上海高一下期中真题精选（基础70题专练）（范围：第6章三角~8.2向量的数量积）-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二）

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一、单选题
1．（2022春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期中）函数在下列哪个区间上是严格增函数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用整体代入法求得函数的单调区间，从而确定正确答案.
【详解】，
，
所以函数在上递增，
令，得.
故选：B
2．（2022春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期中）为了得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】B
【分析】由三角函数的平移变换求解即可
【详解】解：函数的图像向左平移个单位得.
故选：B
3．（2022春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）已知是第四象限角，是角终边上的一个点，若，则（ ）
A．4B．-4C．D．不确定
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义求得.
【详解】依题意是第四象限角，所以，
.
故选：B
4．（2020春·上海徐汇·高一位育中学校考期中）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化简解析式，由此求得的最小正周期.
【详解】，最小正周期为.
故选：B
5．（2021春·上海浦东新·高一校考期中）在中，“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【分析】结合三角形内角与充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】在中，，
所以，
所以在中，“”是“”的充要条件.
故选：A
6．（2022春·上海奉贤·高一校考期中）在中，a＝4，b＝1，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】求出后，根据三角形的面积公式可求出结果.
【详解】因为，且，所以，
又，所以的面积为.
故选：C
7．（2021春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量与投影数量分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】利用向量投影数量的概念可求得在方向上的投影数量，设在方向上的投影向量为，根据向量数量积的几何意义可得出，求出实数的值，即可得出结论.
【详解】设在方向上的投影向量为，则，
故，故在方向上的投影向量为，
在方向上的投影数量为.
故选：D.
8．（2022春·上海黄浦·高一格致中学校考期中）函数的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求解出对称中心为，对赋值则可判断.
【详解】令，
解得，
所以函数图象的对称中心是，
令,得函数图像的一个对称中心是，
故选：C.
9．（2021春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）函数的部分图象如图，轴，当时，若不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的图象，求出对称轴方程，从而求出函数的周期，由此求得的值，
再利用特殊点求出的值，得到函数的解析式，然后利用参变量分离以及正弦函数的性质，
即可求出的取值范围．
【详解】因为轴，所以图象的一条对称轴方程为，
所以，则，所以，
又，，且，
所以，
故，
因为当时，不等式恒成立，
所以，
令，
因为，则，所以
所以的最小值为，
所以，即．
故选：．
二、多选题
10．（2022春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）关于函数的性质，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上的值域是
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在第一象限是严格单调递增函数
D．函数的图象既关于对称，也关于对称
【答案】BD
【分析】A选项，在上的值域是，B选项，的图象关于直线对称，C选项，举出反例；D选项，的对称中心为.
【详解】在上的值域是，A错误；
函数的图象关于直线对称，B正确；
，，均为第一象限角，且，而，故不满足函数在第一象限是严格单调递增函数，C错误.
函数的图象既关于对称，也关于对称，D正确.
故选：BD
11．（2022春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）关于函数的图象变换，下列说法正确的是（ ）
A．将的图象向右平移个单位，得到函数的图象
B．将的图象向右平移个单位，得到函数的图象
C．将图象上的点横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，得到图象
D．将图象上的点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到图象
【答案】BC
【分析】根据余弦函数图象的变换性质进行逐一判断即可.
【详解】因为的图象向右平移个单位得到的图象，
所以选项A不正确；
因为的图象向右平移个单位得到的图象，
所以选项B正确；
因为图象上的点横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，得到图象，
所以选项C正确；
将图象上的点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到图象，
所以选项D不正确，
故选：BC
三、填空题
12．（2022春·上海徐汇·高一上海中学校考期中）已知，则实数______．
【答案】或
【分析】根据为特值三角函数，由或即可得解.
【详解】由，
可得或，
故答案为：或
13．（2022春·上海徐汇·高一上海中学校考期中）若，，则______．
【答案】
【分析】根据正切的两角差的公式，准确运算，即可求解.
【详解】因为，，
则.
