2023-2024学年山东省青岛市镇海口海军中学高一（上）月考数学试卷（10月份）(含解析）

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这是一份2023-2024学年山东省青岛市镇海口海军中学高一（上）月考数学试卷（10月份）(含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|xA. {a|a≥3}B. {a|a>3}C. {a|a>0}D. {a|a≥0}
2.设a，b∈R，则“1a>1b”是“b>a>0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3.命题“∀x∈R，x−|x|≥0”的否定是( )
A. ∃x∈R，x−|x|<0B. ∀x∈R，x−|x|≥0
C. ∃x∈R，x−|x|≥0D. ∀x∈R，x−|x|<0
4.设集合A={x|x=2n+1,n∈N}，B={x|x=4n+1,n∈N}，则∁AB=( )
A. {x|x=4n+1,n∈N}B. {x|x=4n+2,n∈N}
C. {x|x=4n+3,n∈N}D. ⌀
5.已知全集U=R，集合A={x|−3≤x≤1}，B={x|x2−4<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. {x|−3≤x<2}B. {x|−3≤x≤−2}
C. {x|−36.已知a，b，c∈R，在下列条件中，使得aA. (a−b)c2<0B. a37.已知集合M={x|5x>1,x∈N*}，则M的非空子集的个数是( )
A. 7B. 8C. 15D. 16
8.已知x>1，y>0，且1x−1+2y=1，则x+2y−1的最小值为( )
A. 9B. 10C. 11D. 7+2 6
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合M={x∈N|x<3}，则．( )
A. 0∈MB. {1}∈MC. {0}⊆MD. {1,2}⊆M
10.已知关于x的方程x2+(m−3)x+m=0，则下列说法正确的是( )
A. 当m=3时，方程的两个实数根之和为0
B. 方程无实数根的一个必要条件是m>1
C. 方程有两个正根的充要条件是0D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0
11.下列关于基本不等式的说法正确的是( )
A. 若0B. 函数y=x2+3x+3x+1(x>−1)的最小值为2
C. 已知x+y=1，x>0，y>0，则1x+2y的最小值为3+2 2
D. 若正数x，y满足x2+xy−2=0，则3x+y的最小值是3
12.已知关于x的不等式a(x−1)(x+3)+2>0的解集是{x|x1A. x1+x2+2=0B. −3C. |x1−x2|>4D. x1x2+3<0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知−314.某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全都讲座，则该年级听讲座人数一共是．
15.已知集合A={x|x<−1，或x>2}，B={x|2a≤x≤a+3}，若“x∈A“是“x∈B”，的必要条件，则实数a的取值范围是______．
16.若两个正实数x，y满足4 x+1 y=1，且不等式 x+4 y≥m2−6m恒成立，则实数m的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|−2(1)当m=3时，求(∁RA)∩B；
(2)若A∪B=A，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
下列各题中，命题p是命题q的什么条件？(填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”)(只写答案即可)
(1)p：a+b>4 q：a>2且b>2；
(2)p：a>b q：a3>b3；
(3)p：xy=0 q：x2+y2=0；
(4)p：某四边形是菱形q：某四边形对角线相互垂直；
(5)p：x>y>0 q：1x<1y；
(6)p：x∈A∩B q：x∈A∪B．
19.(本小题12分)
已知关于x的不等式ax2−x+1−a<0．
(1)当a=2时，解关于x的不等式；
(2)当a>0时，解关于x的不等式．
20.(本小题12分)
某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会，据某市场调查，当每套丛书的售价定为x元时，销售量可达到(15−0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分．其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价−供货价格．求：
(1)每套丛书的售价定为100元时，书商所获得的总利润．
