初中数学最值问题经典100题 特级教师改编初中几何模型24讲

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1.解 延长BC至点，使，连接、，如图4.1所示，
∴AC垂直平分，∴，∴AC平分.
∵，∴，∴为等边三角形.
∵点P为AC上一点，∴，∴，
当且仅当、P、D在同一直线上时，如图4.2所示，取得最小值.
在中，，，∴，
故答案是C.

思路点拨:
这是典型的“将军饮马”型线段和最值问题，利用对称法将动线段构造至动点P所在直线的两侧；根据“两点之间线段最短”找到最小值位置，利用勾股定理进行计算即可.
拓展 若点D为边AB上任意一定点，则依旧可以根据勾股定理和60°特殊角计算的长度；若点D是边AB上的一动点，则将变为一条动线段，利用“垂线段最短”可确定最值位置还是在中点处.
2.如图3.2所示，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足，则点P到AB两点距离之和PA+PB的最小值为 .
2.解 令点P到AB的距离为d.
∵，∴，
∴点P为到AB距离为2的直线、上的点.
直线、关于AB对称，因此选其中一条进行计算.
作点B关于直线的对称点，连接、、，如图4.3所示，
∴，
当且仅当A、P、三点共线时取得最小值，如图4.4所示.
在中，，，
∴，
故的最小值是.
思路点拨:
这是典型的“将军饮马”型线段和最值问题.根据题目中中给出的面积关系，可判断点P的运动轨迹为直线（或称为“隐线”）；利用轴对称的性质，构造对称点，再运用线段公理获得不等式；根据勾股定理计算最值.
3.如图3.3所示，在矩形ABCD中，AD=3，点E为边AB上一点，AE=1，平面内动点P满足，则的最大值为 .
3.解 令点P到AB的距离为d.
∵，∴，
∴点P在到AB距离为2的直线、上，如图4.5所示.
作点E关于直线的对称点，连接并延长交直线于点P，连接EP，如图4.6所示，
∴.
当点P在直线上时，，当且仅当D、、P三点共线时取得最大值.
当点P在直线上时，，当且仅当D、E、P三点共线时取得最大值，如图4.7所示.
在Rt△ADE中，，，∴，
∴，
∴当点P为DE的延长线与直线的交点时有最大值.
思路点拨:
解法如题2，需要找出满足条件的点P所在的“隐线”，这里两条直线均要考虑（因为图形不对称）.由于两边之差小于第三边，在共线时取得最大值，故遵循“同侧点直接延长，异侧点需对称后再延长”的规律，分别计算最大值并进行大小比较.
特别说明 笔者认为这里的最大值只能取一个值.改编此题的目的是让大家不要忽略矩形外的“隐线”，毕竟题中叙述点P时用的是“平面内”，而非“矩形内”.
4.已知，则y的最小值为 .
4.解 原式.
建立平面直角坐标系，设，，，则AB在x轴的两侧，
∴，，
∴，
当A、P、B三点共线时，y值最小，∴.
思路点拨:
若将式子看作函数，对于初中生来说解题难度较大.若换个角度，将每一个根式都看作是两点间的距离（距离公式是平面直角坐标系中的勾股定理），则将问题转化为我们熟悉的几何最值模型——两点之间线段最短.
5.已知，则y的最大值为 .
5.解 原式.
建立平面直角坐标系，设，，，
∴，，
∴，
当A、P、B三点共线，即点P在AB延长线上时y值最大，∴.
思路点拨:
阅读题目时需观察清楚“＋”或“－”，切不可盲目下笔.本题与题4形式相似，解法相近，但是又有所不同.将代数式转化为平面直角坐标系中的两条线段的差；利用三边关系中的两边之差小于第三边，共线时取等找到最大值.
6．如图3.4所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，点D是边AB上一动点，连接CD，以AD为直径的圆交CD于点E，则线段BE长度的最小值为 ．
解：连接AE，取AC得中点F，连接EF，如图4．8所示
∵AD是圆的直径
∴∠AED＝90°
∴∠AEC＝90°
∴EF＝AC＝2
∴点E的轨迹为以点F为圆心的圆弧（圆的定义）
∴BE≥BF－EF
当且仅当B、E、F三点共线时等号成立，如图4．9所示
在Rt△ABF中，AF＝2，AB＝4
∴BF＝＝＝2，
∴＝BF－EF＝2－2
思路点拨
阅读题目时要找到三条关键信息：点E为圆周上一点，AD所对的圆周角是90°，∠DEC是平角，连接AE后就找到了定弦定角（或斜边上的中线），若一个角的度数和其所对的一条线段均为定值，则这个角的顶点的轨迹为圆（根据题目需求判断是否需要考虑两侧）．因此判断出点E的轨迹是圆（不是完整的圆，受限于点D的运动范围）．根据三角形的三边关系，知B、E、F三点共线时BE取得最小值．
7．如图3.5所示，正方形ABCD的边长是4，点E是边AB上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P时边AB上另一动点，则PD＋PG的最小值为 ．
解：取BC得中点F，连接GF，作点D关于AB的对称点D′，连接D′P、D′A，如图4.10所示．
∴DP＝D′P
∵∠BGC＝90°，点F为BC的中点
∴GF＝BC＝2
∵PD＋PG＝PD′＋PG≥D′G
又D′G＋GF≥D′F
∴PD＋PG＋GF≥D′F－GF
如图4．11所示，当且仅当D′、P、G、F四点共线时取得最小值．
根据勾股定理得D′F＝＝2
∴PD＋PG的最小值为2－2
思路点拨
不难发现∠BGC＝90°是个定角，因此点G的轨迹为以BC为直径的圆（部分），可以通过斜边上的中线构造长度不变的动线段，再利用三边关系求解．
8．如图3.6所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为边AD、DC上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为边BC上一动点，则PA＋PG的最小值为 ．
解：作点A关于BC的对称点A′，连接A′B、A′P、DG，如图4.12所示
∴PA′＝PA
∴PA＋PG＝PA′＋PG
∵∠ADC＝90°，EF＝2
∴DG＝EF＝1
∵PA′＋PG＋DG≥A′D
∴PA′＋PG≥A′D－DG
如图4．13所示，当且仅当A′、P、G、D四点共线时等号成立
根据勾股定理得
A′D＝＝＝5
∴PA＋PG的最小值为4．
思路点拨
与题7的已知条件是相似的，解法几乎一致，抓住核心条件，线段EF始终不变，线段EF所对的角为直角，因此斜边上的中线DG始终不变，从而判断出点G的轨迹图形为圆．利用轴对称的性质将线段和最小值问题转化为点到动点的距离最小值问题，再根据圆外一点到圆周上一点的距离最值求解．
9．在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(a，2)，C(0，m)，D(n，0)，且m2＋n2＝4，若点E为CD的中点，则AB＋BE的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．25
解：∵C(0，m)，D(n，0)，m2＋n2＝4，
∴CD2＝4，
∴CD＝2
在Rt△COD中，点E为CD的中点
∴OE＝1，即点E在以O为圆心，1为半径的圆上．
作图4．14，连接OE，过点A作直线y＝2的对称点A′，连接A′B、A′O
∴A′(3，4)
∴AB＋BE＝A′B＋BE＝A′B＋BE＋EO－EO≥A′O－EO
如图4.15所示，当且仅当A′、B、E、O四点共线时等号成立．
根据勾股定理得A′O＝＝5
∴AB＋BE的最小值为4
思路点拨
根据两点之间的距离公式m2＋n2＝CD2，得到CD的长度；由已知条件判断出OE为斜边上的中线，OE＝CD（定值）；根据圆的定义可知点E的轨迹是以坐标原点为圆心、CD为半径的圆；利用对称的性质将线段和的最值问题转化为圆外一点到圆周上一点的距离最值问题．
10．如图3.7所示，AB＝3，AC＝2，以BC为边向上构造等边三角形BCD，则AD的取值范围为 ．
解：以AB为边向上作等边△ABE，连接DE，如图4．16所示
∴AB＝BE，CB＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°－∠CBE
在△ABC和△EBD中
∴△ABC≌△EBD(SAS)
∴DE＝AC＝2
∴点D的轨迹是以点E为圆心，2为半径的圆．
∴AE－ED≤AD≤AE＋ED
如图4．17和图4．18所示，当且仅当A、E、D三点共线时取得最值
∴1≤AD≤5
思路点拨
这样理解AB＝3，AC＝2这个条件：固定一边AB，∠CAB可以自由变化，因此点C的轨迹是以点A为圆心、2为半径的圆．通过构造全等图形找出点D的运动轨迹．利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题．
拓展 本题的解法较多，对于“定点＋动点”的最值问题，探究动点的轨迹图形时直接的方法．
11.如图3.8所示，AB=3，AC=2，以BC为腰（点B为直角顶点）向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为 ；

解答：以AB为腰做等腰直角△ABE（∠ABE=90°），连接DE，如图4.19所示，
∴AE=2AB=32，∠ABC=∠EBD=90°－∠CBE，
在△ABC和△EBD中
AB=BE∠ABC=∠EBDCB=BD
∴△ABC≌△EBD（SAS）
∴ED=AC=2
∴点D的轨迹为以点E为圆心、2为半径的圆
∴AE－ED≤AD≤AE＋ED
如图4.20和图4.21所示，当且仅当A，E，D三点共线时取得最值，
∴32－2≤AD≤32＋2
思路点拨：解题方法基本同上题，也是通过构造全等图形找出点D的运动轨迹上，再利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题
12. 如图3.9所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为 ，
解答：以AB为底边构造等腰直角△AEB（∠AEB=90°），连接DE，如图4.22所示，
∴AE=22AB=22，∠EBA=∠CBD=45°
∵ABEB=CBDB=2∠ABC=∠EBD=45°－∠CBE
∴△ABC∽△EBD
∴DE=22AC=2
∴点D的轨迹为以点E为圆心、2 为半径的圆
AE－ED≤AD≤AE＋ED
如图4.23和图4.24所示，当A、E、D三点共线时取得最值
∴2≤AD≤32
思路点拨：与前面两题不同的是，由于旋转中心不再是等腰三角形顶角的顶点，因此构造全等图形变成构造相似图形，从而找出点D的运动轨迹，最后根据圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题
13. 如图3.10所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的取值范围为 ，
解答：以AB为底边构造等腰直角△AEB（∠AEB=90°），连接DE，如图4.25所示，
∴AE=22AB=22，∠EBA=∠CBD=45°
∵ABEB=CBDB=2∠ABC=∠EBD=45°－∠CBE
∴△ABC∽△EBD
∴DE=22AC=2
∴点D的轨迹为以点E为圆心、2 为半径的圆
延长AE至点Q，使AE=EQ，连接PQ、BQ，
∵AD=DP，∴DQ=2DE=22
如图4.23和图4.24所示，当A、E、D三点共线时取得最值
∵BE垂直平分AQ，∴AB=BQ
∵∠QAB=45°，∴△ABQ为等腰直角三角形，∴BQ=AB=4
∴BQ－PQ≤PB≤BQ＋PQ
如图4.26和图4.27所示，当B、P、Q三点共线时取得最值
∴4－2 2≤PB≤4＋2 2
思路点拨：注意到点P的产生与中点有关，点P的运动与点D“捆绑”在一起，故可通过构造中位线来判断点P的运动轨迹，再利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题
14. 如图3.11所示，正六边形ABCDEF的边长为2，两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动，则顶点D到坐标原点O的距离的最大值和最小值的乘积为 ；
解答：取AB的中点G，连接DG、OG，如图4.28所示，
∵∠AOB=∠xOy=90°，∴OG= 12AB=1，
连接DB、OD
∴△DCB为等腰三角形
∵∠C=120°，∴∠DBC=30°，DB= 3DC=2 3，
∴∠DBA=120°－30°=90°
在Rt△DGB，GB=1，∴DG=DB2+GB2=232+12=13
∴DG－OG≤OD≤OG＋DG
当且仅当O、G、D三点共线时取得最值
D、G在点O同侧时取得最大值，在点O异侧时取最小值，如图4.29所示，
∴13－1≤OD≤13＋1
∴OD的最大值和最小值乘积为13-113+1=12
思路点拨：这个是“墙角”型问题，类似于梯子在墙角滑动，将墙角变为平面直角坐标系，这样移动的范围能扩大到负方向；利用“墙角”产生的直角，以及AB边长不变的特点，作出AB的中点G，利用斜边上的中线OG和位置固定的两点D、G来构造两条大小不变、位置变化的线段OG、DG；利用两边之和与两边之差得到OD的最大值和最小值；
另辟蹊径：利用相对运动的知识，我们假设正六边形是不变的，坐标系可以绕着正六边形运动；利用∠AOB=90°，AB=2，判断出点O的运动轨迹为一个圆，如图4.30所示，
利用圆外一点到圆周上的距离最值解得OD的最大值和最小值；读者可以自行计算验证
15. 如图3.12所示，AB=4，点O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，△PBC是以PB为直角边的等腰直角三角形（点P、B、C按逆时针方向排列），则AC的取值范围为 ；