故答案为：
14．（2022春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期中）已知且，则________.
【答案】
【分析】结合同角三角函数的基本关系式、诱导公式求得正确答案.
【详解】由于且，
所以是第四象限角，
所以，
.
故答案为：
15．（2022春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期中）已知，，则________.
【答案】
【分析】结合两角和的正切公式求得正确答案.
【详解】
.
故答案为：
16．（2022春·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中）设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是______．
【答案】
【分析】利用向量的数量积转化求解向量在方向上的数量投影即可.
【详解】设向量与的夹角是θ，
则向量在方向上数量投影为.
故答案为：.
17．（2022春·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考期中）已知等腰三角形顶角的余弦值是，则底角的余弦值是______．
【答案】
【分析】利用二倍角公式求得正确答案.
【详解】设底角为，则，
依题意，
即.
故答案为：
18．（2021春·上海徐汇·高一位育中学校考期中）设常数，已知函数的最小正周期为2，则的值为________．
【答案】
【分析】根据正弦型函数周期的求法，列方程计算.
【详解】由题知，，解得.
故答案为：.
19．（2021春·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期中）函数（）的对称轴方程为___________.
【答案】
【分析】根据余弦函数的对称性进行求解即可.
【详解】函数（）的对称轴方程为: ，
故答案为：
20．（2021春·上海普陀·高一校考期中）函数的最大值是_______
【答案】1
【分析】由求出的范围，再利用余弦函数的性质可求出其最大值
【详解】由，得，
所以时，取得最大值1，
故答案为：1
21．（2021春·上海长宁·高一上海市延安中学校考期中）函数的最小正周期是_________
【答案】
【分析】利用正弦的周期公式直接求解即可
【详解】的最小正周期为，
故答案为：
22．（2022春·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考期中）在中，，，，则______．
【答案】或
【分析】结合正弦定理求得正确答案.
【详解】由正弦定理得，
由于，所以或.
故答案为：或
23．（2022春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）函数，若，则的值为________
【答案】0
【分析】由，可得，然后再求出
【详解】因为，且，
所以，得，
所以，
故答案为：0
24．（2022春·上海奉贤·高一校考期中）函数的定义域为______．
【答案】
【分析】利用整体代入法求得的定义域.
【详解】令，，可得，，
故函数的定义域为．
故答案为：
25．（2022春·上海宝山·高一校考期中）函数的值域为________.
【答案】．
【分析】由余弦函数的单调性求解．
【详解】由余弦函数性质知：
在上递增，在上递减，
，，，
所以值域为．
故答案为：．
26．（2022春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期中）函数的奇偶性为________函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）
【答案】偶函数
【分析】先根据诱导公式对函数进行化简，最后利用余弦函数的奇偶性判断即可.
【详解】由已知条件得，且函数定义域为R，关于原点对称，
则，
故函数为偶函数；
故答案为：偶函数.
27．（2022春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期中）若函数的图象关于直线对称，则的一个可能的值为________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】由求得的所有可能取值，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
故可取.
故答案为：（答案不唯一）
28．（2022春·上海长宁·高一华东政法大学附属中学校考期中）函数，的最小正周期为，则实数______．
【答案】##0.5
【分析】由周期公式求出的值.
【详解】由题可知，，
∴.
故答案为：.
29．（2021春·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）函数的最小正周期为______
【答案】
【分析】化简即得解.
【详解】解：由题得，
所以函数的最小正周期为.
故答案为：
30．（2022春·上海奉贤·高一校考期中）已知，则 x =____________
【答案】
【分析】直接利用三角函数值，求解角即可．
【详解】因为，，，
可得，
故答案为：．
31．（2021春·上海长宁·高一校考期中）已知，则_________
【答案】
【分析】由已知直接利用两角和的正切求解．
【详解】，
．
故答案为：．
32．（2021春·上海长宁·高一校考期中）已知的终边经过点，则_________
【答案】
【分析】根据三角函数的定义直接求解即可.