(2)每套丛书的售价定为多少元时，单套丛书的利润最大．
21.(本小题12分)
已知命题p：∃x∈R，x2−2x+a2=0，命题p为真命题时实数a的取值集合为A．
(1)求集合A；
(2)设集合B={a|2m−322.(本小题12分)
设函数f(x)=ax2+(b−2)x+3(a,b∈R)，且f(1)=4．
(1)若a>0，b>0，求1a+4b的最小值；
(2)若f(x)<2在R上能成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，A={x|x则a>3，
故选：B．
利用集合间的运算可解．
本题考查集合间的运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：若1a>1b，得b>a>0或b<0又若b>a>0则1a>1b，必要性成立，
故“1a>1b”是“b>a>0”的必要不充分条件，
故选：B．
根据题意，若1a>1b，得b>a>0或b<0a>0则1a>1b，必要性成立，从而可解．
本题考查充分性，必要性相关知识，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，x−|x|<0．
故选：A．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
4.【答案】C
【解析】解：∵A={x|x=2n+1,n∈N}，B={x|x=2⋅(2n)+1,n∈N}，
∴∁AB={x|x=4n+3,n∈N}，
故选：C．
根据集合的关系及补集的概念即可求解．
本题考查集合的关系及补集的概念，属基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
先求出A∪B，A∩B，再根据图中阴影部分表示的集合为A∪B中的元素去掉A∩B中的元素即可求解．
【解答】解：集合A={x|−3≤x≤1}，B={x|x2−4<0}={x|−2∴A∪B={x|−3≤x<2}，A∩B={x|−2图中阴影部分表示的集合为A∪B中的元素去掉A∩B中的元素，
即为{x|−3≤x≤−2或1故选D．
6.【答案】A
【解析】解：对于A，(a−b)c2<0，可知c≠0，则a故选项A是a对于B，a3对于C，若a>0，b<0，满足1a>1b，但是a对于D，由a2故选：A．
根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：集合M={x|5x>1,x∈N*}={1,2,3,4}，
∴M的非空子集的个数是24−1=15．
故选：C．
求出M={1,2,3,4}，从而可得集合M的非空子集的个数．
本题考查集合的表示法，非空子集的定义，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由x>1，y>0，得x−1>0，y>0，又1x−1+2y=1，
所以x+2y−1=(x−1)+2y=(1x−1+2y)[(x−1)+2y]
=1+2yx−1+2(x−1)y+4≥5+2 4=9，
当且仅当2yx−1=2(x−1)y，整理得y=3，x=4时，等号成立．
故选：A．
根据条件，得到x+2y−1=(x−1)+2y=(1x−1+2y)[(x−1)+2y]，然后利用基本不等式求出x+2y−1的最小值．
本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于基础题．
化简集合M即可求解．
【解答】
解：∵M={x∈N|x<3}={0,1,2}，
∴0∈M，{0}⊆M，{1,2}⊆M，{1}⊆M，
故A，C，D均正确，B错误．
故选ACD．
10.【答案】BD
【解析】解：A：当m=3时，方程为x2+3=0无实数根，∴A错误，
B：若方程无实根，则Δ=(m−3)2−4m<0，
∴1C：方程有两个正实根，则Δ=(m−3)2−4m≥0−(m−3)>0m>0，
∴0D：若方程有一个正根一个负根，则Δ=(m−3)2−4m>0m<0，
∴m<0，∴D正确．
故选：BD．
A：当m=3时，方程为x2+3=0无实数根，B：若方程无实根，则Δ=(m−3)2−4m<0，C：方程有两个正实根，则Δ=(m−3)2−4m≥0−(m−3)>0m>0，D：若方程有一个正根一个负根，则Δ=(m−3)2−4m>0m<0．
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：对A，若00，
所以x(1−3x)=13×3x(1−3x)≤13(3x+1−3x2)2=112，
当且仅当3x=1−3x，即x=16时等号成立，所以最大值为112，故A正确；
对B，因为x>−1，所以x+1>0，
所以y=x2+3x+3x+1=(x+1)+1x+1+1≥2 (x+1)⋅1x+1+1=3，
当且仅当x+1=1x+1，即x=0等号成立，故函数最小值为3，故B错误；
对C，因为x+y=1，x>0，y>0，
所以1x+2y=(1x+2y)(x+y)=2xy+yx+3≥2 2xy⋅yx+3=2 2+3，
当且仅当2xy=yx，即x= 2−1，y=2− 2等号成立，故最小值为3+2 2，故C正确；
