高二下学期期中考测试卷（数列、导数、排列组合）-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版)

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3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（2022春·广东广州·高二广东番禺中学校考期中）函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.
【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率，
表示切线斜率，
又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率，
结合图象，可得，即.
故选：C.
2．（2023秋·广东广州·高二校考阶段练习）等比数列中，若是方程的两根，则的值为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣1D．1
【答案】B
【分析】根据已知结合一元二次方程根与系数的关系及等比数列下角标的性质即可求解．
【详解】∵是方程的两根，
∴，
又数列为等比数列，
∴.
故选：B.
3．（2022春·广东深圳·高二深圳市建文外国语学校校考期中）对于数列，，，，则（ ）
A．1B．2C．3D．-2
【答案】C
【分析】利用数列的递推公式求出数列的前9项，归纳得数列是以6为周期的周期数了，从而可求出的值.
【详解】对于数列，，，，
所以；；；；
；；
；……
故数列的各项依次为1，-2，-3，-1，2，3，1，-2，-3，-1，2，3，……
所以数列是以6为周期的周期数列.
所以.
故选：C
4．（2022春·广东广州·高二校考期中）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式计算作答.
【详解】依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类：
若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有种方法，
最后涂湖南有3种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案种，
若安徽与陕西不同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有3种方法，
涂江西、湖南也各有种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案 种方法，
所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有种.
故选：C
5．（2022春·广东深圳·高二深圳市宝安第一外国语学校校考期中）已知为坐标原点，曲线：在点处的切线交轴于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义可求得在点处切线斜率为，则可得切线方程，令，得到点的坐标，进而求解三角形面积.
【详解】因为，所以点处切线方程为，
令，得，所以的坐标为，
则，
故选：A
6．（2023秋·广东揭阳·高二校考期中）已知数列首项，且当时满足，若的三边分别为、、，则最大角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得数列为等差数列，则可求出、、，然后利用余弦定理求解最大角的余弦值，再利用同角三角函数的关系解出最大角的正弦值.
【详解】解：由题意知：当时，满足，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
则、、分别为，，，
设中最大角为，
则最大角的余弦值为：，
又，
最大角的正弦值为.
故选：D.
7．（2022春·广东佛山·高二顺德市李兆基中学校考期中）若函数有三个极值点，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】把题意转化为函数有三个极值点，即必有两个不等于1的正实数根.利用导数求出，再验证其符合题意.
【详解】的定义域为..
令，显然x=1是方程的一个根.
由函数有三个极值点，可知必有两个不等于1的正实数根.
令，则.
令，有；令，有；
所以，因此有.
此时有两个根a、b，其中，
所以在上，，单调递减；在上，，单调递增；在上，，单调递减；在上，，单调递增.
所以有三个极值点，符合题意.
故.
故选：A
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围；
（4）利用导数研究函数的零点问题.
8．（2022秋·广东广州·高二广州奥林匹克中学校考期末）数列满足：，，记数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由条件求出数列的通项公式，再求数列的前项和为及其范围，再由条件恒成立求的取值范围.
【详解】因为，，所以数列为首项为，公差为1的等差数列，所以，所以，
所以数列的前项和为，
所以，又，所以，
因为恒成立，所以，
故实数的取值范围是，
故选：C.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2022春·广东茂名·高二校考阶段练习）曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由题意求出切线斜率，进而设出切点P的坐标，然后对函数求导，根据导数的几何意义求得答案.
【详解】易知切线斜率为，设，而，所以，则点P的坐标为或.
故选：AB.
10．（2023秋·广东广州·高二广州市第八十六中学校考期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．
D．，总存在，使得成立
【答案】ABD
【分析】利用等差数列求和，分别求出，，进而结合裂项求和法逐个选项进行判断即可得到答案.
【详解】三角形数构成数列，易得；
正方形数构成数列，，易得；
对于A：，故A正确；
对于B：令，解得；
令，解得.故B正确；
对于：∵，
∴，故C错误；
对于D：取，且，则，即，
故，总存在，使得成立，故D正确.
故选：ABD.
11．（2022春·广东深圳·高二深圳市罗湖外语学校校考阶段练习）函数的导函数的图象如图，以下命题错误的是（ ）
A．是函数的极值点B．是函数的最小值点
C．在区间上单调递增D．在处切线的斜率小于零
【答案】BD
【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．
【详解】解：根据导函数图象可知当时，，在时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确；
易知是函数的极小值点，故A正确；
在上单调递增，不是函数的最小值点，故B错误；
函数在处的导数大于0，切线的斜率大于零，故D错误.
故选：BD．
12．（2023春·广东深圳·高二红岭中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．
B．数列是公比为8的等比数列
C．若，则数列的前2023项和为4040
D．若，则数列的前2023项和为
【答案】CD
【分析】由等差数列性质可判断A；结合已知条件可求出等差数列的公差，从而可求出通项公式以及，结合等比数列的定义可判断B；写出，由定义写出的表达式，进行分组求和即可判断C；，裂项相消即可求和.
