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高三物理一轮复习精品教案：第8章 简谐运动、机械波
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这是一份高三物理一轮复习精品教案：第8章 简谐运动、机械波，共39页。教案主要包含了机械波，特殊点法等内容，欢迎下载使用。
『夯实基础知识』
一．机械振动
1、定义：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧做的往复运动。简称振动。其特点是具有往复性、重复性和周期性。
2、振动的特点：
①存在某一中心位置；
②往复运动
2、产生振动的条件：
（1）受到一个始终指向平衡位置的回复力的作用
（2）振动过程中的阻力足够小
说明：
①回复力：是指振动物体所受到的指向平衡位置的力。
a：是由作用效果来命名的。可由任意性质的力提供，可以是几个力的合力也可以是一个力的分力
它可以重力、弹力或者摩擦力或者几个力的合力（如弹簧振子），甚至是某一个力的分力（如单摆）。
b：回复力时刻指向平衡位置
c：在平衡位置处：回复力为零，而物体所受合外力不一定为零，如单摆运动，当小球在最低点处，回复力为零，而物体所受的合外力不为零。
d：回复力的作用效果总是将物体拉回平衡位置，从而使物体围绕平衡位置做周期性的往复运动。
②平衡位置：平衡位置是指物体在振动中所受的回复力为零的位置，也是振动停止后，振动物体所在位置，平衡位置通常在振动轨迹的中点。“平衡位置”不等于“平衡状态”。此时振子未必一定处于平衡状态。比如单摆经过平衡位置时，虽然回复力为零，但合外力并不为零，还有向心力．
3．描述振动的物理量：
（1）位移：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段
物体振动时的位移总是相对于平衡位置而言的，振动中的位移x都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置――总是背离平衡位置向外。大小为这两位置间的直线距离。
①是矢量，其最大值等于振幅；②始点是平衡位置，所以跟回复力方向永远相反；③位移随时间的变化图线就是振动图象
（2）振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。
①是标量，没有方向，是一个正数。质点在做简谐振动时，振幅不变。
②它是描述振动强弱的物理量。
（3）周期T和频率f：振动物体完成一次全振动所需的时间称为周期T，它是标量，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹（Hz）。周期和频率都是描述振动快慢的物理量，它们的关系是：T=1/f。
二．简谐运动
1、简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动。
式中x指振动物体相对于平衡位置的位移，起点在平衡位置，终点随物体的所在位置而变化、方向始终由平衡位置指向物体所在位置，如图所示弹簧振子位移的示意图。
2、简谐运动的特征是：
（1）受力特征：
从动力学角度看，简谐运动的特征表现在所受到的回复力的形式上：简谐运动的质点所受到的回复力F其方向总与质点偏离平衡位置的位移x的方向相反，从而总指向平衡位置；其大小则总与质点偏离平衡位置的位移x的大小成正比，即 动力学特征也是判断某机械运动是否为简谐运动的依据
（2）运动学特征： ，此式表明加速度也跟位移大小成正比，并总指向平衡位置。由此可见，简谐运动是一变加速运动，且加速度和速度都在做周期性的变化。
简谐振动是一种周期性运动，相关物理量也随时间作周期性变化，其中位移、速度、加速度、回复力都为矢量，随时间作周期性变化；而动能和势能为标量，变化周期为
（3）能量特征：振幅确定振动物体的能量，在振动的过程中只发生动能和势能的转化，总的机械能守恒。
（4）对称特征：关于平衡位置对称的两点等物理量的大小相等，此外还体现在过程量上的相等，如从某点到平衡位置的时间和从平衡位置到与该点关于平衡位置对称点的时间相同等等
3、简谐运动的规律：
（1）弹簧振子：一个可作为质点的小球与一根弹性很好且不计质量的弹簧相连组成一个弹簧振子。一般来讲，弹簧振子的回复力是弹力(水平的弹簧振子)或弹力和重力的合力(竖直的弹簧振子)提供的。弹簧振子与质点一样，是一个理想的物理模型。
（2）弹簧振子振动周期：T=2，只由振子质量和弹簧的劲度决定，与振幅无关，也与弹簧振动情况无关。(如水平方向振动或竖直方向振动或在光滑的斜面上振动或在地球上或在月球上或在绕地球运转的人造卫星上)
（3）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是。这个结论可以直接使用。
（4）振动过程中各物理量的变化情况
如图所示是一个弹簧振子的振动，O点为平衡位置，AA’分别是左、右两端的最大位移处，振子的振动可以分成四个阶段：
。
四个阶段中，振子的位移，回复力、速度和加速度的变化如下表：
①在平衡位置：速度最大、动能最大、动量最大；位移最小、回复力最小、加速度最小。
②在离开平衡位置最远时：速度最小、动能最小、动量最小；位移最大、回复力最大、加速度最大
（5）周期性：
①每经过一个周期，描述振动的物理量大小和方向都恢复到原来状态，振动质点都以相同的方向通过原位置。
②振动质点在一个周期内通过的路程为4A，半个周期通过的路程为2A，但四分之一周期通过的路程也能大于A也可能等于A也可能小于A，这要看从何位置开始计时。
4、简谐运动的判断方法：通常可以利用简谐运动的动力学特征去判断某质点的运动是否是简谐运动，其具体的判断方法是分为两个步骤：
首先找到运动质点的平衡位置，即运动过程中所达到的受到的合力为零的位置，以该位置为坐标原点，沿质点运动方向过立坐标；其次是在质点运动到一般位置（坐标值为x）处时所受到的回复力F，如F可表为 则运动是简谐的，否则就不是简谐运动。
★4．匀速圆周运动与简谐运动的关系。
匀速圆周运动的投影是简谐运动
如图所示，当质点m沿半径A的圆，以角速度ω做匀速圆周运动时，一束平行光的照射下，质点在水平地面上的投影将在O点附近往复运动，做圆周运动的质点所受到的向心力大小为
其投影相当于受到的大小为的回复力的振动，考虑到csθ=
其F的方向与投影偏离“平衡位置”O点的位移x的方向相反，于是有
即：匀速圆周运动的投影是简谐运动
5、简谐运动的周期公式
由于匀速圆周运动的周期与角速度的关系为而其投影做简谐运动的周期也为T，且注意到
于是可得到简谐运动的一般表达式为
（弹簧振子）
6．简谐运动的图象及其应用
（1）定义：振动物体离开平衡位置的位移X随时间t变化的函数图象。不是运动轨迹，它只是反映质点的位移随时间的变化规律。
（2）图象特点：用演示实验证明简谐运动的图象是一条正弦（或余弦）曲线。
（3）作法：以横轴表示时间，纵轴表示位移，根据实际数据取单位，定标度，描点，用平滑线连接各点便得图线。
（4）图象的意义：简谐运动的振动图像反映的是某振动质点在各个时刻相对于平衡位置的位移的变化情况。
（5）简谐运动图象的应用：
①可求出任一时刻振动质点的位移。
②可求振幅A：位移的正负最大值。
③可求周期T：两相邻的位移和速度完全相同的状态的时间间隔。
④可确定任一时刻的回复力、速度、加速度的方向。
⑤可判断某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况
⑥计时点一旦确定，形状不变，仅随时间向后延伸。
三．机械振动的应用——受迫振动和共振现象的分析
1、振动的能量：对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决定，振动的势能由振动的位移决定，振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能和势能的总和．
2、振动系统的机械能大小由振幅大小决定，同一系统振幅越大，机械能就越大．若无能量损失，简谐运动过程中机械能守恒，做等幅振动．
3、阻尼振动与无阻尼振动
振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动
振幅不变的振动为等幅振动，也叫做无阻尼振动
注意：等幅振动、阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的，等幅振动不一定不受阻力作用
4、受迫振动
（1）物体在周期性的外力（策动力）作用下的振动叫做受迫振动
受迫振动的频率在振动稳定后总是等于外界策动力的频率，与物体的固有频率无关。受迫振动是等幅振动，振动物体因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振动能量刚好由周期性的驱动力做功给予补充，维持其做等幅振动。
5、共振
在受迫振动中，策动力的频率与物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象叫共振。
产生共振的条件：驱动力频率等于物体固有频率。
共振曲线
共振的应用：转速计、共振筛
四．单摆
单摆的振动是一种比较特殊的简谐运动，对它的学习可以加深我们对简谐运动的理解。
1、单摆：在细线的一端挂上一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸缩和质量可以忽略，球的直径比线长短得多，这样的装置叫做单摆．
这是一种理想化的模型，理想的单摆应具备如下理想化条件：和小球的质量m相比，线的质量可以忽略；与线的长度l相比，小球的半径可以忽略。
2、单摆的受力特征
当单摆做小角度摆动时，其受力情况为：受到一个恒定的竖直向下的重力mg，和一个变化的始终沿绳方向指向点的拉力F，而将这些力沿垂直于和平行于运速度方向分解，其中垂直于速度方向上的力使摆球的速度方向发生改变，充当摆球绕悬点做变速圆周运动所需的向心力。平行于速度方向上的力使摆球的速度大小发生改变，充当摆球的回复力
由图可知：（当很小时，一般小于10°）
令
可见：当单摆做小角度摆动时，其运动近似为简谐运动。
图2中，G1不能认为等于重力G和拉力T的合力，因为T与G2一般不相等，不能抵消。一般情况下：，且
即T与G2的合力作为向心力。
特殊地：当单摆位于左、右两端最大位移位时，因为此时
（3）单摆的周期公式
对于单摆，回复力与偏离平衡位置的位移的比例系数为
将其代入简谐运动周期的一般表达式中，得
与摆球质量m、振幅A都无关。其中摆长l指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值。要区分摆长和摆线长。
小球在光滑圆弧上的往复滚动和单摆完全等同。只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。
秒摆：周期为2s的单摆．其摆长约为lm
（4）单摆的等时性，从该式中可以看出，单摆的周期只与摆长及重力加速度有关，与振幅（即偏角）无关，这一性质叫做单摆的等时性。
（5）等效摆长和等效加速度：实际应用中：不同环境下的单摆，如放在加速运动的升降机中，或将单摆放在匀强电场中，需将单摆周期公式：中的g换成视重加速度，视重加速度等于摆锤相对悬点静止时，悬线拉力与摆锤质量的比值。
（6）单摆的应用：
①计时器；②测定重力加速度g，
（6）改变钟的快慢
对于这一类问题，解决时抓住以下三点：
1、一摆钟的机械结构是固定的，所以不管是准确的钟还是不准的，摆锤摆动一次，钟面指示的时间都相同。
2、一段时间内摆锤的摆动次数：
准确钟不准的钟
钟面上相应的批示时间为
准确钟t
不准的钟（“+”表示钟快；“-”代表钟慢）
3、同一时间内钟面指示时间之比等于摆动次数之比。
即钟面指示时间与钟的周期成反比。
特殊地，对于一昼夜而言，就有：
机械波
一、机械波
1、定义：机械振动在介质中传播就形成机械波
简谐波：波源做简谐振动，传播方向单一且振幅不变，波形图为正弦或余弦线的波为简谐波
2、机械波产生的必要条件是：
（1）有作机械振动的物体作为波源；
（2）有能传播机械振动的介质。
3、分类
横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直．凸起部分叫波峰，凹下部分叫波谷
纵波：质点的振动方向与波的传播方向在一直线上。质点分布密的叫密部，疏的部分叫疏部，液体和气体不能传播横波
4、机械波的特点：
每个质点都在自己平衡位置附近作振动，并不随波迁移
后一质点重复前一质点的运动，各质点的周期、频率及起振方向都与波源相同。
介质中各质点的振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同
5、描述机械波的物理量：
①波长：在波动中，对平衡位置的位移总是相等的两个相邻质点间的距离。波长通常用表示。
在横波中，两个相邻的波峰或相邻的波谷之间的距离。在纵波中两相邻的的密部(或疏部)中央间的距离，振动在一个周期内在介质中传播的距离等于波长。
波长反映了波动空间的周期性。
②周期：波在介质中传播一个波长所用的时间。波的周期与传播的介质无关，取决于波源，波从一种介质进入另一种介质周期不会改变。周期用T表示。
③频率：单位时间内所传播的完整波（即波长）的个数。周期的倒数为波的频率。波的频率就是质点的振动频率。频率用f表示。
周期或频率反映了波动的时间周期性。
注意：波的频率由振源决定，在任何介质中传播波的频率不变。波从一种介质进入另一种介质时，唯一不变的是频率(或周期)，波速与波长都发生变化
④波速：波在单位时间传播的距离。机械波的波速取决于介质，一般与频率无关。波速用V表示。
波速是介质对波的传播速度．介质能传播波是因为介质中各质点间有弹力的作用，弹力越大，相互对运动的反应越灵教，则对波的传播速度越大．通常情况下，固体对机械波的传摇速度校大，气体对机械波的传播速度较小．对纵波和横波，质点间的相互作用的性质有区别，那么同一物质对纵波和对横波的传播速度不相同．所以，介质对波的传播速度由介质决定，与振动频率无关．
6、描述机械波的物理量关系：
7、说明：
波的频率是介质中各质点的振动频率，质点的振动是一种受迫振动，驱动力来源于波源，所以波的频率由波源决定，是波源的频率