对D，由x2+xy−2=0可得y=2x−x，因为x>0，y>0，可得0则3x+y=2x+2x≥2 2x⋅2x=4，当且仅当2x=2x，即x=1等号成立，
所以最小值是4，故D错误．
故选：AC．
根据基本不等式求出最值即可判断．
本题主要考查基本不等式，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：不等式化为：ax2+2ax+2−3a>0，
则由题意可得x1，x2是方程ax2+2ax+2−3a=0的两根，
则由韦达定理可得：a<0x1+x2=−2x1x2=2a−3，所以x1+x2+2=0，x1x2<−3，即x1+x2+3<0，故A，D正确，
又因为|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2= 4−4(2a−3)=2 4−2a，
因为a<0，所以4−2a>4，所以2 4−2a>4，故C正确，
由已知可得方程a(x−1)(x+3)=0的两根分别为1和−3，
又a(x−1)(x+3)+2>0的解集为(x1,x2)，则x1<−3<1故选：ACD．
根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用韦达定理，结合二次函数的图象与性质，即可判断求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及不等式的求解应用问题，考查了学生的逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
13.【答案】(1,3)
【解析】解：∵−3∵3∴1故答案为(1,3)．
根据不等式的性质即可求范围．
本题考查不等式的性质，属于基础题．
14.【答案】172
【解析】【分析】
本题考查Venn图表达集合的关系和运算，注意交集的定义，属于基础题．
根据题意，设全班同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C，用Venn图表示出各部分的人数，分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，设全班同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C，用Venn图表示，如图所示：
则该年级听讲座人数有68+75+61−(17+12+9)+6=204−38+6=172(人)，
故答案为：172．
15.【答案】{a|a<−4或a>1}
【解析】解：因为“x∈A”是x∈B”的必要条件，所以B⊆A，
当B=⌀时，只需2a>a+3，即a>3，
当B≠⌀时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得a+3≥2aa+3<−1或a+3≥2a2a>2，
解得a<−4或1综上可得，实数a的取值范围为{a|a<−4或a>1}，
故答案为：{a|a<−4或a>1}．
由题意可得B⊆A，对集合B分B=⌀和B≠⌀两种情况，从而求出a的取值范围．
本题主要考查了集合间的基本关系，属于基础题．
16.【答案】[−2,8]
【解析】解：正实数x，y满足4 x+1 y=1，
则 x+4 y=( x+4 y)(4 x+1 y)=8+ x y+16 y x≥8+8=16．
当且仅当 x y=16 y x且4 x+1 y=1，即y=4，x=64时取等号，此时取得最小值16，
因为不等式 x+4 y≥m2−6m恒成立，
则16≥m2−6m，
解可得−2≤m≤8．
故答案为：[−2,8]．
先利用乘1法，配凑基本不等式的应用条件求 x+4 y的最小值，然后由 x+4 y≥m2−6m恒成立，可得( x+4 y)min≥m2−6m，解不等式可求．
本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是应用条件的配凑．
17.【答案】解：(1)∵集合A={x|−2∴∁RA={x|x≤−2或x≥5}，
m=3时，B={x|4≤x≤5}，
∴(∁RA)∩B={5}；
(2)若A∪B=A，则B⊆A，
当B=⌀时，m+1>2m−1，解得m<2，成立；
当B≠⌀时，m+1≤2m−1m+1>−22m−1<5，
解得2≤m<3，
综上实数m的取值范围为(−∞,3)．
【解析】本题考查集合的运算，考查补集、并集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
(1)求出∁RA={x|x≤−2或x≥5}，m=3时，B={x|4≤x≤5}，由此能求出(∁RA)∩B；
(2)由A∪B=A，得B⊆A，当B=⌀时，m+1>2m−1，当B≠⌀时，m+1≤2m−1m+1>−22m−1<5，由此能求出实数m的取值范围．
18.【答案】解：(1)a>2且b>2，则必有a+b>4；但当a=0，b=5时满足a+b>4，
但不满足a>2且b>2，故“p：a+b>4”是“q：a>2且b>2”的必要不充分条件；
