华师一附中2024届高三数学选填专项训练（10）

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参考答案：
1．C
【分析】先求出集合A，进而求出其真子集的个数．
【详解】因为集合，
∴集合＝{1，，}，
∴真子集个数为23﹣1＝7个，
故选C．
【点睛】本题考查了真子集的概念及性质，考查集合的表示方法：列举法，是一道基础题．
2．C
【分析】先求出的值域，然后确定的值域所包含的集合，利用一次函数性质可得．
【详解】当x≥1时，f(x)=lnx，其值域为[0，+∞)，
那么当x<1时，f(x)=(1﹣2a)x+3a的值域包括(﹣∞，0)，
∴1﹣2a>0，且f(1)=(1﹣2a)+3a≥0，
解得：，且a≥﹣1.
故选：C.
3．D
【分析】由于P为边BD上的一点，则可得，再由，可得，再结合，可求出的关系，然后根据基本不等式逐个分析判断即可
【详解】因为P为边BD上的一点，所以，
因为，
所以，
因为，
所以，得，所以A错误，
对于B，因为、，，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为，所以B错误，
对于C，因为、，，
所以，当且仅当时，取等号，所以的最小值为，所以C错误，
对于D， ，所以，所以当时，的最小值为，所以D正确，
故选：D
4．C
【分析】根据圆的方程确定圆心与半径，由直线与圆相切可得，即可判断数列为等差数列，根据等差数列的前项和性质即可求得的值.
【详解】圆C的圆心为，半径，由直线与圆相切得：
圆心到直线的距离，整理得，即，
所以为等差数列．
在等差数列中，，，成等差数列，
所以，则，即．
故选：C.
5．A
【分析】连接、，推导出四边形为菱形，设，则为的中点，且，再利用投影向量的定义可得结果.
【详解】连接、，

因为，则，所以，且，
又因为，则四边形为菱形，
设，则为的中点，且，
因此，在上的投影向量为，
故选：A.
6．A
【分析】由题意可知，当时，，；当时，，.由，得
.根据的解析式，分别求出的表达式，再根据导数求的取值范围.
【详解】当时，，；
当时，，，
综上，对.
有两个零点，即方程有两个根，
即方程有两个根，不妨设.
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，.
令.
.
令，
，令.
时，；时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，.
函数的值域为，即的取值范围是.
故选：.
【点睛】本题考查函数与方程，考查导数在研究函数中的应用，属于难题.
7．D
【分析】确定是与平面所成的角，不妨设，求出，利用求得的最小值，再由得的最大值．
【详解】平面，平面，所以，又，，
所以，，，所以，
所以点轨迹是对角线的中垂面与底面的交线，为一条线段．
由平面知是与平面所成的角，
不妨设，
则，，得，．，即的最大值为，
故选：D．
B
观察后，用特值法：
9．BCD
【分析】结合双曲线的图象与性质，逐项判断，即可确定本题答案.
【详解】由双曲线：，得，设，
则，当且仅当时取等号，所以最小值为，故A错误；
设两点坐标分别为，，所以，又因为，所以，
故B正确；
，故C正确；
由双曲线：，可得通径长为，且实轴长，所以这样的直线有4条，故D正确.

故选：BCD
10．AC
【分析】选项A. 由复数与向量的关系可判断；选项B.取特殊值，可判断；选项C. 由复数的运算结合向量数量积的坐标运算可判断；选项D. 设，由，则,结合向量数量积的坐标运算可判断；
【详解】选项A. 由，则，所以，故选项A正确.
选项B. 当，, 满足.
但，即，故B不正确.
选项C. 设，由，则
所以，，，故C正确.
选项D. 设，，则满足
此时，，此时，故选项D不正确.
故选：AC
11．ACD
【分析】根据题中条件，由对数运算可得A正确；根据对数函数的单调性，可得B错；根据古典概型的概率计算公式，求出，得到，即可判断C正确；根据古典概型的概率计算公式，分别求出事件与事件发生的概率，得出与，即可判断D正确.
【详解】A选项，当时，，即A正确；
B选项，因为对数函数是增函数，所以是减函数；因此，当时，，即，故B错；
C选项，一次掷两个骰子，所包含的基本事件的个数为个；“出现的两个数之和是偶数”所包含的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
则，所以，故C正确；
D选项，事件“仅出现一个2”，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，共个基本事件；
事件“至少出现一个5”，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共个基本事件；
所以，，则；因此，即D正确；
故选：ACD.
12．ABD
【分析】摩天轮离地面最远距离减去转盘直径，从而可判断A；由时间t与游客距离地面的高度，求出关于t的表达式，即可判断B；求出在上的单调性，结合当时，，即可判断C；由余弦型函数的性质可求出的最小值即可判断D；
【详解】对于A，由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A正确；
对于B，设，当时，游客从离地面最近的位置进舱，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处.所以，，，，又当时，，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，，又高度相等，函数的对称轴为，则关于对称，则，则；
令，解得，令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，当时，，
当时，；当时，，所以在只有一个解，故C错误；
对于D，周期，由余弦型函数的性质可知，令，
则，，函数关于对称，若在，时刻游客距离地面的高度相等，
则当时，的最小值为10，的最小值为20.故D正确.
故选：ABD.
13．ABC
【分析】先在坐标轴中画出的图象,根据图象可判断A选项,结合解析式可判断B选项,再画出与的图象,数形结合可判断C,D选项.
【详解】在坐标轴上作出函数的图象如下图所示:
由图象可知的最大值为1,最小值为,故选项A正确;
由题可知,
所以即,故选项B正确;
作出的图象，因为，
由图象可知与有3个交点,故选项C正确;
结合图象可知,若对任意,不等式恒成立,
即时,不等式恒成立,
又,
所以,即在时恒成立,
设,则,
故时,,函数在上单调递减,
所以时,,
又,所以,即,故选项D错误.故选:ABC.
【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.
14．10
【分析】由题意可得，且，；，，从而可求出和，则，方法一：作商比较的大小可得结论，方法二：构造函数，利用导数求其最大值即可》
【详解】依题意，，且，，
所以
，
由题意得，，
所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以.
故小王对第k层住宅的购买满意度.
方法一：
由.即解得，
所以，
同理有，小王最想购买第10层住宅.
方法二：
设，，则，
故时，故在上为增函数，
时，故在上为减函数.
由于，，
故最大，小王最想购买第10层住宅.
故答案为：10
【点睛】关键点点睛：此题考查数列的应用，考查累加法求数列的通项公式，考查导数应用，解题的关键是根据题意得，，由此可求出和，从而可求出，考查计算能力，属于难题.
15．9
【分析】因删除一个数平均值没有改变，所以删除的数为均值5，根据方差公式可以求.
【详解】由题意删去一个数之后，平均值没有改变，所以删除的数为5，
由题意，得，
删除一个数后的方差为：
得，即，故答案为：9
16．64
【分析】用间接法，先计算小雪不站首位，大雪不站在末位的站法种数，再减去小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中间的情况，即可得答案.
【详解】由题意，五张知识展板并排放在文化橱窗里共有种排法，
小雪站在首位或大雪站在末位有种排法，
小雪站在首位且大雪站在末位有种排法，
则小雪不站首位，大雪不站在末位的站法共有种，
而小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中间的情况分两类，
小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中间，小雪不站末位，有，
小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中间，小雪站末位，有，
故小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至不在正中间的站法共有：种.