【详解】由等差数列的性质可知，，故A错误；设的公差为，则有，解得，，故，，
则数列是公比为的等比数列，故B错误；若，
则的前2023项，故C正确；
若，则的前2023项和
，故D正确．
故选:CD．
【点睛】方法点睛:
求数列的前项和常见思路有：1、对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；2、等差数列等比数列时，常采取分组求和法；3、等差数列等比数列时，常采取错位相减法；4、裂项相消法.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2022秋·广东梅州·高二统考期末）某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为，则当s时，弹簧振子的瞬时速度为_________ mm/s.
【答案】0
【分析】根据题意得，进而根据导数几何意义求解时的导函数值即可得答案.
【详解】解：因为，
所以求导得，
所以根据导数的几何意义得该振子在时的瞬时速度为,
故答案为：.
14．（2022春·广东湛江·高二校考阶段练习）设函数，函数的最小值是__________.
【答案】
【分析】求导，求出单调性即可求出最小值.
【详解】由已知，
，
，即函数在上单调递减，
故答案为：.
15．（2023春·广东·高二校联考阶段练习）在数列中，，，则通项公式______.
【答案】
【分析】利用累加法求数列的通项公式，同时右边求和时需要利用裂项相消法求和.
【详解】因为，即
则，
，
所以
，
即，
又因为，所以，
故答案为：
16．（2023·广东江门·统考一模）甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有________种不同的情况.（用数字作答）
【答案】
【分析】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同学在三个位置上全排列，由分步乘法计数原理即可求解.
【详解】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，
先排乙，有第二、三、四名3种情况，
再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，
其他三名同学排在三位置全排列有种，
由分步乘法计数原理可知共有种，
故答案为：.
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2022秋·广东深圳·高二深圳市罗湖外语学校校考阶段练习）已知正项数列，，，是公差为2的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，又，再结合等差数列的求和公式即可求出；
（2）由裂项相消法求解即可.
【详解】（1）由题意，，
因为是首项为3公差为2的等差数列，
所以，
当时，
，
又因为满足，所以，结合，所以.
（2）由（1）和得，所以，
又，
故，
..
18．（2022秋·广东佛山·高二华南师大附中南海实验高中校考阶段练习）已知函数.
(1)若在处的切线方程为，求实数，的值；
(2)记，若在时有极值0，求实数，的值.
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答.
（2）求出函数，利用极值点及极值列式求出a，b并验证作答.
【详解】（1）函数，求导得，
因在处的切线方程为，则，解得，
所以.
（2）依题意，，求导得，
因在时有极值0，则，解得或，
当，，，函数在上单调递增，在处没有极值，
当，时，，当时，，当时，，
则函数在时有极值0，所以，.
19．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前100项和.
【答案】(1)
(2)22950.
【分析】（1）对条件作变形化简，求出通项公式；
（2）分组求和.
【详解】（1） ，
所以 是常数列，即 ；
（2）由（1）知， 是首项为2，公差为3的等差数列，
由题意得 ， ，
设数列，的前50项和分别为，，
所以 ，，
所以的前100项和为 ；
综上， ，的前100项和为.
20．（2023春·广东·高二统考阶段练习）已知数列为等差数列，，，数列满足，
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项的和．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）设数列的公差为，根据等差数列通项公式化简条件求，由此可求数列的通项公式，再由等比数列定义证明数列为等比数列；
（2）利用组合求和法求数列的前n项的和.
【详解】（1）设数列的公差为，
因为，，
所以，
所以，所以，
所以，
所以，
所以数列为等比数列；
（2）由(1) ，
所以，
，
，
，
21．（2022春·广东揭阳·高二普宁市华侨中学校考阶段练习）已知函数（，为自然对数的底数）.
(1)求函数f（x）的单调区间；
(2)求函数f（x）在区间[0，m]上的最大值和最小值.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为;
(2)答案见解析.
【分析】（1）求导后求解导函数的正负区间即可；
（2）根据（1）中的单调区间，分，和三种情况讨论即可
【详解】（1），求导得，因为，
令，即，解得或.
令，即，解得.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）①当时，因为在上递减，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
②当时，因为在上递减，在上递增，且，
所以在上的最大值为，最小值为.
③当时，因为在上递减，在上递增，且，
所以在上的最大值为，最小值为.
22．（2023秋·广东广州·高二华南师大附中校考期末）已知函数.
（1）判断函数的单调性；
（2）若满足，证明：.
【答案】（1）在上是单调递增函数；（2）见解析
【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，最后判断函数的单调性；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系、基本不等式，构造新函数，利用导数进行证明即可.
【详解】（1）函数的定义域是.
因为恒成立，
所以函数在定义域上是单调递增函数.
（2）由（1）知.令，得，
由一元二次方程根与系数关系得，即，
得，
∴
令，则，令，
则，得.
【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，考查了数学运算能力.