8、波的图象
（1）坐标轴：规定用横坐标x表示在波的传播方向上各个质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的位移，连结各质点位移量末端得到的曲线叫做该时刻波的图象
（2）图象特点：是一条正弦（余弦）曲线；
（3）物理意义：显示某一瞬间波传播方向上介质中各质点离开平衡位置的位移情况，类似人们给大型团体操队伍拍的一张照片。
注意：波的图象和振动图象是根本不同的，波的图象描述的是介质中“各质点”在“某一时刻”离开平衡位置的位移；而振动图象描述的是“一个质点”在“各个时刻”离开平衡位置的位移。
（4）波的图象的特点
波图象的重复性：相隔时间为周期的整数倍的两个时刻的波的图象是相同的；
波传播方向双向性：不指定波的传播方向时，图象中波可能向x轴正向或x轴负向传播；
（5）横波图象的应用：
①可知波动中质点的振幅和波长
②若已知波的传播方向，可知介质质点的振动方向，反之亦然。
③相邻的波峰波谷点间的质点振动方向相同
④相邻平衡位置间以波峰（或波谷）对称的质点振动方向相反．
⑤若知波速v，可求此时刻以后的波形图，方法是把波形图平移Δx=vΔt的距离。
（6）波的传播方向与质点的振动方向关系确定方法。
①质点带动法（特殊点法）：
由波的形成传播原理可知，后振动的质点总是重复先振动质点的运动，若已知波的传播方向而判断质点振动方向时，可在波源一侧找与该点距离较近（小于）的前一质点，如果前一质点在该质点下方，则该质点将向下运动（力求重复前面质点的运动），否则该质点向上运动。例如向右传的某列波，某时刻波的图象如图所示，试判断质点M的振动方向，可在波源一侧找出离M较近的前一质点M′，M′在M下方，则该时刻M向下运动。
②微平移法：
所谓微移波形，即将波形沿波的传播方向平衡微小的一段距离得到经过微小一段时间后的波形图，据质点在新波形图中的对应位置，便可判断该质点的运动方向。如图所示，原波形图（实线）沿传播方向经微移后得到微小一段时间的波形图（虚线），M点的对应位置在M′处，便知原时刻M向下运动。
③上下坡法
沿波的传播方向看去，“上坡”处的质点向下振动。"下坡"处的质点向上振动。如图所示，简称“上坡下，下坡上”
④同侧法
在波的图形的某质点M上，沿波的传播方向画一箭头，再沿竖直方向向曲线的同侧画另一箭头，则该箭头即为质点振动方向，如图所示
（7）画出再经t时间波形图的方法：
①方法一、平移法：
（1）确定t=？
（2）算出t时间内波的传播距离s = vt = ？
（3）把整个波形沿波的传播方向平移s 。
2、方法二、特殊点法：
（1）找两点（原点和的点并确定其运动方向；
（2）确定经t = ？T时间内这两点所达到的位置；
（3）按正弦规律画出新的波形。
波的干涉、衍射现象，了解多普勒效应
（1）波的叠加原理：在两列波重叠的区域，任何一个质点的总位移都等于两列波分别引起的位移的矢量和。
（2）波的独立传播原理：在两列波重叠的区域，每一列波保持自己的特性互不干扰继续前进。
(3)波的干涉:①产生稳定干涉现象的条件：频率相同；振动方向相同；有固定的相位差。②两列相干波的波峰与波峰（或波谷与波谷）相遇处是振动最强的地方，波峰与波谷（或波谷与波峰）相遇处是振动最弱的地方。③驻波：是一种特殊的干涉现象。驻波的特点是两波节间的各质点均做同时向下或同时向上，但振幅不同的同步调振动；波形随时间变化，但并不在传播方向上移动。
(4)波的衍射:①波绕过障碍物的现象叫做波的衍射。②能够发生明显的衍射现象的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多。
(5)多普勒效应
当波源或者接受者相对于介质运动时，接受者会发现波的频率发生了变化，这种现象叫多普勒效应。
(6)声波:①发声体的振动在介质中的传播就是声波。人耳能听到的声波的频率范围在20Hz到20000Hz之间。②频率低于20Hz的声波叫次声波。③频率高于20000Hz的声波叫超声波。④空气中的声波是纵波。⑤能够把回声与原声区别开来的最小时间间隔为0.1S。⑥声波也能发生反射、干涉和衍射等现象。声波的共振现象称为声波的共鸣。
『题型解析』
类型题： 必须弄清简谐运动的判断方法
要判定一个物体的运动是简谐运动，首先要判定这个物体的运动是机械振动，即看这个物体是不是做的往复运动；看这个物体在运动过程中有没有平衡位置；看当物体离开平衡位置时，会不会受到指向平衡位置的回复力作用，物体在运动中受到的阻力是不是足够小。 然后再找出平衡位置并以平衡位置为原点建立坐标系，再让物体沿着x轴的正方向偏离平衡位置，求出物体所受回复力的大小，若回复力为F=-kx，则该物体的运动是简谐运动。
【例题】两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为K1、K2，它们与一个质量为m的小球组成的弹簧振子，如图1所示。试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。
X
O
X
★解析：证明：以平衡位置O为原点建立坐标轴，当振子离开平衡位置O时，因两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的合力。设振子沿X正方向发生位移x，则物体受到的合力为
F=F1+F2=-k1x-k2x=-(k1+k2)x=-kx。
所以，弹簧振子做的运动是简谐运动
【例题】试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动
★解析：如图所示，设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧的形变为 ，根据胡克定律及平衡条件有
①
当振子向下偏离平衡位置为时，回复力（即合外力）为
②
将①代人②得：，可见，重物振动时的受力符合简谐运动的条件
类型题： 简谐运动中各物理量的变化特点
简谐运动涉及到的物理量较多，但都与简谐运动物体相对平衡位置的位移x存在直接或间接关系
【例题】弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中：
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小。
★解析：在振子向平衡位置运动的过程中，易知x减小，根据上述关系很容易判断，回复力F、加速度a减小；速度V增大。即D选项正确
【例题】有一弹簧振子做简谐运动，则（ CD ）
A．加速度最大时，速度最大
B．速度最大时，位移最大
C．位移最大时，回复力最大
D．回复力最大时，加速度最大
类型题： 必须弄清简谐运动的对称性
简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。
理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。
【例题】如图所示。弹簧振子在振动过程中，振子经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0.2s，从b再回到a的最短时间为0.4s，则该振子的振动频率为：( B )
b
c
a
d
Va
Vb
A、1Hz; B、1.25Hz; C、2Hz; D、2.5Hz。
★解析：振子经a、b两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判断a、b两点对平衡位置（O点）一定是对称的，振子由b经到a所用的时间也是0.2s，由于“从b再回到a的最短时间是0.4s”，说明振子运动到b后是第一次回到a点，且b不是振子的最大位移。设图中的c、d为最大位移处，则振子从b经c到b历时0.2s，同理，振子从a经d到a，也历时0.2s，故该振子的周期T=0.8S，根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为1.25Hz。故本题答。
【例题】如图所示，一轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于a位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b位置。现将重球（视为质点）从高于位置的c位置沿弹簧中轴线自由下落，弹簧被重球压缩到最低位置d。以下关于重球运动过程的正确说法应是
a
b
C
d
A、重球下落压缩弹簧由a至d的过程中，重球做减速运动。
B、重球下落至b处获得最大速度。
C、重球下落至d处获得最大加速度。
D、由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量。
★解析：重球由c至a的运动过程中，只受重力作用，做匀加速运动；由a至b的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力大于弹力，做加速度减小的加速运动；由b至d的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力小于弹力，做加速度增大的减速运动。所以重球下落至b处获得最大速度，由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量，即可判定B、D正确。
C选项很难确定是否正确，但利用弹簧振子的特点就可非常容易解决这一难题。重球接触弹簧以后，以b点为平衡位置做简谐运动，在b点下方取一点a，，使ab=a，b，根据简谐运动的对称性，可知，重球在a、a，的加速度大小相等，方向相反，如图4所示。而在d点的加速度大于在a，点的加速度，所以重球下落至d处获得最大加速度，C选项正确
【例题】如图所示，一个轻弹簧竖直固定在水平地面上，将一个小球轻放在弹簧上，M点为轻弹簧竖直放置时弹簧顶端位置，在小球下落的过程中，小球以相同的动量通过A、B两点，历时1s，过B点后再经过1s，小球再一次通过B点，小球在2s内通过的路程为6cm，N点为小球下落的最低点，则小球在做简谐运动的过程中：（1）周期为 ；（2）振幅为 ；（3）小球由M点下落到N点的过程中，动能EK、重力势能EP、弹性势能EP’的变化为 ；（4）小球在最低点N点的加速度大小__ _ _重力加速度g（填>、＝、<）。
M
A
O
B
N
★解析：（1）小球以相同动量通过A、B两点，由空间上的对称性可知，平衡位置O在AB的中点；再由时间上的对称性可知，tAO=tBO=0.5s， tBN = tNB =0.5s，所以tON＝tOB＋tBN＝1s，因此小球做简谐运动的周期T＝4tON=4s。
（2）小球从A经B到N再返回B所经过的路程，与小球从B经A到M再返回A所经过的路程相等。因此小球在一个周期内所通过的路程是12cm，振幅为3cm。
（3）小球由M点下落到N点的过程中，重力做正功，重力势能减少；弹力做负功，弹性势能增加；小球在振幅处速度为零，在平衡位置处速率最大，所以动能先增大后减小。
（4）M点为小球的振幅位置，在该点小球只受重力的作用，加速度为g，方向竖直向下，由空间对称性可知，在另一个振幅位置（N点）小球的加速度大小为g，方向竖直向上。
解答：4s；3cm；EK先增大后减小，EP减少，EP’ 增加；＝。
【例题】 弹簧振子在光滑的水平面上作简谐振动，周期是2.4s。当振子通过平衡位置向右运动时刻开始计时。有下列说法：①经过1.6s，振子向右运动，速度正在不断变小；②经过1.6s，振子向左运动，速度正在不断变小；③经过1.9s，振子向右运动，回复力正在不断变小；④经过1.9s，振子向左运动，回复力正在不断变大。以上说法中正确的是（ ）
A．只有①、③正确B．只有②、④正确
C．只有①、④正确 D．只有②、③正确
★解析：据振的规律可判断D是正确的。
答案：D
类型题： 必须弄清简谐运动的周期性
【例题】一弹簧振子作简谐振动，周期为T，则：( C )
A．若t时刻和时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则一定等于T的整数倍
B．若t时刻和时刻振子运动位移的大小相等，方向相反，则一定等于的整数倍
C．若时刻振子运动的加速度一定相等
D．若时刻弹簧的长度一定相等
类型题： 振动图象的应用
【例题】一弹簧振子做简谐运动，振动图象如图6—3所示。振子依次振动到图中a、b、c、d、e、f、g、h各点对应的时刻时，（1）在哪些时刻，弹簧振子具有：沿x轴正方向的最大加速度；沿x轴正方向的最大速度。（2）弹簧振子由c 点对应x轴的位置运动到e点对应x轴的位置，和由e点对应x轴的位置运动到g点对应x轴的位置所用时间均为0.4s。弹簧振子振动的周期是多少？（3）弹簧振子由e点对应时刻振动到g点对应时刻，它在x轴上通过的路程是6cm，求弹簧振子振动的振幅。
★解析：（1）弹簧振子振动的加速度与位移大小成正比，与位移方向相反。振子具有沿x轴正方向最大加速度，必定是振动到沿x轴具有负向的最大位移处，即图中f点对应的时刻。
振子振动到平衡位置时，具有最大速度，在h点时刻，振子速度最大，再稍过一点时间，振子的位移为正值，这就说明在h点对应的时刻，振子有沿x轴正方向的最大速度。
（2）图象中c点和e点，对应振子沿x轴从+7cm处振动到－7cm处。e、f、g点对应振子沿x轴，从－7cm处振动到负向最大位移处再返回到－7cm处。由对称关系可以得出，振子从c点对应x轴位置振动到g点对应x轴位置，振子振动半周期，时间为0.8s，弹簧振子振动周期为T=1.6s。
（3）在e点、g点对应时间内，振子从x轴上－7cm处振动到负向最大位移处，又返回－7cm处行程共6cm，说明在x轴上负向最大位移处到－7cm处相距3cm，弹簧振子的振幅A=10cm。
解答：（1）f点；h点。（2）T=1.6s。（3）A=10cm。
【例题】如下图中，若质点在A对应的时刻，则其速度v、加速度a的大小的变化情况为：（ A ）
A．v变大，a变小 B．v变小，a变小
C．v变大，a变小 D．v变小，a变大
类型题： 单摆周期公式的应用
【例题】一个单摆，如果摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减为原来的1/2则单摆的( )
A．频率不变，振幅不变