【详解】因为，所以，
因此，
故答案为：
33．（2021春·上海普陀·高一校考期中）△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，则三角形的面积为_______（精确到0.01cm2）
【答案】
【分析】根据三角形面积公式直接求解.
【详解】根据三角形面积公式.
故答案为：
34．（2022春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）化简：_______
【答案】
【分析】根据两角差的正弦公式，直接化简求值.
【详解】根据两角差的正弦公式，可知.
故答案为：
35．（2021春·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）化简____________.
【答案】0
【分析】由两角和与差的余弦公式化简，
【详解】，，
化简原式
故答案为：0
36．（2021春·上海长宁·高一上海市延安中学校考期中）已知，则_________
【答案】
【分析】利用正切的二倍角公式即可求解.
【详解】因为，所以，
故答案为：.
37．（2022春·上海浦东新·高一校考期中）在△中，，，，则________
【答案】
【分析】利用余弦定理即可求解.
【详解】由余弦定理得，
.
故答案为：2.
38．（2022春·上海奉贤·高一校考期中）已知，则______.
【答案】
【分析】结合诱导公式求得正确答案.
【详解】.
故答案为：
39．（2022春·上海宝山·高一校考期中）已知，则________.
【答案】
【分析】根据两角和的正切公式，化简得到，即可求解.
【详解】由两角和的正切公式，可得，解得.
故答案为：.
40．（2021春·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）若且，则是第____________象限角.
【答案】二
【分析】根据各象限三角函数的符号特征判断即可.
【详解】解：因为且，所以是第二象限角.
故答案为：二
41．（2022春·上海奉贤·高一校考期中）在中，，则_______
【答案】
【分析】利用平面向量的数量积的运算即可得到答案.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
42．（2021春·上海徐汇·高一上海中学校考期中）已知正六边形，若，，则用，表示为________．
【答案】
【分析】根据向量加法的三角形法则，即可求解
【详解】如图，，
故答案为：
43．（2022春·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期中）函数的严格单调递增区间为_____________.
【答案】
【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】当时，
即时，函数单调递增，
所以函数的严格单调递增区间为，
故答案为：
44．（2022春·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期中）在中，，则的形状为____________.
【答案】钝角三角形
【分析】根据正弦函数、余弦函数的性质，结合诱导公式进行求解即可.
【详解】在中，因为，所以，
当时，由
，此时是钝角三角形；
当时，显然不成立；
当时，
，
所以为锐角，此时是钝角三角形，
综上所述：是钝角三角形，
故答案为：钝角三角形
45．（2022春·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期中）对于函数，有以下4个结论：
①函数的图象是中心对称图形；
②任取，恒成立；
③函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等；
④函数与直线的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等.
其中正确的结论序号为_______________.
【答案】①③
【分析】根据函数的奇偶性、正弦函数的性质，结合特例法逐一判断即可.
【详解】①：因为，
所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，是中心对称图形，因此本结论正确；
②：因为，
所以，因此不成立，所以本结论不正确；
③：令，即，或，
当，显然成立，
当时，，显然函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等，因此本结论正确；
④：，或，
当，显然成立，
当时，，，，显然任意两相邻交点间的距离相等不正确，因此本结论不正确；
故答案为：①③
46．（2022春·上海闵行·高一校考期中）函数 的定义域是 .
【答案】
【分析】利用根式函数的定义域求法和正切函数不等式求解.
【详解】解：由函数 ，
则，即，
解得，
所以函数的定义域是，
故答案为：
47．（2022春·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）若为锐角，且，则_____．
【答案】
【分析】通过平方关系求出和的值，再根据两角和的余弦公式即可得解.
【详解】因为为锐角，且，所以，
所以．
故答案为：.
48．（2022春·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）已知，则____．
【答案】##0.4
【分析】先通过诱导公式化简，然后弦化切即可得到答案.
【详解】原式．
故答案为：.
