2024届江苏省南通市新高考适应性测试数学模拟试题

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答案和解析
【答案】
1. B 2. A 3. D 4. D 5. D 6. B 7. B
8. A
9. BC 10. BD 11. ACD
12. 18
13. ；
14. 7
15. 解：函数定义域为，
因为是函数的极值点，所以，解得或，
因为，所以
此时
得函数单调递增，得函数单调递减，
所以是函数的极大值.
所以
若，，
则函数的单调增区间为
若，，
因为，，则，
由，结合函数的定义域，可得
由，可得
函数的单调增区间为单调减区间为
综上可知：当时，函数在上单调递增，无递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
16. 解：前4局A都不下场说明前4局A都获胜，
故前4局A都不下场的概率为
的所有可能取值为0，1，2，3，4，
其中，表示第1局B输，第4局是B上场，且B输，则；
表示第1局B输，第4局是B上场，且B赢；或第1局B赢，且第2局B输，
则；
表示第1局B赢，且第2局B赢，第3局B输，
则；
表示第1局B赢，且第2局B赢，第3局B赢，第4局B输，
则；
表示第1局B赢，且第2局B赢，第3局B赢，第4局B赢，
则
所以X的分布列为
故X的数学期望为
17. 解：证明：因为四边形ABCD为菱形，
所以，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面PBD，
因为平面PBD，故
设，则O为AC、BD的中点，
又因为，
所以，
又因为平面PBD，平面PBD，
所以，
因为，AC、平面ABCD，
所以平面ABCD，
所以为PA与平面ABCD所成角，故，
由于四边形ABCD为边长为，的菱形，
所以，，
以点O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系：
则，，，，，
由，
得，且，
设平面BEC的法向量为，
则，
取，则，，
所以，
又平面BCD的一个法向量为，
所以，
所以平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值为
18. 解：Ⅰ离心率为，，，
，，则，
椭圆C的方程的方程为：
Ⅱ由Ⅰ得，，
直线，的方程分别为：，，
由得，
，可得，
由，可得，
，可得，，
，
直线MN的方程为：，
，
可得直线MN过定点，故设MN的方程为：，
由得，
设，，则，，
，
的面积，
令，则，
，且函数在递增，
当，s取得最小值
19. 解： 是 数表，
由题可知 .
当 时，有 ，
所以 .
当 时，有 ，
所以 .
所以
所以
或者 ，
或者 ，
或 ， 或 ，
故各数之和 ，
当 时，各数之和取得最小值 22 .
由于 数表 中共 100 个数字，
必然存在 ，使得数表中 k 的个数满足
设第 i 行中 k 的个数为
当 时，将横向相邻两个 k 用从左向右的有向线段连接，
则该行有 条有向线段，
所以横向有向线段的起点总数
设第 j 列中 k 的个数为 .
当 时，将纵向相邻两个 k 用从上到下的有向线段连接，
则该列有 条有向线段，
所以纵向有向线段的起点总数
所以 ，
因为 ，所以 .
所以必存在某个 k 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，
即存在
使得 ，
所以 ，
则命题得证.

【解析】
1. 【分析】
本题考查求百分位数，属于基础题.
根据百分位数的定义即可得到答案.
【解答】
解：因为，根据百分位数的定义可知，该数学成绩的第15百 分位数为第2个数据
故选：
2. 【分析】
本题考查双曲线的性质和离心率的知识点，属于基础题.
由题易知，根据公式求出离心率的值.
【解答】
解：由题可知双曲线的渐近线方程为，所以，
所以
故答案为
3. 【分析】
本题考查等差数列，属于基础题.
利用即可求解.
【解答】
解：因为，
所以
故答案选：
4. 【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，属基础题．
根据相关定理或性质逐一判定即可得出结论.
【解答】
解：对于A，由面面平行的定义可得n与没有公共点，即，故A正确；
对于B，如果，，那么在内一定存在直线，又，则，故B正确；
对于C，如果，，那么根据线面平行的性质可得 ，故C正确;
对于D，如果，，则或，又，那么与可能相交，也可能平行，故D错误.
故选
5. 【分析】
本题考查排列、组合的综合应用，属于中档题.
由6人平均分3个不同组，共!种，排除甲在歌曲演唱小组，乙在歌曲诗歌创作小组的可能结果即可.
【解答】
解：6人平均分3个不同组，共!种，
甲在歌曲演唱小组，此时有!种，
乙在歌曲诗歌创作小组，此时有!种，
甲在歌曲演唱小组且乙在歌曲诗歌创作有种，
故共有种，
故选：
6. 【分析】
本题考查两直线平行的判定及其应用，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
根据两直线的位置关系、充分和必要条件的定义进行判断.
【解答】
解：当 时， ，解得 或 ，
经检验可知 或 都符合.
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：B
7. 【分析】
本题考查两角和的余弦公式、诱导公式的应用，考查三角函数的化简求值，属于基础题.
根据两角和的余弦公式和诱导公式化简求值即可.
【解答】
解：由，
可得，即，
得，
因为，，
所以，
，
故选
8. 【分析】
本题考查双曲线中的面积问题，属于较难题.