B．频率不变，振幅改变
C．频率改变，振幅不变
D．频率改变，振幅改变
★解析：（1）决定单摆周期(频率)的是摆长及当地的重力加速度，单摆的周期与质量无关，与单摆的运动速度也无关。所以不能选C，D。
（2）决定振幅的是振动的能量，在平衡位置（即最低点）时的动能，当m增为原来的4倍，速度减为原来的1/2时，动能不变，最高点的的重力势能也不变。但是由于第二次摆的质量增大了，势能EP= mgh不变，m大了，h就一定变小了，也就是说，振幅减小了。因此正确答案应选B。
答案:B
误点警示：
误解一：因为单摆的周期（频率）是由摆长L和当地重力加速度g决定的，所以频率是不变的，而从动能公式上看质量变为原来的4倍，速度变为原来的1/2，结果动能不变，既然动能不变，（指平衡位置动能也就是最大动能），由机械能守恒可知，势能也不变。所以振幅也不变，应选A。
误解二：认为速度减为原来的1/2，即运动变慢了，所以频率要变，而振幅与质量、速度无关所以振幅不变，应选C。
误解三：认为频率要改变，理由同错解二。而关于振幅的改变与否，除了错解一中所示理由外，即总能量不变，而因为重力势能EP= mgh，EP不变，m变为原来的4倍，h一定变小了，即上摆到最高点的高度下降了，所以振幅要改变，应选D。
答案：C
【例题】单摆的周期在下述情况下会变大的有：（）
A、摆锤质量增大
B、摆长减小
C、单摆从赤道移到北极
D、单摆从海平面移到高山
分析：由单摆周期公式可以看出：周期T只与及g有关，与摆锤质量无关，从赤道到北极，g增大，从海平面到高山，g减小，所以要使周期变大。应选D。
答：D
【例题】已知某摆长为1m的单摆在竖直平面内做简谐运动，则：（1）该单摆的周期为 ；（2）若将该单摆移到表面重力加速度为地球表面重力加速度1／4倍的星球表面，则其振动周期为 ；（3）若在悬点正下方摆长中点处钉一光滑小钉，则该小球摆动的周期为 。
★解析：第一问我们可以利用单摆周期公式计算出周期；第二问是通过改变当地重力加速度来改变周期的。只要找出等效重力加速度，代入周期公式即可得解。第三问的情况较为复杂，此时小球的摆动已不再是一个完整的单摆简谐运动。但我们注意到，小球在摆动过程中，摆线在与光滑小钉接触前后，分别做摆长不同的两个简谐运动，所以我们只要求出这两个摆长不同的简谐运动的周期，便可确定出摆动的周期。
解答：（1）依据，可得T=2s。
（2）等效重力加速度为，则依据
，可得s。
（3）钉钉后的等效摆长为：半周期摆长为L1＝1m，另半周期摆长为L2＝0.5m。
则该小球的摆动周期为：
s
说明：单摆做简谐运动的周期公式是我们学习各种简谐运动中唯一给出定量关系的周期公式。应该特别注意改变周期的因素：摆长和重力加速度。例如：双线摆没有明确给出摆长，需要你去找出等效摆长；再例如：把单摆放入有加速度的系统中，等效重力加速度将发生怎样的变化。比如把单摆放入在轨道上运行的航天器中，因为摆球完全失重，等效重力加速度为0，单摆不摆动。把单摆放入混合场中，比如摆球带电，单摆放入匀强电场中，这时就需要通过分析回复力的来源从而找出等效重力加速度。这类问题将在电学中遇到
【例题】如图，两个相同的弹性小球，分别挂在不能伸长的细绳上，开始时两绳互相平行，两球在同一水平线上且互相接触，第二球的摆长是第一球摆长的 4 倍。现把第一球拉开一个很小的角度后释放并开始计时，则在第一个摆球固有周期的两倍时间内，两球碰撞的次数为 ( )
A．2次 B．3次
C．4次 D．5次
★解析：由单摆的周期公式，，可知，据时间相等，会发生3交次碰撞。
答案：B
等效单摆
等效单摆分等效摆长单摆、等效重力加速度单摆，以及摆长、重力加速度双重等效单摆三种情况。等效单摆的周期公式为。
1、等效摆长单摆：等效摆长不再是悬点到摆球球心的距离，但g′＝g。摆长L′是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，摆动圆弧的圆心即为等效单摆的悬点。
【例题】例如，在图中，三条长度均为L的绳子共同系住一个密度均匀的小球m，球直径为d。若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，摆动圆弧的圆心在O1处，故等效摆长为
，周期为;
若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为，周期
【例题】双线摆由两根长为L的细线下端栓一质量为m的小球构成，如图所示，两线夹角为2α，今使摆球在垂直纸面的平面内做小幅度摆动，求其周期。
★解析：当双线摆在垂直纸面的平面内做小幅度摆动时可以等效为以AB的中心为悬点， OO′长为摆长的单摆，其等效摆长为L′＝Lcsα，故此摆周期为：
2、等效重力加速度单摆：该类单摆的等效重力加速度g′≠g，但摆长仍为悬点到球心的距离。等效重力加速度g′与单摆所在的空间位置、单摆系统的运动状态和单摆所处的物理环境有关。
（1）公式中的g′由单摆所在的空间位置决定，由g′＝G知，g′随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8m/s2。
【例题】有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期为T0，当气球停在某一高度时，测得该气球的周期为T。求该气球此时离海平面的高度h。地球半径为R。
★解析：根据单摆的周期公式可知：，（其中l为摆长，g0和g分别是两地的重力加速度）；根据万有引力与重力的关系公式可知：（其中G是引力常量，M是地球的质量）由以上各式解得：
（2）g′由单摆系统的运动状态决定，“等效重力加速度”等于摆球处于平衡位置不振动时，等效摆长“绳子”上拉力对摆球产生的加速度。具体求法：等效重力加速度g′等于摆球相对系统静止在平衡位置时摆线的张力（视重）T与摆球质量m的比值，即g′＝。
【例题】如图2所示，将摆长为L的单摆放在一升降机中，若升降机以加速度a向上运加速运动，求单摆的摆动周期。
图2
★解析：单摆的平衡位置在竖直位置，若摆球相对升降机静止，则单摆受重力mg和绳拉力F，根据牛顿第二定律：F－mg＝ma，此时摆球的视重mg′＝F＝m(g＋a)，所以单摆的等效重力加速度g′＝F/m＝g＋a ，因而单摆的周期为
【例题】如图3（a）所示，长为L的轻绳一端系一质量为m的小球，挂于小车支架上的O点，当小车以加速度a向右加速运动时，将小球拉离平衡位置（＜10°）由静止释放，求其周期。
★解析：当小球相对小车静止时，摆球的平衡位置偏离竖直θ角，如图3（b）中A点为摆球的平衡位置，摆球相对车静止在平衡位置时，绳子拉力为F，则由牛顿第二定律：
图3（b）
Fcsθ＝mg①
Fsinθ＝ma②
解得F＝m
悬线拉力产生的加速度，即等效重力加速度
g′＝，所以：
（3）g′还由单摆所处的物理环境决定，如带点小球做成单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有一个等效重力加速度的问题。在这类问题中，除了重力，拉力，以外的力为恒力时，采用等效法，将重力和恒力的合力等效为重力。
【例题】如图4所示，摆长为L的单摆，小球质量为m，带正电荷，电荷量为 q，处在水平向右的场强为E的匀强电场中，现将小球拉离平衡位置（＜10°）由静止释放，求其周期。
★解析：由平衡条件，当小球静止在平衡位置时，摆线的张力，等效重力加速度g′＝/m。所以：T＝
但再看这种情况，，当摆球受到除重力拉力以外的其它力总是与速度垂直时，等效重力加速度仍不变。所以T不变。
【例题】如图所示，摆球的质量为m，半径为r，带正电荷，用长为L的细线把摆球吊在悬点O处做成单摆，在悬点O处固定着另一个正点电荷，则这个单摆的周期为（）
A． B．
C．大于
D．小于
★解析：单摆的周期与重力加速度有关，其根本原因是重力的分力提供回复力。题中单摆在振动过程中要受到天花板上带正电小球的斥力，但是两球之间的斥力方向与运动方向总是垂直的，不影响回复力，故单摆的周期不变
【例题】如图所示，单摆甲放在空气中，周期为T甲，单摆乙带正电，放在匀强磁场中，周期为T乙， 单摆丙带正电，放在匀强电场中，周期为T丙， 单摆丁放在静止在水平面上的光滑斜面上，周期为T丁，那么（ ）
A．T甲> T乙> T丙> T丁;
B．T乙> T甲=T丙> T丁;
C．T丙> T甲> T丁> T乙;
D．T丁>T甲= T乙> T丙;
★解析：根据等效重力加速度的求法：平衡位置处，且相对静止时受力情况可知：对乙有F乙=mg=mg’(注意相对静止时，电荷不受洛仑兹力)，即对丙有：F丙=mg＋Eq=mg’，
即：
对丁有：F丁=mgsinα=mg’ ，
即：由此可知D正确
3、摆长、加速度双等效单摆：
【例题】如图是记录地震装置的水平摆示意图，摆球m固定在边长L、质量可忽略的等边三角形顶点A处，它的对边BC与竖直线成不大的角θ，摆球可沿固定轴BC摆动，则摆球做微小振动的周期是多少？
★解析：当m做微小摆动时，实际上围绕BC中点O运动，所以等效摆长应是L′＝Lsin60°＝L。
当摆球处于平衡位置且不摆动时，沿OA方向的等效拉力F＝mgsinθ＝mg′，即 g′＝gsinθ。故摆球的振动周期
【例题】由长度依次为L和2L的AC和BC两根细绳悬挂着小球G，如图所示，每根细绳跟竖直方向的夹角均为30°。当该小球向纸外做微小摆动时，其摆动周期为多少？
★解析：（连接AB，则AC与AB垂直，则AC为等效摆长，再找等效重力加速度就可以了。）
二、单摆模型在其它问题中的应用
【例题】如图所示，A、B为固定在轻杆中点和一个端点的两个小球，杆可绕O点无摩擦地转动，将轻杆从图中水平位置由静止释放，在轻杆下落到竖直位置的过程中（ ）
A、两球各自的机械能均守恒
B、杆、球组成的系统机械能守恒
C、A球机械能的增加等于B球机械能的减少
D、A球机械能的减少等于B球机械能的增加
★解析：构建单摆物理模型，令OA和OB各构成一个单摆如图6（b）所示，
图6（b）
则A球的周期比B球的周期小，A球先摆到竖直位置，由此可推知，在本题中A球通过杆对B球做正功，A球的机械能减少，B球的机械能增加，杆、球系统的机械能守恒。故选项B、D正确
类型题： 根据共振的条件分析求解相关问题
【例题】如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有 a、b、c、d、e五个单摆，让a摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。下列说法中正确的有：（ AB ）
A．各摆的振动周期与a摆相同
B．各摆的振幅大小不同，c摆的振幅最大
C．各摆的振动周期不同，c摆的周期最长
D．各摆均做自由振动
【例题】如图所示。曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2Hz。现匀速转动摇把，转速为240r/min。（1）当振子稳定振动时，它的振动周期是多大？（2）转速多大时，弹簧振子的振幅最大？
类型题： 波动图象的分析
【例题】一简谐横波沿x轴正方向传播，某时刻其波形如图所示。下列说法正确的是
A 由波形图可知该波的波长
B 由波形图可知该波的周期
C 经1/4周期后质元P运动到Q点
D 经1/4周期后质元R的速度变为零
★解析： 由波的图象的物理意义，可直接得出波长为4cm ，A项正确；波传递的是能量和振动形式，并不发生质点的迁移，质点只能在各自的平衡位置振动，C错误，D正确；波长、波速和周期（频率）三个量中要知道两个才能求出第三个，B项错误。
答案：AD
类型题： 波长、波速和周期（频率）的关系
【例题】一简谐横波在某一时刻的波形图如图所示，图中位于a、b两处的质元经过四分之一周期后分别运动到、处。某人据此做出如下判断：①可知波的周期，②可知波的传播速度，③可知的波的传播方向，④可知波的波长。其中正确的是（ ）
A．①和④B．②和④
C．③和④D．②和③
★解析：由题意b质点向下振动，可判断波向右传播，从图象上可得波的波长为4m，选答案C。
答案：C
【例题】一列沿x轴正方向传播的简谐横波，t=0时刻的波形如图中实线所示，t=0.2s时刻的波形如图中的虚线所示，则
Ａ．质点P的运动方向向右
Ｂ．波的周期可能为0.27s
Ｃ．波的频率可能为1.25Hz
Ｄ．波的传播速度可能为20m/s
★解析：如果波向右传播，有（n+1/4）T=0.2s， 如果波向左传播，有有（n+3/4）T=0.2s，从波的图象可得，结合，可判断BD错误，C正确。
答案：C
【例题】A、B两列波在某时刻的波形如图所示，经过t＝TA时间(TA为波A的周期)，两波再次出现如图波形，则两波的波速之比VA：VB可能是
(A)1：3 (B)1：2 (C)2：1 (D)3：1
★解析：由图可知，两波再次出现原波形时，A经历一个周期TA，B经历n（n=1，2，3，…。）个周期，有nTB=TA由，可得：，则有答案ABC正确。
答案：ABC
【例题】一列简谐横波在x轴上传播，某时刻的波形图如图所示，a、b、c为三个质元，a正向上运动。由此可（ ）
A．该波沿x轴正方向传播
B．c正向上运动
C．该时刻以后，b比c先到达平衡位置
D．该时刻以后，b比c先到达离平衡位置最远处
★解析：A质点向上振动，由上下坡法判断该波的传播方向沿x轴正方向，A正确；在相邻的半个波长内离波源近的质点先达最大位置（或平衡位置），C正确
答案：AC
【例题】如图6－11所示，一列在x轴上传播的横波t0时刻的图线用实线表示，经Δt＝0.2s时，其图线用虚线表示。已知此波的波长为2m，则以下说法正确的是：（ ）
A．若波向右传播，则最大周期为2s
B．若波向左传播，则最大周期为2s
C．若波向左传播，则最小波速是9m/s
D．若波速是19m/s，则波的传播方向向左
★解析：首先题目中没有给出波的传播方向，因而应分为两种情况讨论。例如波向右传播，图中实线所示横波经过0.2s传播的距离可以为0.2m， (0。2+λ)m， (0.2+2λ)m……，其波形图均为图中虚线所示。因而不论求周期最小值还是求周期的最大值，都可以先写出通式再讨论求解。
解答：如果波向右传播，传播的距离为（0.2+nλ）m（n＝1，2，3……），则传播速度为m/s，取n=0时对应最小的波速为1m/s，根据周期，得最大的周期为2s。因此选项A是正确的；
