考点17 求数列通项9种常见考法归类-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版选择性必修第二册)

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1.观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
2.等差等比定义求通项
等差数列判定：
①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值；
②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2；
③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.
等比数列的判定方法：
(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列；
(2)等比中项法：即证aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．
3.利用与的关系
依据求出.
已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写
注：an与Sn关系的应用策略
(1)仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含an的关系式或仅含Sn的关系式，即“二者消元留一象”．
(2)究竟消去an留Sn好，还是消去Sn留an好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去an留Sn可以得到简单可求的数列关系，那么就应当消去an留Sn，否则就尝试消去Sn留an，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”．
(3)值得一提的是：数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步学生容易忘记，切记！
4.累加法与累乘法
（1）累加法：形如的解析式
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
注：累加法求通项公式的4步骤
累乘法：形如的解析式
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
注：累乘法求通项公式的4步骤
5.构造法
(1)形如型的递推式：
①待定系数法：（其中均为常数，）
解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.
②待定系数法： （其中均为常数，）.（或其中均为常数）.
解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第①种情况求解.
③待定系数法：
解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.
④待定系数法：
解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.
(2)形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
6.分式型
取倒数法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
考点一 观察法
1．（2023秋·湖北武汉·高二校联考期末）根据数列的前4项“，写出数列的一个通项公式______.
【答案】（或，或分段函数，满足条件均可）
【分析】由前4项的规律，即可写出数列的一个通项公式.
【详解】
故答案为：.
2．（2021秋·河南南阳·高二统考期中）数列的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】代入验证可得.
【详解】A中不适合，B中不适合，C中不适合，
D 中，，都适合，
故选：D.
3．（2022秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）数列1，，，，，…的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据规律写出数列的通项公式
【详解】奇数项为正，偶数项为负，可用来实现，
而各项分母可看作
各项分子均为1，
∴该数列的通项公式为．
故选：A
4．（2023秋·山东济宁·高二嘉祥县第一中学校考期末）观察下面数阵，
则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ）
A．545B．547C．549D．551
【答案】C
【分析】根据数阵中数的排列规律1,3,5,7,9，都是连续的奇数，第一行1个数，第二行2个数，第三行4个数，第四行8个数，，第九行个数，分别求出从左起第1个数的规律，按照此规律求出答案即可.
【详解】根据数阵中数的排列规律1,3,5,7,9，都是连续的奇数，
第一行1个数，
第二行个数，且第1个数是；
第三行个数，且第1个数是；
第四行个数，且第1个数是；
第九行个数，且第1个数是，
第2个数是，第3个数是，则第20个数是，
故选：.
5．（2023·全国·高二专题练习）观察图，点数所成数列的一个通项公式（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】观察为平方数数列.
【详解】由题意，依次点数为1、4、9、16，为完全平方数，故.
故选：B.
考点二 定义法
6．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知数列是公差为1的等差数列，先求出数列的通项公式，再利用与的关系求出即可.
【详解】∵a1 = 1，－ = 1，
∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴，即，
∴（）.
当时，也适合上式，.
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则=（ ）
A．80B．100C．120D．143
【答案】C
【分析】根据，可得，从而可证得数列是等差数列，从而可求得数列的通项，即可得解.
【详解】解：因为，
所以，即，
等式两边开方可得：，即，
所以数列是以首项为，公差为1的等差数列，
所以，所以，
所以.
故选：C．
8．（2022秋·陕西西安·高二校联考期中）在数列中，，，且，则数列的通项公式是__________．
【答案】
【分析】根据确定数列为等比数列，再利用等比数列公式计算得到答案.
【详解】，故是等比数列，，故.
故答案为：
9．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）记首项为1的数列的前n项和为，且时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据化简整理可得，结合等差数列的定义和通项公式可得，即可得结果.
【详解】当时，则，整理得，
故数列是以首项，公差的等差数列，则，即，
故.
故选：C.
考点三 利用an与Sn的关系求通项
10．（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）已知数列的前项和，则_____________
【答案】
【分析】由可直接求得结果.
【详解】.
故答案为：.
11．（2023秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）设数列的前n项和为，且．
(1)求；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）由求得首项，继而得当 时，两式相减可得，从而说明数列为等比数列，求得答案；
（2）由（1）的结论可得的通项公式，利用错位相减法即可求得.
【详解】（1）当 时， ，∴,结合可知,
当 时，由，得，
两式相减得 ，即,
∴是以1为首项，以3为公比的等比数列，
∴ .
（2）由（1）可得，
∴ ，
∴，
∴
，
∴.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，当时，，求.
【答案】
【分析】当时，将代入，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得的表达式.
【详解】当时，，所以，，
整理得，
因为，则，解得，
，，所以，.
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则.
13．（2023春·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试）在正项数列中，，前项和满足，则（ ）
A．72B．80C．90D．82
【答案】A
【分析】已知两边同时除以得数列是等差数列，由等差数列通项公式求得后，再根据求得，从而可得结论．
【详解】由得．，两边同时除以，得．
而．
根据，得．
故选：A．
14．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知数列，时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)为各项非零的等差数列，其前项和为，已知，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据的关系求通项公式；
(2)利用错位相减法求和.