由题意画出图，由已知求出c的值，找出的坐标，由的内切圆圆心分别为，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出的底和高，利用三角形的面积公式计算即可.
【解答】
解：由题意如图所示：
由双曲线，知，
所以，
所以，，
所以过作垂直于x轴的直线为，
代入C中，解出，
由题知的内切圆的半径相等，
且，的内切圆圆心的连线垂直于x轴于点P，
设为r，在中，由等面积法得：
，
由双曲线的定义可知：，
由，所以，
所以，
解得：，
因为为的的角平分线，
所以一定在上，即x轴上，令圆半径为R，
在中，由等面积法得：
，
又，
所以，
所以，
所以，
，
所以
故选
9. 【分析】
本题考查了三角函数的性质，属于基础题.
直接利用相应性质的判断方法判断即可.
【解答】
解：函数定义域为R关于原点对称，
又，
是偶函数，故A正确；
当时，
易判断时，函数有3个零点，故C不正确；
当时，函数单调递减，故B不正确；
显然，，存在使得，，故的最大值为2，故D正确.
10. 【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于一般题．
由复数的模及复数的基本概念判断B与D；举例判断A与
【解答】
解：取，，满足，但，，故A错误；
利用模的运算性质可知B正确；
取，则，但，故C错误；
设，
，
，
即，故D正确．
故选：
11. 【分析】
本题考查抽象函数的奇偶性、对称性及周期性，属于难题.
令可判断A；若为偶函数，令，可得，与已知矛盾，从而可判断B；取，得到，结合为偶函数可判断C；由C可得的周期为6，对称轴为，从而可得，根据周期性可判断
【解答】解：令，可得，解得，故A正确；
若为偶函数，令，，可得，即，
则，解得，与矛盾，故不是偶函数，故B错误；
取，可得，化得，
则或，
易知若，则，可得恒成立，即为奇函数.
因为为偶函数，所以，
即，即
因为，所以，故C正确；
因为，所以，所以的周期为
因为，所以的对称轴为，
因为，所以，，，，，
所以
又，
所以，故D正确.
故选
12. 【分析】
本题考查集合的新定义问题，属于基础题.
根据的定义即可求出集合中的元素，从而得出各元素之和．
【解答】
解：当；
当；
当；
当，
集合，
集合所有元素的和为
故答案为：
13. 【分析】
本题考查双曲线的简单性质，以及几何体体积的计算，属于中档题.
过y轴任意一点作直线，交双曲线渐近线、双曲线于、，计算内部圆形绿色部分和环带面积橙色部分，利用祖暅原理即可求解.
【解答】
解：
如图所示，，
双曲线的一条渐近线方程为，设，，
当绕y轴旋转一周时，内部圆形面积绿色部分为，
所以线段BC旋转一周所得的图形的面积是，
外部橙色环带面积为，
此部分对应的体积等价于底面积为，高为的圆柱，
所以几何体的体积为橙色部分圆锥部分
故答案为 ；
14. 【分析】
本题考查集合的新定义，为难题.
【解答】
解：7阶中元素个数为7个，设为，则7阶的三元子集的集合个数为，
若要使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，
不妨先挑选，则三元子集中不能包含：，共12个剔除；
再从剩余三元子集中挑选，则剩余三元子集中不能包含：
，共8个剔除；
接着再在剩余三元子集中挑选，则此时剩余三元子集中不能包含：，共4个剔除;
接着再在剩余三元子集中挑选，则此时剩余三元子集中不能包含：
共3个剔除，
接着再在剩余三元子集中挑选，则此时剩余三元子集中不能包含：
，共1个剔除；
综上一共剔除28个，此时剩余，均符合题意.
则集合A中元素的个数为
15. 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，正确求导，合理分类是关键．
确定函数的定义域，求导函数，利用是函数的极值点，即可求a的值；
分类讨论，利用导数的正负，结合函数的定义域，可得函数的单调区间．
16. 本题考查相互独立事件的概率，以及离散型变量的分布列与均值，属于中档题.
根据相互独立事件的概率公式即可求解；
列出X的所有可能取值，根据相互独立事件的概率公式分布求解对应的概率从而可得分布列，再利用期望公式求解即可.
17. 利用面面垂直的性质定理可得出平面PBD，再利用线面垂直的性质可证得
设，推导出平面ABCD，可得出为PA与平面ABCD所成角，然后以点O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
18. 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，方程思想，转化思想，考查了运算能力，属于难题.
Ⅰ由离心率为，，列式计算a，b，即可得椭圆C的方程的方程.
Ⅱ直线，的方程分别为：，，由得，可得，，同理可得，，直线MN的方程为：，，可得直线MN过定点，故设MN的方程为：，
由得，，即的面积利用函数单调性即可求出面积最大值．
19. 本题考查数阵新定义问题，属于综合题.
根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可；
根据条件讨论 的值，根据 ，得到相关的值，
进行最小值求和即可；
当 时，将横向相邻两个 k 用从左向右的有向线段连接，则该行有 条有向线段，得到横向有向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明.
X
0
1
2
3
4
P