如果波向左传播，传播的距离为（nλ－0.2） m（n=1，2，3……），则传播速度为m/s ，取n=1时对应最小的波速为9m/s，根据周期，得最大的周期为s。因此选项C是正确的，B是错误的；在向左传播的波速表达式中，当取n=2时，计算得波速为19 m/s，因此选项D是正确的。
说明：1．在已知两个时刻波形图研究波的传播问题时，因为波的传播方向有两种可能，一般存在两组合理的解。又由于波的传播在时间和空间上的周期性，每组解又有多种可能性。为此，这类问题的解题思路一般为：先根据波的图象写出波的传播距离的通式，再根据波速公式列出波速或时间的通式，最后由题目给出的限制条件，选择出符合条件的解。
2．本题还可以直接考虑：例如对选项A：因为波长一定，若周期最大，则波速必最小，波在相同时间内（0.2s）传播距离必最短，即为0.2m。由此可知最小波速为1m/s，从而依据波速公式可求出最大周期为2s。其它各选项同理考虑。这样做的主要依据是波是匀速向前传播的，紧抓波速、传播距离、传播时间三者的关系，其实波速公式也是这三者关系的一个体现
【例题】绳中有列正弦横波，沿x轴传播，图中6—12中a、b是绳上两点，它们在x轴方向上的距离小于一个波长。a、b两点的振动图象如图6－13所示。试在图6－12上a、b之间画出t=1.0s时的波形图。
★解析：首先我们先由振动图象确定t=1.0s时a、b 两质点在波形图上的位置以及振动方向，然后在一列已经画好的常规波形图上按题意截取所需波形既可。因为题中没给波的传播方向，所以要分两种情况讨论。
解答：
由振动图象可知：t=1.0s时，质点a处于正向最大位移处（波峰处），质点b处于平衡位置且向下振动。先画出一列沿x轴正方向传播的波形图，如图6－14所示。在图左侧波峰处标出a点。b点在a的右测，到a点距离小于1个波长的平衡位置，即可能是b1、b2两种情况。而振动方向向下的点只有b2。题中所求沿x轴正方向传播的波在a、b之间的波形图即为图6－14中ab2段所示。画到原题图上时波形如图6－15甲（实线）所示。
同理可以画出波沿x轴负方向传播在a、b之间的波形图，如图6－15乙（虚线）所示。
类型题： 波速、波长、频率、和介质的关系
【例题】简谐机械波在给定的媒质中传播时，下列说法中正确的是（ ）
A．振幅越大，则波传播的速度越快；
B．振幅越大，则波传播的速度越慢；
C．在一个周期内，振动质元走过的路程等于一个波长；
D．振动的频率越高，则波传播一个波长的距离所用的时间越短。
★解析：波在介质中传播的快慢程度称为波速，波速的大小由介质本身的性质决定，与振幅无关，所以A、B二选项错。由于振动质元做简谐运动，在一个周期内，振动质元走过的路程等于振幅的4倍，所以C选项错误；根据经过一个周期T ，振动在介质中传播的距离等于一个波长，所以振动的频率越高，则波传播一个波长的距离所用的时间越短，即D选项正确。
【例题】关于机械波的概念，下列说法中正确的是（ ）
（A）质点振动的方向总是垂直于波的传播方向
（B）简谐波沿长绳传播，绳上相距半个波长的两个质点振动位移的大小相等
（C）任一振动质点每经过一个周期沿波的传播方向移动一个波长
（D）相隔一个周期的两个时刻的波形相同
★解析：质点振动的方向可以与波的传播方向垂直（横波），也可以与波的传播方向共线（纵波），故A选项错误．
相距一个波长的两个质点振动位移大小相等、方向相同，相距半个波长的两个质点振动位移大小相等、方向相反， B选项正确．这是由于相距半个波长的两个质点的振动状态相差半个周期，所以它们的位移大小相等、方向相反．
波每经过一个周期就要向前传播一个波长，但介质中的各个质点并不随波向前迁移，只是在各自的平衡位置附近振动，向前传播的是质点的振动状态．所以C选项错误．
在波的传播过程中，介质中各点做周期性的振动，相隔一个周期，各质点的振动又回到上一周期的振动状态．因此，相隔一个周期的两时刻波形相同．故D选项正确．
波动是振动的结果，波动问题中很多知识点与振动有关系，因此要搞清波动与振动的联系与区别，在解决问题时才能抓住关键．
类型题： 判定波的传播方向与质点的振动方向
方法一：若知道某一时刻t的波形曲线，将波形曲线沿波的传播方向平移一微小的距离（小于），它便是t+t时刻的波形曲线，知道了各个质点经过t时间到达的位置，质点的振动方向就可以判断出来了。
方法二：通过波的传播方向判断处波源的位置，在质点A靠近波源一侧附近（不超过）图象上找另一质点B，若质点B在A的上方，则A向上运动，若B在A的下方，则A向下运动。即沿波的传播方向，后振动的质点总是追随先振动的质点来运动的。
方法三：运用逆向复描波形法解答十分简捷。即，手握一支笔，逆着波的传播方向复描已知波形，凡复描时笔尖沿波形向上经过的质点，此刻均向上运动；凡复描时笔尖沿波形向下经过的质点，此刻均向下运动(波峰和波谷点除外)。
【例题】一简谐横波在x轴上传播，在某时刻的波形如图所示。已知此时质点F的运动方向向下，则（ ）
A．此波朝x轴负方向传播
B．质点D此时向下运动
C．质点B将比质点C先回到平衡位置
D．质点E的振幅为零
★解析：本题主要考查对波的传播方向与波上某质点运动方向间的关系的推理判断，以及对波形图的想像能力。
对于本题，已知质点F向下振动，由上述方法可知，此列波向左传播。质点B此时向上运动，质点D向下运动，质点C比B先回到平衡位置。在此列波上所有振动质点的振幅都是相等的。故只有A、B选项正确。
【例题】简谐横波某时刻的波形图如图10所示。由此图可知（ ）
A．若质点a向下运动，则波是从左向右传播的
B．若质点b向上运动，则波是从左向右传播的
C．若波从右向左传播，则质点c向下运动
D．若波从右向左传播，则质点d向上运动
★解析：运用上述逆向复描波形法可立即判定出B、D正确。
类型题： 已知波速V和波形，作出经Δt的波形
方法一、平移法：先算出经Δt时间波传播的距离Δx=VΔt，再把波形沿波的传播方向平移Δx即可。因为波动图象的重复性，若已知波长λ，则波形平移n个λ时波形不变，当Δx=nλ+x时，可采取去nλ留零x的方法，只需平移x即可。
方法二、特殊点法：在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷）点，先确定这两点的振动方向，再看Δt=nT+t，由于经nT波形不变，所以也采取去整nT留零t的方法，分别作出两特殊点经t后的位置，然后按正弦规律画出新波形。
【例题】一列简谐横波向右传播，波速为v。沿波传播方向上有相距为L的P、Q两质点，如图所示。某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰，经过时间t，Q质点第一次运动到波谷。则t的可能值（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
★解析：解答本题，必须做出在题设条件下可能的波的图形，然后才能作出判定。题中指出：“某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰”，符合这一条件的波形图有4个，如图15所示。显然，Q质点第一次运动到波谷所需的时间t的可能值有4个。故D选项正确。
类型题： 已知波的图象，求波速
【例题】一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点，相距14.0 m，b点在a点的右方，如图16所示。当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动，经过1.0s后，a点的位移为零，且向下运动，而b点的位移达到负极大，则这简谐横波的波速可能等于( )
A．4.67m/s B．6m/s C．10m/s D．14m/s
★解析：本题考查振动以及波动的传播规律，只有理解波动(图象)传播的规律，准确把握波动过程中的图象关于时间和空间的周期性，才能作出确切和完整的判断。
由于波向右传播，据“a点位移达正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动”，可画出此时a、b间的最简波形，如图17所示。
因未明确a、b距离与波长的约束关系，故a、b间的距离存在“周期性”。即
(n1+ (n1=0，1，2，……)
因所给定时间与周期的关系未知，故运动时间也存在“周期性”。即
(n2=0，1，2，…)
因此可能的波速为
当n2=0，n1=0时，V=4.67m/s;
当n2=0，n1=1时，V=2m/s;
(n2=0，V随n1增大还将减小。)
当n2=1，n1=0时，V=23.3m/s;（n1=0，V随n2的增大而增大。）
当n2=1，n1=1时，V=10m/s;
据以上计算数据，不可能出现B和D选项的结果，故选项A、C正确。
【例题】一列横波沿直线在空间传播，某一时刻直线上相距为d的M、N两点均处在平衡位置，且M、N之间仅有一个波峰，若经过时间t，N质点恰好到达波峰位置，则该列波可能的波速是多少？
★解析：本题没有给定波的传播方向，仅告诉我们在某一时刻M、N两点均处在平衡位置，且M、N之间仅有一个波峰．由此我们可以推想，处在直线MN上的各个质点在该时刻相对平衡位置的位移可能会有以下四种情况，即波的图像有以下四种图形（如图18中A、B、C、D图，各图中均为左端为M，右端为N）：
若波的传播方向由M到N，那么：
在A图中，经过时间t，N恰好到达波峰，说明时间t内波向右前进的距离，且，所以波速．
在B图中，经过时间t，波峰传到N点，则波在时间t内向右前进的距离，且，所以波速．
在C图中，经过时间t，波向右前进的距离，且，所以波速．
在D图中，经过时间t，波向右前进的距离，且，所以波速．
若波的传播方向从N到M，那么：
在A图中，质点N此时要向下振动，经过时间t，N到达波峰，则时间，在时间t内波向左前进的距离，所以波速．
在B图中，经过时间t， N到达波峰，则时间，在此时间内波向左前进的距离，所以波速．
在C图中，波在时间t内向左前进的距离，且，所以波速
．
在D图中，质点N经过变为波峰，所以，在时间t内波向左前进的距离
，所以波速．
所以该列波可能的波速有五种、、、、．
其实上述解决问题的方法过于程序化，如果能够判断出八种情况下该时刻波形图上的波峰在传播方向上到N点的距离S，波速v就等于．例如：最后一种情况中，波峰在传播方向上到N点的距离，所以波速．其它情况读者可自行解决
类型题： “前锋波”问题
“前锋波”是指在机械波传播过程中最前面的波形。
“前锋波”具有下列特点：
（1）在传播过程中，最前面的波形不变；
（2）最前面质点的起振方向跟波源的起振方向相同；
（3）波源振动一个周期，机械波将添加一个波长的波形；
（4）波源起振方向向上，则最前面的一个波长内的波形，前半个在x轴上方，后半个在x轴下方；否则相反。
（5）波形向前传播为匀速运动，在一个周期内，传播一个波长的距离。
1。 “前锋波”的形成
【例题】一质点从t＝0时刻开始以坐标原点O为中心在y轴上做简谐运动，其振动图象如图1所示，0.3s后，此质点停止运动。振动在介质中产生的简谐横波沿x轴正方向传播，波速为1.0m/s，此质点停止振动后，再经过0.2s后的波形图是（）
★解析：由振动图象可知，振源振动了周期就停止运动，因此所形成的波有个波长。显然选项A错误。由于振源开始向下运动，根据“前锋波”的特点（4）知，最前面的半个波长的波形在x轴下方，所以B、D都错误，选C。
2。 “前锋波”的传播
解答“前锋波”的传播问题主要是根据波形匀速传播和最前面波形不变的特点，运用“平移法”进行计算。
【例题】一列简谐横波，在t＝0时的波形图如图2所示，P、Q两点的x坐标分别为－1m、－7m，波的传播方向由右向左（即沿x轴负方向），已知t＝0.7s时，P质点第二次出现波峰，则以下叙述正确的是（）
图2
A．t＝1.2s时，Q质点第一次出现波峰
B．t＝0.9s时，Q质点第一次出现波峰
C．波源的起振方向一定沿y轴正方向
D．质点Q位于波峰时，质点P正好位于波谷
★解析：根据“前锋波”特点（1）知，P点第一次出现波峰，应是t＝0时处于x＝2m处的波峰传播到P处，传播了个波长的距离，用时为个周期。当P点第二次出现波峰时，再用时一个周期，所以有
，
解得 T＝0.4s
波速
Q点第一次出现波峰是t＝0时刻处于x＝2m处的波峰匀速传播至x＝－7m处，所以
，
B选项正确。
由所给的波的图象和“前锋波”特点（4）可知，波源的起振方向沿y轴正方向，C选项正确。
由于 ，
所以D选项也正确。
3。 “前锋波”的叠加
【例题】在一条弦线的两端，各发生一个如图3所示的横脉冲，它们均沿弦线传播，速度相等，传播方向相反。在它们传播的过程中，可能出现的脉冲图是（）
图3
ABCD
★解析：在两脉冲前端刚好相遇的瞬间，即出现A的波形。两脉冲继续向各自传播方向前进，当它们的前半个波形重叠时，重叠区域各个质点的位移矢量和为零，即出现D所示波形。再继续传播，当两脉冲完全重合时，每个质点的位移应为只有一列波时的位移的2倍，B不正确。从相遇到分离的整个过程中均不会出现C所示的波形。正确答案为A、D。
由例3可知，几列波相遇时，能够保持各自的运动状态，继续传播。在它们重叠的区域里，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。需要注意的是，D选项图象中中间一段位移虽然为零，但这些质点的速度并不为零
类型题： 波动图象与振动图象的关系
【例题】一列简谐横波沿x 轴负方向传播，图1是t =1s 时的波形图，图2是波中某振动质元位移随时间变的振动图线（两图用同一时间起点），则图2可能是图1中哪个质元的振动图线？
A．x=0处的质元 B．x=1m处的质元
C．x=2m处的质元 D．x=3m处的质元
★解析： 由图象2可右该项振动质点是从正的最大位置开始振动，应该是x=3m处的质元，选D答案。
答案：D（这题应选A，可能答案错。）
【例题】一列简谐机械横波某时刻的波形如图所示，波源的平衡位置坐标为。当波源质点处于其平衡位置上方且向下运动时，介质中平衡位置坐标的质点所处位置及运动情况是（）
A．在其平衡位置下方且向上运动
B．在其平衡位置上方且向下运动
C．在其平衡位置上方且向上运动
D．在其平衡位置上方且向下运动
★解析：X=0处的质点和x=2处的质点是两个反相质点（相隔半个波长，运动情况总相反），选答案A。
【例题】如图所示，甲为某一简谐横波在t=1.0s时刻的图象，乙为参与波动的某一质点的振动图象。
