2023-2024学年广东省佛山市三水中学高一（上）第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省佛山市三水中学高一（上）第二次月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.与−67°角终边相同的角是( )
A. 23°B. 113°C. 203°D. 293°
2.已知集合A={x|19≤3x<9}，集合B={x|x(x−3)<0}，则A∩B=( )
A. (0,2)B. [−2,3)C. [0,2)D. [−2,0)
3.命题“∀x>0，x2+x+1≥0”的否定是( )
A. ∃x≤0，x2+x+1<0B. ∃x>0，x2+x+1<0
C. ∃x≤0，x2+x+1≥0D. ∀x>0，x2+x+1<0
4.若存在非零的实数a，使得f(x)=f(a−x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是( )
A. f(x)=2x+1B. f(x)=ln(x−1)
C. f(x)=2xD. f(x)=x2−2x−1
5.函数f(x)=lnxex+e−x的大致图像是．( )
A. B.
C. D.
6.对于定义在R上的函数f(x)，如果存在实数x0使f(x0)=x0，那么x0叫做函数f(x)的一个不动点.若函数f(x)=2x,x<0e−x+m,x≥0存在两个不动点，则实数m的取值范围是( )
A. [−1,0]B. [−1,+∞)
C. [−1,1]D. (−∞,0)∪(1,+∞)
7.已知a=lg23，b=ln3，c= 3，则a，b，c的大小关系为( )
A. a8.已知函数f(x)=|2x−m|的图象与函数g(x)的图象关于y轴对称，若函数f(x)与函数g(x)在区间[1,2]上同时单调递增或单调递减，则实数m的取值范围是( )
A. [12,2]B. [2,4]
C. (−∞,12]∪[4,+∞)D. [4,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某同学求函数f(x)=lnx+2x−6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则方程lnx+2x−6=0的近似解(精确度0.1)可取为( )
A. 2.52B. 2.56C. 2.66D. 2.75
10.已知a>b>0，则下列命题正确的有
( )
A. 1a<1bB. ac2>bc2C. 2a>2bD. lna11.已知函数f(x)=lnx+ln(2e−x)，则下列结论正确的是( )
A. f(x)≤2B. f(x)在(0,2e)上单调递增
C. f(x)的图象关于直线x=e对称D. f(x)的图象关于点(e,1)对称
12.下列说法正确的是( )
A. 若x∈R，则函数y= x2+4+1 x2+4的最小值为2
B. 2x−2y=2y−2x−1是xC. 当x∈R时，不等式kx2−kx+1>0恒成立，则k的取值范围是(0,4)
D. 函数y=f(x)与g(x)=(12)x的图象关于直线y=x对称，则y=f(x)单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)= 1−2x的定义域是______．
14.如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB=120°，AC=2OC=4，则扇面(曲边四边形ABDC)的面积是______．
15.已知函数f(x)=ax,x<0(a−2)x+3a,x≥0满足对任意的x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，则a的取值范围是______．
16.已知f(x)=x2−2x−1，g(x)=lgax(a>0且a≠1)，若对任意的x1∈[−1,2]，都存在x2∈[2,4]，使得f(x1)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|0≤lg2x≤3}，B={x|0(1)求A∪B：
(2)若集合C={x|a≤x≤a+9}，且A⊆C，求实数a的取值范围
18.(本小题12分)
求值：
(1)(614)12−(−0.9)0−(338)−23+1.5−2+[(−32)4]34；
(2)已知10a=2，10b=3，试用a，b表示lg536．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=−2x+1,x≤0|lg2x|,x>0．
(1)在给定的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象，并写出它的单调递减区间；