解答：如图4.31所示，以OB为腰向上构造等腰直角△OBQ，连接OP、CQ、AQ；
在等腰直角△OBQ和等腰直角△BPC中，CBBP=QBBO=2，∠QBO=45°，
∴∠CBQ=45°－∠QBP=∠PBO，∴△CBQ∽△PBO
∴OPCQ=OBBQ=22，∴CQ= 2
∴点C在以点Q为圆心， 2为半径的圆上，
∵OQ=OB=OA=2，∠QOB=90°
∴AQ= AQ2+OQ2=2 2
∴AQ－QC≤AC≤AQ＋QC
如图4.32和图4.33所示，当且仅当A、C、Q三点共线时取得最值，
∴2≤AC≤3 2
思路点拨：由于△PBC形状固定，两个动点P、C到点B的距离之比始终不变，这是比较典型的位似旋转，也可理解为点P、C“捆绑”旋转；旋转过程中，点C的轨迹与点P的轨迹图形相似，相似比为2:1；利用相似找出动点C轨迹的圆心，AC的最值即定点A到定圆上一动点的距离的最值
16.如图3.13所示，⊙O的半径为3，Rt△ABC的顶点A、B在⊙O上，∠B＝90°，点C在⊙O内，且tanA＝.当点A在圆上运动时，OC的最小值为( )
A. B. C. D.
答案：连接OB，过点B向下作BD⊥OB，取BD＝OB，连接AD，如图4.34所示.
∵∠CBA＝∠OBD＝90°，∴∠OBC＝90°－∠OBA＝∠DBA.
∴＝＝，∴△OCB∽△DAB，∴＝.
∵AD≥OD－OA＝－OA＝2，当且仅当O、A、D三点共线时取得最值，
∴OC＝AD≥×2＝.
思路点拨
又是比较典型的位似旋转问题，我们利用相似的性质将OC的最值问题转化为AD的最值问题.通过旋转型相似构造Rt△OBD，其中∠OBD＝90°，∠ODB＝∠CAB，因此点D为定点.另外，由△OCB∽△DAB得到OC和AD之间的固定比例，从而可利用AD的最值求解OC的最值.AD的最值即为圆外一点到圆周上一点的距离最值.
另辟蹊径根据直径所对的圆周角为90°，找到直径AD，而∠ACD＝180°－∠ACB为定值，因此由定弦定角得出点C的轨迹为圆弧，可根据图4.35所示计算OC的最小值.
17.如图3.14所示，在平面直角坐标系中，Q(3，4)，点P是以Q为圆心、2为半径的⊙Q上一动点，A(1，0)，B(－1，0)，连接PA、PB，则PA2＋PB2的最小值是___________.
答案：连接OP、QP、OQ，如图4.36所示.设P(x，y).
根据两点距离公式得
∴PA2＝(x－1)2＋y2，PB2＝(x＋1)2＋y2，
∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2(x2＋y2)＋2.
∴OP＝，∴OP2＝x2＋y2，∴PA2＋PB2＝2OP2＋2，
要求PA2＋PB2的最小值，即求OP2的最小值，也就是求OP的最小值，∴OP≥OQ－PQ，
如图4.37所示，当且仅当O、P、Q三点共线时取得最值，
∴OP＝5－2＝3，∴PA2＋PB2＝2OP2＋2≥2×32＋2＝20.
思路点拨
根据PA2＋PB2这样的形式，产生两个联想，一是勾股定理，二是坐标公式.要使用勾股定理，就得把PA和PB构造为两条直角边，在题图中难以实现，所以转而利用坐标公式表达，我们便发现PA2＋PB2与OP2的联系，而OP的最小值即圆外一点到圆周上一点的距离最小值.
弦外之音 我们会发现，虽然点P在动，但OP始终是△ABP边AB上的中线，且AB是个定值，我们可以直接利用中线长公式得到PA2＋PB2＝2OP2＋，接下来的计算和上面是一致的.公式的应用有助于对思路的拓展，因此学有余力的同学可以自行推导中线长公式(仅用勾股定理即可).
18.如图3.15所示，两块三角尺的直角顶点靠在一起，BC＝3，EF＝2，G为DE上一动点.将三角尺DEF绕直角顶点F旋转一周，在这个旋转过程中，B、G两点的最小距离为___________.
答案：在Rt△DEF中，CE＝2，∠CDE＝30°，∴DF＝2，DE＝4.
如图4.38所示，当点G与点D重合时，CGmax＝DF＝2，
当CG⊥DE时，CGmin＝h＝＝＝，
∴≤CG≤2.
当CG＝3时，以C为圆心、CG为半径的圆恰好经过点B.
在△DEF旋转的过程中，点G会经过点B.
因此，当BG恰好重合时，BG取得最小值为0.
思路点拨
这是个“特别”的题，点G是DE上一动点，因此在转动的过程中，点G的轨迹不是线而是面，这个面的形状为以点C为圆心、分别以CGmin和CGmax为半径的同心圆环，点B也在这个“面轨迹”中，因此BG的最小值为0.
19.如图3.16所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为( )
A.1 B. C. D.2
答案：连接BD，如图4.39所示.
∵△ADC与△ABC关于AC对称，∠ACB＝30°，∴BC＝CD，∠BCD＝60°，
∴△BDC是等边三角形，∴BD＝CD，∠BDC＝∠BCD＝60°.
在△BDE和△DCF中，BD＝CD，∠BDC＝∠BCD，DE＝CF，
∴△BDE≌△DCF(SAS)，∴∠BED＝∠DFC.
∵∠BED＋∠PEC＝180°，∴∠PEC＋∠DFC＝180°，
∴∠DCF＋∠EPF＝∠DCF＋∠BPD＝180°.
∵∠DCF＝60°，∴∠BPD＝120°.
∵点P在运动中保持∠BPD＝120°，
∴点P的运动路径为以A为圆心、AB为半径的120°的弧.
当C、P、A三点共线时，CP能取到最小值，如图4.40所示，
∴CP≥AC－AP＝2，即线段CP的最小值为2.
思路点拨
需要熟悉等边三角形中的常见全等图形.因为点P在运动中保持∠BPD＝120°，BD又是定长，所以点P的路径是一段以点A为圆心的弧，于是将CP的最小值转化为圆外一点到圆上一点的距离最小值.
20.如图3.17所示，sinO＝，长度为2的线段DE在射线OA上滑动，点C在射线OB上，且OC＝5，则△CDE周长的最小值为___________.
答案：过点C作CC'∥DE且CC'＝DE，连接C'E，如图4.41所示，
∴四边形CC'ED为平行四边形，∴C'E＝CD.
作点C关于OA的对称点C″，连接C″E、C″D、C″C，∴CE＝C″E，
∴CD＋CE＝C'E＋CE＝C'E＋C'″E≥C'C"，
当且仅当C'、E、C"三点共线时取得最值，如图4.42所示.
∵CC"关于OA对称，∴OA垂直平分CC"，
∴CC"＝2CF＝2OC·sinO＝6.
在Rt△CC'C"中，C'C"＝＝2，
∴△CDE周长的最小值为2＋2.
思路点拨
因为DE为定值，所以△CDE周长的最小值问题转变为CD＋CE的最小值问题.似“饮马”非“饮马”，注意观察，这是一定两动问题.利用平移将动线段DE“压缩”为一个动点；轴对称后根据两点之间线段最短找到最小值线段，再根据勾股定理计算即可解决问题.
21、如图3.18所示，在矩形ABCD中，AB=6，MN在边AB上运动，MN=3，AP=2，BQ=5，则PM+MN+NQ的最小值是______________。

解：作，作点关于直线AB的对称点，连接，连接、，作于点H，如图4.43所示，四边形MNQQ’为平行四边形，，
，如图4.44所示，当P、M、三点共线时，取得最小值。关于AB对称，，AH=BQ=5，PH=AP+AH=2+5=7。在Rt△PH中，=3，，PM+MN+NQ的最小值为3+。

思路点拨：作∥，使得，作点关于AB的对称点，连接，当P、M、三点共线时，PM+MN+NQ的值最小。作，利用勾股定理求出即可解决问题。
22、如图3.19所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=900，AB=6，D为AB的中点，E为CD上的点，且CE=2DE，PQ为AB上的动线段，PQ=1，F为AC上的动点，连接EQ、FP，则EQ+FP的最小值为__________。

解：过点E作EE’∥PQ，取EE’=PQ=1，作点E’关于AB的对称点E’’，连接E’P、E’’P，如图4.45所示，四边形EE’PQ为平行四边形，E’P=E’’P，E’P=EQ，EQ+FP=E’P+FP=E’’P+FPE’’F，如图4.46所示，当且仅当E’’、P、F三点共线且E’’F⊥AC时取到最小值。当E’’F⊥AC时，设E’E’’与AD的交点为G，E’’F与AD的交点为H，如图4.47所示。E’与E’’关于AB对称，E’’G=E’G=ED=1，AG=2，∠A=450，∠FHA=∠E’’HG=450，HG=E’’G=1，AH=AG－HG=1。在等腰直角△AFH和△HGE’’中，AH=1，HG=1，FH=，E’’H=，E’’F=E’’H+FH=，当E’’F⊥AC时，E’’F取得最小值为。

思路点拨：作EE’∥PQ，取EE’=PQ，构造平行四边形，将EQ+FP的长度转化为E’P＋FP的长度来找最小值。作对称点，构造“将军饮马”模型，再利用“垂线段最短”求出最小值。与题21类似，本题也要将线段PQ“压缩”为一个点，属于平移后求垂线段长度的问题。
23、如图3.20所示，在正方形ABCD中，AB=4，E、F分别为AB、AD的中点，MN和PQ分别是边BC、CD上的线段，MN=PQ=1，依次连接EM、NP、QF、EF，则六边形EMNPQF周长的最小值为____________。

解：分别过点E、F作BC、CD的平行线，截取EE’=FF’=MN=PQ，作点E’关于BC的对称点E’’，点F’关于CD的对称点F’’，连接E’N、E’’N、F’P、F’’P，如图4.48所示，四边形EE’NM和四边形FF’PQ为平行四边形，EM=E’N，FQ=F’P。点E’、E’’关于BC对称，N为BC上的点，E’N=E’’N。同理，F’P=F’’P。六边形EMNPQF的周长=EM+MN+NP+PQ+FQ+EF，其中MN、PQ、EF为定值，要求周长最小值即求EM+NP+FQ的最小值。EM+NP+FQ=E’’N+NP+F’’PE’’F’’，如图4.49所示，当E’’、N、P、F’’四点共线时取到最小值。建立如图4.50所示的坐标系，由题意得点E的坐标为（0，2），E’（1，2），E’’（1，－2）。同理可得F’’（6，3），E’’F’’=。AE=AF=2，EF=AE=，六边形EMNPQF的周长最小值为＋2。

思路点拨：本题中有两条定线段平移，那我们就仿照上两题的方法平移两次即可。分别构造平行四边形EE’NM和平行四边形FF’PQ，将六边形EMNPQF的周长最小值问题转化为E’’N+NP+F’’P的最小值问题（属于“邮差送信”问题），依旧作出对称点，根据两点之间线段最短求出最小值。这里求解最小值时用到了平面直角坐标系，这是“偷懒”的一种计算方法，相当于在平面直角坐标系的背景下应用勾股定理，亦可根据勾股定理求解E’F’。与题21，题22相比，本题是两次平移后的“两点之间距离”问题。
24、如图3.21所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E、F分别为AD、BC上的动点，且EF⊥AC，连接AF、CE，则AF+CE的最小值为_____________。

解：过点C作CG∥EF，且CG=EF，连接FG、AG，如图4.51所示，四边形ECGF为平行四边形，EC=FG。在图4.52中，过点B作BH∥EF，四边形BFEH为平行四边形，EF=BH。EF⊥AC，△ABC∽△HAB，BH：AC=EF:AC=AB:BC。综上所述，CG⊥AC且CG=EF=，G为定点，AF＋CE=AF＋FGAG，如图4.53所示，当A、F、G三点共线时取到最小值。在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，AC=，在Rt△ACG中，AG=。

思路点拨：本题要求两条线段和的最小值，而对分开的两线段不易判断最值的问题，所以需要将它们合并起来，可采用的方法是全等转换，我们这里使用的是平移变换。将线段CE平移至以点F和另一个固定点G为端点的线段位置，即可根据两点之间线段最短解决最小值问题。
25、如图3.22所示，在▱ABCD中，AD=7，AB=，∠B=600，E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为____________。

解：如图4.54所示，将△ABE平移，△ABE≌△DCF，AE=DF，BE=CF。在▱ABCD中，AD=BC，AD=EF，四边形AEFD的周长=2AD＋2AE=14＋2AE。如图4.55所示，当AE⊥BC时，AE取得最小值。在Rt△ABC中，∠B=600，AE=AB.=3，四边形AEFD周长的最小值=14＋6=20。

思路点拨：四边形AEFD依旧是一个平行四边形，周长等于2（AD＋AE），故将四边形AEFD周长的最小值问题转化为AE的最小值问题。根据“点到直线，垂线段最短”即可解决问题。
26.如图1所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，点D、E分别是AB、AC的中点，点G、F在BC边上（均不与端点重合），DG∥EF.将△BDG绕点D顺时针旋转180°，将△CEF绕点E逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN，则四边形MGFN周长l的取值范围是________.
图1
26.解：由题意得△BGD≌△AMD，
∴∠M＝∠DGB，
∴AM/∥BG，
∴四边形MGFN为平行四边形，
∴l＝2（GF＋GM）.
∵GF＝MN＝BG＋CF＝BC－GF，
∴GF＝BC＝，
∵GM＝2DG，
.∴当DG取得最小值时，四边形MGFN的周长最小；同理，当DG取得最大值时，四边形MGFN周长最大.
如图1和图2所示，当DG⊥BC时，DG取得最小值；若点G与点B重合，则DG取得最大值.

