通关练21 等差、等比数列的证明-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版选择性必修第二册)

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一、多选题
1．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）记为数列的前项和，下列说法正确的是（ ）
A．若对，有，则数列是等差数列
B．若对，有，则数列是等比数列
C．已知，则是等差数列
D．已知，则是等比数列
2．（2023秋·吉林长春·高二校考期末）设为数列的前项和，若等于同一个非零常数，则称数列为“和等比数列”．则下列结论正确的是（ ）
A．存在等比数列为“和等比数列”
B．非等差、等比数列不可能为“和等比数列”
C．任意一个等比数列一定是“和等比数列”
D．若各项都是正数且公比是的等比数列，满足，则数列为“和等比数列”
3．（2023秋·广西玉林·高二统考期末）已知数列满足：，，，3，4，…，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．对任意，恒成立
C．不存在正整数，，使，，成等差数列
D．数列为等差数列
4．（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知是数列的前项和，，，，则（ ）
A．
B．数列是等比数列
C．
D．
5．（2023秋·江苏淮安·高二统考期末）已知数列和满足，，，．则下列结论不正确的是 （ ）
A．数列为等比数列
B．数列为等差数列
C．
D．
二、解答题
6．（2023秋·天津河西·高二天津市第四十二中学校考期末）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*).
（1）设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；
（2）设cn＝，求证：{cn}是等差数列.
7．（2023秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）在数列中，，，．
(1)设，求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
8．（2023秋·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考期末）已知各项均不为零的数列满足，且.
(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；
(2)令为数列的前项和，求.
9．（2023秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an＞0，且.
（1）证明：{an}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
10．（2023秋·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考期末）在数列中,,,设.
（1）证明：数列是等差数列并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
11．（2023秋·河南信阳·高二统考期末）已知数列前n项和为，，.
(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
12．（2023秋·江苏·高二统考期末）在数列中，，
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，，求数列的前n项和Sn．
13．（2023秋·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末）设数列满足，且.
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设，求数列的前99项和.
14．（2023秋·湖南常德·高二临澧县第一中学校考期末）已知数列的前n项和为，，.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)令，求数列的前n项和.
15．（2023秋·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知数列各项均不为，且，为数列的前项的积，为数列的前项的和，若.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求的通项公式.
16．（2023秋·河北秦皇岛·高二秦皇岛一中校考期末）已知数列满足.且.
(1)证明：为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设为数列的前n项和，求满足不等式的最大正整数n的值.
17．（2023秋·湖北恩施·高二校联考期末）已知函数的图象按向量平移后得到的图象，数列满足（且）.
(1)若，且，证明：是等差数列；
(2)若，试判断中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项；若不存在，请说明理由.
18．（2023秋·湖南岳阳·高二统考期末）设数列的前n项和为，，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和．
19．（2023秋·山东·高二山东师范大学附中校考期末）在数列中，，当时，其前n项和满足．
(1)求证：是等差数列；
(2)设，求的前n项和．
20．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二中学校考期末）已知数列满足，，设.
（1）证明：为等差数列；
（2）求数列的前项和.
21．（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知数列满足，，对任意的时，都有成立.
(1)令，，求证：，都是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
22．（2023秋·河南商丘·高二校联考期末）已知数列满足.
(1)证明：是等比数列.
(2)判断是否可能是数列中的项.若是，求出的最大值；若不是，请说明理由.
23．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期末）在数列{}中，
(1)求证：是等比数列：
(2)求数列{}的前n项和.
24．（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)数列的前项和为，求数列的前项和.
25．（2023秋·浙江衢州·高二浙江省龙游中学校联考期末）已知数列的前项和为.若对任意，都有
(1)求，的值；
(2)求证：数列为等比数列；
(3)记，数列的前项和为，求证： .
26．（2023秋·河北唐山·高二唐山一中校考期末）已知数列满足，，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)记的前项和为，若，均有，求实数的取值范围．
27．（2023秋·重庆北碚·高二统考期末）已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前n项和．
28．（2023秋·天津河西·高二天津实验中学校考期末）已知数列的前项和为，满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
29．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学校考期末）已知正项数列满足，且，设.
(1)求证：数列为等比数列并求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求数列的前项和.
30．（2023秋·北京通州·高二统考期末）已知等差数列的第2项为4，前6项的和为42，数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(3)设，求证：．
31．（2023秋·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考期末）已知数列和数列，满足，且，．
(1)证明数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)证明：．
32．（2023秋·湖北武汉·高二统考期末）已知数列的前项和为，且满足，当时，.
(1)计算：，；
(2)证明为等差数列，并求数列的通项公式；
(3)设，求数列的前项和.