（1）两图中的AA’、OC各表示什么物理量？量值各是多少？
（2）说明两图中OA ’B段图线的意义？
（3）该波的波速为多大？
（4）画出再经过0.25s后的波动图象和振动图象。
（5）甲图中P点此刻的振动方向。
★解析：依据波动图象和振动图象的物理意义来分析判断。注意振动图象和波动图象的区别与联系。
解答：（1）甲图中的AA’表示振幅A和x=1m处的质点在t=1.0s时对平衡位置的位移，振幅A=0.2m，位移y=-0.2m；甲图中OC表示波长，大小=4m。乙图中AA’即是质点振动的振幅，又是t=0.25s时质点偏离平衡位置的位移，振幅A=0.2m，位移y=-0.2m;OC表示质点振动的周期，大小T=1.0s。
（2）甲图中的OA’B段图线表示O到B之间的各质点在t=1.0s时相对平衡位置的位移，OA间各质点正向着平衡位置运动，AB间各质点正在远离平衡位置运动。乙图中的OA’B段图线表示该质点在t=0~0.5s时间内振动位移随时间变化的情况，在0~0.25s内该质点正远离平衡位置运动，在0.25s~0.2s内该质点正向平衡位置运动。
（3）由v=/t可得波速v=m/s= 4m/s
（4）再过0.25s，波动图象向右平移x=vt=0.254m=1m=/4;振动图象在原有的基础上向后延伸T/4，图象分别如图6-11丙、丁所示
（5）已知波的传播方向（或某质点的振动方向）判定图象上该时刻各质点的振动方向（或波的传播方向），常用方法如下：
a．带动法：根据波动过程的特点，利用靠近波源的点带动它邻近的离波源稍远的点的特性，在被判定振动方向的点P附近图象上靠近波源一方找一点P’，若在P点的上方，则P’带动P向上运动，如图所示；若P’在P点的下方，则P’带动P向下运动。
b．微平移法：将波形沿波的传播方向做微小移动x</4，根据质点P相对平衡位置位移的变化情况判断质点P的运动方向。
c．口诀法：沿波的传播方向看，“上山低头，下山抬头”，其中“低头”表示质点向下运动，“抬头” 表示质点向上运动。
故P向上振动。
说明：波动图象和振动图象的形状相似，都是正弦或余弦曲线，其物理意义有本质的区别，但它们之间又有联系，因为参与波动的质点都在各自的平衡位置附近振动，质点振动的周期也等于波动的周期
类型题： 能确定振动加强和振动减弱位置
【例题】如图所示，在半径为R=45m的圆心O和圆周A处，有两个功率差不多的喇叭，同时发出两列完全相同的声波，且波长=10m。若人站在B处，正好听不到声音；若逆时针方向从B走到A，则时而听到时而听不到声音。试问在到达A点之前，还有几处听不到声音？
★解析：因为波源A、O到B点的波程差为r=r1—r2=R=45m=，所以B点发生干涉相消现象。
在圆周任一点C上听不到声音的条件为：
r = r1—r2 =（2k+1）=5（2k+1）
将r2=R=45m代入上式得：r1=5（2k+1）+ r2
所以：r1=10k+50 或 r1= —10k+40
而0 < r1 < 90m，所以有：0 <（10k+50） < 90m 和 0 <（—10k+40） < 90m
求得 :—5 < k < 4
即k = —4、—3、—2、—1、0、1、2、3，所以在到达A点之前有八处听不到声音。
这题直接说8次也可以。
类型题： 能正确作出两列波叠加后的波形图
确定两列波相遇后的波形问题的思路是首先根据波的独立传播原理分别画出给定时刻的两列波的波形；再根据波的叠加原理，对各个质点的位移进行合成，画出叠加以后的波形图。
【例题】如图23甲所示，两列相同的波相向传播，当它们相遇时，图23乙中可能的波形是：
A．图（a）和图(b); B．图（b）和图(c);
C．图（c）和图(d); D．图（a）和图(d)。
a
b
c
d
★解析：
当两列相遇时，达到图24所示的状态时，叠加以后的波形应是图23乙(b)。
当两列相遇时，达到图25所示的状态时，叠加以后的波形应是图23乙(c)。
所以正确答案应是B。
【例题】A、B两波相向而行，在某时刻的波形与位置如图26所示，已知波的传播速度为V，图中标尺每格长度为L，在图中画出又经过t=7L/V时的波形。(参考答案)
A
B
★解析：根据波的叠加原理很容易确定经过t=7L/V时的波形如图27所示。
类型题： 确定两列频率不相同的波叠加后的各质点的运动情况
不同频率的两列波相遇也可以叠加，也存在振动加强和振动减弱的点，但这些点不是固定的，而是随时变化的，因此看不到稳定的干涉图样。
【例题】如图28所示，一波源在绳的左端发生半个波1，频率为f1，振幅为A1；同时另一波源在绳的右端发生半个波2，频率为f2，振幅为A2。图中AP=PB，由图可知（ ）
A
B
P
1
2
A、两列波同时到达P点；
B、两列波相遇时，P点的波峰可达（A1+A2）；
C、两列波相遇后各自保持原来波形独立传播；
D、两列波相遇时，绳上振幅可达（A1+A2）的质点只有一点。
★解析：1、2两列波在同一条绳上传播，波速相同，所以A、B的运动状态传播相同距离历时相同，两列波应同时到达P点，选项A是正确的；两列波到达P点后，在彼此穿过区间，P处质点的位移为两列波独立引起的位移之和，由于两波频率不同，波长不同，相向传播时，两波峰不会同时到达P点，故在P处两列波叠加的位移峰值不会达到（A1+A2），选项B是错误的；两波峰可同时到达的一点应是与图28中现正处于波峰的两质点的平衡位置等距的一点：如果f1>f2，则λ1<λ2，则P点右侧某处质点振幅可达到（A1+A2），而如果f1λ2，则P点左侧某处质点振幅可达到（A1+A2），选项D是正确的；根据波的叠加原理，两列波相遇后各自保持原来的波形，即如选项C所述。
综上所述，本题正确答案为ACD。
类型题： 确定两列波叠加后某质点的振动方向
【例题】两列沿相反方向传播的振幅和波长都相同的半波，如图29（甲）所示，在相遇的某一时刻两列波“消失”，如图29（乙），此时图中a、b质点的振动方向是：
a
b
甲
乙
1
2
1
2
A．a向上，b向下； B．a向下，b向上；
C．a、b都静止； D．a、b都向上。
★解析：两列波在相遇的某一时刻两列波“消失”了，是因为两列波分别引起各质点的位移矢量和为零。但两列波分别引起各质点总的振动速度的矢量和不为零。对于a点，波1使其振动的速度为零，波2使其振动的速度也向下，故a点的振动合速度应向下。而对于b点，波1使其振动的速度方向向上，波2使其振动的速度为零，故b点的振动合速度应向上。所以B选项正确
类型题： 波动现象在工农业生产中的应用问题
【例题】利用超声波可以探测鱼群的位置。在一只装有超声波发射和接收装置的渔船上，向选定的方向发射出频率f=5.8×104Hz的超声波后，经过时间t=0.64s收到从鱼群反射回来的反射波。已知这列超声波在水中的波长λ=2.5cm，求鱼群到渔船的距离是多少？
★解析：所发射的超声波在水中的传播速度为：
超声波往返的路程为
渔船到鱼群的距离为：S1=S/2=464m。
【例题】利用超声波测量汽车的速度，超声波遇到障碍物会发生反射，测速仪发出并接收反射回来的超声波脉冲信号，根据发出和接收到的时间差，测出汽车的速度。图30（a）是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图，测速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到的时间差，测出汽车的速度。图30（b）中是测速仪发出的超声波信号，n1、n2分别是由汽车反射回来的信号。设测速仪匀速扫描，p1、、p2之间的时间间隔Δt＝1.0s，超声波在空气中传播的速度是V＝340m。/s，若汽车是匀速行驶的，则根据图（b）可知，汽车在接收到p1、、p2两个信号之间的时间内前进的距离是 m，汽车的速度是_____________m/s
1
P1
P2
n1
n2
A
B
图a
图b
2
3
4
5
0
★解析：本题由阅读图30（b）后，无法让人在大脑中直接形成测速仪发射和接受超声波以及两个超声波在传播过程中量值关系形象的物理图象。只有仔细地分析图30（b）各符号的要素，深刻地思考才会在大脑中形成测速仪在P1时刻发出的超声波，经汽车反射后经过t1=0.4S接收到信号，在P2时刻发出的超声波，经汽车反射后经过t2=0.3S接收到信号的形象的物理情景图象。根据这些信息很容易给出如下解答：
汽车在接收到p1、、p2两个信号之间的时间内前进的距离是:
S=V（t1-t2）/2=17m，汽车通过这一位移所用的时间t=Δt-（t1-t2）/2=0.95S。所以汽车的速度是。（此题要注意n1、n2不是汽车接收的，而是测速仪接收的）
类型题： 不能忽视非重点知识
【例题】频率一定的声源在空气中向着静止的接收器匀速运动。以u表示声源的速度，V表示声波的速度（u＜V），v表示接收器接收到的频率。若u增大，则
A v增大，V增大B v增大，V不变
C v不变，V增大D v减少，V不变
★解析：本题考查的是多普勒效应，声源在向着观察者运动时，观察者感觉到的频率会变大，声波的传播速度是由介质决定的，与其它因素无关，应选答案B。
答案：B
要点提示：在第二轮复中，重点是复习高考的热点难，但高考中对非重点内容也加以考查，在复习时不能忽视
【例题】关于多普勒效应的叙述，下列说法正确的是（ B ）
A．产生多普勒效应的原因是波源频率发生了变化
B．产生多普勒效应的原因是观察者和波源之间发生了相对运动
C．甲乙两车相向行驶，两车均鸣笛，且发出的笛声频率相同，乙车中的某旅客听到的甲车笛声频率低于他听到的乙车笛声频率
D．波源静止时，不论观察者是静止的还是运动的，对波长“感觉”的结果是相等的
【例题】根据多普勒效应，我们知道当波源与观察者相互接近时，观察者接收到的频率增大；如果二者远离，观察者接收到的频率减小。由实验知道遥远的星系所生成的光谱都呈现“红移”，即谱线都向红色部分移动了一段距离，由此现象可知（ A ）
A、宇宙在膨胀
B、宇宙在收缩
C、宇宙部分静止不动
D、宇宙只发出红光光谱
【例题】声纳（水声测位移）向水中发出的超声波，遇到障碍物（如鱼群、潜艇、礁石等）后被反射，测出发出超声波到接收到反射波的时间及方向，即可算出障碍物的方位，；雷达则向空中发射电磁波，遇到障碍物后被反射，同样根据发射电磁波到接收到反射波的时间及方向，即可算出障碍物的方位。超声波与电磁波相比较，下列说法正确的是(D )
A．超声波和电磁波在传播时，都向外传递能量，但超声波不能传递信息
B．这两种波都可以在介质中传播，也可以在真空中传播
C．在真空中传播的速度与在其他介质中传播的速度相比较，这两种波在空气中传播时具有较大的传播速度
D．这两列波传播时，在一个周期内向前传播一个拨长
【例题】下列说法正确的是（）
A、只有声波才能发生多普勒效应
B、电磁波和光波也能发生多普勒效应
C、只有机械波才能发生多普勒效应
D、一切波都能发生多普勒效应
★解析：多普勒勒效应是波的牲，任何波都能发生多普勒效应，选答案D。而B中光波属于电磁波，所以不选。
答案：D
『夯实基础知识』
一．机械振动
1、定义：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧做的往复运动。简称振动。其特点是具有往复性、重复性和周期性。
2、振动的特点：
①存在某一中心位置；
②往复运动
2、产生振动的条件：
（1）受到一个始终指向平衡位置的回复力的作用
（2）振动过程中的阻力足够小
说明：
①回复力：是指振动物体所受到的指向平衡位置的力。
a：是由作用效果来命名的。可由任意性质的力提供，可以是几个力的合力也可以是一个力的分力
它可以重力、弹力或者摩擦力或者几个力的合力（如弹簧振子），甚至是某一个力的分力（如单摆）。
b：回复力时刻指向平衡位置
c：在平衡位置处：回复力为零，而物体所受合外力不一定为零，如单摆运动，当小球在最低点处，回复力为零，而物体所受的合外力不为零。
d：回复力的作用效果总是将物体拉回平衡位置，从而使物体围绕平衡位置做周期性的往复运动。
②平衡位置：平衡位置是指物体在振动中所受的回复力为零的位置，也是振动停止后，振动物体所在位置，平衡位置通常在振动轨迹的中点。“平衡位置”不等于“平衡状态”。此时振子未必一定处于平衡状态。比如单摆经过平衡位置时，虽然回复力为零，但合外力并不为零，还有向心力．
3．描述振动的物理量：
（1）位移：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段
物体振动时的位移总是相对于平衡位置而言的，振动中的位移x都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置――总是背离平衡位置向外。大小为这两位置间的直线距离。
①是矢量，其最大值等于振幅；②始点是平衡位置，所以跟回复力方向永远相反；③位移随时间的变化图线就是振动图象
（2）振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。
①是标量，没有方向，是一个正数。质点在做简谐振动时，振幅不变。
②它是描述振动强弱的物理量。
（3）周期T和频率f：振动物体完成一次全振动所需的时间称为周期T，它是标量，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹（Hz）。周期和频率都是描述振动快慢的物理量，它们的关系是：T=1/f。
二．简谐运动
1、简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动。
式中x指振动物体相对于平衡位置的位移，起点在平衡位置，终点随物体的所在位置而变化、方向始终由平衡位置指向物体所在位置，如图所示弹簧振子位移的示意图。
2、简谐运动的特征是：
（1）受力特征：
从动力学角度看，简谐运动的特征表现在所受到的回复力的形式上：简谐运动的质点所受到的回复力F其方向总与质点偏离平衡位置的位移x的方向相反，从而总指向平衡位置；其大小则总与质点偏离平衡位置的位移x的大小成正比，即 动力学特征也是判断某机械运动是否为简谐运动的依据
（2）运动学特征： ，此式表明加速度也跟位移大小成正比，并总指向平衡位置。由此可见，简谐运动是一变加速运动，且加速度和速度都在做周期性的变化。
