辽宁省锦州市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省锦州市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．命题“,”的否定为( )
A.,B.,
C.,D.,
3．抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件“第一枚硬币正面朝上”,事件“第二枚硬币反面朝上”,则下列对事件的表述正确的是( )
A.A与B互为对立事件B.A与B互斥
C.A与B相互独立D.
4．已知,下列不等式中正确的是( )
A.B.C.D.
5．青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为( )
A.0.8B.0.9C.1.2D.1.3
6．已知函数是定义域为R的偶函数,且在单调递增,则( )
A.B.
C.D.
7．如图,在梯形ABCD中,直线AC交BD于点P,Q为BC中点,设,,则( )
A.B.C.D.
8．设,用表示不超过x的最大整数,例如：,,则称为高斯函数.已知函数,则函数的值域是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．某公司为了解用户对其一款产品的满意度,随机调查了10名用户的满意度评分,满意度最低为0分,最高为10分,分数越高表示满意度越高.这10名用户对产品的满意度评分如下：5,7,8,9,7,5,10,8,4,7.则下列说法正确的是( )
A.这组数据的众数为7B.这组数据的分位数为8
C.这组数据的极差为6D.这组数据的方差为3.2
10．若函数有三个零点-1,1,,且,则下列说法正确的有( )
A.B.C.D.
11．已知函数,则下列说法正确的有( )
A.当时,函数的定义域为R
B.当时,函数的值域为R
C.函数有最小值的充要条件为
D.若在区间上单调递增,则实数b的取值范围是
12．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线,该定理则被称为欧拉线定理.设点O,G,H分别为三角形ABC的外心､重心､垂心,且M为BC的中点,则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13．幂函数在上单调递减,则__________.
14．已知甲､乙､丙三人投篮的命中率分别为0.7,0.5,0.4,若甲､乙､丙各投篮一次（三人投篮互不影响）,则至少有一人命中的概率为__________.
15．已知实数a,,则的最小值为__________.
四、双空题
16．已知函数,若方程有4个不同的实数根,,,且,则k的取值范围为__________;的取值范围为__________.
五、解答题
17．平面内给定两个向量,.
（1）若,求实数k;
（2）若向量为单位向量,且,求的坐标.
18．在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并回答下列问题.
设全集,__________,.
（1）若,求;
（2）若“”是“”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
19．已知(且).
（1）求函数的解析式,并写出函数图象恒过的定点;
（2）若,求证：.
20．某高中为了解本校高一年级学尘的综合素养情况,从高年级的学生中随机抽取了n名学生作为样本,进行了“综合素养测评”,根据测评结果绘制了测评分数的频率分布直方图和频数分布表,如下图.
（1）求n,a,x的值;
（2）由频率分布直方图分别估计该校高一年级学生综合素养成绩的中位数（精确到0.01）､平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）;
（3）在选取的样本中,从低于60分的学生中随机抽取两人,求抽取的两名学生成绩属于同一组的概率.
21．某高校为举办百年校庆,需要氦气用于制作气球装饰校园,化学实验社团主动承担了这一任务．社团已有的设备每天最多可制备氦气,按计划社团必须在天内制备完毕．社团成员接到任务后,立即以每天的速度制备氦气．已知每制备氦气所需的原料成本为1百元．若氦气日产量不足,日均额外成本为（百元）;若氦气日产量大于等于,日均额外成本为（百元）．制备成本由原料成本和额外成本两部分组成．
（1）写出总成本W（百元）关于日产量的关系式
（2）当社团每天制备多少升氦气时,总成本最少？并求出最低成本．
22．已知函数,且满足.
（1）求实数k的值;
（2）若函数图像与直线的图像只有一个交点,求a的取值范围;
（3）若函数,是否存在实数m使得的最小值为0？若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：,,
.
故选：B.
2．答案：D
解析：全称量词命题否定是存在量词命题,
因为命题“,”是全称量词的命题,
则“,”的否定为“,”.
故选：D.
3．答案：C
解析：抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正,正）,（正,反）,（反,正）,（反,反）,
事件A包含的结果有：（正,正）,（正,反）,
事件B包含的结果有：（正,反）,（反,反）,事件AB包含的结果有：（正,反）,
所以A与B不互斥,且不对立,故A、B错误;
又,,
所以,所以A与B相互独立,故C正确,D错误.
故选：C.
4．答案：B
解析：因,可得,则,故A错误,B正确;
例如,可得,故C错误;
例如,可得,即,故D错误;
故选：B.
5．答案：A
解析：因为,
所以,
代入数据可得,
故选：A.
6．答案：D
解析：因为函数是定义域为R的偶函数,则,
又因为在内单调递增,则在内单调递减,
由在R内单调递增,则;
由在内单调递减,则;
由在内单调递增,则;
综上所述：,所以.
故选：D.
7．答案：D
解析：因为,所以,
所以,
又因为Q为BC中点,
所以,
所以.
故选：D.
8．答案：A
解析：由题意可知,且,,
所以为奇函数,
又因为,,,所以的值域为,
根据表示不超过x的最大整数可知当时,,,
当时,,,
当时,,,
综上的值域为,
故选：A.