(2)若f(x0)=2，求实数x0．
20.(本小题12分)
设a∈R，函数f(x)=2x−a2x+a．
(1)若a=1，求证：函数y=f(x)是奇函数；
(2)若a>0，请判断函数y=f(x)的单调性，并用定义证明．
21.(本小题12分)
中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据：
设茶水温度从85℃开始，经过tmin后温度为y℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现有以下两种函数模型供选择：
①y=kat+b；②y=at2+bt+c．
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；
(2)若茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感，根据(1)中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)
22.(本小题12分)
已知fx=ln1−x−ln1+x．
(1)指出函数fx的定义域，并求f−13，f−12，f12，f13的值；
(2)观察(1)中的函数值，请你猜想函数fx的一个性质，并证明你的猜想；
(3)解不等式：f1+x+ln3>0．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：与−67°终边相同的角一定可以写成−67°+360°⋅k的形式，其中k∈Z，
令k=1可得，−67°与293°终边相同，其它选项均不合题意．
故选：D．
写出与−67°终边相同的角的形式，检验各个选项中的角是否满足此条件．
本题考查了终边相同的角的定义和所满足的表达式，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由19≤3x<9，即3−2≤3x<32，解得−2≤x<2，
所以A={x|19≤3x<9}={x|−2≤x<2}，
由x(x−3)<0，解得0所以A∩B={x|0故选：A．
首先解指数不等式与一元二次不等式求出集合A、B，再根据交集的定义计算可得．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：命题“∀x>0，x2+x+1≥0”的否定是∃x>0，x2+x+1<0．
故选：B．
根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：若存在非零的实数a，使得f(x)=f(a−x)对定义域上任意的x恒成立，
则f(x)关于x=a2对称，
对于A，函数f(x)=2x+1在定义域R上单调递增，显然不存在对称轴，故A错误；
对于B，函数f(x)=ln(x−1)的定义域为(1,+∞)，且在定义域上单调递增，也不存在对称轴，故B错误；
对于C，函数f(x)=2x在定义域R上单调递增，显然不存在对称轴，故C错误；
对于D，f(x)=x2−2x−1=(x−1)2−2对称轴为x=1，
所以存在a=2，使得f(x)=f(2−x)对定义域上任意的x恒成立，故D正确．
故选：D．
依题意可知f(x)关于x=a2对称，再结合各选项函数解析式一一判断即可．
本题考查函数的对称性的判断方法，以及一次函数、指数函数、对数函数和二次函数的性质，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数图象的判断，考查数形结合思想，运用排除法是解题的关键，属于基础题．
首先判断f(x)的奇偶性，得到图象的特点，再求f(x)的零点，讨论x→+∞时，f(x)的变化，可得结论．
【解答】
解：f(x)=ln|x|ex+e−x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，
则f(−x)=ln|−x|e−x+ex=ln|x|ex+e−x=f(x)，可得f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B；
由f(x)=0，可得x=±1，排除C；
当x→+∞时，f(x)→0，排除A．
故选：D．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了新定义问题，涉及了分段函数的应用、方程的根的应用，属于中档题．
当x<0时，f(x)=x，解得f(x)有一个不动点，从而可得当x≥0时，f(x)必存在一个不动点，即存在x0≥0，使得e−x0−x0+m=0，构造函数，利用导数研究函数的最值即可得．
【解答】
解：函数f(x)=2x,x<0e−x+m,x≥0，
当x<0时，f(x)=2x，
令f(x)=2x=x，解得x=− 2，