简谐振动是一种周期性运动，相关物理量也随时间作周期性变化，其中位移、速度、加速度、回复力都为矢量，随时间作周期性变化；而动能和势能为标量，变化周期为
（3）能量特征：振幅确定振动物体的能量，在振动的过程中只发生动能和势能的转化，总的机械能守恒。
（4）对称特征：关于平衡位置对称的两点等物理量的大小相等，此外还体现在过程量上的相等，如从某点到平衡位置的时间和从平衡位置到与该点关于平衡位置对称点的时间相同等等
3、简谐运动的规律：
（1）弹簧振子：一个可作为质点的小球与一根弹性很好且不计质量的弹簧相连组成一个弹簧振子。一般来讲，弹簧振子的回复力是弹力(水平的弹簧振子)或弹力和重力的合力(竖直的弹簧振子)提供的。弹簧振子与质点一样，是一个理想的物理模型。
（2）弹簧振子振动周期：T=2，只由振子质量和弹簧的劲度决定，与振幅无关，也与弹簧振动情况无关。(如水平方向振动或竖直方向振动或在光滑的斜面上振动或在地球上或在月球上或在绕地球运转的人造卫星上)
（3）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是。这个结论可以直接使用。
（4）振动过程中各物理量的变化情况
如图所示是一个弹簧振子的振动，O点为平衡位置，AA’分别是左、右两端的最大位移处，振子的振动可以分成四个阶段：
。
四个阶段中，振子的位移，回复力、速度和加速度的变化如下表：
①在平衡位置：速度最大、动能最大、动量最大；位移最小、回复力最小、加速度最小。
②在离开平衡位置最远时：速度最小、动能最小、动量最小；位移最大、回复力最大、加速度最大
（5）周期性：
①每经过一个周期，描述振动的物理量大小和方向都恢复到原来状态，振动质点都以相同的方向通过原位置。
②振动质点在一个周期内通过的路程为4A，半个周期通过的路程为2A，但四分之一周期通过的路程也能大于A也可能等于A也可能小于A，这要看从何位置开始计时。
4、简谐运动的判断方法：通常可以利用简谐运动的动力学特征去判断某质点的运动是否是简谐运动，其具体的判断方法是分为两个步骤：
首先找到运动质点的平衡位置，即运动过程中所达到的受到的合力为零的位置，以该位置为坐标原点，沿质点运动方向过立坐标；其次是在质点运动到一般位置（坐标值为x）处时所受到的回复力F，如F可表为 则运动是简谐的，否则就不是简谐运动。
★4．匀速圆周运动与简谐运动的关系。
匀速圆周运动的投影是简谐运动
如图所示，当质点m沿半径A的圆，以角速度ω做匀速圆周运动时，一束平行光的照射下，质点在水平地面上的投影将在O点附近往复运动，做圆周运动的质点所受到的向心力大小为
其投影相当于受到的大小为的回复力的振动，考虑到csθ=
其F的方向与投影偏离“平衡位置”O点的位移x的方向相反，于是有
即：匀速圆周运动的投影是简谐运动
5、简谐运动的周期公式
由于匀速圆周运动的周期与角速度的关系为而其投影做简谐运动的周期也为T，且注意到
于是可得到简谐运动的一般表达式为
（弹簧振子）
6．简谐运动的图象及其应用
（1）定义：振动物体离开平衡位置的位移X随时间t变化的函数图象。不是运动轨迹，它只是反映质点的位移随时间的变化规律。
（2）图象特点：用演示实验证明简谐运动的图象是一条正弦（或余弦）曲线。
（3）作法：以横轴表示时间，纵轴表示位移，根据实际数据取单位，定标度，描点，用平滑线连接各点便得图线。
（4）图象的意义：简谐运动的振动图像反映的是某振动质点在各个时刻相对于平衡位置的位移的变化情况。
（5）简谐运动图象的应用：
①可求出任一时刻振动质点的位移。
②可求振幅A：位移的正负最大值。
③可求周期T：两相邻的位移和速度完全相同的状态的时间间隔。
④可确定任一时刻的回复力、速度、加速度的方向。
⑤可判断某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况
⑥计时点一旦确定，形状不变，仅随时间向后延伸。
三．机械振动的应用——受迫振动和共振现象的分析
1、振动的能量：对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决定，振动的势能由振动的位移决定，振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能和势能的总和．
2、振动系统的机械能大小由振幅大小决定，同一系统振幅越大，机械能就越大．若无能量损失，简谐运动过程中机械能守恒，做等幅振动．
3、阻尼振动与无阻尼振动
振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动
振幅不变的振动为等幅振动，也叫做无阻尼振动
注意：等幅振动、阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的，等幅振动不一定不受阻力作用
4、受迫振动
（1）物体在周期性的外力（策动力）作用下的振动叫做受迫振动
受迫振动的频率在振动稳定后总是等于外界策动力的频率，与物体的固有频率无关。受迫振动是等幅振动，振动物体因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振动能量刚好由周期性的驱动力做功给予补充，维持其做等幅振动。
5、共振
在受迫振动中，策动力的频率与物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象叫共振。
产生共振的条件：驱动力频率等于物体固有频率。
共振曲线
共振的应用：转速计、共振筛
四．单摆
单摆的振动是一种比较特殊的简谐运动，对它的学习可以加深我们对简谐运动的理解。
1、单摆：在细线的一端挂上一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸缩和质量可以忽略，球的直径比线长短得多，这样的装置叫做单摆．
这是一种理想化的模型，理想的单摆应具备如下理想化条件：和小球的质量m相比，线的质量可以忽略；与线的长度l相比，小球的半径可以忽略。
2、单摆的受力特征
当单摆做小角度摆动时，其受力情况为：受到一个恒定的竖直向下的重力mg，和一个变化的始终沿绳方向指向点的拉力F，而将这些力沿垂直于和平行于运速度方向分解，其中垂直于速度方向上的力使摆球的速度方向发生改变，充当摆球绕悬点做变速圆周运动所需的向心力。平行于速度方向上的力使摆球的速度大小发生改变，充当摆球的回复力
由图可知：（当很小时，一般小于10°）
令
可见：当单摆做小角度摆动时，其运动近似为简谐运动。
图2中，G1不能认为等于重力G和拉力T的合力，因为T与G2一般不相等，不能抵消。一般情况下：，且
即T与G2的合力作为向心力。
特殊地：当单摆位于左、右两端最大位移位时，因为此时
（3）单摆的周期公式
对于单摆，回复力与偏离平衡位置的位移的比例系数为
将其代入简谐运动周期的一般表达式中，得
与摆球质量m、振幅A都无关。其中摆长l指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值。要区分摆长和摆线长。
小球在光滑圆弧上的往复滚动和单摆完全等同。只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。
秒摆：周期为2s的单摆．其摆长约为lm
（4）单摆的等时性，从该式中可以看出，单摆的周期只与摆长及重力加速度有关，与振幅（即偏角）无关，这一性质叫做单摆的等时性。
（5）等效摆长和等效加速度：实际应用中：不同环境下的单摆，如放在加速运动的升降机中，或将单摆放在匀强电场中，需将单摆周期公式：中的g换成视重加速度，视重加速度等于摆锤相对悬点静止时，悬线拉力与摆锤质量的比值。
（6）单摆的应用：
①计时器；②测定重力加速度g，
（6）改变钟的快慢
对于这一类问题，解决时抓住以下三点：
1、一摆钟的机械结构是固定的，所以不管是准确的钟还是不准的，摆锤摆动一次，钟面指示的时间都相同。
2、一段时间内摆锤的摆动次数：
准确钟不准的钟
钟面上相应的批示时间为
准确钟t
不准的钟（“+”表示钟快；“-”代表钟慢）
3、同一时间内钟面指示时间之比等于摆动次数之比。
即钟面指示时间与钟的周期成反比。
特殊地，对于一昼夜而言，就有：
机械波
一、机械波
1、定义：机械振动在介质中传播就形成机械波
简谐波：波源做简谐振动，传播方向单一且振幅不变，波形图为正弦或余弦线的波为简谐波
2、机械波产生的必要条件是：
（1）有作机械振动的物体作为波源；
（2）有能传播机械振动的介质。
3、分类
横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直．凸起部分叫波峰，凹下部分叫波谷
纵波：质点的振动方向与波的传播方向在一直线上。质点分布密的叫密部，疏的部分叫疏部，液体和气体不能传播横波
4、机械波的特点：
每个质点都在自己平衡位置附近作振动，并不随波迁移
后一质点重复前一质点的运动，各质点的周期、频率及起振方向都与波源相同。
介质中各质点的振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同
5、描述机械波的物理量：
①波长：在波动中，对平衡位置的位移总是相等的两个相邻质点间的距离。波长通常用表示。
在横波中，两个相邻的波峰或相邻的波谷之间的距离。在纵波中两相邻的的密部(或疏部)中央间的距离，振动在一个周期内在介质中传播的距离等于波长。
波长反映了波动空间的周期性。
②周期：波在介质中传播一个波长所用的时间。波的周期与传播的介质无关，取决于波源，波从一种介质进入另一种介质周期不会改变。周期用T表示。
③频率：单位时间内所传播的完整波（即波长）的个数。周期的倒数为波的频率。波的频率就是质点的振动频率。频率用f表示。
周期或频率反映了波动的时间周期性。
注意：波的频率由振源决定，在任何介质中传播波的频率不变。波从一种介质进入另一种介质时，唯一不变的是频率(或周期)，波速与波长都发生变化
④波速：波在单位时间传播的距离。机械波的波速取决于介质，一般与频率无关。波速用V表示。
波速是介质对波的传播速度．介质能传播波是因为介质中各质点间有弹力的作用，弹力越大，相互对运动的反应越灵教，则对波的传播速度越大．通常情况下，固体对机械波的传摇速度校大，气体对机械波的传播速度较小．对纵波和横波，质点间的相互作用的性质有区别，那么同一物质对纵波和对横波的传播速度不相同．所以，介质对波的传播速度由介质决定，与振动频率无关．
6、描述机械波的物理量关系：
7、说明：
波的频率是介质中各质点的振动频率，质点的振动是一种受迫振动，驱动力来源于波源，所以波的频率由波源决定，是波源的频率
8、波的图象
（1）坐标轴：规定用横坐标x表示在波的传播方向上各个质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的位移，连结各质点位移量末端得到的曲线叫做该时刻波的图象
（2）图象特点：是一条正弦（余弦）曲线；
（3）物理意义：显示某一瞬间波传播方向上介质中各质点离开平衡位置的位移情况，类似人们给大型团体操队伍拍的一张照片。
注意：波的图象和振动图象是根本不同的，波的图象描述的是介质中“各质点”在“某一时刻”离开平衡位置的位移；而振动图象描述的是“一个质点”在“各个时刻”离开平衡位置的位移。
（4）波的图象的特点
波图象的重复性：相隔时间为周期的整数倍的两个时刻的波的图象是相同的；
波传播方向双向性：不指定波的传播方向时，图象中波可能向x轴正向或x轴负向传播；
（5）横波图象的应用：
①可知波动中质点的振幅和波长
②若已知波的传播方向，可知介质质点的振动方向，反之亦然。
③相邻的波峰波谷点间的质点振动方向相同
④相邻平衡位置间以波峰（或波谷）对称的质点振动方向相反．
⑤若知波速v，可求此时刻以后的波形图，方法是把波形图平移Δx=vΔt的距离。
（6）波的传播方向与质点的振动方向关系确定方法。
①质点带动法（特殊点法）：
由波的形成传播原理可知，后振动的质点总是重复先振动质点的运动，若已知波的传播方向而判断质点振动方向时，可在波源一侧找与该点距离较近（小于）的前一质点，如果前一质点在该质点下方，则该质点将向下运动（力求重复前面质点的运动），否则该质点向上运动。例如向右传的某列波，某时刻波的图象如图所示，试判断质点M的振动方向，可在波源一侧找出离M较近的前一质点M′，M′在M下方，则该时刻M向下运动。
②微平移法：
所谓微移波形，即将波形沿波的传播方向平衡微小的一段距离得到经过微小一段时间后的波形图，据质点在新波形图中的对应位置，便可判断该质点的运动方向。如图所示，原波形图（实线）沿传播方向经微移后得到微小一段时间的波形图（虚线），M点的对应位置在M′处，便知原时刻M向下运动。
③上下坡法
沿波的传播方向看去，“上坡”处的质点向下振动。"下坡"处的质点向上振动。如图所示，简称“上坡下，下坡上”
④同侧法
在波的图形的某质点M上，沿波的传播方向画一箭头，再沿竖直方向向曲线的同侧画另一箭头，则该箭头即为质点振动方向，如图所示
（7）画出再经t时间波形图的方法：
①方法一、平移法：
（1）确定t=？
（2）算出t时间内波的传播距离s = vt = ？
（3）把整个波形沿波的传播方向平移s 。
2、方法二、特殊点法：
（1）找两点（原点和的点并确定其运动方向；
（2）确定经t = ？T时间内这两点所达到的位置；
（3）按正弦规律画出新的波形。
波的干涉、衍射现象，了解多普勒效应
（1）波的叠加原理：在两列波重叠的区域，任何一个质点的总位移都等于两列波分别引起的位移的矢量和。
（2）波的独立传播原理：在两列波重叠的区域，每一列波保持自己的特性互不干扰继续前进。
(3)波的干涉:①产生稳定干涉现象的条件：频率相同；振动方向相同；有固定的相位差。②两列相干波的波峰与波峰（或波谷与波谷）相遇处是振动最强的地方，波峰与波谷（或波谷与波峰）相遇处是振动最弱的地方。③驻波：是一种特殊的干涉现象。驻波的特点是两波节间的各质点均做同时向下或同时向上，但振幅不同的同步调振动；波形随时间变化，但并不在传播方向上移动。
(4)波的衍射:①波绕过障碍物的现象叫做波的衍射。②能够发生明显的衍射现象的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多。
(5)多普勒效应
当波源或者接受者相对于介质运动时，接受者会发现波的频率发生了变化，这种现象叫多普勒效应。