【详解】（1）因为，①
所以当时，，②
①②可得，
所以，
当时，满足上式，
所以.
（2）因为，
且为各项非零，所以，
所以，
所以，
，
所以
，
所以.
15．（2021·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）已知数列满足，数列的前项和为，则__________.
【答案】
【分析】首先利用作差法求出的通项公式，即可得到的通项公式，再用裂项相消法求和即可；
【详解】解：因为①，
当时，，
当时，②，
①减②得：，即，当时显然满足，故，；
，
故答案为：
【点睛】本题考查作差法求数列的通项公式及裂项相消法求和，属于中档题.
考点四 因式分解
16．（2023秋·内蒙古通辽·高二开鲁县第一中学校考期末）已知正项数列的前项和为，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．3D．4
【答案】B
【分析】利用时，整理原式得到，即数列为等差数列，然后根据等差数列的通项公式和前项和公式得到，然后利用换元法和对勾函数的单调性求最小值即可.
【详解】因为，所以当时，，两式相减得，整理得，
因为数列为正项数列，所以，则，数列为等差数列，公差为2，
当时，，解得或-1（舍去），
所以，，则，
令，则，函数在上单调递增，
所以当，即时，取得最小值，最小值为.
故选：B.
17．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为等比数列，且，，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先利用与的关系结合已知条件等式推出数列是等差数列，从而求得数列的通项公式；
（2）利用(1)求，结合等比数列通项公式求得的表达式，然后利用错位相减法求解即可．
【详解】（1）由可得，①
，②
由可得：，
，
，
又数列为正项数列，
所以，
因为，所以，
所以数列为以1为首项，公差为2的等差数列，
故.
（2）由(1)得：，又，，
所以，∵数列为等比数列，设其公比为，
则，所以，
所以，
则，③
，④
得：，
则.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的首项，，前n项和满足，则数列的前n项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题可得，进而可得，然后可得，利用等差数列的定义及求和公式即得.
【详解】由得，
即，
所以，所以，
两式作差，得，即，
所以，
所以或，又，
故，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以数列的前n项和.
故选：A.
考点五 累加法
19．（2023·高三课时练习）在数列中，若，，则的通项公式为______．
【答案】
【分析】将变为，利用累加法即可求得答案.
【详解】由题意可知数列中，，，
故，
所以
，
故答案为：
20．（2023秋·江苏南通·高二统考期末）已知数列首项为2，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.
【详解】由已知得，，则当时，有
，
经检验当时也符合该式．∴.
故选：D
21．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，，求通项公式．
【答案】.
【分析】利用累加法和裂项相消求和法结合已知条件可求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以，
，
，
……，
，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为满足上式，
所以.
22．（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）在数列中，，且，则__________.
【答案】4
【分析】利用递推公式累加即可求解.
【详解】由题意可得，
所以，，……，，
累加得，
所以，
故答案为：4
23．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市渝高中学校校考期末）数列满足，且，则等于（ ）
A．19B．20C．21D．22
【答案】B
【分析】根据题意，将原式变形可得，由累加法分析可得﹒
【详解】根据题意，数列满足，且，
即，
变形可得，
则有，
则，故；
故选：B．
24．（2023秋·河北秦皇岛·高二秦皇岛一中校考期末）已知正项数列满足，，，则（ ）
A．B．1022C．D．
【答案】B
【分析】利用累加法求出数列的通项公式，再列出，利用等比数列求和公式计算可得.
【详解】解：正项数列满足，，，即，，
可得，
，
，
，
累加可得，
，
所以
.
故选：B
考点六 累乘法
25．（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）数列满足，，则______．
【答案】
【分析】利用累乘法求得正确答案.
【详解】
，
也符合上式，
所以.
故答案为：
26．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）在数列中，，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【分析】由题意可得，然后利用累乘法可求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以，，，……，，，
所以，
所以，
因为，所以符号该式，
故答案为：
27．（2023·高三课时练习）在数列中，若，，则的通项公式为______．
【答案】
【分析】将变为，利用累乘法即可求得答案.
【详解】由题意知，故，
故
，
故答案为：
28．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期末）已知，，则数列的通项公式是（ ）
A．nB．C．2nD．
【答案】C
【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得；
【详解】解：由，得，
即，
则，，，…，，
由累乘法可得，因为，所以，
故选：C．
29．（2023·全国·高三专题练习）设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式=___________
【答案】
【分析】由条件可得，化简得，再由递推即可得到所求通项.
【详解】由，得，
∵，∴，∴ ，∴，
∴，
又满足上式，∴.
故答案为：.
30．（2023·全国·高三专题练习）数列满足：，，则的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】先由条件得，再结合累乘法求得的通项公式即可.
【详解】由得，，
则，
即，又，所以.