(2)根据y=x3单调递增可得，a>b是a3>b3的充要条件
(3)xy=0则x=0或y=0，若x2+y2=0则x=0且y=0，
故“p：xy=0”是“q：x2+y2=0”的必要不充分条件；
(4)菱形对角线互相垂直，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，
故“p：某四边形是菱形”是“q：某四边形对角线相互垂直”的充分不必要条件；
(5)由倒数性质可得，x>y>0则1x<1y；但1x<1y不能推出x>y>0，也可能为负数，
故“p：x>y>0”是“q：1x<1y”的充分不必要条件；
(6)因为(A∩B)⊆(A∪B)，故x∈A∩B则x∈A∪B，但x∈A∪B不一定有x∈A∩B，
故“p：x∈A∩B”是“q：x∈A∪B”的充分不必要条件．
【解析】举反例或推导，根据充分与必要条件的判定判断即可．
本题考查充分必要条件的判断，属于基础题．
19.【答案】解：(1)当a=2时，不等式2x2−x−1<0可化为：(2x+1)(x−1)<0，
∴不等式的解集为{x|−12(2)不等式ax2−x+1−a<0可化为：(x−1)(ax+a−1)<0，
当a>0时，(x−1)(x+1−1a)<0，
(x−1)(x+1−1a)=0的根为：x1=1,x2=1a−1，
①当0②当a=12时，1=1a−1，不等式解集为⌀，
③当a>12时，1>1a−1，∴不等式解集为{x|1a−1综上，当0当a=12时，不等式解集为⌀，
当a>12时，不等式解集为{x|1【解析】(1)将不等式化为(2x+1)(x−1)<0即可求得结果；(2)将不等式化为(x−1)(ax+a−1)<0，当a>0时，不等式变为(x−1)(x+1−1a)<0，计算(x−1)(ax+a−1)=0的两根，根据两根大小关系讨论不等式解集．
本题考查不含参数和含参数的一元二次不等式的求解问题；关键是能够根据一元二次不等式和二次函数、一元二次方程之间的关系，分别在参数不同范围的情况下讨论一元二次方程根的大小，从而得到解集；易错点是忽略了二次项系数为零的情况，导致情况不完整．
20.【答案】解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15−0.1×100=5(万套)，
于是得每套丛书的供货价格为30+105=32(元)，
所以书商所获得的总利润为5×(100−32)=340(万元)．
(2)每套丛书售价定为x元，由15−0.1x>0x>0，解得0则P=x−(30+1015−0.1x)=x−100150−x−30=−[(150−x)+100150−x]+120，≤−2 (150−x)⋅100150−x+120=100，当且仅当150−x=100150−x，即x=140时等号成立，
即当x=140时，Pmax=100，
所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．
【解析】(1)根据给定条件，依次列式计算即可得解；
(2)求出售价x的范围，再列出单套丛书利润的函数关系，借助均值不等式求解即可．
本题考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立单套丛书利润函数，再利用基本不等式确定其最值，属于中档题．
21.【答案】解：(1)命题p为真命题，则Δ=4−4a2≥0，得−1≤a≤1，所以A={a|−1≤a≤1}．
(2)因为x∈B是x∈A的必要不充分条件，所以A⫋B．
所以2m−3<−11【解析】(1)若命题p为真命题，结合一元二次有解求出a的范围即可求集合A；
(2)若x∈B是x∈A的必要不充分条件，则得到A⫋B进行求解．
本题考查了二次函数的性质，集合之间包含关系的应用，属于基础题．
22.【答案】解：(1)由f(1)=a+b+1=4，
所以a+b=3，a>0，b>0
所以1a+4b=13(1a+4b)(a+b)=13(5+ba+4ab)≥13(5+2 ba⋅4ab)=3，
当且仅当ba=4ab且a+b=3，即a=1，b=2时取等号，此时1a+4b取得最小值3；
(2)由f(x)=ax2+(b−2)x+3<2得，ax2+(1−a)x+1<0能成立，
当a=0时，x+1<0有解，
当a<0时，根据二次函数的性质可知ax2+(1−a)x+1<0一定有解，即能成立，
a>0时需(1−a)2−4a>0，
解得03+2 2，
综上，a的范围为{a|a<3−2 2或a>3+2 2}.
【解析】(1)由f(1)=4可得a+b=3，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解；
(2)结合二次函数的性质及不等式的解的存在对a进行分类讨论可求．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值及二次函数与二次不等式相互转化关系的应用，属于中档题．

2023-2024学年山东省青岛市镇海口海军中学高一（上）月考数学试卷（10月份）(含解析）

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