图1 图2
当DG⊥BC时，
∵∠B是公共角，
∴△BDG∽△BCA，
∴BD∶BC＝DG∶AC，
∴DG＝，
∴≤DG＜2，
∴≤l＜13
思路点拨：四边形MGFN为平行四边形，而GF为定值，所以将周长的取值范围问题转化为线段DG（EF）的取值范围问题，当DG⊥BC时DG取得最小值；由于点G、F与端点均不重合，因此最大值取不到.
27.如图1所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB.若CD＝3，则S△ABC的最小值为_______.
图1
27.解：取AB的中点E，连接CE，如图1所示，
图1
∴CE＝AB.
∵CD⊥AB，.
∴CE≥CD，
∴AB≥2CD＝6，
当且仅当D为AB的中点时取到最小值，∴S△ABC的最小值为9.
思路点拨
CD为定值，则当AB最小时，S△ABC取得最小值.根据“斜边上的中线等于斜边的一半”和“垂线段最短”，找到当D为AB的中点时，AB取得最小值为2CD.直角三角形中斜边上的中线是一个比较容易被忽略的知识点，尤其是在需要主动去构造的时候.
28.如图1所示，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心、2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点且点P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点B，与y轴相交于点A，则线段AB的最小值是________.
图1
28.解：取AB的中点Q，连接OP、OQ，如图1所示，
图1
∴OQ＝AB.
∵OP≤OQ，
∴AB≥OP，
∴AB≥4，
即AB的最小值为4，此时△AOB为等腰直角三角形.
思路点拨
要求AB的最小值，只需取AB的中点，求出斜边上的中线的最小值，根据“垂线段最短”，AB的最小值在OP与斜边上的中线重合时取到.
29.如图1所示，在矩形ABCD中，BC＝8，AB＝6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF＋GH的最小值是______.
图1
29.解：设切点为N，连接OD、ON，作出AC边上的高DM，如图1所示.
图1
∵∠ADC＝90°，
∴EF为⊙O的直径，AC＝＝10，
∴EF＝OD＋ON≥DM，
当且仅当切点为点M时EF取到最小值，
∴EFmin＝DM＝＝＝4.8.
∵矩形为中心对称图形，
同理，GHmin＝EFmin＝4.8，
∴(EF＋GH)min＝9.6.
恩路点拨
虽然目标式是EF＋GH的组合形式，但是观察后发现两个线段可独立求解最值.由于矩形为中心对称图形，因此EF和GH的最小值显然是相等的，于是将问题转化为求EF的最小值，注意到EF是圆的直径，根据“垂线段最短”，可知圆的最短直径是△ACD斜边上的高线.
30.如图1所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.点D、E分别为AC、BC边上的动点，且DE＝3，以DE为直径作⊙O，交AB于M、N，则MN的最大值为_______.
图1
30.解：过点O作OG⊥AB，连接ON、CO，如图1所示，
图1
∴ON＝r＝DE＝，
∴GN＝GM＝MN.
在Rt△OGN中，GN²＝ON²－OG²，其中ON为定值，故当OG取最小值时，GN取得最大值，即MN取得最大值.
过点C作CH⊥AB.
在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5.
∵S△ABC＝AC·BC＝CH·AB，
∴CH＝≤CO＋OG，
∴OG≥－＝,
∴GNmax＝＝，
∴MNmax＝2GNmax＝.
思路点拨
DE为定值，即⊙O的半径为定值，故当弦MN上的垂径最短时，MN取得最大值，根据“垂线段最短”找出OG最短时垂足的位置.
31.如图3.28所示，在△中，，，，为的中点，为上的动点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，则线段的最小值为。
解：如图4.62所示，过点作于点，则
由题意可得，，
∴
在△和△中
∴△≌△(AAS)
∴
∴
当，即点与点重合时，，
∴线段的最小值为
32.如图3.29所示，已知，为上一点，于点，四边形为正方形，为射线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接。若，则的最小值为。
解：连接，如图4.64所示
在正方形中，，。
由题意得，，
∴
在△和△中
∴△≌△(SAS)
∴
如图4.65所示，当时，取得最小值
在△中，
∴
在△中，，
∴的最小值为
33.已知梯形中，，，，，。若为线段上任意一点，延长到点，使，再以、为边作□，如图3.30所示，则对角线的最小值为。
解：如图4.66所示
∵，
∴△∽△
∴
∴，
即为的四等分点（定点）
如图4.67所示，当时，取得最小值，也取得最小值
如图4.68所示，过点、分别作的垂线段，垂足分别为点、，
∴
∴四边形为矩形
∴，
∴
∵为四等分点
∴为四等分点
∴
∴
∴
∴的最小值为
34.如图3.31所示，在△中，，，点是射线上的一个动点，，点是射线上的一个动点。则长度的最小值是 。
解：如图4.69所示，当时，最小
同理，当时，最小
由于为定值，、同时取得最小值
在△中，，
∴
在△中，，
∴
∴
∴的最小值为
35.如图3.32所示，直线与轴、轴分别交于点和点，点为线段的中点，点、分别为、上的动点。当最小时，点的坐标为。
解：作点关于轴的对称点，连接、，如图4.70所示
∴
∴
如图4.71所示，当、、三点共线且时，取得最小值
∴
∴
∵
∴△∽△
∴
∵直线与坐标轴交于点、
∴，
∴
∵、关于轴对称
∴
∴，，
∴
∴当最小时，
36.在平面直角坐标系中，原点O到直线y=kx-2k+4的最大距离为 （ ）
A.2 B.3 C.3+ D.
36.解 y=kx-2k+4→y=k（x-2）+4.
当x=2时，y=4，故无论k为何值，直线必过（2，4）.
如图4.72所示，过点O无论作直线、、的垂线段，垂足分别为A、B、C，其中点A为定点（2，4）.
在Rt△ABO中，OA＞OB.
同理，OA＞OC.
当且仅当OA⊥l时，点O到直线l的距离最大，最大值即OA==2.
思路点拨
题中直线虽然是动直线，但是只含有一个参数k，进行化简后，可以找到一定点（2，4）不受k的影响.根据“直角三角形中斜边大于直角边”，所求最大距离为原点到定点的距离.
弦外之音 动直线过定点和动点定轨迹的问题其实偏向高中的解析几何，却又在初中经常出现，注意下面两种形式的点和直线：如A（2m-1，-3m+4），动点A经过直线y=-x+；又如直线l：y=2kx-3k+1,经过定点（，1）.要学会观察题目中这些“动中有静”的信息，才能快速找到解题的思路.
37.如图3.33所示，在直角坐标系中，O（0，0），A（7，0），B（5，2），C（0，2），一条动直线l分别与BC、OA交于点E、F，且将四边形OABC分为面积相等的两部分，则点C到动直线l的距离的最大值为__________.
37.知识储备 过梯形中位线中点的直线（经过梯形的上底和下底）将梯形分为面积相等的两个梯形.
证：如图4.73所示，在梯形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，连接AF交DC的延长线于点G.
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠G，∠B=∠FCG.
在△ABF和△GCF中，

∴△ABF≌△GCF（AAS），
∴AB=CG，AF=GF.
∵E为AD的中点，
∴EF∥DG，
∴EF=DG=（CD+CG）=（AB+CD），
即梯形的中位线等于（上底+下底）.
如图4.74所示，O为EF的中点，PQ经过点O分别与上底、下底交于点P、Q，过点O作MN⊥CD，
∴四边形APQD和四边形BPQC也是梯形.
∵=（AP+DQ）·MN=EO·MN，
=（BP+CQ）·MN=FO·MN，
又O为EF的中点，
∴EO=FO，
∴=，
∴经过点O的直线平分梯形ABCD的面积.
解 取OC和AB的中点G、H，连接GH，取GH的中点M，如图4.75所示，
∴G（0，1），H（6，1），
∴M（3，1）.
当直线l经过点M时，梯形面积被平分.
当CM⊥EF时，点C到EF的距离最大，
∴CM==.
思路点拨
需要一定的知识储备：平分梯形面积的直线必过梯形中位线的中点.得到梯形中位线的中点坐标后，题目要求的定点C到动直线l距离的最大值，可以参照题36中的思路来计算.
38.如图3.34所示，E是正方形ABCD中边BC上的一点，以BE为边在正方形ABCD外作正方形BEFG（A、B、G三点在同一直线上），连接AF，M为AF的中点，AB=4，则EM的最小值为________.
38.解： 连接BD，延长FE与BD相交于点N，连接AN，如图4.76所示，
∴BD平分∠ABC，
∴∠NBE=∠DBA=45°.
在正方形BEFG中，∠BEF=90°，
∴∠BEN=90°，
∴△BEN为等腰直角三角形，
∴BE=NE=EF
∵M为AF的中点.
∴EM=AN.
如图4.77所示，当AN⊥BD时，AN取得最小值，此时EM也取得最小值.
在Rt△ABN中，∠DBA=45°，AB=4，
∴AN=2，
∴EM=AN=×2=.
思路点拨
M为AF的中点，而点E、M均为动点，不易求出EM的最小值，因此我们要借助转化思想；以中点为着眼点，延长FE至点N，将EM构造为中位线；由于点N的运动轨迹为BD，根据“垂线段最短”即可求出AN的最小值.
39.如图3.35所示，在菱形ABCD中，tan∠DAB=，E为BC上一点，以BE为边向外作菱形BEFG（A、B、G三点在同一直线上），取AF得中点M，连接EM，AB=5，则EM的最小值为________.
39.解：连接BD，延长FE交BD于点N，连接AN，如图4.78所示.
在菱形ABCD和菱形BEFG中，CD∥AB∥EF，CD=BC，
∴∠CDB=∠CBD=∠ENB，
∴NE=BE=EF.
∵M为AF的中点，
∴EM=AN.
如图4.79所示，当AN⊥BD时，AN取得最小值，同时EM也取得最小值.
在△ABD中，过点D作DH⊥AB，如图4.80所示.
在Rt△ADH中，tan∠DAB=，AD=5.
∴DH=4，AH=3，
∴BD===2
∵=AN·BD=DH·AB，
∴AN=2，
∴EM的最小值为.
思路点拨
依旧将EM构造成中位线，利用AN的最小值来解的EM的最小值；找到点N的直线轨迹后根据“垂线段最短”求AN的最小值.可以利用面积法计算AN长度.
40.如图3.36所示，在△ABC中，∠A=60°（∠B＜∠C），E、F分别是AB、AC上的动点，以EF为边向下作等边三角形DEF，△DEF的中心为点P，连接CO.已知AC=4，则CO的最小值
40.知识储备 原型 OC为∠AOB的平分线，D为OC上一点，点E、F分别为OA、OB上的点，如图4.81所示.
（1）若DE=DF（OE＜OF），求证：∠AOB+∠EDF=180°.
（2）若∠AOB+∠EDF=180°,求证：DE=DF.

推论 若已知∠AOB+∠EDF=180°，DE=DF，求证：D为角平分线上一点.
证： 过点D作DM⊥OA，DN⊥OB，如图4.82所示.
∵OC为∠AOB的平分线，
∴DM=DN.
在Rt△DME和Rt△DNF中，

∴△DME≌△DNF（HL），
∴∠DEM=∠DFN.
∴∠DFN+∠DEO=180°，
∴在四边形OEDF中，∠AOB+∠EDF=180°.
同理，对于（2）和推论，利用AAS判定三角形全等即可.
解： 连接OE、OF、AO，如图4.83所示.
∵点O是△DEF的中心，
∴OE=OF，OE平分∠FED，OF平分∠EFD，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EOF+∠BAC=180°.
根据角平分线模型可知AO平分∠BAC，即点O的轨迹为∠BAC的平分线，
∴∠CAO=30°.
如图4.84所示，当CO⊥AO时CO取得最小值.
在Rt△CAO中，
∴CO=AC=2，
∴CO的最小值为2.
思路点拨
连接AO，构成一个基本的角平分线模型，利用AAS易知AO为角平分线，因此点O的轨迹为∠BAC的平分线（部分）.以BC为边向下作等边三角形能得出AO的轨迹终点.根据“垂线段最短”得出CO的最小值.角平分线模型的相关应用还是十分广泛的，利用该模型可以快速解决问题.
41.如图3.37所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，E是线段BO上一动点，F是射线DC上一动点.若∠AEF＝120°，则线段EF的整数值有 个.
答案：
解 在菱形ABCD中，BD为对角线，
∴DE平分∠ADC，∠ABC＝∠ADC＝60°，AC⊥BD.
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADC＋∠AEF＝180°.
根据题40中的知识储备可得AE＝EF.
当点E和点O重合时，AE取得最小值；当点E与点B重合时，AE取得最大值.
在Rt△ABO中，AO＝AB＝2，
∴2≤AE≤4，
∴AE的整数值有2、3、4，
∴EF的整数值有2、3、4.
思路点拨
首先要明确一点，在初中阶段遇到的整数解问题都可以理解成取值范围问题，即最值问题，E、F两点都在运动，所以我们需要将EF进行转化.利用题40中的角平分线模型，易得AE＝EF，故只需求得AE的取值范围，由垂线段得最小值，当点E与点B重合时AE取最大值.
42.如图3.38所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点O为BC上的点，⊙O的半径OC＝1，点D是AB边上的动点，过点D作⊙O的一条切线DE(点E为切点)，则线段DE的最小值为( ).
A.3－1B. －1C. D.4
答案：
解 如图4.85所示，连接OE，OD.
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝6.
∵DE为⊙O的切线，
∴∠DEO＝90°，
∴DE2＋OE2＝OD2.
∵OE＝1，
∴DE2＝OD2－1.
要使DE最小，只需OD最小即可.
如图4.86所示，当OD⊥AC时，OD取得最小值.
∵BC＝6，OC＝1，
∴BO＝5.
∵∠ODB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDO∽△BCA，
∴＝.
∴OD＝4，
∴DE＝.
思路点拨
抓住切线的性质，连接OE，注意到Rt△OED有一条直角边OE为定值，根据勾股定理，当斜边OD取得最小值时DE取得最小值.于是将DE的最小值问题转化为垂线段最短的问题.
43.如图3.39所示，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，以点C为圆心、1为半径作圆，P为AB上的动点，过点P作⊙C的切线，切点分别为Q、Q′，⊙C的另－条切线分别交PQ、PQ′于点M、N，则△PMN周长的最小值为 .
答案：
解 连接CQ、CP，如图4.87所示.
∵PQ、PQ′、MN分别与圆C相切，
∴PQ＝PQ′，
△PMN的周长＝PM＋MN＋PN＝PQ＋PQ′＝2PQ，
当PQ取得最小值时，△PMN的周长也取到最小值.
在Rt△PCQ中，CQ＝1，
∴PQ2＝CP2－CQ2.
如图4.88所示，当CP⊥AB时，CP取得最小值，此时PQ最小，
在等腰Rt△ABC中，AC＝4，
∴CP＝2.
此时，在Rt△CPQ中，CP＝2，CQ＝1，
∴PQ＝＝，
∴△PMN周长的最小值为2.
思路点拨
作为变式题，与题42相比，本题多了一步：利用切线长定理，判断△PMN的周长等于两倍的PQ长，于是将周长最小值问题转化为PQ最小值问题.用题42中的方法求出PQ最小值即可，对于多动点的最值问题，通常需要利用转化思想，将其转化为点到点或点到线的最值问题.
44.如图3.40所示，四边形的两条对角线AC、BD所成的锐角为45°，当AC＋BD＝18时，四边形ABCD的面积最大值是 .
答案：
解 分别过点A、C作AE⊥BD，CF⊥BD，以EF、CF为边构造矩形EFCG，如图4.89所示，
∴CF＝EG，BD∥CG.
∵S△ABD＝AE·BD，S△CBD＝CF·BD，
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△CBD＝BD·(AE＋CF)＝BD·(AE＋EG)＝BD·AG.
∵AC和BD的夹角为45°，
∴∠ACG＝45°，
∴△ACG为等腰直角三角形，
∴AG＝AC，
∴S四边形ABCD＝BD·AC＝BD·(18－BD)＝－(BD－9)2＋，
当且仅当AC＝BD＝9时，四边形ABCD的面积取得最大值.
思路点拨
普通四边形的面积通常要转化成三角形面积和的形式.对角线所夹的锐角为特殊角，要利用起来必须作高，给出的条件也为对角线之和，因此要利用对角线将四边形的面积表示出来.最后利用配方法求出四边形ABCD面积的最大值.
弦外之音 我们可以用两边及其夹角的正弦值来表示一个三角形的面积：S＝absinα.这在高中属于正弦定理的推广，很容易从图4.90中看个明白.四边形也有类似这样的计算公式，如在本题中推导的四边形面积等于两条对角线之积与夹角正弦值的乘积的一半.对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半就是这个结论的特殊形式.
45.如图3.41所示，有两个同心圆，半径分别是2和4，矩形ABCD的边AB、CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD的面积取最大值时，矩形ABCD的周长是 .
答案：
解 作AB的垂直平分线EF，连接OA、OD，如图4.91所示，
∴四过形AEFD为矩形，
∵AB为弦，
∴EF过圆心O，
∴S△AOD＝S矩形AEFD＝S矩形ABCD.
当且仅当AO⊥DO时，S△AOD取得最大值，
∴S△AOD＝AO·DO＝×2×4＝12，
AD＝＝6.
∵S矩形ABCD＝AB·AD＝4S△AOD＝48，
∴AB＝8，
此时矩形ABCD的周长为16＋12.
思路点拨
利用面积法将问题从矩形转移到由两条半径构成的三角形.显然，△AOD的面积为矩形的.当长度固定的OA与OD夹角为90°时△AOD的面积取得最值.利用面积公式和勾股定理求出此时矩形ABCD的边长.
最值
46．如图3．42所示，在扇形AOB中，OA＝12，∠O＝90°，C、D分别为OA、OB上的点，其中OC＝6，OD＝2BD，M为弧AB上的动点，连接CM、DM，则四边形OCMD的面积最大值为 ．
解 连接OM、CD，如图4．92所示．
不妨设OM和CD的夹角为．
在Rt△OCD中，OD＝OB＝8，OC＝6，
∴CD＝＝10．
利用题44中的结论，S四边形OCMD＝OM·CD·sin．
当＝90°时，S四边形OCMD＝OM·CD＝60．
∴在点M运动的过程中，当OM⊥CD时，S四边形OCMD 取得最大值60．
思路点拨
连接四边形OCMD的两条对角线CD和OM，这两条对角线的长度是定值，因此调整OM和CD的夹角就能使四边形的面积发生变化．当夹角等于90°时，四边形OCMD的面积取到最大值．
47．如图3．43所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P是三角形内(包括边)的一点，点P到AB、BC、AC边的距离分别为d1、d2、d3，则d1＋d2＋d3的最大值和最小值分别为 和 ，并说明分别取得最值时点P的位置．
图3．43
解 在Rt△ABC中，S△ABC＝AC·BC＝6．
∵d1、d2、d3分别为点P到AB、BC、AC的距离，
∴S△ABC＝d1·AB＋d₂·BC＋d3·AC，
∴5d1＋4d2＋3d3＝12．
∵3(d1＋d2＋d3)≤5d1＋4d2＋3d3≤5(d1＋d2＋d3)，
当d1＝d2＝0时左边取等号，当d2＝d3＝0时右边取等号，
∴≤d1＋d2＋d3≤4，
当且仅当点P与点C重合时取得最小值，点P与点B重合时取得最大值．
思路点拨
很多题目看似无从下手，这时我们就寻求代数方法，让最值问题能反映在一个具体的表达式上．利用面积法可以得出d1、d2、d3的等量关系；利用合理的放缩找到d1＋d2＋d3的取值范围；找到不等式取等的临界位置。
48．如图3．44所示，把边长是3的正方形等分成9个小正方形，在有阴影的小正方形内(包括边界)分别取点B、C，与已知格点A(每个小正方形的顶点叫做格点)构成三角形，则△ABC的最大面积是 ，请在图中画出面积最大时的△ABC的图形．
图3．44 备用图
解 先把点B固定在点A的同一水平线，点C向上移动，如图4．93所示．
在△ABC中，底边不变，高逐渐变大，△ABC的面积增大．
再将点C固定在最上方，点B向左移动，如图4．94所示．
在△ABC中，高不变，底边逐渐变大，△ABC的面积也在变大．
当点C在最上方，点B在最左端(阴影部分的左上角)时，△ABC的面积取得最大值，最大值为2．