故x=− 2是函数f(x)的一个不动点，
又因为f(x)存在两个不动点，
所以当x≥0时，f(x)必存在一个不动点，
当x≥0时，f(x)=e−x+m，
故存在x0≥0，使得f(x0)=x0，
即存在x0≥0，使得e−x0−x0+m=0，
令g(x)=e−x−x+m，
则g′(x)=−e−x−1<0恒成立，
故函数g(x)在[0,+∞)上单调递减，
则g(0)=e0+m≥0，解得m≥−1，
故实数m的取值范围是[−1,+∞)．
故选：B．
7.【答案】B
【解析】解：∵1>lg3e>lg32>lg3 3=12，
∴1<1lg3e<1lg32<2，
∴1在同一平面直角坐标系中画出函数y=x2与y=2x的图象，如图，
由图可知当0∴lg2( 3)2∴b故选：B．
根据对数的运算法则、对数函数的性质判断a，b，再根据幂函数与指数函数的性质判断a，c．
本题考查对数的运算法则、对数函数的性质、幂函数与指数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=|2x−m|的图象与函数g(x)的图象关于y轴对称，
∴g(x)=f(−x)=|2−x−m|，
若m=2时，f(x)=|2x−2|，当x>1时，f(x)=2x−2，函数f(x)单调递增，
g(x)=|2−x−2|，当2−x−2<0时，即x>−1时，g(x)=−2−x+2，函数g(x)单调递增，
故当m=2时，满足函数f(x)与函数g(x)在区间[1,2]上同时单调递增，故排除C，D，
其图象为
若m=1时，f(x)=|2x−1|，当2x−1>0时，即x>0时，f(x)=2x−1，函数f(x)单调递增，
g(x)=|2−x−1|，当2−x−1<0时，即x>0时，g(x)=−2−x−1，函数g(x)单调递增，
故当m=1时，满足函数f(x)与函数g(x)在区间[1,2]上同时单调递增，故排除B，
其图象为
故选：A．
由题意可得g(x)=f(−x)=|2−x−m|，利用特殊值，分别令m=2，或m=1，根据函数的单调性即可判断．
本题考查了函数的识别，以及函数的奇偶性，考查了函数的单调性，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：方程lnx+2x−6=0的近似解⇔函数f(x)=lnx+2x−6的零点，
由表可知f(2.5)≈−0.084<0，f(2.5625)≈0.066>0，
∴根据零点存在定理可知函数f(x)零点及方程lnx+2x−6=0的近似解所在区间为(2.5,2.5625)，
故选：AB．
方程lnx+2x−6=0的近似解⇔函数f(x)=lnx+2x−6的零点，再结合图表可解决此题．
本题考查函数零点、二分法，考查数据分析能力，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的性质，掌握特殊值法和函数的单调性是解本题的关键，属于基础题．
根据已知条件，结合特殊值法，以及函数的单调性，即可求解．
【解答】
解：对于A，∵a>b>0，
∴1a<1b，故A正确;
对于B，令c=0，则ac2=bc2，故B错误;
对于C，∵函数y=2x在R上单调递增，
又∵a>b>0，
∴2a>2b，故C正确;
对于D，∵函数y=lnx在R上单调递增，
又∵a>b>0，
∴lna>lnb，故D错误，
故选AC．
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了函数性质的应用，解题的关键是函数性质的熟练掌握，属于中档题．
结合二次函数的性质先检验选项A，B，结合对称性检验选项C，D即可判断．
【解答】
解：由题意得，0f(x)=lnx+ln(2e−x)=lnx(2e−x)，
令g(x)=x(2e−x)=−x2+2ex，根据二次函数的性质可知，g(x)的对称轴x=e，g(x)在(0,e]上单调递增，(e,2e)上单调递减，
所以当x=e时，g(x)取得最大值e2，此时f(x)取得最大值2，A正确，B错误；
因为f(2e−x)=ln(2e−x)+lnx=f(x)，
所以f(x)的图象关于x=e对称，C正确，D错误．
故选AC．
12.【答案】BD
【解析】解：对于A，因为x∈R，所以 x2+4>0，故y= x2+4+1 x2+4≥2 x2+4×1 x2+4=2，但此时等号无法取得，故A错误；
对于B，因为函数y=2x和y=2x在R上都是单调递增函数，所以y=2x+2x在R上是单调递增函数，又因为2x−2y=2y−2x−1，即2x+2x=2y+2y−1，
故2x+2x<2y+2y，所以x当x=0，y=1，2x−2y=1−2=−1，2y−2x−1=2−1=1，2x−2y≠2y−2x−1，故2x−2y=2y−2x−1是x对于C，当k=0时，不等式可化为1>0恒成立，故k=0符合题意；