9．答案：ACD
解析：这组数从小到大排列为4,5,5,7,7,7,8,8,9,10.
对于A,众数为7,故A正确;
对于B,因为,所以分位数为第8个数据和第9个数据的平均数,即,故B错误;
对于C,极差为,故C正确;
对于D,这组数据的平均数为,
则方差,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：BCD
解析：-1和1是函数的零点,
,解得,,故A错误,B正确;
,
令,得或或,
由题知,,即,故C正确;
,
即,,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：AC
解析：当时,,
对任意恒成立,所以的定义域为R,
又因为,所以,的值域为,故A正确,B错误.
对于C,令,则,
当时,有最小值,反之也成立,故C正确;
对于D,令,则,
当在区间上单调递增时,,解得,故D错误.
故选：AC.
12．答案：BCD
解析：因为G是的重心,O是的外心,H是的垂心,
且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,所以,
对于选项A：,故选项A不正确;
对于选项B：因为G是的重心,M为BC的中点,所以,
又因为,则,
即,故选项B正确;
对于选项C：设点O是的外心,所以点O到三个顶点距离相等,
即,故选项C正确;
对于选项D：
,故选项D正确;
故选：BCD.
13．答案：
解析：由题意可得,解得,
故答案为：.
14．答案：0.91
解析：甲､乙､丙三人投篮的命中率分别为0.7,0.5,0.4,
甲､乙､丙各投篮一次,则他们都没有命中的概率为,
则至少有一人命中的概率为.
故答案为：0.91.
15．答案：
解析：因为a,,
所以,
所以,
当且仅当时即,时,取等号.
故答案为：.
16．答案：①.②.
解析：函数的图象对称轴是,
当时,函数在上单调递增,
函数值集合为,在上单调递减,函数值集合为,
当时,函数在上单调递减,函数值集合为,
在上单调递增,函数值集合为,
由,得,因此方程的根即为直线与函数图象交点的横坐标,
在同一坐标系内作出直线与函数的图象,如图,
观察图象知,当时,直线与函数的图象有4个交点,
因此方程有4个不同的实数根,k的取值范围是;
显然,当时,或,于是,
由,得,即,则,
显然函数在上单调递增,从而,即,
则,所以的取值范围是.
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）,,
因为,
所以,解得;
（2）设向量,因为向量为单位向量,所以①,
又因为,
所以②,
由①②解得或,
所以或.
18．答案：（1）或
（2）
解析：（1）若选①：,,
即,等价于,解得,
,
因为,所以,
或,
;
若选②：,,解得,,
因为,所以,
或,
或;
若选③：,解得,,
因为,所以,
或,
或;
（2）由（1）知,
,
因为“”是“”的充分不必要条件,所以A是B的真子集.
（i）若,即,此时,
所以,等号不同时取得,解得.
（ii）若,即,则,不合题意舍去;
（iii）若,即,此时,
所以,等号不同时取得,解得.
综上所述,a的取值范围是.
19．答案：（1）,
（2）证明见解析
解析：（1）令,得,则,
所以
令,得,且,
因此,函数图象恒过的定点坐标为.
（2）证明：因为
又因为,当且仅当时等号成立,
所以
又由,可得,
所以,即
即.
20．答案：（1）,,
（2）平均数73,中位数为73.33
（3）
解析：（1）由图知第三组的频率为0.25,又由第三组的频数为10,所以,
所以.
（2）由（1）可知：每组的频率依次为0.05,0.1,0.25,0.3,0.2,0.1,
平均数,
设中位数为b,且,可知,
所以,解的.
（3）记事件从低于60分的学生中随机抽取两人成绩属于同一组,
由（1）知样本中位于内的有两人,分别记为A,B;
位于内的有四人,分别记为a,b,c,d;
从低于60分的学生中随机抽取两人的样本空间
,
共包含15个样本点,
所以共包含7个样本点,
所以,即从低于60分的学生中随机抽取两人成绩属于同一组的概率为.
21．答案：（1）
（2）当社团每天制备氦气时,总成本最少,最低成本为百元
解析：（1）若每天生产氦气,则需生产天,,则;
若氦气日产量不足,则氦气的平均成本为百元;
若氦气日产量大于等于,则氦气的平均成本为百元;
.
（2）当时,（当且仅当,即时取等号）,
当时,W取得最小值;
当时,,令,则,
,则当,即时,W取得最小值;
综上所述：当社团每天制备氦气时,总成本最少,最低成本为680百元.
22．答案：（1）
（2）
（3）存在,
解析：（1）因为,即
所以,故.
（2）由题意知方程只有一个解,
即方程
只有一个解,令,则函数的图像与直线有且只有一个交点
任取,且,则,所以即有
所以,
故在R上为减函数,
又因为,
所以,故.
（3）
令,又因为所以,则
（i）当时,在上为增函数,
所以不符合题意
（ii）当时,对称轴为,
所以在上为增函数,
故解得（舍）
（iii）当时,开口向下,对称轴为,又因为
若,即时,解得
若,即时,解得（舍）
综上所述,.
x
4
10
12
8
4