图4．93 图4．94
思路点拨
对于这道题目，我们采用的是对应多变量的“控制变量法”，即分别改变点B、C的位置来探究△ABC面积的变化规律．对于多变量问题，这是我们常用的分析方法．
49．如图3．45所示，∠AOB＝90°，GM为∠AOB内(含两边)的两点，且GM＝2，OM＝4，GM/∥OA．若r为△OMG的内切圆半径，则r的最大值为 ．
图3．45
解 延长GM至点，如图4．95所示．
∵∠AOB＝90°，GM∥OA，
∴O⊥GM．
在Rt△OG中，OG2＝O2＋G2＝O2＋(GM＋M)2
＝O2＋GM2＋M2＋2GM·M．
在Rt△OM中，OM2＝O2＋M2，
∴OG2＝OM2＋GM2＋2GM·M≥OM2＋GM2．
如图4．96所示，当点M在射线OB上，即点M、重合时，OG取得最小值，S△OMG取得最大值．
∵OG＝＝2，
S△OMG＝OM·GM＝4≥O·GM，
此时r取到最大值，r＝＝3－．

图4．95 图4．96
思路点拨
首先要熟悉一般三角形内切圆的半径计算公式，即r＝．本题中，△OMG的面积和周长都在变化．我们发现，当GM向OB靠近时，∠OMG度数逐渐变小(钝角→直角)，此时面积逐渐增大，而周长逐渐减小．因此，当∠OMG＝90°时，周长最小，面积最大，故此时内切圆的半径也达到最大值．依旧是双变量，经过分析发现，OM向OB越靠近，周长和面积的变化趋势都越利于内切圆半径的增大，因此找到临界情况即可．
50．在平面直角坐标系中，直角梯形AOBC的位置如图3．46所示，∠OAC＝90°，AC//OB，OA＝4，AC＝5，OB＝6．M、N分别在线段AC、BC上运动，当△MON的面积达到最大时，△MON周长最小，则此时点M的坐标为 ．
图3．46
解 如图4．97所示，过点M作M∥OA，交ON于点，过点N作N∥OB，分别交OA、M'于点、G．
S△MON＝S△OM＋S△NM
＝M·G＋M．NG
＝M·N．
∵M≤OA，N≤OB，
当点N与点B重合时，ON取得最大值OB，此时S△MON＝OA·OB．
设点O关于AC的对称点为O'，连接O'B，交AC于点M，如图4．98所示．
此时△MON的面积最大，周长最短．
利用对称的性质得O'(0，8)，
∴直线O'B的解析式为y＝－x＋8，
当y＝4时，x＝3，即M(3，4)．

图4．97 图4．98
思路点拨
在平面直角坐标系中，对于这样“不规则”的三角形(即底和高不与坐标系平行或垂直)，我们可以采取“水平宽铅垂高”的方法来分析面积的变化情况；在点M固定、点N向下移动的过程中，水平宽(O、N两点间的水平距离)变大，铅垂高(点M到ON的距离)变大，所以当点N与点B重合时，面积取到最大值．再利用“将军饮马”模型作图来确定△MON周长最小时点M的位置．最后可由O'B所在直线的解析式求得点M的横坐标，或者利用平行线分线段成比例定理求得AM的长度．
51.如图3.47所示，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥1，垂足为B，连接PA.设PA=x，PB=y，则x-y的最大值是_________________.
图3.47
解：连接OA，作OC⊥PA于点C，如图4.99所示，
∴∠0CA=90°=∠ABP，AC=PC=PA=.
∵直线l是⊙O的切线，∴OA⊥l，∠OAB=90°，
∴OA∥PB，∴∠OAC=∠P，∴△OAC∽△APB，
∴， ∴，
∴原式= ，
当x=4时，x-y取到最大值2.
图4.99
思路点拔
将线段差表示为x-y，是命题人提示我们往代数（函数）的方向思考.利用切线的性质，连接半径，根据平行线的性质找到等角∠OAP=∠P；有了弦和半径，就会想到作垂径或者连接直径构造直角三角形；利用相似比得到PA和PB的关系，通过换元将x-y变为只含一个字母的代数式，再利用配方法求出最值.
拓展 我们发现，其实此题中代数式x、y前面的系数可以为任意数.我们利用配方法计算最值时，一定要注意x（AP为弦，应小于等于直径）的取值范围为0＜x≤8.
52.如图3.48所示，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4），则当x=____________时，的值最大，最大值是_______________.
图3.48
解: 过点O作OE⊥PD，垂足为E，如图4.100所示.
∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED.
又∠CEO=∠ECA=∠0AC=90°， ∴四边形OACE为矩形，
∴CE=OA=2.
又PC=x，∴PE=ED=PC-CE=x-2，
∴PD=2(x-2)，
∴CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x，
∴
∴当x=3时，的值最大，最大值是2.
图4.100
思路点拔
面对一些特殊形式的线段组合，我们需要将其转化成一般形式.注意到题中将PC的长设为x，再将PD用x表示出来，利用二次函数最值的求法来解决问题.
53.如图3.49所示，在面积为7的梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与点A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过点P作PE/DQ交AQ于点E，作PF∥AQ交DQ于点F.则△PEF面积的最大值是________________.
图3.49
解: 如图4.101所示，设PD=x，，梯形ABCD的高为h.
∵AD=3，BC=4，梯形ABCD面积为7， ∴，
∴h=2，.
∵PE∥DQ， ∴∠PEF=∠OFE， ∠EPF=∠PFD.
又PF∥AQ， ∴∠PFD=∠EOF， ∴∠EPF=∠EOF.
∵EF=FE， ∴△PEF≌△OFE(AAS).
∵PE/∥DQ， ∴△AEP∽△AQD，同理，△DPF∽△DAQ，
∴ , ,
∴, ,
∴,
∴,
∴△PEF面积的最大值是.
图4.101
思路点拔
对于三角形面积的最值问题，首先要观察三角形中是否有固定的边长，如果有，那么可以转化为单线段的最值问题；如果没有，那么我们的思路应该转向函数，利用好平行条件，根据面积比等于相似比的平方求出面积的函数表达式.
54.如图3.50所示，已知边长为4的正方形CDEF截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1.在AB上的一点P，使得矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM面积的最大值是( )
A.8 B.12 C. D.14
图3.50
解: 延长NP交EF于点G，如图4.102所示.
设PG=x，则PN=4-x.
∵PG//BF， ∴△APG∽△ABF，
∴, ∴AG=2x，
∴MP=EG=EA+AG=2+2x，
∴
∵-2＜0，PG=x≤BF=1，
∴抛物线开口向下，当x=1时，函数有最大值为12.
图4.102
思路点拔
依旧是面积问题，尝试用函数来表示矩形面积；利用二次函数性质求出最值.
注意构造函数后自变量x的取值范围，千万不要把结果直接写成等.
55.如图3.51所示，AB为半圆的直径，点O为圆心，AB=8.若P为AB反向延长线上的一个动点（不与点A重合），过点P作半圆的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，则AC+BD的最大值为________________.
图3.51
解: 连接BC，如图4.103所示.
设AC=x，根据题意知(由于点P在圆的左侧).
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴.
又PC切⊙O于点C，∴∠BAC=∠BCD，
∴Rt△ABC∽Rt△CBD，∴,
∴,
∴，当x=4时，AC+BD取得最大值10.
图4.103
思路点拔
若我们在应用几何性质解题时束手无策，不妨转变思路试试代数(函数)的方法，将要求的目标式子用某个变量表示出来，进而转化为代数(函数)问题来求解.
56.如图3.52所示，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AB=20，点D、F从点A出发，分别沿AC、AB运动，点D的速度为每秒个单位长度，点F的速度为每秒1个单位长度，过点D作DE//AB，交CB于点E，M为DE的中点，连接MF，则当t为_______时，MF取得最小值，最小值为_______.
56.解 取AB的中点N，连接CM、CN，如图4.104所示.
由题意得△DCE为等腰直角三角形，
∴CM⊥DE，CN⊥AB.
∵DE//AB，
∴C、N、M三点共线，
∴CM=CD，CN=AB.
令AF=t，AD=t，
∴FN=10-t，CD=（10-t），
∴MN=t，
∴