当k≠0时，因为不等式kx2−kx+1>0恒成立，所以k>0Δ=k2−4k<0，解得0综上，k的取值范围是[0,4)，故C错误；
对于D，因为函数y=f(x)与g(x)=(12)x的图象关于直线y=x对称，所以f(x)=lg12x，故f(x)在(0,+∞)上单调递减，故D正确．
故选：BD．
由基本不等式及等号取得条件判断A；由函数单调性和特殊值法判断B；由不等式成立条件判断C；由反函数定义求出y=f(x)解析式即可判断D．
本题主要考查了基本不等式及单调性在最值求解中的应用，还考查了充分必要条件，不等式成立立求解参数范围及函数单调性的判断，属于中档题．
13.【答案】(−∞,0]
【解析】解：由题意得：
1−2x≥0，解得：x≤0，
故函数的定义域是(−∞,0]．
故答案为：(−∞,0]．
根据根式的性质以及指数的运算求出函数的定义域即可．
本题考查了求函数的定义域问题，考查指数的运算，是基础题．
14.【答案】32π3
【解析】解：因为120°=2π3，
由题意可得，扇形AOB的面积是12×2π3×62=12π，
扇形COD的面积是12×2π3×22=43π．
所以扇面(曲边四边形ABDC)的面积是12π−43π=32π3．
故答案为：32π3．
由大扇形的面积减去小扇形的面积，即可求得．
本题考查了扇形的面积计算问题，是基础题．
15.【答案】(0,13]
【解析】解：对任意的x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，
则函数f(x)=ax,x<0(a−2)x+3a,x≥0在R上为减函数，
∴0解得a∈(0,13]，
故答案为：(0,13]
由已知可得：函数f(x)=ax,x<0(a−2)x+3a,x≥0在R上为减函数，进而0本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性是解答的关键．
16.【答案】(1,2)
【解析】解：当x∈[−1,2]时，f(x)=(x−1)2−2，则f(x)max=f(−1)=2，
因为对任意的x1∈[−1,2]，都存在x2∈[2,4]，使得f(x1)因此函数f(x)在[−1,2]上的最大值小于函数g(x)在[2,4]上的最大值，
而当0于是a>1，函数g(x)=lgax在[2,4]上单调递增，
则lga4>2，即1所以实数a的取值范围是(1,2)．
故答案为：(1,2)．
求出函数f(x)在[−1,2]上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答．
本题考查了函数的恒成立问题，考查了初等函数的最值问题，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵A={x|0≤lg2x≤3}={x|1≤x≤8}，又B={x|0∴A∪B={x|0(2)∵A={x|1≤x≤8}，C={x|a≤x≤a+9}，A⊆C，
∴a≤1a+9≥8，
解得−1≤a≤1，即实数a的取值范围是[−1,1]．
【解析】(1)先求出集合A中元素范围，然后直接求A∪B即可；
(2)直接根据集合间的包含关系列不等式计算即可．
本题主要考查集合的并集，集合的包含关系，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)原式=52−1−49+49+2=32+2=72；
(2)因为10a=2，10b=3，
所以a=lg2，b=lg3，
则lg536=lg36lg5=2lg2+2lg31−lg2=2a+2b1−a．
【解析】(1)结合指数幂的运算性质进行化简即可求解；
(2)结合指数与对数的转化及对数的换底公式即可求解．
本题主要考查了指数幂的运算及对数换底公式的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)=−2x+1,x≤0|lg2x|,x>0，
所以f(x)的图象如下所示：

由图可得f(x)的单调递减区间为(−∞,0]，(0,1)；
(2)因为f(x0)=2，当x0≤0时，−2x0+1=2，解得x0=−12，
当x0>0时，|lg2x0|=2，
则lg2x0=2或lg2x0=−2，解得x0=4或x0=14，
综上可得x0=−12或x0=4或x0=14．
【解析】(1)由解析式画出函数图象，结合图象得到函数的单调区间；
(2)分x0≤0和x0>0两种情况讨论，分别计算可得．
本题考查了一次函数、对数函数的性质，考查了数形结合思想，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：当a=1时，函数f(x)=2x−12x+1的定义域为R，
由于f(−x)=2−x−12−x+1=2x(2−x−1)2x(2−x+1)=1−2x1+2x=−f(x)，