故答案为：.
考点七 构造法
31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an} 满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为
A．B．C．an=n+2D．an=（ n+2）·3 n
【答案】B
【详解】由题可知，将，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得；
32．（2023·湖南邵阳·统考一模）已知数列满足，，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题意得到，利用累加法求出的通项公式；（2）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）因为，，，，
可得，，
又，
则当时，
，
上式对也成立，所以，；
（2）由，
可得，
则数列的前项和为
.
33．（2023·高三课时练习）在数列中，若，，，则数列的通项公式为______．
【答案】
【分析】先根据递推关系可推得为等比数列，并求得该数列通项公式，再利用累差法求得通项.
【详解】，
为等比数列，首项为，公比为，，
，，
又，，
又符合上式，所以.
故答案为：
34．（2023·全国·高三专题练习）已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．数列为等比数列
C．D．
【答案】D
【分析】A选项，计算出，故不是等比数列，A错误；
B选项，计算出的前三项，得到，B错误；
C选项，由题干条件得到，故为等比数列，得到，故，，……，，相加即可求出，C错误；
D选项，在的基础上，分奇偶项，分别得到通项公式，最后求出.
【详解】由题意得：，，
由于，故数列不是等比数列，A错误；
则，，，
由于，故数列不为等比数列，B错误；
时，，即，
又，
故为等比数列，首项为2，公比为3，
故，
故，，……，，
以上20个式子相加得：，C错误；
因为，所以，两式相减得：
，
当时，，，……，，
以上式子相加得：，
故，而也符和该式，故，
令得：，
当时，，，……，，
以上式子相加得：，
故，而也符号该式，故，
令得：，
综上：，D正确.
故选：D
【点睛】当遇到时，数列往往要分奇数项和偶数项，分别求出通项公式，最后再检验能不能合并为一个，这类题目的处理思路可分别令和，用累加法进行求解.
35．（2023·上海静安·统考一模）已知数列满足：，，，对一切正整数成立．
(1)证明：数列{}是等比数列；
(2)求数列的前项之和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；
(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式求解出数列的通项公式，再利用分组求和即可得到结果.
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，对一切正整数成立，∴，
即． ∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．
（2）由(1)知，，
∴
,
当n=1时，满足上式，
综上所述，.
设数列的前项之和为，则=．
36．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末）若数列满足，且对于都有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，由题意可证得数列是以为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列的通项公式，再由裂项相消法求和即可得出答案.
【详解】因为对于都有，
，令，
所以，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列.
所以，
所以，
所以，，……，
，
将这项累加，则，
所以，
则，
所以.
故选：D.
考点八 分式型倒数法
37．（2021·高二课时练习）已知数列满足，若，则数列的通项公式______；若，则数列的通项公式______．
【答案】
【分析】由可得，利用等差数列通项公式即求；由可得，再利用等比数列通项公式即求.
【详解】当时，得，
又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，所以数列的通项公式．
当时，得，所以．
又，所以，所以数列是以2为首项，
2为公比的等比数列，所以，所以数列的通项公式．
故答案为：；.
38．（2023·全国·高二专题练习）已知数列中，且，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到，代入即可.
【详解】由得：，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，，
，.
故选：A.
39．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，则满足的n的最大取值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】将递推公式两边取倒数，即可得到，从而得到数列是以1为首项，4为公差的等差数列，即可求出的通项公式，再解不等式即可．
【详解】解：因为，所以，所以，又，
数列是以1为首项，4为公差的等差数列．
所以，所以，由，即，即，解得，因为为正整数，所以的最大值为；
故选：C
40．（2023秋·山西大同·高二大同一中校考期末）数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简得到，记，得到，是以为公差的等差数列，计算得到答案.
【详解】由，
故，记，则，
两边取倒数，得，所以是以为公差的等差数列，
又，所以，所以，
故.
故选：C.
【点睛】本题考查了数列的通项公式，确定是以为公差的等差数列是解题的关键.
考点九 周期数列
41．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）数列满足，，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【分析】根据递推公式求得数列中的前几项，从而得到数列的周期，由此即可求得的值.
【详解】因为，，
所以，
所以数列是以3为周期的周期数列，
故.
故选：A.
42．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据递推关系逐步代入可发现数列是一个周期数列，即可得出答案．
【详解】，，
，，，，，
数列是以为周期的周期数列．
又，
．
故选：B．
43．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）已知数列满足：，，，，则（ ）.
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】把递推关系式里的换成，结合得到
，然后把上式的的换成得到周期.
【详解】
即
又
是以为周期的周期数列.
故选：C
44．（2023秋·广东广州·高二广州市第六十五中学校考期末）在数列{}中，=2，，（ ）
A．2B．1C．D．－1
【答案】D
【分析】结合递推公式可求得数列是周期为3的周期数列，然后利用递推数列求出第3项即可求解.
【详解】由题意，，
故，，
故数列是周期为3的周期数列，
从而，
由知，，，
故.
故选：D.