于M，则AM=12AC，DM= 32AC，
∴S△ACD= 34×42=4 3，
由题意知，AP=4−t，BQ=8−2t，
∴QE=4−t，
∴AP=QE，
∵AP//QE，
∴四边形APEQ是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
(3)∵四边形APEQ是平行四边形，
∴PE/​/AB，
∴∠CPE=∠A=60°，
∴△CPG、△QHD是等边三角形，
∴S△CPG= 34CP2= 34t2，S△QHD= 34(4−2t)2，
∴S=4 3− 34t2− 34(4−2t)2，
∴当点Q在BD上时，即2≤t<4时，如图，
同理可知，S=S△ACD−S△PCG=4 3− 34t2，
综上，S=−5 34t2+4 3t(0(4)把S=3 3代入解析式S=−5 34t2+4 3t(0解得t=2或t=65，
所以t的值为2或65．
(1)首先可得AB=2AC=8，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AD=CD=12AB=4，当点Q在AD上时，QD=5−2t；当点Q在BD上时，DQ=2t−5；
(2)当0(3)由(1)知四边形APEQ是平行四边形，得PE/​/AB，所以∠CPE=∠A=60°，从而得出△CPG、△QHD是等边三角形，当点Q在BD上时，即2≤t<4时，S=S△ACD−S△PCG，从而得出答案；
(4)把S的值3 3代入(3)的解析式中即可解答．
本题是动点问题，主要考查了含30°角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质等知识，发现AP=QE是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于点A(−2,0)和B(4,0)，
∴4a−2b−4=016a+4b−4=0，
解得：a=12b=−1，
∴该抛物线的解析式为y=12x2−x−4；
(2)在y=12x2−x−4中，令x=0，得y=−4，
∴C(0,−4)，
设直线BC的解析式为y=kx+c，则4k+c=0c=−4，
解得：k=1c=−4，
∴直线BC的解析式为y=x−4，
设P(t,12t2−t−4)，则M(t,t−4)，
∴PM=t−4−(12t2−t−4)=−12t2+2t，
∵PM=−12t2+2t=−12(t−2)2+2，−12<0，
∴当t=2时，PM取得最大值2，此时点M的坐标为(2,−2)；
(3)①如图1，∵P(t,12t2−t−4)，M(t,t−4)，N(t,0)，B(4,0)，C(0,−4)，CH⊥PN，
∴BN=4−t，MN=4−t，CH=t，MH=t−4−(−4)=t，
∵S△BMN=9S△CHM，
∴12×(4−t)2=9×12t2，
解得：t1=1，t2=−2，
∵点P是线段BC下方抛物线上的一个动点，
∴0∴t=1，
∴P(1,−92)；
②存在点Q使得△CPQ为直角三角形，设Q(0,m)，
∵C(0,−4)，P(1,−92)，
∴CP2=(1−0)2+(−92+4)2=54，CQ2=(−4−m)2，PQ2=12+(−92−m)2，
当∠CQP=90°时，如图2，PQ⊥y轴，
∴Q(0,−92)；

当∠CPQ=90°时，如图3，

在Rt△CPQ中，CP2+PQ2=CQ2，
∴54+12+(−92−m)2=(−4−m)2，
解得：m=−132，
∴Q(0,−132)；
综上所述，点Q的坐标为(0,−92)或(0,−132).
【解析】(1)利用待定系数法即可求得答案；
(2)运用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x−4，设P(t,12t2−t−4)，则M(t,t−4)，可得PM=−12t2+2t=−12(t−2)2+2，运用二次函数最值即可求得答案；
(3)①根据题意建立方程求解即可得出答案；
②设Q(0,m)，∵∠PCQ<90°，∴分两种情况：当∠CQP=90°时，当∠CPQ=90°时，分别求得点Q的坐标即可．
本题是二次函数综合题，重点考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形面积，直角三角形的性质，勾股定理，应用二次函数的最值等，此题综合性较强，属于考试压轴题．