(6)声波:①发声体的振动在介质中的传播就是声波。人耳能听到的声波的频率范围在20Hz到20000Hz之间。②频率低于20Hz的声波叫次声波。③频率高于20000Hz的声波叫超声波。④空气中的声波是纵波。⑤能够把回声与原声区别开来的最小时间间隔为0.1S。⑥声波也能发生反射、干涉和衍射等现象。声波的共振现象称为声波的共鸣。
『题型解析』
类型题： 必须弄清简谐运动的判断方法
要判定一个物体的运动是简谐运动，首先要判定这个物体的运动是机械振动，即看这个物体是不是做的往复运动；看这个物体在运动过程中有没有平衡位置；看当物体离开平衡位置时，会不会受到指向平衡位置的回复力作用，物体在运动中受到的阻力是不是足够小。 然后再找出平衡位置并以平衡位置为原点建立坐标系，再让物体沿着x轴的正方向偏离平衡位置，求出物体所受回复力的大小，若回复力为F=-kx，则该物体的运动是简谐运动。
【例题】两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为K1、K2，它们与一个质量为m的小球组成的弹簧振子，如图1所示。试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。
X
O
X
★解析：证明：以平衡位置O为原点建立坐标轴，当振子离开平衡位置O时，因两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的合力。设振子沿X正方向发生位移x，则物体受到的合力为
F=F1+F2=-k1x-k2x=-(k1+k2)x=-kx。
所以，弹簧振子做的运动是简谐运动
【例题】试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动
★解析：如图所示，设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧的形变为 ，根据胡克定律及平衡条件有
①
当振子向下偏离平衡位置为时，回复力（即合外力）为
②
将①代人②得：，可见，重物振动时的受力符合简谐运动的条件
类型题： 简谐运动中各物理量的变化特点
简谐运动涉及到的物理量较多，但都与简谐运动物体相对平衡位置的位移x存在直接或间接关系
【例题】弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中：
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小。
★解析：在振子向平衡位置运动的过程中，易知x减小，根据上述关系很容易判断，回复力F、加速度a减小；速度V增大。即D选项正确
【例题】有一弹簧振子做简谐运动，则（ CD ）
A．加速度最大时，速度最大
B．速度最大时，位移最大
C．位移最大时，回复力最大
D．回复力最大时，加速度最大
类型题： 必须弄清简谐运动的对称性
简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。
理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。
【例题】如图所示。弹簧振子在振动过程中，振子经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0.2s，从b再回到a的最短时间为0.4s，则该振子的振动频率为：( B )
b
c
a
d
Va
Vb
A、1Hz; B、1.25Hz; C、2Hz; D、2.5Hz。
★解析：振子经a、b两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判断a、b两点对平衡位置（O点）一定是对称的，振子由b经到a所用的时间也是0.2s，由于“从b再回到a的最短时间是0.4s”，说明振子运动到b后是第一次回到a点，且b不是振子的最大位移。设图中的c、d为最大位移处，则振子从b经c到b历时0.2s，同理，振子从a经d到a，也历时0.2s，故该振子的周期T=0.8S，根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为1.25Hz。故本题答。
【例题】如图所示，一轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于a位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b位置。现将重球（视为质点）从高于位置的c位置沿弹簧中轴线自由下落，弹簧被重球压缩到最低位置d。以下关于重球运动过程的正确说法应是
a
b
C
d
A、重球下落压缩弹簧由a至d的过程中，重球做减速运动。
B、重球下落至b处获得最大速度。
C、重球下落至d处获得最大加速度。
D、由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量。
★解析：重球由c至a的运动过程中，只受重力作用，做匀加速运动；由a至b的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力大于弹力，做加速度减小的加速运动；由b至d的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力小于弹力，做加速度增大的减速运动。所以重球下落至b处获得最大速度，由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量，即可判定B、D正确。
C选项很难确定是否正确，但利用弹簧振子的特点就可非常容易解决这一难题。重球接触弹簧以后，以b点为平衡位置做简谐运动，在b点下方取一点a，，使ab=a，b，根据简谐运动的对称性，可知，重球在a、a，的加速度大小相等，方向相反，如图4所示。而在d点的加速度大于在a，点的加速度，所以重球下落至d处获得最大加速度，C选项正确
【例题】如图所示，一个轻弹簧竖直固定在水平地面上，将一个小球轻放在弹簧上，M点为轻弹簧竖直放置时弹簧顶端位置，在小球下落的过程中，小球以相同的动量通过A、B两点，历时1s，过B点后再经过1s，小球再一次通过B点，小球在2s内通过的路程为6cm，N点为小球下落的最低点，则小球在做简谐运动的过程中：（1）周期为 ；（2）振幅为 ；（3）小球由M点下落到N点的过程中，动能EK、重力势能EP、弹性势能EP’的变化为 ；（4）小球在最低点N点的加速度大小__ _ _重力加速度g（填>、＝、<）。
M
A
O
B
N
★解析：（1）小球以相同动量通过A、B两点，由空间上的对称性可知，平衡位置O在AB的中点；再由时间上的对称性可知，tAO=tBO=0.5s， tBN = tNB =0.5s，所以tON＝tOB＋tBN＝1s，因此小球做简谐运动的周期T＝4tON=4s。
（2）小球从A经B到N再返回B所经过的路程，与小球从B经A到M再返回A所经过的路程相等。因此小球在一个周期内所通过的路程是12cm，振幅为3cm。
（3）小球由M点下落到N点的过程中，重力做正功，重力势能减少；弹力做负功，弹性势能增加；小球在振幅处速度为零，在平衡位置处速率最大，所以动能先增大后减小。
（4）M点为小球的振幅位置，在该点小球只受重力的作用，加速度为g，方向竖直向下，由空间对称性可知，在另一个振幅位置（N点）小球的加速度大小为g，方向竖直向上。
解答：4s；3cm；EK先增大后减小，EP减少，EP’ 增加；＝。
【例题】 弹簧振子在光滑的水平面上作简谐振动，周期是2.4s。当振子通过平衡位置向右运动时刻开始计时。有下列说法：①经过1.6s，振子向右运动，速度正在不断变小；②经过1.6s，振子向左运动，速度正在不断变小；③经过1.9s，振子向右运动，回复力正在不断变小；④经过1.9s，振子向左运动，回复力正在不断变大。以上说法中正确的是（ ）
A．只有①、③正确B．只有②、④正确
C．只有①、④正确 D．只有②、③正确
★解析：据振的规律可判断D是正确的。
答案：D
类型题： 必须弄清简谐运动的周期性
【例题】一弹簧振子作简谐振动，周期为T，则：( C )
A．若t时刻和时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则一定等于T的整数倍
B．若t时刻和时刻振子运动位移的大小相等，方向相反，则一定等于的整数倍
C．若时刻振子运动的加速度一定相等
D．若时刻弹簧的长度一定相等
类型题： 振动图象的应用
【例题】一弹簧振子做简谐运动，振动图象如图6—3所示。振子依次振动到图中a、b、c、d、e、f、g、h各点对应的时刻时，（1）在哪些时刻，弹簧振子具有：沿x轴正方向的最大加速度；沿x轴正方向的最大速度。（2）弹簧振子由c 点对应x轴的位置运动到e点对应x轴的位置，和由e点对应x轴的位置运动到g点对应x轴的位置所用时间均为0.4s。弹簧振子振动的周期是多少？（3）弹簧振子由e点对应时刻振动到g点对应时刻，它在x轴上通过的路程是6cm，求弹簧振子振动的振幅。
★解析：（1）弹簧振子振动的加速度与位移大小成正比，与位移方向相反。振子具有沿x轴正方向最大加速度，必定是振动到沿x轴具有负向的最大位移处，即图中f点对应的时刻。
振子振动到平衡位置时，具有最大速度，在h点时刻，振子速度最大，再稍过一点时间，振子的位移为正值，这就说明在h点对应的时刻，振子有沿x轴正方向的最大速度。
（2）图象中c点和e点，对应振子沿x轴从+7cm处振动到－7cm处。e、f、g点对应振子沿x轴，从－7cm处振动到负向最大位移处再返回到－7cm处。由对称关系可以得出，振子从c点对应x轴位置振动到g点对应x轴位置，振子振动半周期，时间为0.8s，弹簧振子振动周期为T=1.6s。
（3）在e点、g点对应时间内，振子从x轴上－7cm处振动到负向最大位移处，又返回－7cm处行程共6cm，说明在x轴上负向最大位移处到－7cm处相距3cm，弹簧振子的振幅A=10cm。
解答：（1）f点；h点。（2）T=1.6s。（3）A=10cm。
【例题】如下图中，若质点在A对应的时刻，则其速度v、加速度a的大小的变化情况为：（ A ）
A．v变大，a变小 B．v变小，a变小
C．v变大，a变小 D．v变小，a变大
类型题： 单摆周期公式的应用
【例题】一个单摆，如果摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减为原来的1/2则单摆的( )
A．频率不变，振幅不变
B．频率不变，振幅改变
C．频率改变，振幅不变
D．频率改变，振幅改变
★解析：（1）决定单摆周期(频率)的是摆长及当地的重力加速度，单摆的周期与质量无关，与单摆的运动速度也无关。所以不能选C，D。
（2）决定振幅的是振动的能量，在平衡位置（即最低点）时的动能，当m增为原来的4倍，速度减为原来的1/2时，动能不变，最高点的的重力势能也不变。但是由于第二次摆的质量增大了，势能EP= mgh不变，m大了，h就一定变小了，也就是说，振幅减小了。因此正确答案应选B。
答案:B
误点警示：
误解一：因为单摆的周期（频率）是由摆长L和当地重力加速度g决定的，所以频率是不变的，而从动能公式上看质量变为原来的4倍，速度变为原来的1/2，结果动能不变，既然动能不变，（指平衡位置动能也就是最大动能），由机械能守恒可知，势能也不变。所以振幅也不变，应选A。
误解二：认为速度减为原来的1/2，即运动变慢了，所以频率要变，而振幅与质量、速度无关所以振幅不变，应选C。
误解三：认为频率要改变，理由同错解二。而关于振幅的改变与否，除了错解一中所示理由外，即总能量不变，而因为重力势能EP= mgh，EP不变，m变为原来的4倍，h一定变小了，即上摆到最高点的高度下降了，所以振幅要改变，应选D。
答案：C
【例题】单摆的周期在下述情况下会变大的有：（）
A、摆锤质量增大
B、摆长减小
C、单摆从赤道移到北极
D、单摆从海平面移到高山
分析：由单摆周期公式可以看出：周期T只与及g有关，与摆锤质量无关，从赤道到北极，g增大，从海平面到高山，g减小，所以要使周期变大。应选D。
答：D
【例题】已知某摆长为1m的单摆在竖直平面内做简谐运动，则：（1）该单摆的周期为 ；（2）若将该单摆移到表面重力加速度为地球表面重力加速度1／4倍的星球表面，则其振动周期为 ；（3）若在悬点正下方摆长中点处钉一光滑小钉，则该小球摆动的周期为 。
★解析：第一问我们可以利用单摆周期公式计算出周期；第二问是通过改变当地重力加速度来改变周期的。只要找出等效重力加速度，代入周期公式即可得解。第三问的情况较为复杂，此时小球的摆动已不再是一个完整的单摆简谐运动。但我们注意到，小球在摆动过程中，摆线在与光滑小钉接触前后，分别做摆长不同的两个简谐运动，所以我们只要求出这两个摆长不同的简谐运动的周期，便可确定出摆动的周期。
解答：（1）依据，可得T=2s。
（2）等效重力加速度为，则依据
，可得s。
（3）钉钉后的等效摆长为：半周期摆长为L1＝1m，另半周期摆长为L2＝0.5m。
则该小球的摆动周期为：
s
说明：单摆做简谐运动的周期公式是我们学习各种简谐运动中唯一给出定量关系的周期公式。应该特别注意改变周期的因素：摆长和重力加速度。例如：双线摆没有明确给出摆长，需要你去找出等效摆长；再例如：把单摆放入有加速度的系统中，等效重力加速度将发生怎样的变化。比如把单摆放入在轨道上运行的航天器中，因为摆球完全失重，等效重力加速度为0，单摆不摆动。把单摆放入混合场中，比如摆球带电，单摆放入匀强电场中，这时就需要通过分析回复力的来源从而找出等效重力加速度。这类问题将在电学中遇到
【例题】如图，两个相同的弹性小球，分别挂在不能伸长的细绳上，开始时两绳互相平行，两球在同一水平线上且互相接触，第二球的摆长是第一球摆长的 4 倍。现把第一球拉开一个很小的角度后释放并开始计时，则在第一个摆球固有周期的两倍时间内，两球碰撞的次数为 ( )
A．2次 B．3次
C．4次 D．5次
★解析：由单摆的周期公式，，可知，据时间相等，会发生3交次碰撞。
答案：B
等效单摆
等效单摆分等效摆长单摆、等效重力加速度单摆，以及摆长、重力加速度双重等效单摆三种情况。等效单摆的周期公式为。
1、等效摆长单摆：等效摆长不再是悬点到摆球球心的距离，但g′＝g。摆长L′是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，摆动圆弧的圆心即为等效单摆的悬点。
