2023-2024学年安徽省宿州市省市示范高中高一上学期期末教学质量检测数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省宿州市省市示范高中高一上学期期末教学质量检测数学试卷(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|y=lg(−3−x)}，B=(−4,1)，则A∪B=( )
A. (−∞,1)B. (−4,−3]C. (−4,+∞)D. [−3,−1)
2.sin 240°=( )
A. −12B. 12C. − 32D. 32
3.“角α是第三象限角”是“sinα·tanα<0”的
．( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4.已知x，y∈(0,+∞)，3x−4=19y，则xy的最大值为
( )
A. 2B. 98C. 32D. 94
5.已知a=lg213，b=2−0.3，c=lg225，则a，b，c的大小关系为
( )
A. a6.函数y=2sin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是
( )
A. y=2sinx+3π8B. y=2sin2x−π4
C. y=2sinx2+7π16D. y=2sin2x+π4
7.已知f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=e2x−1(其中e为自然对数的底数)，则f(ln13)=( )
A. 3B. −3C. 8D. −8
8.黎曼函数由德国著名数学家黎曼(Riemann)发现提出，黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式为：当x=qp为既约真分数(分子与分母互质的真分数)且p，q∈N ​∗时，R(x)=1p；当x=0，1或[0,1]上的无理数时，R(x)=0.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且∀x∈R，f(x)+f(x+2)=0，当x∈[0,1]时，f(x)=R(x)，则f(π)−f20235=( )
A. −25B. −15C. 15D. 25
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设α∈R，则下列结论中正确的是
( )
A. sin(2π−α)=−sinαB. cs(α−π)=csα
C. cs3π2−α=−sinαD. tan(−α−π)=tanα
10.下列叙述正确的是( )
A. 若幂函数f(x)的图象经过点27,13，则该函数f(x)在(0,+∞)上单调递减
B. 命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x<1，x2≥1”
C. 函数f(x)=ln(x2+2x−3)的单调递增区间为(−1,+∞)
D. 函数f(x)=(12)x与函数g(x)=−lg2x互为反函数
11.已知函数f(x)=|tanx|，则下列关于函数f(x)的图象与性质的叙述中，正确的有( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π
B. 函数f(x)在(kπ,kπ+π2)(k∈Z)上单调递增
C. 函数f(x)的图象关于直线x=π2对称
D. f(π5)12.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2( )
A. a>0
B. a+b+c<0
C. 不等式cx2−bx+a<0的解集为xx<−12或x>−13
D. c2+4a+b的最小值为6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.lg 2+12lg 5+(278)13=________．
14.已知csα=23，270°<α<360°，则csα2的值为________．
15.如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图是如图2的扇形AOB，其中∠AOB=120°，AC=2OC=4，则扇面(曲边四边形ABDC)的面积是________．
16.已知函数f(x)=cs (2x−π3),t四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
(1)已知csπ2+αcs(π+α)=−2，求3sinα+2csαsinα−2csα的值．
(2)已知角α的终边过点P(3,4)，sinβ=513，β∈π2,3π2，求cs(α+β)的值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin2x+ 3sin2x．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)将f(x)的图象向右平移π12个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在π3,5π6上的值域．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=13x+a+b(a>0,b∈R)是定义在R上的奇函数，其图象经过点2,−25．
(1)求实数a，b的值并指出f(x)的单调性(不必证明)；
(2)求不等式f(x2−3x)−25<0的解集．
20.(本小题12分)
国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下，该函数模型如下，f(x)={44.21sin(π3x)+0.21,0⩽x<254.27e−0.3x+10.18,x⩾2．
根据上述条件，回答以下问题：
(1)试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