当t=5时，取得最小值，即MF取得最小值.
57.如图3.53所示，已知在菱形ABCD中，∠C=60°，AB=4，E为CD边上一动点，过点E作EF//BD交BC于点F，连接AE，AE的中点为G，连接FG，则FG的最小值为_________.
57.解 连接AC交EF于点M，取EM的中点N，
连接GN，如图4.105所示.
在菱形ABCD中，AC、BD互相垂直平分.
∵∠BCD=60°，
∴∠BDC=∠DBC=60°，
∴△BCD为等边三角形.
∵G为AE的中点
∴GN//AM，GN=AM.
∵EF//BD，
∴△CEF为等边三角形，且EF⊥AC，GN⊥EF.
令CE=4a，EF=4a，则在等边△CEF中，CM=a，
FM=2a，MN=a，
∴AM=，GN=a，
∴
，
当a=，即E为CD的中点时，GF取得最小值3.
58.如图3.54所示，已知AB=8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P、C、E在一条直线上，∠DAP=60°.M、N分别是对角线AC、BE的中点.当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为_______（结果保留根号）.
58.解 连接PM、PN，如图4.107所示.
∵四边形APCD和四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°，
∴∠APC=120°，∠EPB=60°.
∵M、N分别是对角线AC、BE的中点，
∴PM平分∠APC，PN平分∠EPB，
PM⊥AC，PN⊥EB，
∴∠CPM=∠APC=60°，
∠EPN=∠EPB=30°，
∴∠MPN=60°+30°=90°.
设PA=2a，则PB=8-2a.
∴PM=a，PN=（4-a），
∴
，
当a=3时，有最小值，即MN有最小值，最小值为.
59.如图3.55所示，已知AB=6，P为AB上一动点，分别以PA、PB为边在AB同侧作Rt△APC和Rt△BPD（P、C、D三点共线），且使得AP：PC=BP：PD=3：4，分别为△APC、△BPD的内心，则的最小值为_________.
59.知识储备 如图4.109所示，在Rt△GMN中，
两条直角边分别为3和4，I为内心，求GI.
解 在Rt△GMN中，GN=3，GM=4，
∴MN=5，
内切圆的半径=.
∵点I为△GMN的内心，
∴GI平分∠MGN，
∴GI=，
∴GN：GI=3：.
解 连接，如图4.110所示.
不妨设AP=3a，则BP=6-3a.
根据知识储备，.
∵点分别是△APC和△BPD的内心，
∴平分∠APC，平分∠BPD，
∴∠=45°，∠=45°，
∴∠=90°，
∴
，
当a=1时，取得最小值，即的最小值为2.
60.如图3.56所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为8的正方形，M（8，m），N（n，8）分别是线段AB、BC上的两个动点，且ON⊥MN，当OM最小时，m+n=_______.
60.解 由题意可得OC=OA=8，CN=n，BN=8-n，
AM=m，BM=8-m.
∵ON⊥MN，
∴∠ONC+∠MNB=90°.
∵∠B=90°，
∴∠MNB+∠NMB=90°，
∴∠ONC=∠NMB.
又∠B=∠OCB=90°，
∴∠OCN∽△NBM，
∴，
∴BM=，
当n=4时，BM取得最大值2，此时m=6.
在Rt△OMA中，，
当BM最大时，AM取得最小值，此时OM取得最小时，
∴m+n=10.
61.如图3.57所示,在矩形ABCD中,AB=4, BC=,E为AD上的动点,连接BE,F为BE.上的动点,且满足∠BAF=∠AEB,M为BC的中点，以MF为边构造等边△MNF(M、N、F三点逆时针),则CN的最小值为____________.
解：分别取AB和AD的中点G、H,连接GF、GM、MH、NH、CH,如图4.113所示，
∴BM=, BG=2. 在矩形ABCD中, ∠ABC=90，∴,∴GM=2BG, ∠GMB=30°.∵AH=BM= ,AD∥BC, ∴四边形AHMB为平行四边形. ∵∠ABC=90°，∴四边形AHMB为矩形，∴∠GMH=60°,HM=4. ∵△MNF为等边三角形，∴∠FMN=60°,FM=MN.在△GMF和△HMN中， ，∴△GMF≌△HMN(SAS), ∴GF=HN. ∵∠BAF=∠AEB, ∴∠AFB=∠BAE=90°.在Rt△ ABF中,G为AB的中点，∴HN=GF= AB, ∴CN≥CH-HN,
如图4.114所示，当且仅当C、N、H三点共线时取到最小值.
在Rt △CHD中,CD=4,DH= ,HN=2, ∴CN的最小值为.
思路点拨
两套动点关联:点E关联点F,点F关联点N.我们需要关注的是点F(点F和点N直接关联),由∠AFB=90°可知点F的轨迹为圆,因此由全等变换得到的点N轨迹也是圆.利用圆外一点到圆周上一点的距离最小值确定CN的最小值.
62.如图3.58所示,在矩形ABCD中，AB=,BC=6,E、F分别是AD、BC上的动点,CF=2AE ,连接EF,以EF为边向右构造等边△EFG ,则DG的最小值为____________.
解： 连接AC交EF于点P,连接PG,延长CD至点Q,使DQ=CD,连接AQ、PQ、GQ,如图4.115所示.
∵∠ADC=90°,CD= ,AD=6, ∴,∴∠ACD=60°，∵CD=QD= ,∴AD垂直平分CQ, ∴AC=AQ= ,∴△ACQ为等边三角形，∵AE∥CF, ∴△AEP∽△CFP. ∵CF=2AE, ∴CP=2AP, FP=2EP, ∴AP:AC=EP:EF=1:3, ∴AP= .∵△EFG为等边三角形，∴∠QAP=∠GEP=60°，∴△APQ∽△EPG, ∴AP:EP=PQ:PG,∠APQ=∠EPG. ∵∠APQ=∠APE+∠EPQ, ∴∠EPG=∠QPG+∠EPQ, ∴∠APE=∠QPG, ∴△AEP∽△QGP, ∴∠PAE=∠PQG=30°,∴点G的轨迹为直线(线段),当DG⊥QG时，DG取得最小值
如图4.116所示,当GD上QG时,在等边△ACQ中，取AC的中点H,连接QH,
∴QH平分∠AQC,QH⊥AC, ∴∠CQH=30°，∴∠PQH=∠DQG=30°-∠HQG, ∴△PQH∽△DQG .在Rt△ AHQ中,AQ= ,∴AH= ,QH=6, ∴PH= ，∴PQ= ,∵PQ:PH=QD:DG, ∴DG= .∴DG的最小值为.
思路点拔
找到图中的不动点,令其为旋转中心,构造旋转型相似三角形,确定动点的轨迹为直线,根据“垂线段最短”确定最小值的位置.此题相似三角形的构造颇有难度,要注意利用角度去推导相似三角形,根据相似比进行计算.
63.如图3.59所示,在Rt △ABC中,∠C=90°,AC=BC,D是边AB上一点,AD=8,E是边AC上一点,AE=BD,F为边BC上一点,且∠DFA=90°,则线段EF的最小值为___________.
解：取AD的中点G,连接FG,过点D作DN⊥AB交BC于点M,截取DN=AD,连接NF、ME、NG,如图4.117所示.
∵AB=BC, ∠C=90°，∴B=45°,AB= BC. ∴△BDM为等腰直角三角形，∴BM= BD= MD=AE, ∴CM=CE,∠CME=45°，∴ME∥AB, ∴ND⊥ME, ∴∠NMC=45°.在等腰直角△MCE中,ME=CM= (BC-BM)=AB-2BD=AD-BD. ∵AD=DN, BD=MD, ∴ME=MN.在△NFM和△EFM中，，∴△NFM≌△EFM(SAS),NF=EF. ∵∠DFA=90°,G为AD的中点，∴FG=DG= AD=4.在Rt△ NDG中,DG=4,DN=AD=8, ∴,∴EF=NF≥NG - FG,
当且仅当G、F、N三点共线时取到最小值, ∴EF最小值为.
思路点拨
EF为双动点型动线段,因此需要将其转化.注意AE和BD的特殊比例关系,找到BC边上的特殊点M;利用等腰直角三角形的性质,将EF关于BC进行翻折,构造全等三角形,将EF转化为NF;构造斜边上的中线FG,利用圆外一定点到圆周上一点的距离最值求解EF最值.
64.如图3.60所示,在矩形ABCD中,AB= m， BC=6.若AD_上存在点P,使∠BPC=60°,则m的取值范围为___________.
解： 以BC为边向上构造等边三角形BCE,并作△BCE的外接圆,在优弧BC.上取-一点P,作圆周角BPC,如图4.118所示.
∵ E=60°，∴∠ BPC= 60°.
根据题意,点P在AD上，存在以下两种情况:
如图4.119所示，当矩形ABCD内接于圆时,点P与点A、D重合;
如图4.120所示,当矩形的边AD与圆相切时,点P与点E重合.
(1)当矩形ABCD内接于圆时,连接AC, ∴∠ABC=90° , ∵Rt△ ABC中, ∠ BAC=∠E=60° ,BC= 6, ∴tan∠BAC=tan60°= ,∴m= .
(2)当矩形ABCD的边AD与圆相切时,取BC的中点F,连接EF,
∴EF⊥BC,BF=3.在Rt△BEF,BE=BC=6, ∴.∵∠A=∠ABC=∠EFB=90°, ∴ABFE为矩形, ∴AB=EF= .当m＜或m＞时，如图4.121和图4.122所示，AD上不存在点P满足∠BPC=60°,

∴ .
思路点拨
本题其实是一道作图题，我们需要找到满足∠BPC=60°的点P所有可能的位置,然后利用“点在AD上”这个条件来确定m的取值范围.改变点P的位置而不改变∠BPC的大小,这让我们想到了圆周角,通过两种临界情况就能确定m的最大值和最小值了.这种思想其实和“不等式组”非常相似.
65.如图3.61所示,在等腰△ABC的两腰AB、AC.上分别取点D和E,且AD=CE.已知BC=2,则DE的最小值为___________.
解：作平行四边形ABCF,截取CG=AE,连接EG、DG,如图4.123所示，
∴CG=AE=BD. ∵AB∥CF, ∴四边形BDGC为平行四边形，∴∠DAE=∠GCE,DG=BC=2.在△ADE和△CEG中， ，∴△ADE≌△CEG(SAS), ∴DE=EG, ∴DE+EG=2DE≥DG=2,
当且仅当D、E、G三点共线时取到最小值, ∴DE的最小值为1.
思路点拨
利用相等的线段构造全等三角形(或者将△ABC构造成平行四边形),利用三角形的三边关系得到DE的取值范围.
66．如图3．62如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E、F分别是AC、CD上的动点，且AE＝CF，连接BE、BF，则BE＋BF的最小值为 ．
图3．62
解 在CD右侧构造∠DCG＝∠ACD，并截取CG＝CD，连接BG、FG，如图4．124所示．
在矩形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴CG＝AB＝4，∠BAC＝∠ACD，
∴∠BAE＝∠GCF．
在△ABE 和△CGF中，
AE＝CF ∠BAE＝∠GCF AB＝CG
．∴△ABE∽△CGF(SAS)，
∴BE＝FG，
∴BE＋BF＝BF＋FG≥BG
如图4．125所示，当且仅当B、F、G三点共线时取得最小值．
过点G作GH⊥BC交BC延长线于点H．
∵∠DCG＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠GCH．
∵∠ABC＝∠H＝90°
∴△ABC∽△GHC
∴
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3
∴AC＝5．
∴CH＝ ，GH＝
在Rt△BGH中，BH＝BC＋CH＝，CH＝，
∴BG＝
∴BE＋BF的最小值为．

