2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2　微切口2　多面体的外接球与内切球

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例1 (1) 若四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝eq \r(,3)，AC＝2，AD＝3，则球O的表面积为( B )
A．64πB．16π
C．4πD．π
【解析】 四面体ABCD的外接球O即为以AB，AC，AD为长、宽、高的长方体的外接球，所以球O的外接球半径R＝eq \f(1,2)eq \r(,AB2＋AC2＋AD2)＝2，所以球O的表面积S＝4πR2＝16π．
(2) (鳖臑模型)已知P，A，B，C为球O的球面上的四个点，若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝1，AC＝BC＝eq \r(,2)，则球O的表面积为( D )
A．2πB．3π
C．4πD．5π
【解析】 在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，故可将三棱锥P－ABC补形成如图所示的长方体．若P，A，B，C为球O的球面上的四个点，则该长方体的各顶点亦在球O的球面上．设球O的半径为R，则该长方体的体对角线长为2R，即2R＝eq \r(,PA2＋AC2＋BC2)＝eq \r(,5)，从而有S球O＝4πR2＝5π．
(例1(2))
(3) 如图，在三棱锥A－BCD中，BC⊥BD，BC＝3，BD＝AD＝4，BD⊥AD，则三棱锥A－BCD的外接球表面积为__32π__．
(例1(3))
【解析】 将三棱锥A－BCD置于如图的长方体中，原三棱锥的外接球即为长方体的外接球，由题可知，长方体的长、宽、高分别为3,4，eq \r(,7)，故外接球半径r＝eq \f(\r(,32＋42＋\r(,7)2),2)＝2eq \r(,2)，所以外接球表面积为4πr2＝32π．
(例1(3))
(4) 在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝2eq \r(,5)，PB＝AC＝eq \r(,13)，AB＝PC＝5，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是__29π__．
【解析】 由题意，PA＝BC＝2eq \r(,5)，PB＝AC＝eq \r(,13)，PC＝AB＝5，将三棱锥P－ABC放到长方体中，可得长方体的三条面对角线分别为2eq \r(,5)，eq \r(,13)，5．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，即eq \r(,a2＋b2)＝2eq \r(,5)，eq \r(,c2＋b2)＝eq \r(,13)，eq \r(,a2＋c2)＝5，解得a＝4，b＝2，c＝3．长方体的体对角线即为三棱锥和长方体公共外接球的直径2R，所以(2R)2＝a2＋b2＋c2＝29，故S球＝4πR2＝29π．
补形法适用的四种常见三棱锥：
①墙角模型——三条棱两两垂直，如图(1)；
②鳖臑模型——四个面都是直角三角形的，如图(2)；
③共直角边模型——两个共直角边的直角三角形组成的三棱锥，如图(3)；
④对棱相等模型——三组对棱分别相等，如图(4)．

图(1) 图(2) 图(3) 图(4)
外接球单面定球心法
例2 (1) (2023·广东联考)(侧棱相等的棱锥)已知在四面体V－ABC中，VA＝VB＝VC＝eq \r(3)，AB＝eq \r(2)，∠ACB＝eq \f(π,4)，则该四面体外接球的表面积为__eq \f(9π,2)__．
【解析】 如图，因为VA＝VB＝VC＝eq \r(3)，所以V在平面ABC的射影为△ABC的外心O′．又AB＝eq \r(2)，∠ACB＝eq \f(π,4)，所以由正弦定理得△ABC的外接圆的半径r＝eq \f(\r(2),2sin\f(π,4))＝1，故VO′＝eq \r(,2)．设四面体外接球的半径为R，(eq \r(2)－R)2＝R2－1，解得R＝eq \f(3\r(2),4)，所以外接球的表面积为4πR2＝4πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)))2＝eq \f(9π,2)．
(例2(1))
(2) (侧棱垂直于底面的棱锥)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝4eq \r(2)，BC＝4，∠CAB＝45°，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为( C )