49．（2022春·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期中）若，是第三象限的角，则______．
【答案】##
【分析】计算，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】因为，是第三象限的角，所以，
.
故答案为：
50．（2022春·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）方程在上的解集为__．
【答案】
【分析】首先利用辅助角公式化简，然后利用特殊角的三角函数值确定解集，最后根据题干中给定角的取值范围即可确定满足条件的角的集合.
【详解】因为，所以，
所以或，所以或，
因为，所以或，
故答案为：．
51．（2022春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期中）若，则__．
【答案】
【分析】根据余弦差角公式的逆运算得到，结合，求出，再利用正弦的二倍角公式求出答案.
【详解】，，
则，
所以．
故答案为：
四、解答题
52．（2021春·上海徐汇·高一位育中学校考期中）已知，，且，，求的值．
【答案】．
【分析】根据角的范围，求出csα，sinβ，结合两角和的余弦公式求解即可．
【详解】∵，，
∴csα，
∴
53．（2022春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解；
（2）利用倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．
【详解】（1）因为，
所以；
（2）．
54．（2021春·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期中）已知，，且.
（1）求的值；
（2）求值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据二倍角的正切公式进行求解即可；
（2）根据两角差的正切公式，结合反正切函数进行表示即可.
【详解】（1）因为，所以；
（2），
因为，所以，
因为，所以，因此，
因此.
55．（2021春·上海浦东新·高一校考期中）（1）求函数的值域；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据各象限三角函数的符号计算可得；
（2）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简即可；
【详解】解：（1）因为，显然；
当在第一象限时，、、，，所以；
当在第二象限时，、、，，所以；
当在第三象限时，、、，，所以；
当在第四象限时，、、，，所以；
综上可得；
（2）
56．（2021春·上海普陀·高一校考期中）已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）.
【答案】答案见解析.
【分析】首先根据正弦定理求得，即得角，再求角，最后根据正弦定理求边.
【详解】根据正弦定理可得，
因为，所以或
当时，，．
当时，，
57．（2022春·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为（即），墙AB的长度为6米（已知两面墙的可利用长度足够大），
(1)若，求的周长；
(2)若要求所建造的三角形的周长为18时，露天活动室面积即的面积能让小动物健康成长，求此时的面积．
【答案】(1)米
(2)
【分析】（1）在中，由正弦定理可得，，即可求的周长；
（2）依题意可得，利用余弦定理及将两边平方，求出，最后根据面积公式计算可得；
【详解】（1）解：在中，，，；
由正弦定理，
其中
可得，，
的周长为米
（2）解：在中，，，，即，
由余弦定理，即，又，
所以，所以（）
58．（2022春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期中）已知函数，.
(1)若是第一象限角，且，求的值；
(2)求使成立的x的取值集合.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）先求出，结合所在象限求得，进而利用半角公式进行求解；（2）利用半角公式，辅助角公式求得，进而求出使成立的x的取值集合.
【详解】（1），解得：，
因为是第一象限角，
所以
；
（2），
即，
，
利用辅助角公式得：，
所以，或，
解得：，或，
故使成立的x的取值集合为或
59．（2022春·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考期中）已知是第四象限角，，求值：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由，求得，进而得到，再结合，即可求解；
(2) 由（1）知，，联立方程组，求得的值，进而求得的值.
(1)
由，可得，解得．
因为是第四象限角，且，所以，可得，又由，所以，.
(2)
由（1）知，，
联立方程组，求得，所以
60．（2022春·上海杨浦·高一同济大学第一附属中学校考期中）已知：.求：
(1)的值；
(2)的值
【答案】(1)2
(2)1
【分析】（1）利用两角差的正切公式计算即可；
（2）将目标式变形，然后利用将目标式转化为用表示，再代入的值计算即可.
(1)
由已知，
解得；
(2)
，
带入得
61．（2021春·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知是方程的两根，且求：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用韦达定理可得，再利用两角和的正切公式即可得解；
（2）先判断的符号，从而可求得的范围，即可得出的范围，从而可得出答案.