图4．124 图4．125
思路点拨
虽然两边之和大于第三边，但第三边EF是变量，且B、E、F三点不会共线．因此，我们要利用全等关系将BE或BF进行转化，使动点位于两定点之间，在三点共线时取将两线段和的最小值．
构造全等三角形的方法包括平移、翻折、旋转或者连续多次变换等．
67．如图3．63所示，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ABC＝60°，点E从点A出发，以1cm/s的速度沿AC向点C运动，同时点F从点C出发，以2cm/s的速度沿射线CD运动（当点E到达点C时两动点同时停止运动），连接BF、DE，则动点运动的时间t为 时，BF＋2DE取得最小值，最小值为 ．
图3．63
解 过点C作CG⊥BC，且取CG＝2BC，连接GF、BG，如图4．126所示，
在菱形ABCD中，AC为对角线，
∴AC平分∠BCD，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，
∴∠DAE＝∠FCG＝30°，
∵点E、F同时出发，且点F的速度为点E的两倍，
∴CF＝2AE，
∴AE：CF＝AD：CG＝1:2，
．∴△AED∽△CFG，
∴GF＝2DE，
∴BF＋2DE＝BF＋GF≥BG，
如图4．127所示，当且仅当B、F、G三点共线时，BF＋GF取得最小值。
在Rt△BCG中，BC＝AB＝4cm，CG＝2BC＝8cm，
BG＝cm．
如图4．128所示，点F为CD延长线与BG的交点，过点F作FH⊥BC
设FH为x
∵CG⊥BC，
∴CG∥FH，
易证△BHF∽△BCG，
∴．
∴BH＝x
在Rt△FHC中，∠FCB＝60°，
∴CH＝ x
∴x＋x＝4．
∴x＝16-24，
∴CF＝(32-16)÷2＝(16-8)s．
图4．126 图4．127 图4．128
思路点拨
根据结论形式，构造与2DE相等的线段．根据比例系数2，我们注意到点E、F的运动速度之比为1：2，等价于线段AE和CF之比为1：2，故借助相似三角形即可构造2DE线段．根据“两点之间线段最短”解决最值问题：根据取得最值时CF的长度可以算出两动点的运动时间．
68．如图3．64所示，BC＝ a，M为BC的中点，∠EMF＝120°，∠EMF绕点M进行旋转，并始终保持∠EMF在BC的上方，在旋转的过程中，点A、D分别在射线ME、MF上运动，连接AB、CD，若始终满足AB＋CD＝b，则在该过程中，线段AD有最 值（填“大”或“小”） ．
图3．64
解 将△ABM 和△CDM分别沿着AM、DM翻折至△AB′M 和△C′DM，如图4．129所示，
∴△ABM≌△AB'M，△CDM≌△C′DM，
∴AB＝AB'，CD＝C′D，BM＝CM＝B′M＝C′M，
∠AMB＝∠AMB'，∠CMD＝∠C′MD．
∵∠AMD＝120°
∴∠AMB＋∠CMD＝60°．
∴∠AMB'＋∠DMC′＝60°，
∴∠B'MC'＝∠AMD-(∠AMB'＋∠DMC′)＝60°，
∴△B'MC'为等边三角形，
∴B'C′＝B′M＝BC＝a
∴AD≤AB'＋B'C'＋C′D＝a＋b，
即AD有最大值a＋b，当且仅当A、B'、C′、D四点共线时取到最值．
图4．129
思路点拨
通过两次翻折构造两组全等三角形，利用120°角和中点的特殊性，将题目中的已知线段和AD建立起联系，最后根据“两点之间线段最短”得到AD的最值．
69．如图3．65所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形ABCD内部的任意一点，则PA＋PB＋PC的最小值为 ．
图3．65
解 将△ABP绕点A顺时针旋转60°至△AB'P'，如图4．130所示，
∴△ABP≌△AB'P'，
∴．BP＝B'P'，∠PAP＝60°，AP＝AP'
∴△APP'是等边三角形，
∴．PP′＝AP．
∴PA＋PB＋PC＝B'P'＋P′P＋PC≥B'C，
如图4．131所示，当且仅当B'、P'、P、C四点共线时取到最值．
图4．130 图4．131
连接BB′，取AB的中点E，连接BE，过点B'作B′F⊥BC交BC反向延长线于点F，如图4．132所示
∵AB＝AB'，∠B′AB＝60°，
∴△ABB′为等边二角形．
∵E为AB的中点，
∴B′E⊥AB，∠EB'B＝30°，
在Rt△B'BE中，BB'＝AB＝2，
∴BE＝，B'E＝3．
∵∠F＝∠ABF＝90°，
∴四边形BEB′F为矩形，
∴B′F＝BE＝，B′E＝BF＝3，
∴FC＝BC＋BF＝9．
在Rt△B'CF中，B'F＝，FC＝9，
．B'C＝．
图4．132
思路点拨
这就是著名的“费马点”问题。费马点是指位于三角形内且到三角形三个项点距离之和最短的点．本题中，连接AC后，我们要找的就是△ABC的费马点．将△ABP绕着点A旋转60°，将PA＋PB＋PC的最小值转化为B′P′＋PP’＋PC的最小值，然后根据“两点之间线段最短”求出最小值。旋转的目的是通过全等和等边将线段和中的动线段排成“首尾相连”的形式，便于应用线段公理解题．
70．如图3．66如图所示，在矩形ABCD的边AD上有一动点F，在矩形ABCD内有一点E，其中AB＝6，BC＝10，则EF＋EB＋EC的最小值为 ．
图3．66
解 将△BEC绕点B顺时针旋转60°至△BE'C'，连接CC'、EE’，如图4．133所示，
∴∠E′BE＝∠CBC'＝60°，△BEC≌△BE′C′，
∴BE＝BE′，BC＝BC′．
∴△BEE′ 和△BCC′均为等边三角形，
∴EE'＝BE，
∴EB＋EC＋EF＝EE'＋CE'＋EF≥C′F，
如图4．134所示，当且仅当C、E’、E、F四点共线且C'F⊥AD时取到最小值．
∵AD∥BC，
∴C'G⊥BC，
∴G为B的中点
在Rt△BC'G中，BC′＝BC＝10，BG＝5，
∴．C′G＝5．
∵∠A＝∠AFG＝∠ABG＝90°，
∴四边形ABGF为矩形，
∴GF＝AB＝6，
∴C'F＝C'G＋GF＝6＋5，
∴EF＋EB＋EC的最小值为6＋5．
图
思路点拨
依旧是类似费马点的问题，可以采取与题69相同的策略，通过构造全等图形，将EF＋EB＋EC的最小值转化为EE'＋C'E'＋EF（F为动点）的最小值，最后根据“垂线段最短”解决问题．
71.如图3.67所示，在正方形ABCD中，AB=4，E、F分别是正方形内的两点，∠AEB=∠CFD=120°，则AE＋BE＋EF＋CF＋DF的最小值为________________________.
知识储备 如图4.135所示，在四边形ABPC中，△ABC为等边三角形，∠BPC=120°，
求证：AP=BP＋CP.
证：延长BP至点D，使PD=CP，如图4.136所示.
∵∠BPC=120°，
∴∠CPD=60°，
∴△PCD为等边三角形，
∴∠PCD=60°.
在等边△ABC中，BC=AC，∠ACB=60°，
∴∠ACP=∠BCD=60°＋∠BCP.
在△ACP和△BCD中，
∴△ACP≌△BCD（SAS），
∴AP=BD=BP＋PD=BP＋CP.
解：分别以AB、CD为边向外作等边△MAB和等边△NCD，连接ME、NF，如图4.137所示，
∴∠AMB=∠CND=60°.
∵∠AEB=∠DFC=120°，
根据知识储备中的结论，AE＋BE=ME，DF＋CF=NF，
∴AE＋BE＋EF＋CF＋DF=ME＋EF＋NF≥MN，
如图4.138所示，当且仅当M、E、F、N四点共线时取得最值.
连接MN，与AB、CD分别交于点P、Q.
在等边△ABM和等边△DCN中，AM=BM，CN=DN，则M为AB垂直平分线上的点，N为CD垂直平分线上的点.
∵AB∥CD，
∴MN垂直平分AB和CD，
∴MP⊥AB，NQ⊥CD，AP=BP，DQ=CQ.
在Rt△APM中，AM=AB=4，∠MAP=60°，
∴MP=.
同理，NQ=.
∵四边形ADQP为矩形，
∴PQ=AD=4，
∴MN=MP＋PQ＋NQ=4＋，
∴AE＋BE＋EF＋CF＋DF的最小值为4＋.
思路点拨：
利用等边三角形共顶点的旋转模型（或者称截长补短模型）可以将五条线段之和转换为首尾相连的三条线段之和，再根据“两点之间线段最短”求出最小值.
知识储备中的内容是全等类常见题型，应用较为广泛.平时在做题的过程中，我们要学会积累，在处理此类比较复杂的题型时就可以迅速知道正确的思路.
72.如图3.68所示，⊙A的半径为2，l是⊙A的切线向下平移1个单位后所得的直线，点P是l上一动点，PC切⊙A于点C，以PC为边作△PBC，∠PCB=90°，∠PBC=30°，线段PB的最小值为___________.
解：连接CA、AP，如图4.139所示.
在Rt△BCP中，∠BPC=30°，
∴CP=BP.
∵PC与⊙A相切，
∴CA⊥CP，
∴CP2=AP2－AC2=AP2－4.
如图4.140所示，当AP⊥l时，AP取得最小值，此时CP也取得最小值.
由题意知AP=2＋1=3，
∴CP=，
∴PB=.
∴PB的最小值为.
思路点拨：
PB为双动点线段，不易处理，可利用转化思想化复杂为简单.Rt△BCP中有30°特殊角，可知的比值为定值，于是将PB的最小值问题转化为CP的最小值问题.在Rt△ACP中，AC为定值，可利用勾股定理将CP的最小值问题转化为AP的最小值问题，而AP的最小值就是常见的定点到定直线的最短距离.
73.如图3.69所示，点D是△ABC中BC边上的一个动点，点D关于AB、AC的对称点分别是点E和点F，∠B=45°，∠C=75°，AB=8，则EF的最小值是____________________.
解：连接AD、AE、AF，如图4.141所示.
∵点E、D关于AB对称，
∴AE=AD，∠EAB=∠DAB.
同理，AF=AD，∠FAC=∠DAC.
在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=60°，
∴∠EAF=∠EAB＋∠FAC＋∠BAC=120°.
在等腰三角形AEF中，底角为30°，
∴EF=AE=AD.
如图4.142所示，当AD⊥BC时，AD取得最小值.
在Rt△ABD中，AB=8，∠B=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD=.
此时，EF=.
∴EF的最小值为.
思路点拨：
关于双动点线段的问题处理起来比较麻烦，可利用转化思想，抓住轴对称的性质，发现等腰△AEF的顶角度数为∠BAC的两倍，于是算出AE与EF的比例关系，进而得到AD与EF的比例关系.根据“垂线段最短”解得AD的最小值.思路推进时一定要抓住初始的动点D.
拓展：在解题的过程中我们发现，∠BAC的作用是得到AD与EF的比例关系，∠B和AB的作用是计算垂线段的长度，因此题目中可以将特殊角改为已知三角函数值的锐角，如∠A=45°，AB=5，csB=，其他信息不变，依旧可以用同样的方法算出EF的最小值.
74.如图3.70所示，∠BAC=60°，半径为1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以点P为圆心、PA长为半径的⊙P与射线AB、AC分别交于D、E两点，连接DE，则线段DE的最大值为（ ）
A.3 B.6 C. D.
解：连接PD、PE、OP，如图4.143所示.
∵∠BAC=60°，
∴∠EPD=120°.
∵PE=PD，
∴∠PED=∠PDF=30°，
∴DE=PD.
∵PD=PA，
∴DE=PA，
当PA取得最大值时，DE也取得最大值.
设F、G为圆O与∠CAB的两边的切点，连接DF、OG、OA、OP.
∵圆O内切于∠CAB，
∴OF⊥AB，OG⊥AC，OF=OG，
∴AO平分∠CAB，
∴∠OAB=30°.
在Rt△AOF中，OF=1，
∴AO=2，
∴PA≤AO＋OP=3，
如图4.144所示，当且仅当A、O、P三点共线时，PA取得最大值3，
∴DE的最大值为3.
思路点拨：
根据含30°的等腰三角形三边的比例关系，可将DE的最小值问题转化为PD的最大值问题.PD（=PA）为圆P的半径，因此只要求得PA的最大值即可，于是将原本的双动点线段问题转化成了定点到圆周上动点的距离最值问题.
75.如图3.71所示，AD是△ABC的高，AD=BD=4，DC=2，E是AC上的动点，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，则FG的最小值是______________________.
解：连接BE，取BE的中点O，连接OF、OG，如图4.145所示.
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠BFE=∠BGE=90°.
∵O为BE的中点，
∴FO=GO=BO=EO=BE，
∴B、F、E、G四点共圆.
∵AD为△ABC的高，AD=BD，
∴∠ABD=45°，
∴∠FOG=90°.
在Rt△FOG中，OF=OG，
∴FG=OF=BE.
在Rt△ADC中，AD=4，DC=2，
∴AC=.
如图4.146所示，当BE⊥AC时，BE取得最小值.
∵S△ABC=AD·BC=BE·AC，
∴BE=,
∴FG的最小值为.
思路点拨：
FG是双动点线段，故需要利用转化思想化复杂为简单.两个直角三角形共斜边，四个顶点都在以斜边的中点为圆心的圆上；等腰Rt△ABD的底角∠ABD为圆周角，所以弦FG所对的圆心角为90°，与直径的比例为定值；当直径BE取得最小值时，FG也取得最小值，而BE的最小值即点到直线的垂线段长度.
76．如图3.72所示，点C是⊙O上一动点，弦AB＝6，∠ACB＝120°．△ABC内切圆半径r的最大值为 ．
图3.72
答案：解 设△ABC的内心为点I，连接AI、BI，如图4.147所示．
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，BI平分∠CBA．
∵∠ACB＝120°，
∴∠CAB＋∠CBA＝180－∠ACB＝60°，
∴∠IAB＋∠IBA＝(∠CAB＋∠CBA)＝30°，
∴∠AIB＝180－(∠IAB＋∠IBA)＝150°．
∵AB为定线段，∴点I的轨迹为一段圆弧．
设该弧的圆心为点D，过点I作IE⊥AB，如图4.148所示
∴IE为△ABC内切圆的半径，
∴r的最大值就是线段IE的最大值．
如图4.149所示，当O、I、E三点共线时，在弓形内取得IE的最大值．
∵∠AIB＝150°，∴∠ADB＝2(180°－150°)＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
∵AE⊥AB，在Rt△AED中，AD＝AB＝6，
∴DE＝3，
∴IE＝DI－DE＝6－3，
∴△ABC内切圆半径r的最大值为6－3．
图4.147 图4.148 图4.149
思路点拨
我们从题干中解读出两条关键的信息，一是三角形两个内角的平分线所形成的角与第三个角的数量关系，二是定弦、定角形成的圆轨迹.不难发现∠AIB为定角，AB为定线段，点I的轨迹便可以确定为一段圆弧，继而找到弦AB的垂直平分线与的交点即为r最大时内心I的位置，最后利用垂径定理进行计算．
77．如图3.73所示，在扇形AOB中，△AOB为等腰直角三角形，OA＝4，C是AB上一动点，过点C作CD∥OB交圆弧于点D，则CD的最大值为 ．
图3.73
答案：解 过点D作DE⊥AB，如图4.150所示．
在等腰直角△AOB中，AO＝BO，∠O＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°．
∵CD∥OB，∴∠DCB＝45°．
∵DE⊥AB，∴∠DEC＝90°，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CD＝DE．
如图4.151所示，当O、D、E三点共线时，DE取得最大值，此时CD也取得最大值．
∵OE⊥AB，∠OBE＝45°，
∴△OBE为等腰直角三角形，∴OE＝2，
∴DE＝OD－OE＝4－2，
∴DE的最大值为4－2，∴CD的最大值为4－4．
图4.150 图4.151
思路点拨
本题依旧为双动点问题，处理起来不够便利，因此我们利用∠DCB＝45°，将CD的长度转化为倍的点D到AB的距离.而在弓形中，点D到AB的距离最大值在点D为的中点时取到．
78．如图3.74所示，在扇形AOB中，OA＝5，tan∠ABO＝，C是AB上一动点，过点C作CD∥OB交圆弧于点D，则CD的最大值为 ．
图3.74
答案：解 当点C与点A重合时，CD取得最大值．
过点O作OE⊥CD，与AB、AD分别交于点F、E，作OG⊥AB于点G，如图4.152所示，
∴AB＝2BG，AD＝2AE．
在Rt△OBG中，OB＝OA＝5，
∵tan∠ABO＝，∴BG＝2OG，
∴OG2＋BG2＝5OG2＝OB2，
∴OG＝，∴AB＝2．
在Rt△OBF中，OB＝5，
∴OF＝，
∴BF＝＝，
∴AF＝AB－BF＝．
∵CD∥OB，∴∠BAD＝∠ABO．
在Rt△AEF中，tan∠BAD＝tan∠ABO＝，
∴AE＝2EF，∴AE2＋EF2＝AE2＝AF2，
∴AE＝3，此时，CD的最大值为6．
图4.152 图4.153 图4.154
思路点拨
与题77类似，取得最值的情况却不相同，原因在于点的位置范围不同.我们仿照题77求最值的方式作图，如图4.153所示.从图形中我们发现，此时点C不在边AB上，而在延长线上，不符合题意．
那么，临界情况究竟是怎样的呢？如图4.154所示，当O、D、E三点共线时，点C与点A也恰好重合，很容易判断出此时△AOD为等边三角形．
所以，当∠AOB≤120°时，可通过在弓形内找长度最大的“高线”解决问题；当∠AOB≥120°时，可通过找点A、C重合的临界情况解决问题．
79．如图3.75所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点(可与点B、C重合)，分别过点B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B'、C'、D'，则BB'＋CC'＋DD'的取值范围是 ．
图3.75
答案：解 连接AC、DP，如图4.155所示．
∵正方形ABCD的边长为1，∴S正方形ABCD＝1，
∴S△ADP＝S正方形ABCD＝．
∵AB∥CD，S△ACP＝S△DCP，
∴S△ABP＋S△ACP＝S△ABC＝S正方ABCD＝，
∴S△ADP＋S△ABP＋S△ACP＝1，
∴AP·BB'＋AP·CC'＋AP·DD'
＝AP(BB'＋CC'＋DD)＝1，
∴BB'＋CC'＋DD'＝．
当点P与点B重合时，AP有最小值1；当点P与点C重合时，AP有最大值．
∴≤BB'＋CC'＋DD'≤2．
图4.155 图4.156
思路点拨
题中出现多条垂线段时，应该考虑面积法.利用面积法找到BB'＋CC'＋DD'和点P的关系．三条高线的公共底边为AP，根据3个三角形的面积之和等于正方形的面积，得到底和高的反比关系式，因此求出AP的取值范围便可确定BB'＋CC'＋DD'的取值范围．
另辟蹊径 若将BB'＋CC'＋DD'当作一个函数值，则自变量可以是因点P运动而产生的变量，如图4.156中标记的角度．令∠DAD'＝，在点P运动的过程中，45°≤≤90°．因为DD'＝AD·sin，BB'＝BP·sin，CC'＝CP·sin，所以BB'＋CC'＋DD'＝(AD＋BP＋CP)·sin＝2AD·sin，而≤sin≤1，故得出≤BB'＋CC'＋DD'≤2．
80．如图3.76所示，AB＝2，以AB为直径作半圆O，半圆O上有一动点P，则AP＋BP的最大值为 ．
图3.76
答案：解 将半圆补成完整的圆，取的中点Q(点P异侧)，连接PQ，过点Q作QC⊥PQ交PB的延长线于点C，连接AQ、BQ，如图4.157所示．
∵Q为的中点，∴AQ＝BQ．
∵AB为⊙O的直径，∴∠AQB＝90°，
∴∠QAB＝∠QBA＝45°，∴∠QPB＝45°．
∵QC⊥PQ，
∴∠AQP＝∠BQC＝90－∠PQB，∠C＝45°，
∴PQ＝QC．
在△APQ和△BCQ中，
∴△APQ≌△BCQ(SAS)，
∴AP＝BC，
∴AP＋BP＝BC＋BP＝PC．
在等腰Rt△PQC中，PC＝PQ．
当PQ为⊙O的直径时，PQ取得最大值，此时AP＋BP也取得最大值．
AP＋BP＝AB＝2，∴AP＋BP的最大值为2．
图4.157
思路点拨
这是一个简约而不简单的线段和最值问题.通过构造全等图形将线段和AP＋BP的最值问题转化为圆内的一条弦的最值问题．根据“圆中最长的弦是直径”求出AP＋BP的最大值．
另辟蹊径 在几何解析中巧妙地运用代数法．(AP＋BP)2＝AP2＋2AP·BP＋BP2＝AB2＋4S△ABP，表明要求AP＋BP的最大值，只需求S△ABP的最大值.当点P运动至的中点时，边AB上的高为半径，此时△ABP的面积取得最大值，AP＋BP也取得最大值.
81.如图3.77所示，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝2，过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边△ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E.设OD＝a,OE＝b，则a＋2b的取值范围是______________.
81.解 过点P作PF∥AC交OX于点F，如图4.158所示.
∵PD∥OY,PE∥OX，
∴四边形OEPD为平行四边形，
∴OE＝PD＝b.
∵AC⊥OY，∠XOY＝60°，
∴∠CAO＝90°－60°＝30°.
在Rt△AOC中，OA＝2，
∴AC＝.
∵PF∥AC,PD∥OY,AC⊥OY，
∴∠PDF＝∠XOY＝60°，PF⊥PD，
∴DF＝2PD＝2b，
∴a＋2b＝OD＋DF＝OF.
如图4.159所示，当点P在线段AC上时，a＋2b取得最小值.
如图4.160所示，当点P与点B重合时，a＋2b取得最大值.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAO＝∠CAO＋∠CAB＝90°.
∵BF∥AC，
∴∠BFA＝∠CAO＝30°.
在Rt△BAF中，AB＝AC＝，
∴AF＝AB＝3，
∴OF＝OA＋AF＝5,
∴2≤a＋2b≤5.
思路点拔：
利用平行四边形的性质将2OE转化为2PD，再利用60°角的余弦值将2PD转化为DF，因此a＋2b等于OF的长度，显然，当点P在AC上时OF取得最小值，当点P与B点重合时OF取得最大值.
82.如图3.78所示，∠ACB＝60°，圆O内切于∠ACB，半径为2.P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM＋2PN的取值范围为____.
82.解 延长MP与CB交于点D，如图4.161所示.
∵PM⊥AC,PN⊥CB，
∴∠PMC＝∠PNC＝90°.
∵∠ACB＝60°，
∴∠MPN＝360°－∠PMC－∠PNC－∠ACB＝120°,
∴∠DPN＝60°.
在Rt△PDN中，∠PDN＝30°，
∴PD＝2PN，
∴PM＋2PN＝PM＋PD＝MD.
在Rt△DMC中，MD＝CM，
∴PM＋2PN＝CM.
当PM与圆相切时，CM取到最值.
设圆与∠ACB两边的切点分别为E、F，连接OE、OF,
（1）当PM与圆相切在外侧时，CM取得最大值，如图4.162所示.
∵OE⊥AC,OF⊥CB,OE＝OF＝r，
∴CO平分∠ACB，
∴∠OCE＝30°
在Rt△COE中，OE＝2,
∵PM与圆相切，
∴OP⊥MD,
∴∠OPM＝∠OEM＝∠PME＝90°，
∴四边形OPME为矩形.
∴OP＝EM＝2，
∴CM＝EM＋CE＝2＋2
∴PM＋2PN的最大值为6＋2
（2）当PM与圆相切在内侧时，CM取得最小值如图4.163所示.
同理，CM＝2－2，
∴PM＋2PN的最小值为6－2
6－2≤PM＋2PN≤6＋2
思路点拔：
将MP延长，利用30°角的正弦值构造2PN，将目标式转化为一条线段的长度，继续利用60°角的正切值将线段MD转换成倍的CM长度，利用切线的性质找出CM最大值和最小值的位置，进行长度计算即可.
83.如图3.79所示，正方形ABCD的边长为10，E为边BC上一动点，将AE绕点E顺
时针旋转90°得到线段EF,M为ED的中点，连接MF，则MF的最小值为___________.
83.解 在AB上取一点H，使得tan∠BHE＝2（即令BE＝2BH），连接EH，延长BC到点G，使BC＝CG，延长EF至点N，使EF＝FN，连接DN，如图4.164所示.
∵M为ED的中点,
∴MF＝DN
∵AE⊥EF，
∴∠AEB＋∠FEC＝90°.
∵∠AEB＋∠EAH＝90°，
∴∠EAH＝∠NEG
令BH＝a，则BE＝2a，
∴AH＝10－a,EG＝20－2a，
∴,
∴△AHE∽△EGN，
∴∠AHE＝∠G.
∵点G为定点，∠G为定角，
∴点N的轨迹为从点G出发的射线.
如图4.165所示，当DN⊥GN时，DN取得最小值，此时MF也取得最小值.
将DN、CG分别延长交于点P，如图4,166所示，
∵∠AHE＝∠NGC，
∴∠EHB＝∠NGP＝180°－∠AHE.
∵DN⊥GN，
∴∠DNG＝∠DCG＝90°，
∴∠CDN＝180°－∠NGC，
∴∠CDN＝∠EHB＝∠NGP，
∴tan∠CDN＝tan∠NGP＝tan∠EHB＝2.
∵CD＝CG＝10,
∴CP＝2CD＝20,
∴DP＝＝10，
∴GP＝CP－CG＝10.
在Rt△PMG中，NP＝2NG,
∴NP2＋NG2＝NP2＝GP2,
∴NP＝4，
∴DN＝DP－NP＝6,
∴MF的最小值为3.
思路点拔：
由于MF为双动点线段，直接探究最值有困难，因此我们可以抓住点M为中点的条件，构造中位线进行转化，延长EF，将点F构造成EN的中点，则MF为△DEN的中位线，于是只需求得DN的最小值，点D为定点，故构造相似三角形探究点N运动的轨迹，最后根据“垂线段最短”解决最值问题.