A．32πB．48π
C．64πD．128π
【解析】 设△ABC外接圆的半径为r，圆心为O′，根据正弦定理，则2r＝eq \f(BC,sin∠CAB)＝4eq \r(2)，故r＝2eq \r(2)．设三棱锥P－ABC外接球的半径为R，由OA＝OP，可知△OPA为等腰三角形，过O作OQ⊥PA于Q，则Q为PA中点．由PA⊥平面ABC，OO′⊥平面ABC，知AQ∥OO′，则P，A，O′，O共面．因为PA⊥平面ABC，O′A⊂平面ABC，所以PA⊥O′A．又OQ⊥PA，故OQ∥O′A，于是四边形OQAO′为平行四边形．因为PA⊥O′A，所以四边形OQAO′为矩形，则R2＝r2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(PA,2)))2＝16，故外接球的表面积S＝4πR2＝64π．另外，此题也可以把棱锥补成直棱柱去做，请同学们自己尝试．
(例2(2))
外接球单面定球心法
步骤：(1) 定一个面外接圆圆心：选中一个面，如图，在三棱锥P－ABC中，选中底面△ABC，确定其外接圆圆心O1
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，,普通三角形用正弦定理定外心2r＝\f(a,sinA)))；
(2) ①侧棱相等的三棱锥：如图(1)，PO1⊥平面ABC，则球心一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上；在直线PO1上取球心O，如图，则OP＝OA＝R，利用公式OA2＝O1A2＋OOeq \\al(2,1)，可计算出球半径R．
图(1)
②侧棱垂直于底面的棱锥：如图(2)，过外接圆圆心O1作底面ABC的垂线，球心O在垂线上，过球心O向PA作垂线，垂足为M，则有MA＝OO1＝h，OM＝O1A＝r；计算球半径R：利用OA＝R＝eq \r(r2＋h2)＝OP＝eq \r(r2＋PA－h2)求出h，从而求出Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(实际上h＝\f(1,2)PA))．
图(2)
变式2 已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为2eq \r(2)，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是( B )
A．16πB．eq \f(32,3)π
C．8πD．eq \f(8\r(2),3)π
【解析】 在正四棱锥P－ABCD中，连接AC，BD，设AC∩BD＝O′，连接PO′，如图，则有PO′⊥平面ABCD，∠PAO′为侧棱PA与底面ABCD所成的角，即∠PAO′＝45°，于是得O′P＝O′A＝O′B＝O′C＝O′D＝eq \f(\r(2),2)AB＝2，因此，顶点P，A，B，C，D在以O′为球心，2为半径的球面上，即点O与O′重合，所以球O的体积是V＝eq \f(4,3)π×23＝eq \f(32,3)π．
(变式2)
外接球双面定球心法
例3 在四棱锥S－ABCD中，侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为2eq \r(3)的正方形，则该四棱锥外接球表面积为( C )
A．5πB．10π
C．28πD．16π
【解析】 如图，连接AC，BD，设AC∩BD＝O1，取AD中点E，连接O1E，SE，由题意知O1E⊥AD，SE⊥AD，O1为正方形ABCD外接圆的圆心．又因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，O1E⊂平面ABCD，所以O1E⊥平面SAD, 同理SE⊥平面ABCD．设等边三角形SDA的外接圆的圆心为O2，过O2作O1E的平行线，过O1作SE的平行线，两平行线交于点O，则OO1⊥平面ABCD，OO2⊥平面SAD，所以O为四棱锥S－ABCD外接球的球心，半径为R．由题知等边三角形SDA的外接圆半径SO2＝eq \f(2,3)SE＝eq \f(2,3)eq \r(SA2－AE2)＝eq \f(2,3)eq \r(SA2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AD))2)＝2(或在等边三角形SDA中，由正弦定理得eq \f(2\r(3),sin\f(π,3))＝2SO2，解得SO2＝2)．又因为OO2＝eq \f(1,2)AB＝eq \r(3)，所以R＝OS＝eq \r(O2S2＋O2O2)＝eq \r(22＋\r(3)2)＝eq \r(7)，所以四棱锥S－ABCD外接球表面积为4πR2＝4π×(eq \r(7))2＝28π．
(例3)
外接球双面定球心法
如图，在三棱锥P－ABC中：
