江西省新余市2023-2024学年高三上学期期末质量检测数学试卷

这是一份江西省新余市2023-2024学年高三上学期期末质量检测数学试卷，共12页。试卷主要包含了在中，“”是“为直角三角形”的，如图，等内容，欢迎下载使用。

命题人：分宜中学 谢平 新钢中学 邹进辉 审题人：刘勇刚
说明：1．本卷共有四个大题，22个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟．
2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数的定义域为集合A，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足：，则（ ）
A．1B．C．D．5
3．在中，“”是“为直角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知三棱锥的棱长均为6，其内有n个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切（，且），则球的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.005
B．估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75
C．估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80
D．估计总体中成绩落在内的学生人数为225
10．已知定义在R上的函数满足，且函数为奇函数，则（ ）
A．是周期函数B．为R上的偶函数
C．为R上的单调函数D．的图像关于点对称
11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
12．已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体（ ）
A．一定不是正方体B．外接球的表面积为
C．长、宽、高的值均属于区间D．体积的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若直线与圆相切，则实数______．
14．已知正实数x，y满足方程，则的最小值为______．
15．杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，杭州亚运会竞赛项目设置为40个大项，61个分项，481个小项，并增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目．现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到乒乓球、电子竞技、霹雳舞三个项目志愿服务，其中每个项目至少一名志愿者，甲必须在霹雳舞项目，则不同的志愿服务方案共有______种．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为______．
四、解答题：（本大题共6小题，17题10分，18～22题各12分，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．
（1）求A；
（2）若D为的中点，且，求的面积．
18．如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面且．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面的夹角的大小．
19．在平面直角坐标系中，动点P到点的距离等于点P到直线的距离．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）记动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线l与曲线C交于A，B两点，，直线的斜率为，直线的斜率为．证明：为定值．
20．魔方，又叫鲁比可方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一．通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方．三阶魔方形状通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．广义的魔方，指各类可以通过转动打乱和复原的几何体．魔方与华容道、法国的单身贵族（独立钻石棋）并称为智力游戏界的三大不可思议，在2018WCA世界魔方芜湖公开赛上，杜宇生以3.47秒的成绩打破了三阶魔方复原的世界纪录，勇夺世界魔方运动的冠军，并成为世界上第一个三阶魔方速拧进入4秒的选手．
（1）小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了X局比赛，求X的分布列和数学期望；
（2）小王和小吴同学比赛四阶魔方，首局比赛小吴获胜的概率为0.5，若小王本局胜利，则他赢得下一局比赛的概率为0.6，若小王本局失败，则他赢得下一局比赛的概率为0.5，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？
21．已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，其中，求数列的前2n项和；
（3）记，其前n项和为，若对恒成立，求的最小值．
22．已知函数，且．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且存在三个零点，，．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）设，求证：．
高三数学试题卷参考答案
一、单选题（每小题5分，共40分）
二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
三、填空题（每题5分，共20分）
13．7或14．15．5016．
四、解答题（共70分）
17．（1）因为，所以，
由正弦定理得，
化简得．
因为，，所以．
因为，所以．
（2）因为D为的中点，所以中所，
等式两边平方得，
即①．
在中，由余弦定理得②，
联立①②解得，所以．
18．（1）取中点F，连接，
，都是边长为2的正三角形，
，，，
又，面，面，
面，
又平面平面，
面且
又面且
，，，
是正方形，
又，平面，平面，
平面
（2）由（1）知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系
由于x轴垂直面
平面的法向量为
又，，
，
设平面的法向量，
则，
令，则，，所以
平面与平面的夹角为
19．（1）因动点P到点的距离等于点P到直线的距离，故可知动点P的轨迹是抛物线，
设其方程为，由题意得，故动点P的轨迹方程为：．
（2）
如图，因直线l的斜率不能为零（否则直线l与抛物线只有一个公共点），又过点，
可设，由消去x并整理得：，
显然，设，，则由韦达定理，，（*）
则，
将（*）代入得：，
故为定值0.
20．（1）因为采用三局两胜制，所以X的可能取值为2，3，
表示小王或小吴连胜两局；表示小王与小吴前两局一胜一负；
所以，，
所以X的分布列为：
则X的数学期望为．
（2）若小王选择“三局两胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜；胜负胜；负胜胜；
则小王获胜的概率为；
若小王选择“五局三胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜胜；胜胜负胜；胜负胜胜；负胜胜胜；胜胜负负胜；胜负胜负胜；胜负负胜胜；负负胜胜胜；负胜负胜胜；负胜胜负胜；
则小王获胜的概率为，
因为，
所以小王应选择“五局三胜制”．
21．（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
，，所以，解得，，
既是和的等差中项，又是其等比中项，
得，，
解得，即，
所以，．
（2），
．
又
，
①
②
①减②得：
，
．
（3），，，则是首项为公比为的等比数列，
，，
令，，
当n为奇数时，，且递减，
可得的最大值为，
当n为偶数时，，且递增，
可得的最小值为，
所以的最小值为，最大值为，因为，对恒成立，
所以，所以，所以的最小值为．
22．（1）当时，则，
又，所以，
所以曲线在处的切线方程为，即．
（2）（i）因为，且存在三个零点，，，
所以有3个根，
当时，，，，
所以在上是单调递增，由零点存在定理，方程必有一个负根，
当，，即有两个根，
令，可转化为与有两个交点，
，
可得时，即在单调递增，
可得时，即在单调递减，
其中，当，，
所以可得，解得．
（ii）因为，且存在三个零点，，，
设，，，，易知其中，，
因为，所以，所以，，，
故可知①；
由（i）可知与有两个交点，
当，是单调递增，所以，，，所以②；
即，，
若，则，
若，构造函数，，
则
，
设，
则，
因为，
又因为，，，，
所以③；
因为
，
又因为，，，，
所以，；，，
即得④；
由③④可知，在上单调递增，
又可得，
，可知与同号，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，即，
又由（i）可知，
所以，，，
，，是单调递增，
所以，⑤，
由①②⑤可知．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
D
B
C
A
C
D
题号
9
10
11
12
答案
AD
ABD
ABC
ABD
X
2
3
P