高三数学知识点总结：31：双曲线

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（1）第一定义：平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数2a(0<2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．注：若在右支上，；若在左支上，；
（2）第二定义：平面内到一个定点和到一条定直线(不在上）的距离的比等于常数()的点的轨迹是双曲线.
2．双曲线的标准方程和几何性质
注1：标准方程中谁的系数为正，焦点在谁的轴上.
注2：求双曲线的标准方程应该先“定型”后“定量”，不能确定类型就分类讨论或设一般方程.
注3：方程表示的曲线 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① 焦点在轴上的椭圆； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② 焦点在轴上的椭圆； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③ 以原点为圆心的圆； = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④ 焦点在轴上的双曲线； = 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤ 焦点在轴上的双曲线.
注4：实轴长和虚轴长相等的双曲线为等轴双曲线，其渐近线方程为离心率为
双曲线中的焦点三角形的性质
令
；（2）；
要会结合（1）（2）解决一些诸如面积的问题.
.
焦半径公式： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① 在右支，此时；左支，此时； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② 在左支，此时；在右支，此时
注：焦半径公式不需要记忆，需要用时会用第二定义推导就行，焦半径的范围要明确，无论点在左支还是右支，到焦点的距离不小于.
4.关于渐近线的重要结论（重点记忆）
（1）将双曲线等式右边的“1”改成“0”，然后因式分解可得渐近线方程.
（2）若已知渐近线方程为，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．
（3）与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
5.一个特征三角形
结论：焦点到渐近线的距离为假设垂足为则构成一个特征三角形，其中，.（此时垂直的坐标为）
6.两个重要的结论（解答题用“点差法”求解这类问题）
（1）已知是双曲线上两个不同的点，是的中点，则.归纳小结：即.
（2）双曲线是关于中心对称的两点，是双曲线上任意一点，则归纳小结：即.
7.直线和双曲线的位置关系
（1）弦长公式：直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线C：F(x，y)＝0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)或|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2).
（2）将直线方程与双曲线方程联立消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.
①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线有两个交点；当Δ＝0时，直线与双曲线有一个交点；当Δ<0时，直线与双曲线没有交点.
②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线

离心率
e＝ ，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
准线

a、b、c的关系
c2＝a2＋b2