84.如图3.80所示，正方形ABCD中，E为BC上一动点，连接AE将AE顺时针旋转90°至EF，连接BF.若AB＝4，M为BF的中点，则CM的最小值为_________.
84.解 在AB上截取BE＝BG，连接EG、CF，如图4.167所示.
∵AG＝AB－ BG， CE＝ BC－BE，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠B＝90°，
∴AG＝CE.
由题意知∠AEF＝90°，AE＝EF，
∴∠AEB＋∠CEF＝90°
又∠BAE＋∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF.
在△AGE和△ECF中，
.
∴△AGE≌△ECF（SAS），
∴∠ECF＝∠AGE.
∵BE＝ BG，
∴∠BGE＝∠GEB＝45°，
∴∠ECF＝∠AGE＝135°，
取BC的中点N，连接MN、CF，如图4.168所示，
∵M为BF的中点，
∴MN∥CF，
∴∠MNB＝∠ECF＝135°，
∴∠MNC＝45°
如图4.169所示，当CM⊥MN时，CM取到最小值，
此时△NMC为等腰直角三角形.
在Rt△MCN中，CN＝BC＝2,
∴CM＝CN＝,
∴CM的最小值为.
思路点拔：
通过构造K形全等，我们判断出点F的运动轨迹为线段.取BC的中点M，连接MN，易知MN与BC的夹角为定值，因此点M的运动轨迹也是线段（其实可视为点M跟随点F运动而运动，因此它们的运动轨迹形状相同），根据“垂线段最短”解得CM的最小值.
85.如图3.81所示，在平面直角坐标系中，A（－2,0），B（4,0），C（0，m），其中m＞0.连接BC，以BC为斜边作直角三角形BCP，且tan∠PBC＝，则AP的最小值为______,此时m的值为__________.
85.解 取BC的中点G，连接OG、PG、OP，如图4.170所示
∵∠BPC＝∠COB＝90°，G为斜边BC的中点，
∴PG＝OG＝BG＝CG＝BC，
∴点B、C、P、O在以点G为圆心、OG为半径的圆上，
∴在四边形POBC中，∠PCB＋∠POB＝180°,
∴∠POA＝180°－∠POB＝∠PCB，
∴∠POA为定值，即点P的轨迹为直线.
如图4.171所示，当AP⊥OP时，AP取得最小值，
∴∠PAO＝90°－∠POA＝90°－∠PCB＝∠PBC，
∴tan∠PAO＝tan∠PBC＝,
在Rt△AOP中，AO＝2，
∴AP2＋OP2＝AP2＝AO2，
AP＝，
即AP的最小值为.
根据图4.171计算m的值.
∵∠APO＝∠BPC＝90°，
∴∠APB＝∠OPC＝90°＋∠OPB.
∵AP:OP＝BP:CP＝2：1，
∴△APB∽△OPC，
∴AB:OC＝AP:OP＝2：1.
∵AB＝AO＋BO＝6,
∴OC＝3，
即当AP取得最小值时，m＝3.
思路点拔：
解题时应抓住题目条件中不变的角度去思考，我们注意到BC所对的直角有两个，从而判断出B、C、P、O四点共圆；根据“圆内接四边形的外角等于内对角”确定点P的轨迹是一条定直线；根据“垂线段最短”解决AP的最小值问题，再利用固定图形中的相似三角形，求出此时m的值.
86．如图3.82所示，点C的坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0），⊙C的半径为，点B是在⊙C上一动点，OB+AB的最小值为 ．
答案：解 连接AC、BC，在AC上取点E，使CE=，连接BE，如图4.172所示．∵AC==，BC=，∴BC2=CE·AC，∴，∵∠BCE=∠ACB，∴△BCE∽△ACB，∴，∴OB+AB=OB+BE≥OE．
如图4.173所示，当且仅当O、B、E三点共线时，OB+AB取得最小值．
如图4.174所示，过点E作EF⊥OA，垂足为F，∵直线AC的解析式为y=-x+7，∴∠CAO=45°，∴△AEF为等腰直角三角形，∵AE=AC-CE=．
在Rt△AEF中，EF=AF=4，∴OF=OA-AF=3，在Rt△OEF中，EF=4，OF=3，∴OE==5，即OB+AB的最小值为5．
【思路点拨】对于含系数的线段和问题，我们需要把两条线段的系数化为1：1，即“消除”比例系数，转化为常规的线段和a+b，我们可以借助相似图形和三角函数进行转化．一般规律：对于动点的圆轨迹，存在定长线段（半径），可构造相似图形消除比例系数；对于动点的直线轨迹，存在定角度，可利用三角函数构造线段消除比例系数（后期还有相关习题）．本题中我们需要构造AB或OB．
87．如图3.83所示，点C的坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0），点B为x轴上的动点，那么CB+AB的最小值为 ．
答案： 解 构造直线AD：y=x-，过点B作BE⊥AD，过点C作CF⊥x轴交AD于点F，如图4.175所示，当x=0时，y=，∴D（0，），∴tan∠OAD=，在Rt△ABE中，tan∠BAE=，∴AE=2BE，∴BE2+AE2=5BE2=AB2，∴，∴CB+AB=CB+BE≥CE．
如图4.176所示，当且仅当C、B、E三点共线时取到最小值．∵FC⊥x轴，∴CF//OD，F（2，）∴∠ODA=∠CFE，∵CE⊥AD，∴∠CEF=∠AOD=90°，∴△ODA∽△EFC，∴，∴CE=，即CB+AB的最小值为．
【思路点拨】本题的问题形式跟题86十分相似，依旧需要构造线段AB，将线段前的系数统一为1：1，本题中可以利用三角函数构造线段，根据“垂线段最短”找到最值的位置，再根据相似比计算最小值．
88．如图3.84所示，在平面直角坐标系xOy中，A（-1，0），B（0，），C是线段OB上的动点，则3AC+BC的最小值为 ，此时点C的坐标为 ．
答案： 解 取D（1，0），连接BD，过点C作CE⊥BD，如图4.177所示，在Rt△BOD中，OB=，OD=1，∴BD==3，∴sin∠OBD===，∴AC+BC=AC+CE≥AE．
如图4.178所示，当AE⊥BD时，AC+CE取得最小值．∵AE⊥BD，∴∠EAD+∠BDO=90°，∴∠OBD=∠EAD，∴sin∠EAD==，∵AD=OA+OD=2，∴AE==，∵3AC+BC=3(AC+BC)，∴3AC+BC的最小值为．在Rt△AOC中，OA=1，sin∠CAO=，∴AC=3OC，∴AC2-OC2=8OC2=OA2，∴OC=，即当3AC+BC取得最小值时，点C的坐标为（0，）．
【思路点拨】我们将所求表达式中的系数3提出来，构造成3(AC+BC)，然后利用三角函数将线段BC构造出来，根据“垂线段最短”找出最值的位置，最后利用相似比或三角函数进行计算．
89．如图3.85所示，在正方形ABCD中，AB=2，E是BC的中点，CD上有一动点M，连接EM、BM，将△BEM沿着BM翻折得到△BFM，连接DF、CF，则DF+CF的最小值为 ．
答案： 解 取BE的中点G，连接FG，如图4.179所示，由题意知△BFM≌△BEM，∴BF=BE=1，∵G为BE的中点，∴BG=BF，∴，∵∠FBG=∠CBF，∴△BFG∽△BCF，∴，∴DF+CF=DF+FG≥DG．
如图4.180所示，当且仅当D、F、G三点共线时取得最小值，在Rt△DGC中，CD=2，CG=BC-BG=，∴DG==，∴DF+CF的最小值为．
【思路点拨】利用相似的性质构造出长度为CF的线段，然后根据“两点之间线段最短”求出最小值．
【弦外之音】这就是近近几年某些地区考试中比较热门的阿波罗尼斯圈（简称阿氏圆）．题中点F的轨迹是以点B为圆心的圆（四分之一圆弧），而点F在运动的过程中，保持到两定点G、C的距离之比为定值，这其实就是阿波罗尼斯圆的定义：到两定点距离之比为定值k（k>0且k≠1）的点的轨迹图形为圆，这也是本题和题86解题思路的灵感来源．
90．如图3.86所示，正方形ABCD的边长是4，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°，则△EAF的面积最小值为 ．
答案： 知识储备 在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的两点，且∠EAF=45°．
求证：△AEF边EF上的高为定值．
证 延长CB至点G，使BG=DF，连接AG，作AM⊥EF，如图4.181所示．在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF(SAS)，∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，∵∠DAF+∠BAF=90°，∴∠BAG+∠BAF=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AEF和△AEG中，，∴△AEF≌△AEG(SAS)，∴∠AEB=∠AEM，∵AB⊥BE，AM⊥EF，∴AB=AM，即△AEF边EF上的高为定值．
解 取△AEF的外心O，连接OA、OE、OF，过点O作ON⊥EF，如图4.182所示，∵∠EAF=45°，∴∠EOF=90°，∵OE=OF，∴△OEF为等腰直角三角形，不妨设外接圆的半径为r，则EF=r．OA+ON≥AM，即r+r≥4，当且仅当点M、N重合时取到最小值，∴EF≥8-8，∵AM=4为定值，∴S△EAF=EF·AM≥16-16，即△AEF的面积最小值为16-16，当且仅当△AEF为等腰三角形时取到．
【思路点拨】本题属于半角模型，解法同题90，利用△AEF的高不变，构造△AEF的外接圆，再根据“垂线段最短”和EF与半径之间的固定比例，解得EF的最小值，从而得出△AEF的面积最小值．
另辟蹊径 （1）利用基本不等式也可求得EF的最小值，如图4.183所示，设BE=x，DF=y，利用勾股定理有(4-x)2+(4-y)2=(x+y)2，整理得．所以，EF=x+y=x+=x+4+-8≥-8，当x+4=，即x=-4时，EF取得最值．
（2）还可以构造一元二次方程求EF的最小值，EF=x+y=x+=x+4+-8≥-8，令x+4+-8=k，则(x+4)2- (8+k)(x+4)+32=0，已知(x+4)有解，则△=(8+k)2-128≥0，得k≥-8．
91．如图3．87所示，△ABC是边长为4的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与点A重合，三角板30°角的两边分别与BC交于D、E两点，则DE长度的最小值是 ．
91．解 作△ADE的外接圆，圆心为点O，连接OA、OD、OE，分别过点A、O作BC的垂线，垂足分别为N、M，如图4．184所示
∵∠DAE=30°，
∴∠DOE=60°．
∵OE=OD，
∴△OED为等边三角形．
设圆O的半径为r，
∵DE=r．
∴OM⊥DE，
∵M为DE的中点，
∴OM=．
∵AN⊥BC，
∴N为BC的中点，
∴AN=．
∵OA+OM=r+r≥AN
∴r≥8-12，
即DE的最小值为8-12．
思路点拔
本题也属于半角模型．继续利用外接圆求出DE和半径的比例关系；根据“垂线段最短”解得半径的取值范围，继而得到DE的取值范围．
顺带一提，当点D与点B重合（或点E与点C重合）时，DE取得最大值为2．
92．如图3．88所示，∠AOB=60°，点C在∠AOB内且OC=3，以点C为圆心、1为半径作圆，点P、Q分别是射线OA、OB上异于点O的动点，点M在圆C上运动．若圆C和∠AOB两边都没有交点，则MP+MQ+PQ的最小值为 ．
92．解连接OM，作点M关于OB、OA的对称点M'、M"，连接PM"、QM'、M'M"，如图4．185所示，
∴MQ=M'Q，∠MOB=∠M'OB，OM=OM'．
同理，MP=M'P，∠MOA=∠M'OA，OM=OM"，
∴MP+MQ+PQ=M"P+PQ+M'Q≥M'M"．
∵∠AOB=60°，
∴∠M'OM'=∠AOB+∠M'OB+∠M"OA=120°．
∵OM=OM'=OM"，
∴M'M"=OM．
如图4．186所示，当O、M、C三点共线时（点M在OC之间），OM取得最小值为OC-CM=2，
∴MP+MQ+PQ的最小值为2．
思路点拔
作出点M关于OB、OA的对称点M’、M"，根据“两点之间线段最短”，当M'、M"、P、Q四点共线时，MP+MQ+PQ取得最小值；根据特殊角的三角函数值，此时M'M"=OM，所以要求OM的最小值，即圆外一点到圆周上一点的距离最小值．
93．如图3．89所示，在△ABC中，∠C=90°，点D是边BC上一动点，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E．若AC=6，BC=8，则烤的最大值为（ ）
A． B．C．D．
93．解 如图4．187所示，过点E作EF⊥BC于点F
∵∠C=90°，
∴AC∥EF，
∴△ACD∽△EFD，
∴
∵AE⊥BE，
∴A、B、E、C四点共圆．
设AB的中点为O，连接OE、OF．
当OE⊥BC时，EF有最大值，如图4．188所示．
∵OE⊥BC，EF⊥BC，
∴EF、OE重合．
∵AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∴OE=5．
∵OE⊥BC，
∴BF=BC=4，
∴OF=3，
∴EF=2，
∴
即的最大值为。
思路点拔
观察出A、B、E、C四点共圆是关键；通过构造相似三角形将线段比进行转化，最后转化为单线段的最值问题．
94．如图3．90所示，点A是直线y=－x上的动点，点B是x轴上的动点．若AB=2，则△AOB的面积最大值为 ．
94．解 如图4．189所示，作△AOB的外接圆OC，连接CB、CA、CO，过点C作CD⊥AB于点D．
由题意可得∠AOB=45°，
∵∠ACB=90°，
∴DC=AB=1，CO=AC=BC=．
如图4．190所示，当O、C、D三点共线时，OD取得最大值为OC+CD=+1，此时OD⊥AB，
∴S△AOB =AB×OD=×2（+1)=+1，即△AOB的面积最大值为+1．
同理，当点A在第二象限内，点B在x轴负半轴上时，△AOB的面积最大值也为+1．
思路点拔
这是一个比较典型的“滑动问题”，AB在直线y=-x和x轴之间滑动．其实换一个角度，这个问题就容易理解了：如图4．191所示，△AOB的一边AB为固定长度，所对的∠AOB=135°或45°，求此时边AB上高的最大值．可以利用点O的轨迹为圆（定弦定角）找出△AOB的高最大值的位置，即AB不动、坐标轴转动的相对运动思想．
95．如图3．91所示，线段AB的端点坐标分别为A（-6，0），B（0，2），点C从（0，4）出发以每秒1个单位长度的速度沿直线y=4向左平移，同时线段AB也沿x轴的正方向以每秒2个单位长度的速度平移，则经过 s，△ABC的周长最小．
95．解 不妨假设AB静止，点C以每秒3个单位向左运动．
作点A关于y=4的对称点A'（-6，8)，连接A'C、A'B，如图4．192所示，
∴AC=A'C，
∴AC+BC=A'C+BC≥A'B，
如图4．193所示，当A'、B、C三点共线时，AC+BC取得最小值．
∵直线A'B的解析式为y=-x+2，
当y=4时，点C的坐标为（-2，4），
∴t=
思路点拔
本题可利用相对运动的思想．AB和点C都在运动且同时运动，这时我们可以将这一反向运动理解为：AB不动，点C以AB的运动速度与自身的速度之和为“新速度”向左运动．那么只需点C运动到直线A'B（点A’为点A关于y=4的对称点）上即可使AC+BC取得最小值．利用相对运动的思想是为了减少变量的个数，而不改变题目的本质．
96．在△ABC中，若O为边BC的中点，则必有AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2．依据以上结论，解决如下问题：如图3.92所示，矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2＋PG2的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10