【详解】（1）解：因为是方程的两根，
所以，
所以；
（2）解：因为，
所以，
故，所以，
所以.
62．（2021春·上海·高一期中）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的值域.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式将函数化简，再结合余弦函数的性质计算可得；
（2）由求出的取值范围，即可得到函数的单调递增区间；
（3）由的取值范围，求出的取值范围，再结合余弦函数的性质计算可得；
【详解】解：
（1）因为，所以函数的最小正周期
（2）由得
的单调递增区间为
（3）因为，所以，所以，所以
所以函数的值域为.
63．（2021春·上海徐汇·高一上海中学校考期中）已知的数
（1）有解时，求实数的取值范围；
（2）当时，总有，求定的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）通过分离参数法得，再通过配方法求最值即可
（2）由已知得恒成立，化简后只需满足且，求解即可.
【详解】（1）由已知得，
所以
（2）由已知得恒成立，
则
所以实数的取值范围为
64．（2021春·上海宝山·高一上海市行知中学校考期中）已知函数．
（1）求的单调增区间；
（2）求在区间上的最小值；
（3）如果在上有两个解，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】应用两角和正弦公式、二倍角正余弦公式可得，（1）根据正弦函数的单调增区间有即可求的单调增区间；（2）由题设，求的值域范围，即可知最小值；（3）由正弦函数的对称性，结合给定区间知上存在两个解，即可求的范围．
【详解】.
（1），则，
∴的单调增区间为.
（2）由题设，，故，
∴当时，最小值为.
（3）根据正弦函数的性质知：上会存在两个解，
∴.
65．（2021春·上海浦东新·高一统考期中）求函数的最小正周期与单调增区间．
【答案】最小正周期；单调增区间为．
【分析】首先利用辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦函数的周期公式以及单调增区间即可求解.
【详解】，
所以最小正周期，
由
解得：
因此函数单调增区间为．
66．（2021春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期中）已知函数．
（1）求的最小正周期及的最小值；
（2）将函数的图像上的所有点纵坐标保持不变，横坐标变化至原来的，得到的图像，求的严格增区间．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）结合降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，再结合周期公式即可求出最小正周期，结合函数的图象与性质即可求出最小值；
（2）先根据平移变换求出的解析式，进而结合函数的单调性，整体代入法解不等式即可求出结果.
【详解】（1）因为
，
所以的最小正周期；
当时，；
（2）由题意可知，
因为在上单调递增，
所以，即，
所以的严格增区间
67．（2021春·上海普陀·高一校考期中）已知函数．
（1）判断函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由；
（2）求函数y=f(x)在的零点.
【答案】（1）偶函数；理由见解析；（2）或，其中且.
【分析】（1）根据奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性；（2）方程转化为，即可求解.
【详解】（1）偶函数
说明如下：定义域对称，，所以f(x)是偶函数
（2）时，，可得
所以或，其中且.
68．（2022春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期中）已知函数的周期为，且图像上一个最低点为．
(1)求的解析式；
(2)当时，求函数的最值以及取得最值时x的值．
【答案】(1)
(2)时，取得最小值；时，取得最大值1
【分析】（1）根据周期求出，根据最低点求出，，则可得函数的解析式；
（2）根据，求出，再根据正弦函数的性质可得结果.
【详解】（1）因为函数的周期为，且图像上一个最低点为，
所以，，，解得，
由于，所以，
所以的解析式为
（2）因为，所以，
所以当时，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值1．
69．（2022春·上海长宁·高一校考期中）已知：.
(1)化简：；
(2)求函数的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用二倍角公式公式将函数变形，再根据余弦函数的有界性及二次函数的性质计算可得；
(1)
解：
即
(2)
解：因为，
，
当时，函数取得最小值，最小值为．
70．（2022春·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）已知，其中.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】利用同角三角函数基本公式和正弦的和差公式求值即可.
【详解】（1）因为，，且，，
所以，，，
所以.
（2）因为，，所以.