∴函数y=f(x)是奇函数．
(2)解：当a>0时，函数f(x)为R上的增函数．
当a>0时，f(x)=2x−a2x+a=2x+a−2a2x+a=1−2a2x+a，
任取x1，x2∈R，且x1>x2，
则f(x1)−f(x2)=(1−2a2x1+a)−(1−2a2x2+a)=2a2x2+a−2a2x1+a=2a(2x1−2x2)(2x1+a)(2x2+a)，
由x1>x2，得2x1>2x2>0，则f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴函数y=f(x)为R上的增函数．
【解析】(1)利用奇函数的定义可证得结论成立；
(2)任取x1，x2∈R，且x1>x2，作差f(x1)−f(x2)，因式分解并判断差值的符号，由此可证得函数y=f(x)为R上的增函数．
本题考查了函数的奇偶性与单调性的判定、单调性的证明，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
21.【答案】解：(1)由表格中数据可知，随着时间t的增加，茶水温度y一直在降低，所以函数①y=kat+b最符合实际的函数模型，
把表格中前3组数据代入得k+b=85ka+b=79ka2+b=73.6，
解得a=0.9b=25k=60，
∴函数模型的解析式为y=60×0.9t+25．
(2)由(1)知y=60×0.9t+25，
令y=55得，60×0.9t+25=55，
解得0．9t=12，
两边同时取常用对数得：lg0.9t=lg12，
所以t=−lg2lg9−1=lg21−2lg3≈0.301−2×0.48=7.5，
故刚泡好的茶水大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感．
【解析】本题主要考查了函数模型的选择，考查了对数的运算性质，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．
(1)因为随着时间t的增加，茶水温度y一直在降低，所以函数①y=kat+b最符合实际的函数模型，把表格中前3组数据代入y=kat+b，解出a，b，k的值，即可得到函数模型的解析式；
(2)由(1)知y=60×0.9t+25，令y=55求出t的值即可．
22.【答案】解：(1)由1−x>0，1+x>0，可得−1可得函数的定义域为(−1,1)；
f(−13)=ln2，f(−12)=ln3，f(12)=−ln3，f(13)=−ln2．
(2)性质一：由于f(−13)=−f(13)，f(−12)=−f(12)，
猜想函数f(x)为奇函数，
证明：设任意x∈(−1,1)，f(−x)=ln(1+x)−ln(1−x)=−f(x)，
所以函数f(x)为奇函数;
性质二：由于f(−12)>f(−13)>f(13)>f(12)，
函数f(x)在定义域上单调递减，
证明：设任意x1，x2∈(−1,1)，且x1则f(x1)−f(x2)=ln(1−x1)−ln(1+x1)−ln(1−x2)+ln(1+x2)=ln(1−x11−x2×1+x21+x1)，
因为−11−x2>0，1+x2>1+x1>0，
则1−x11−x2×1+x21+x1>1，ln(1−x11−x2×1+x21+x1)>0，
所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
函数f(x)在定义域上单调递减．
(3)解法一：由(1)可知，f(−12)=ln3，则f(1+x)>−f(−12)，
又f(x)为奇函数，则f(1+x)>f(12)，又函数f(x)在定义域上单调递减，
故原不等式可化为：−1<1+x<11+x<12，
解得−2解法二：因为−1所以f(1+x)=ln(−x)−ln(x+2)，
原不等式可化为：ln(−x)−ln(x+2)+ln3>0，
即ln(−3x)>ln(x+2)，所以−3x>x+2，解得x<−12，
又−2【解析】本题考查函数的定义域的求法和奇偶性、单调性的判断与证明，考查不等式的解法，注意运用函数的单调性，属于中档题．
(1)由真数大于0，可得定义域；代入计算可得函数值；
(2)可得性质一、函数f(x)为奇函数，运用奇函数的定义即可得到；
性质二、函数f(x)在定义域上单调递减，运用单调性的定义，即可得证；
(3)解法一、运用单调性，可得−1<1+x<11+x<12，解不等式组即可得到解集；
解法二、求出f(1+x)，由对数的运算性质，解不等式即可得到所求．f(2)≈−1.307
f(3)≈1.099
f(2.5)≈−0.084
f(2.75)≈0.512
f(2.625)≈0.215
f(2.5625)≈0.066
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