(2)试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？(时间以整小时计算)(参考数据：ln9.82≈2.28，ln10.18≈2.32，ln54.27≈3.99)
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga(2x−4)+lga(5−x)(a>0，且a≠1)的图象过点P(3,−2)．
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在3,92上的最大值；
(3)若2m=3n=t5222.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)．
(1)若f(x)为偶函数，求函数g(x)=lgfx−π6+12的定义域；
(2)若f(x)过点π6,1，设ℎ(x)=cs2x+2asinx，若对任意的x1∈−π2,π2，x2∈0,π2，都有ℎ(x1)答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查并集运算，属于基础题．
化简A，由并集运算即可求解．
【解答】
解：A={x|y=lg(−3−x)}={x|x<−3}，
则A∪B=(−∞,1)
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
利用诱导公式即得结果．
【解答】
解：sin240∘=sin(180∘+60∘)=−sin60∘=− 32．
故选C
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的符号关系是解决本题的关键，比较基础．
结合角所在的象限，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】
解：当角α是第三象限角时，sinα<0，tanα>0，于是sinα⋅tanα<0，
所以充分性成立;
当sinα⋅tanα=sin2αcsα<0时，
角α是第二或第三象限角，
所以必要性不成立，
故选A．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了指数幂的运算，以及基本不等式求最值，属于中档题．
由3x−4=19y，得x+2y=4，再根据基本不等式可求出结果．
【解答】
解：由3x−4=19y，得3x−4=3−2y，得x−4=−2y，即x+2y=4，
因为x,y∈0,+∞，所以4=x+2y≥2 2xy，当且仅当x=2，y=1时，等号成立，
所以xy≤2，即xy的最大值为2．
故选：A
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了指数函数，对数函数的性质，属于基础题．
根据指数函数，对数函数的单调性比较即可．
【解答】
解：∵ b=2−0.3=120.3，则 1=120>120.3>121=12，
又 25>13，∴ 0=lg21>c=lg225>lg213=a，
∴b>c>a．
故选C．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】
解：由图象可得T2=5π8−π8=π2，∴T=π，
∵T=2πω⇒ω=2πT=2ππ=2，
∵y=2sin(2x+φ)的图象过点(π8,2)，
∴2sin⁡(2×π8+φ)=2，即sin⁡(π4+φ)=1，
∴π4+φ=2kπ+π2，k∈Z，
当k=0时，φ=π4，
∴y=2sin (2x+π4)．
故选D
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的函数值，属于基础题．
由f(x)是奇函数可得f(−x)=−f(x)，则f(ln13)=f(−ln3)=−f(ln3)，代入已知可求．
【解答】
解：∵f(ln13)=f(−ln3)，
∵f(x)是奇函数，∴f(−x)=−f(x)
∵当x≥0时，f(x)=e2x−1，
则f(ln13)=f(−ln3)=−f(ln3)=−(e2ln3−1)=−(eln9−1)=−8．
故选D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数新定义，函数周期性，属于中档题．
求出函数周期为4，从而可得f(20235)=f(35)=R(35)=15，fπ=f4−π=0，从而得解．
【解答】
解：函数fx 是定义在R上的偶函数，且对任意x都有f2+x+fx=0 ，
可得fx+4=−fx+2=fx ，故偶函数fx是周期为4的周期函数，
故f(20235)=f(404+35)=f(35)=R(35)=15，
fπ=fπ−4=f4−π，
而4−π∈0,1，且4−π为无理数，故fπ=f4−π=0，
所以 f(π)−f(20235)=−15，
故选B．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查诱导公式，属于基础题．
根据诱导公式判断相关三角函数的等式是否成立．
【解答】
解：根据诱导公式
sin(2π−α)=sin−α=−sin α，故A正确；
cs⁡(α−π)=cs⁡(π−α)=−cs⁡α，故B错误；
cs(3π2−α)=cs⁡[π+(π2−α)]=−cs⁡(π2−α)=−sinα，故C正确；
tan⁡(−α−π)=−tan⁡(π+α)=−tanα，故D错误．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查复合函数的单调性、简单的幂函数的图象与性质、幂函数的函数值或解析式、全称量词命题与存在量词命题的否定、反函数，属于一般题．
根据题意，对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】
解：A选项，设幂函数f(x)=xα(α为常数)，
∵幂函数y=f(x)图象过点27,13，