解：连接DE、GF的中点M、N，连接PN、PM，如图4.194所示．
∴四边形DGNM也是矩形，∴GN＝DM＝2．
根据题给结论，PF2＋PG2＝2PN2＋2GN2，故要求PF2＋PG2的最小值，只需求PN的最小值即可．
∵PM＋PN≥MN，∴PN≥MN－PM＝1．
如图4.195所示，当且仅当P、N、M三点共线时取到最小值，此时PF2＋PG2＝10．
思路点拨
本题利用中线长公式将的最值问题转化为单线段的最值问题．设点M为DE的中点，点N为GF的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出PN的最小值，再根据结论PF2＋PG2＝2PN2＋2GN2即可求出最小值．
97．如图3.93所示，圆O的半径为3，A为圆内点，OA＝2，B、C为圆O上不同的两点，AB⊥AC，则BC的最大值为 ．

知识储备 在△ABC中，D为BC的中点，连接AD．求证：AB2＋AC2＝2AD2＋2BD2．
证：作AE⊥BC，如图4.196所示．
在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2．在Rt△ACE中，AC2＝AE2＋CE2．在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2．
∵D为BC的中点，∴BD＝CD．
∴2AD2＝2AE2＋2DE2，BE2＋CE2＝(BD＋DE)2＋(CD－DE)2＝BD2＋CD2＋2DE2，
∴AB2＋AC2＝2AE2＋BE2＋CE2＝2AD2＋BD2＋CD2＝2AD2＋2BD2．
解：分别取BC的中点D和OA的中点E，连接DE、AD、OD、OC，如图4.197所示．∴OD⊥BC．
在Rt△OBD中，OD2＝OB2－ ．
∵AB⊥AC，D为BC中点，∴AD＝BC．
∵E为OA中点，根据中线长公式，2DE2＝OD2＋AD2－2AE2，
∴DE＝，∴点D在以点E为圆心、DE为半径的圆上．
∵AD≤AE＋DE，如图4.198所示，当且仅当A、E、D三点共线时取得最大值，∴BC的最大值为．
思路点拨
此题难度较大，我们要注意使用96题中出现的中线长公式，计算出DE为定值，确定点D轨迹为圆；根据定点到圆周上动点的距离最大值解得AD的最大值，从而得到BC的最大值．
弦外之音 随着这几年高中（或竞赛）知识以知识应用的形式进入中考，如中线长公式，我们要有选择性地进行课外拓展．
如本题，我们也可利用勾股定理中的一些结论“另辟蹊径”．
有这样的结论：平面上一点到矩形对角顶点的距离的平方和相等，如图4.199所示．利用这一结论可构造矩形ADBC，如图4.200所示，计算出OD为定值，即点D的轨迹也是以点O为圆心的圆，AD的最大值即BC的最大值．

98．有10个数据，x1，x2，…，x10，已知它们的和为2018，当代数式(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－x10)2取得最小值时，x的值为 ．
解：令x＝x1＝x2＝…＝x10＝201.8，则(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－x10)2＝0．
思路点拨
初一的学生可以这样思考：几个非负数的和最小值为0，当且仅当每个非负数均为0，即x＝x1＝x2＝…＝x10时取得最小值．初三的学生可以这样想：这个式子十分熟悉，类似于统计中我们学到的方差公式，利用方差的定义可知，当数据毫无波动时，方差能取得最小值．
99．若10个正整数(各不相同)的和为2018，将这10个数从小到大排列，则第5个数的最大值为 ．
解：不妨设这10个数的大小顺序为x1＜x2＜…＜x10．
由题意得x1＋x2＋…＋x10＝2018，x1＋x2＋x3＋x4≥1＋2＝3＋4＝10，∴x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10≤2008．
∵x6≥x5＋1，x7≥x5＋2，…，x10≥x5＋5，∴6x5＋15≤x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10≤2008，
∴x5≤，∴x5≤332，∴第5个数的最大值为332．
不妨验证，当x5取333时，10个数之和至少为2023．
思路点拨
第5个数最大时前4个数之和必须最小，后5个数之和也必须最小．根据此思路设这10个数，列出不等式求整数解即可．
100．若10个正整数的和为24，令这10个数的平方和的最大值为a，平方和的最小值为b，则a＋b＝ ．
解：不妨设这10个整数为x1，x2，…，x10，则
x12＋x22＋…＋x102＝(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2＋2(x1＋x2＋…＋x10)－10
＝(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2＋38，
其中，(x1－1)＋(x2－1)＋…＋(x10－1)＝14，(x1－1)，(x2－1)，…，(x10－1)均为非负数．
最大值情况：
142＝[(x1－1)＋(x2－1)＋…＋(x10－1)]2
＝(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2＋2(x1－1)(x2－1)＋…
≥(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2，
∴x12＋x22＋…＋x102≤142＋38＝234＝a．
最小值情况：
对于自然数n≥0，有n2≥n，
∴(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2≥(x1－1)＋(x2－1)＋…＋(x10－1)＝14，
∴x12＋x22＋…＋x102≤14＋38＝52＝b．
∴a＋b＝286．
思路点拨
根据完全平方公式的化简变形推导n个数的平方和取得最值得情况：取得最大值时有9个1和1个15；取得最小值时有4个2和6个3．注意观察n个数的平方和取得最大值和最小值的情况，可以导出此类问题的一般情形：n个数中，n－1个数为1时取得最大值；n个数之间不同的数差为1时取得最小值，当然此时不同的数应尽量小．