①选定底面△ABC，定△ABC外接圆圆心O1；
②选定面△PAB，定△PAB外接圆圆心O2；
③分别过O1作平面ABC的垂线，过O2作平面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O．
变式3 在三棱锥A－BCD中，△ABD和△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A－BD－C的平面角为60°，则三棱锥的外接球的表面积为( D )
A．eq \f(7,3)πB．eq \f(28,9)π
C．eq \f(13,9)πD．eq \f(52,9)π
【解析】 如图，取BD中点H，连接AH，CH，因为△ABD和△CBD均为边长为2的等边三角形，所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A－BD－C的平面角，即∠AHC＝60°．设△ABD和△CBD外接圆圆心分别为E，F，则由AH＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，可得AE＝eq \f(2,3)AH＝eq \f(2\r(3),3)，EH＝eq \f(1,3)AH＝eq \f(\r(3),3)，分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球球心一定是两条垂线的交点，记为O，连接AO，HO，则由△OHE≌△OHF可得∠OHE＝eq \f(1,2)∠AHC＝30°，所以OE＝tan30°·HE＝eq \f(1,3)，则R＝OA＝eq \r(AE2＋OE2)＝eq \r(\f(13,9))，则三棱锥外接球的表面积为4πR2＝4π×eq \f(13,9)＝eq \f(52π,9)．
内切球
例4－1 (等体积法)在正四棱锥P－ABCD中，PA＝5，AB＝6，则该四棱锥内切球的表面积是( C )
A．eq \f(4π,7)B．eq \f(24π,7)
C．eq \f(36π,7)D．eq \f(72π,7)
【解析】 过点P作PO⊥平面ABCD，则O为正方形ABCD的中心，连接OA，如图，因为AB＝6，所以OA＝3eq \r(2)，所以OP＝eq \r(PA2－OA2)＝eq \r(25－18)＝eq \r(7)，则四棱锥P－ABCD的体积V＝eq \f(1,3)×62×eq \r(7)＝12eq \r(7)，四棱锥P－ABCD的表面积S＝6×6＋eq \f(1,2)×6×eq \r(25－9)×4＝84．设四棱锥P－ABCD内切球的半径为r，内切球的球心为O′，由V＝VO′－ABP＋VO′－BCP＋VO′－CDP＋VO′－ADP＋VO′－ABCD，可得V＝eq \f(1,3)S·r，即12eq \r(7)＝eq \f(1,3)×84r，解得r＝eq \f(3\r(7),7)，故四棱锥P－ABCD内切球的表面积是4πr2＝eq \f(36π,7)．
(例4－1)
内切球等体积法
例如，在四棱锥P－ABCD中，内切球为球O，求球半径r．方法如下：
VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PBC＋VO－PCD＋VO－PAD＋VO－PAB，即VP－ABCD＝eq \f(1,3)S四边形ABCD·r＋eq \f(1,3)S△PBC·r＋eq \f(1,3)S△PCD·r＋eq \f(1,3)S△PAD·r＋eq \f(1,3)S△PAB·r，可求出r．
例4－2 (独立截面法)已知球与圆台的上、下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为16π，上、下底面的面积之比为1∶9，则球的表面积为( A )
A．12πB．14π
C．16πD．18π
【解析】 依据题意，球内切于圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD，如图所示，过点B作CD的垂线，垂足为E，设球的半径为R，则BE＝2R，设圆台的母线为l，即BC＝l，上、下底面的面积之比为1∶9，即eq \f(πr\\al(2,1),πr\\al(2,2))＝eq \f(r\\al(2,1),r\\al(2,2))＝eq \f(1,9)，r2＝3r1．由圆的切线长定理可知，r1＋r2＝l⇒l＝4r1，圆台的侧面积为π(r1＋r2)l＝4πr1l＝16πreq \\al(2,1)＝16π，解得r1＝1，则2R＝BE＝eq \r(l2－2r12)＝2eq \r(3)，即R＝eq \r(3)，则球的表面积S＝4πR2＝12π．
(例4－2)
内切球独立截面法
(1) 画出过经过球心和切点的大圆的截面图；
(2) 在截面中，找到和球半径相关的直角三角形；
(3) 利用相似、全等、勾股定理等平面几何知识求出内切球半径．