∴27α=13，则α=−13，
∴fx=x−13，则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，故A正确；
B选项，命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x<1，x2≥1”，故B正确；
C选项，由x2+2x−3>0得：x<−3或x>1，
即f(x)的定义域为{x|x<−3或x>1}，
令t=x2+2x−3，
y=lnt在t∈(0,+∞)内单调递增，
而x∈(−∞,−3)时，t=x2+2x−3为减函数，x∈(1,+∞)时，t=x2+2x−3为增函数，
故函数f(x)=ln(x2+2x−3)的单调递增区间为(1,+∞)，故C错误；
D选项，f(x)=(12)x的反函数为y=lg12x=−lg2x，
所以函数f(x)=(12)x与函数g(x)=−lg2x互为反函数，故D正确．
故选ABD．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
去绝对值得到解析式，画出函数f(x)的部分图象，结合正切函数的图象与性质，对各选项进行分析即可．
【解答】
解：因为函数f(x)=|tanx|=tanx,x∈[kπ,kπ+π2),k∈Z−tanx,x∈(kπ−π2,kπ),k∈Z，画出函数f(x)的部分图象，如图所示：
对于A，函数f(x)=|tanx|的最小正周期为π，选项A正确；
对于B，函数f(x)在(kπ,kπ+π2)(k∈Z)上单调递增，选项B正确；
对于C，根据函数f(x)的图象知，f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称，选项C正确；
对于D，f(4π5)=|tan4π5|=tanπ5=f(π5)，所以选项D错误．
故选ABC．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查的是一元二次不等式的解法．
由题意可得，2和3是关于的方程的两根，从而得出b=−5a，c=6a，进而逐项判断即可得出答案．
【解答】
解：因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2由题意可得，2和3是关于的方程的两根，
由韦达定理得2+3=−ba2×3=ca,
则b=−5a，c=6a，则a+b+c=2a<0，B选项正确；
不等式cx2−bx+a<0，即为6ax2+5ax+a<0，即6x2+5x+1>0，解得x<−12或x>−13，C选项正确；
c2+4a+b=36a2+4a−5a=−9a+−1a⩾2 −9a×−1a=6，当且仅当−9a=−1a，即a=−13等号成立，D选项正确．
故选：BCD．
13.【答案】2
【解析】【分析】
本题主要考查对数、指数运算，属于基础题．
由对数运算法则、指数运算分计算即可．
【解答】解：lg 2+12lg 5+(278)13=12lg 2+lg 5+(32)13×3=12+32=2；
14.【答案】− 306
【解析】【分析】
本题主要考查二倍角公式，属于基础题．
由cs 2α2=1+csα2结合270°<α<360°，求解即可．
【解答】
解：∵270°<α<360°，∴135°<α2<180°，cs α2=− 1+csα2=− 306 ;
15.【答案】32π3
【解析】【分析】
本题主要考查扇形面积公式，属于基础题．
由题意扇面(曲边四边形ABDC)的面积=12×2π3(AO2−CO2)，可得解．
【解答】解：由题意AO=6，CO=2，∠AOB=2π3，扇面(曲边四边形ABDC)的面积=12×2π3(AO2−CO2)=12×2π3×(62−22)=32π3．
16.【答案】[−π12,0)⋃[5π12，11π12)
【解析】【分析】
本题主要考查余弦型函数的零点，属于中档题题．
根据余弦函数图象性质及一次函数图象性质求解即可．
【解答】解：当(t,3π2)，2t−π3<2x−π3<3π−π3=8π3，
2t−π3⩾−π2，且t<0时即t∈[−π12,0)时，y=2x无零点，y=cs⁡(2x−π3)在(t,3π2)上有三个零点，
当t>0，π2⩽2t−π3<3π2，5π12⩽t<11π12，即t∈[5π12,11π12)时，y=2x有一个零点，y=cs⁡(2x−π3)在(t,3π2)上有两个零点，
t=0时，y=2x有一个零点，y=cs⁡(2x−π3)在(t,3π2)上有三个零点，不合题意，
综上，[−π12,0)⋃[5π12，11π12)
17.【答案】解：(1)tanα=−2，
所以3sinα+2csαsinα−2csα=3tanα+2tanα−2=1；
(2)∵角α的终边过点P (3,4)，∴sinα=45，csα=35．
∵sinβ=513，β∈(π2,3π2)，∴csβ=− 1−sin2β=− 1−(5)2=−1213，
则cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=35×(−1213)−45×513=−5665．
【解析】本题主要考查同角三角函数关系式，两角和的余弦值，属于基础题．
(1)利用正余弦齐次式的计算求值即可；
(2)由两角和的余弦公式求值即可．
18.【答案】(1)因为 fx=2sin2x+ 3sin2x= 3sin2x+1−cs2x=2sin2x−π6+1 ，
令 2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2k∈Z ，解得 kπ−π6≤x≤kπ+π3k∈Z ，
则 fx 的单调递增区间是 −π6+kπ,π3+kπk∈Z ；
(2)因为 fx=2sin2x−π6+1 ，
将 fx 的图象向右平移 π12 个单位长度，
可得 gx=2sin2x−π12−π6+1=2sin2x−π3+1 ．
因为 x∈π3,5π6 ，所以 π3≤2x−π3≤4π3 ，
所以 − 32≤sin2x−π3≤1 ，则 − 3+1⩽2sin (2x−π3)+1⩽3 ，
即 gx 在区间 π3,5π6 内的值域为 − 3+1,3 ．

【解析】【分析】
本题考查二倍角公式，正弦型函数的性质，三角函数图像的变换，属于中档题．
(1)根据三角恒等变换可得f(x)=2sin (2x−π6)+1，然后根据三角函数的性质即得；
(2)根据图象变换规律可得g(x)=2sin (2x−π3)+1，然后根据正弦函数的性质即得．
19.【答案】解：(1)根据条件f(x)是R上的奇函数，a>0，
所以f(0)=0，即11+a+b=0，
又f(2)=19+a+b=−25，
解得a=1,b=−12，经检验，满足题意；
f(x)=13x+1−12，于是f(x)在R上严格减，
(2)f(2)=−25，于是不等式f(x2−3x)−25<0可化为f(x2−3x)+f(2)<0
因f(x)是R上的奇函数，所以f(x2−3x)<−f(2)=f(−2)，
于是x2−3x>−2，即x2−3x+2>0，解得x>2或x<1，
所以原不等式的解集为(−∞,1)∪(2,+∞)．
【解析】本题主要考查了奇函数定义的应用，待定系数求解函数解析式，还考查了单调性及奇偶性在求解不等式中的应用，属于中档题．
(1)由已知结合奇函数性质f(0)=0及函数图象经过点(2,−25)代入可求a，b；并可得出函数f(x)=13x+1−12的单调性；
(2)结合单调性及奇偶性即可求解．
20.【答案】本题主要考查了函数模型及其应用，以及求函数的最值，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．
(1)由图可知，当函数f(x)取得最大值时，0(2)由题意可得54.27e−0.3x+10.18<20，两边取对数，解得即可求出．
【解析】解：(1)由图可知，当函数f(x)取得最大值时，0此时f(x)=44.21sin(π3x)+0.21．
当π3x=π2时，即x=32时，函数f(x)取得最大值为ymax=44.21+0.21=44.42，
故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升;
(2)由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升可以驾车，此时x>2，
由54.27e−0.3x+10.18<20，得e−0.3x<，
两边取自然对数得lne−0.3x<，
即−0.3x∴x>2.28−3.99−0.3=5.7，
故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车．
21.【答案】解：(1)由题意得，f(3)=−2，所以2lga2=−2，lga2=−1，得a=12．
由2x−4>05−x>0得2(2)由(1)得f(x)=lg122x−4+lg125−x=lg12−2x2+14x−20，
因为u(x)=−2x2+14x−20=−2(x−72)2+92，x∈[3,92]，
所以，当x=92时，u(x)取最小值52，
当x=92时，f(x)取最大值1−lg25.
(3)由2m=3n=t，可得m=lg2t，n=lg3t，
因为52所以2<2m<72，2<3n<3，
所以2m3n=2lg2 t3lg3 t=2lgtlg23lgtlg3=2lg33lg2=lg9lg8>1，即2m>3n，
因为函数u(x)=−2(x−72)2+92在(2,72)上单调递增，
所以u(2m)>u(3n)，
因为f(x)=lg12x在其定义域上单调递减，
所以lg12u2m所以f(2m)【解析】本题考查了对数型函数的定义域、值域、利用函数的单调性求最值和利用对数函数的图象与性质比较大小，是中档题．
(1)由题意得，f(3)=−2，得出a，再由对数函数得出其定义域；
(2)由(1)得f(x)=lg12−2x2+14x−20，由复合函数可得其f(x)在[3,92]上的最大值;
(3)由2m=3n=t，可得m=lg2t，n=lg3t，先得出2m>3n，再研究其复合函数单调性，可得结论．
22.【答案】 解：(1)∵f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)为偶函数，所以φ=π2，
∴f(x)=cs2x，由f(x−π6)+12>0可得cs(2x−π3)>−12，
2kπ−2π3<2x−π3<2kπ+2π3，k∈Z，
所以kπ−π6所以g(x)的定义域是{x|kπ−π6(2)∵f(x)过点(π6,1)，∴1=sin(π3+φ)(0<φ<π)，φ=π6，
∴f(x)=sin(2x+π6)，
又∵x2∈[0,π2]，∴2x2+π6∈[π6,7π6]，
∴f(x2)=sin(2x2+π6)∈[−12,1]，
又∵对任意的x1∈[−π2,π2]，x2∈[0,π2]，都有ℎ(x1)∴ℎ(x1)maxℎ(x)=cs2x+2asinx=−sin2x+2asinx+1=a2+1−(sinx−a)2
∵x1∈[−π2,π2]，∴sinx1∈[−1,1]，
设t=sinx1∈[−1,1]，
则有g(t)=a2+1−(t−a)2图像是开口向下，对称轴为t=a的抛物线，
当a≥1时，g(t)在t∈[−1,1]上单调递增，∴g(t)max=g(1)=2a，
∴2a<52，解得a<54，∴1≤a<54;
当a≤−1时，g(t)在t∈[−1,1]上单调递减，
∴g(t)max=g(−1)=−2a，所以−2a<52，解得a>−54，
∴−54当−1∴a2+1<52，解得− 62综上所述：实数a的取值范围为(−54,54).
【解析】本题考查了三角函数的性质及函数的奇偶性、最值、单调性等，属于较难题．
(1)由题意可得f(x)=cs2x，再结合余弦函数的性质求函数g(x)=lgfx−π6+12的定义域即可；
(2)由题意可得f(x)=sin(2x+π6)，对任意的x1∈[−π2,π2]，x2∈[0,π2]，都有ℎ(x1)

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