【例题】例如，在图中，三条长度均为L的绳子共同系住一个密度均匀的小球m，球直径为d。若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，摆动圆弧的圆心在O1处，故等效摆长为
，周期为;
若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为，周期
【例题】双线摆由两根长为L的细线下端栓一质量为m的小球构成，如图所示，两线夹角为2α，今使摆球在垂直纸面的平面内做小幅度摆动，求其周期。
★解析：当双线摆在垂直纸面的平面内做小幅度摆动时可以等效为以AB的中心为悬点， OO′长为摆长的单摆，其等效摆长为L′＝Lcsα，故此摆周期为：
2、等效重力加速度单摆：该类单摆的等效重力加速度g′≠g，但摆长仍为悬点到球心的距离。等效重力加速度g′与单摆所在的空间位置、单摆系统的运动状态和单摆所处的物理环境有关。
（1）公式中的g′由单摆所在的空间位置决定，由g′＝G知，g′随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8m/s2。
【例题】有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期为T0，当气球停在某一高度时，测得该气球的周期为T。求该气球此时离海平面的高度h。地球半径为R。
★解析：根据单摆的周期公式可知：，（其中l为摆长，g0和g分别是两地的重力加速度）；根据万有引力与重力的关系公式可知：（其中G是引力常量，M是地球的质量）由以上各式解得：
（2）g′由单摆系统的运动状态决定，“等效重力加速度”等于摆球处于平衡位置不振动时，等效摆长“绳子”上拉力对摆球产生的加速度。具体求法：等效重力加速度g′等于摆球相对系统静止在平衡位置时摆线的张力（视重）T与摆球质量m的比值，即g′＝。
【例题】如图2所示，将摆长为L的单摆放在一升降机中，若升降机以加速度a向上运加速运动，求单摆的摆动周期。
图2
★解析：单摆的平衡位置在竖直位置，若摆球相对升降机静止，则单摆受重力mg和绳拉力F，根据牛顿第二定律：F－mg＝ma，此时摆球的视重mg′＝F＝m(g＋a)，所以单摆的等效重力加速度g′＝F/m＝g＋a ，因而单摆的周期为
【例题】如图3（a）所示，长为L的轻绳一端系一质量为m的小球，挂于小车支架上的O点，当小车以加速度a向右加速运动时，将小球拉离平衡位置（＜10°）由静止释放，求其周期。
★解析：当小球相对小车静止时，摆球的平衡位置偏离竖直θ角，如图3（b）中A点为摆球的平衡位置，摆球相对车静止在平衡位置时，绳子拉力为F，则由牛顿第二定律：
图3（b）
Fcsθ＝mg①
Fsinθ＝ma②
解得F＝m
悬线拉力产生的加速度，即等效重力加速度
g′＝，所以：
（3）g′还由单摆所处的物理环境决定，如带点小球做成单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有一个等效重力加速度的问题。在这类问题中，除了重力，拉力，以外的力为恒力时，采用等效法，将重力和恒力的合力等效为重力。
【例题】如图4所示，摆长为L的单摆，小球质量为m，带正电荷，电荷量为 q，处在水平向右的场强为E的匀强电场中，现将小球拉离平衡位置（＜10°）由静止释放，求其周期。
★解析：由平衡条件，当小球静止在平衡位置时，摆线的张力，等效重力加速度g′＝/m。所以：T＝
但再看这种情况，，当摆球受到除重力拉力以外的其它力总是与速度垂直时，等效重力加速度仍不变。所以T不变。
【例题】如图所示，摆球的质量为m，半径为r，带正电荷，用长为L的细线把摆球吊在悬点O处做成单摆，在悬点O处固定着另一个正点电荷，则这个单摆的周期为（）
A． B．
C．大于
D．小于
★解析：单摆的周期与重力加速度有关，其根本原因是重力的分力提供回复力。题中单摆在振动过程中要受到天花板上带正电小球的斥力，但是两球之间的斥力方向与运动方向总是垂直的，不影响回复力，故单摆的周期不变
【例题】如图所示，单摆甲放在空气中，周期为T甲，单摆乙带正电，放在匀强磁场中，周期为T乙， 单摆丙带正电，放在匀强电场中，周期为T丙， 单摆丁放在静止在水平面上的光滑斜面上，周期为T丁，那么（ ）
A．T甲> T乙> T丙> T丁;
B．T乙> T甲=T丙> T丁;
C．T丙> T甲> T丁> T乙;
D．T丁>T甲= T乙> T丙;
★解析：根据等效重力加速度的求法：平衡位置处，且相对静止时受力情况可知：对乙有F乙=mg=mg’(注意相对静止时，电荷不受洛仑兹力)，即对丙有：F丙=mg＋Eq=mg’，
即：
对丁有：F丁=mgsinα=mg’ ，
即：由此可知D正确
3、摆长、加速度双等效单摆：
【例题】如图是记录地震装置的水平摆示意图，摆球m固定在边长L、质量可忽略的等边三角形顶点A处，它的对边BC与竖直线成不大的角θ，摆球可沿固定轴BC摆动，则摆球做微小振动的周期是多少？
★解析：当m做微小摆动时，实际上围绕BC中点O运动，所以等效摆长应是L′＝Lsin60°＝L。
当摆球处于平衡位置且不摆动时，沿OA方向的等效拉力F＝mgsinθ＝mg′，即 g′＝gsinθ。故摆球的振动周期
【例题】由长度依次为L和2L的AC和BC两根细绳悬挂着小球G，如图所示，每根细绳跟竖直方向的夹角均为30°。当该小球向纸外做微小摆动时，其摆动周期为多少？
★解析：（连接AB，则AC与AB垂直，则AC为等效摆长，再找等效重力加速度就可以了。）
二、单摆模型在其它问题中的应用
【例题】如图所示，A、B为固定在轻杆中点和一个端点的两个小球，杆可绕O点无摩擦地转动，将轻杆从图中水平位置由静止释放，在轻杆下落到竖直位置的过程中（ ）
A、两球各自的机械能均守恒
B、杆、球组成的系统机械能守恒
C、A球机械能的增加等于B球机械能的减少
D、A球机械能的减少等于B球机械能的增加
★解析：构建单摆物理模型，令OA和OB各构成一个单摆如图6（b）所示，
图6（b）
则A球的周期比B球的周期小，A球先摆到竖直位置，由此可推知，在本题中A球通过杆对B球做正功，A球的机械能减少，B球的机械能增加，杆、球系统的机械能守恒。故选项B、D正确
类型题： 根据共振的条件分析求解相关问题
【例题】如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有 a、b、c、d、e五个单摆，让a摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。下列说法中正确的有：（ AB ）
A．各摆的振动周期与a摆相同
B．各摆的振幅大小不同，c摆的振幅最大
C．各摆的振动周期不同，c摆的周期最长
D．各摆均做自由振动
【例题】如图所示。曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2Hz。现匀速转动摇把，转速为240r/min。（1）当振子稳定振动时，它的振动周期是多大？（2）转速多大时，弹簧振子的振幅最大？
类型题： 波动图象的分析
【例题】一简谐横波沿x轴正方向传播，某时刻其波形如图所示。下列说法正确的是
A 由波形图可知该波的波长
B 由波形图可知该波的周期
C 经1/4周期后质元P运动到Q点
D 经1/4周期后质元R的速度变为零
★解析： 由波的图象的物理意义，可直接得出波长为4cm ，A项正确；波传递的是能量和振动形式，并不发生质点的迁移，质点只能在各自的平衡位置振动，C错误，D正确；波长、波速和周期（频率）三个量中要知道两个才能求出第三个，B项错误。
答案：AD
类型题： 波长、波速和周期（频率）的关系
【例题】一简谐横波在某一时刻的波形图如图所示，图中位于a、b两处的质元经过四分之一周期后分别运动到、处。某人据此做出如下判断：①可知波的周期，②可知波的传播速度，③可知的波的传播方向，④可知波的波长。其中正确的是（ ）
A．①和④B．②和④
C．③和④D．②和③
★解析：由题意b质点向下振动，可判断波向右传播，从图象上可得波的波长为4m，选答案C。
答案：C
【例题】一列沿x轴正方向传播的简谐横波，t=0时刻的波形如图中实线所示，t=0.2s时刻的波形如图中的虚线所示，则
Ａ．质点P的运动方向向右
Ｂ．波的周期可能为0.27s
Ｃ．波的频率可能为1.25Hz
Ｄ．波的传播速度可能为20m/s
★解析：如果波向右传播，有（n+1/4）T=0.2s， 如果波向左传播，有有（n+3/4）T=0.2s，从波的图象可得，结合，可判断BD错误，C正确。
答案：C
【例题】A、B两列波在某时刻的波形如图所示，经过t＝TA时间(TA为波A的周期)，两波再次出现如图波形，则两波的波速之比VA：VB可能是
(A)1：3 (B)1：2 (C)2：1 (D)3：1
★解析：由图可知，两波再次出现原波形时，A经历一个周期TA，B经历n（n=1，2，3，…。）个周期，有nTB=TA由，可得：，则有答案ABC正确。
答案：ABC
【例题】一列简谐横波在x轴上传播，某时刻的波形图如图所示，a、b、c为三个质元，a正向上运动。由此可（ ）
A．该波沿x轴正方向传播
B．c正向上运动
C．该时刻以后，b比c先到达平衡位置
D．该时刻以后，b比c先到达离平衡位置最远处
★解析：A质点向上振动，由上下坡法判断该波的传播方向沿x轴正方向，A正确；在相邻的半个波长内离波源近的质点先达最大位置（或平衡位置），C正确
答案：AC
【例题】如图6－11所示，一列在x轴上传播的横波t0时刻的图线用实线表示，经Δt＝0.2s时，其图线用虚线表示。已知此波的波长为2m，则以下说法正确的是：（ ）
A．若波向右传播，则最大周期为2s
B．若波向左传播，则最大周期为2s
C．若波向左传播，则最小波速是9m/s
D．若波速是19m/s，则波的传播方向向左
★解析：首先题目中没有给出波的传播方向，因而应分为两种情况讨论。例如波向右传播，图中实线所示横波经过0.2s传播的距离可以为0.2m， (0。2+λ)m， (0.2+2λ)m……，其波形图均为图中虚线所示。因而不论求周期最小值还是求周期的最大值，都可以先写出通式再讨论求解。
解答：如果波向右传播，传播的距离为（0.2+nλ）m（n＝1，2，3……），则传播速度为m/s，取n=0时对应最小的波速为1m/s，根据周期，得最大的周期为2s。因此选项A是正确的；
如果波向左传播，传播的距离为（nλ－0.2） m（n=1，2，3……），则传播速度为m/s ，取n=1时对应最小的波速为9m/s，根据周期，得最大的周期为s。因此选项C是正确的，B是错误的；在向左传播的波速表达式中，当取n=2时，计算得波速为19 m/s，因此选项D是正确的。
说明：1．在已知两个时刻波形图研究波的传播问题时，因为波的传播方向有两种可能，一般存在两组合理的解。又由于波的传播在时间和空间上的周期性，每组解又有多种可能性。为此，这类问题的解题思路一般为：先根据波的图象写出波的传播距离的通式，再根据波速公式列出波速或时间的通式，最后由题目给出的限制条件，选择出符合条件的解。
2．本题还可以直接考虑：例如对选项A：因为波长一定，若周期最大，则波速必最小，波在相同时间内（0.2s）传播距离必最短，即为0.2m。由此可知最小波速为1m/s，从而依据波速公式可求出最大周期为2s。其它各选项同理考虑。这样做的主要依据是波是匀速向前传播的，紧抓波速、传播距离、传播时间三者的关系，其实波速公式也是这三者关系的一个体现
【例题】绳中有列正弦横波，沿x轴传播，图中6—12中a、b是绳上两点，它们在x轴方向上的距离小于一个波长。a、b两点的振动图象如图6－13所示。试在图6－12上a、b之间画出t=1.0s时的波形图。
★解析：首先我们先由振动图象确定t=1.0s时a、b 两质点在波形图上的位置以及振动方向，然后在一列已经画好的常规波形图上按题意截取所需波形既可。因为题中没给波的传播方向，所以要分两种情况讨论。
解答：
由振动图象可知：t=1.0s时，质点a处于正向最大位移处（波峰处），质点b处于平衡位置且向下振动。先画出一列沿x轴正方向传播的波形图，如图6－14所示。在图左侧波峰处标出a点。b点在a的右测，到a点距离小于1个波长的平衡位置，即可能是b1、b2两种情况。而振动方向向下的点只有b2。题中所求沿x轴正方向传播的波在a、b之间的波形图即为图6－14中ab2段所示。画到原题图上时波形如图6－15甲（实线）所示。
同理可以画出波沿x轴负方向传播在a、b之间的波形图，如图6－15乙（虚线）所示。
类型题： 波速、波长、频率、和介质的关系
【例题】简谐机械波在给定的媒质中传播时，下列说法中正确的是（ ）
A．振幅越大，则波传播的速度越快；
B．振幅越大，则波传播的速度越慢；
C．在一个周期内，振动质元走过的路程等于一个波长；
D．振动的频率越高，则波传播一个波长的距离所用的时间越短。
★解析：波在介质中传播的快慢程度称为波速，波速的大小由介质本身的性质决定，与振幅无关，所以A、B二选项错。由于振动质元做简谐运动，在一个周期内，振动质元走过的路程等于振幅的4倍，所以C选项错误；根据经过一个周期T ，振动在介质中传播的距离等于一个波长，所以振动的频率越高，则波传播一个波长的距离所用的时间越短，即D选项正确。
【例题】关于机械波的概念，下列说法中正确的是（ ）
（A）质点振动的方向总是垂直于波的传播方向
（B）简谐波沿长绳传播，绳上相距半个波长的两个质点振动位移的大小相等
（C）任一振动质点每经过一个周期沿波的传播方向移动一个波长
（D）相隔一个周期的两个时刻的波形相同
★解析：质点振动的方向可以与波的传播方向垂直（横波），也可以与波的传播方向共线（纵波），故A选项错误．
相距一个波长的两个质点振动位移大小相等、方向相同，相距半个波长的两个质点振动位移大小相等、方向相反， B选项正确．这是由于相距半个波长的两个质点的振动状态相差半个周期，所以它们的位移大小相等、方向相反．
波每经过一个周期就要向前传播一个波长，但介质中的各个质点并不随波向前迁移，只是在各自的平衡位置附近振动，向前传播的是质点的振动状态．所以C选项错误．
在波的传播过程中，介质中各点做周期性的振动，相隔一个周期，各质点的振动又回到上一周期的振动状态．因此，相隔一个周期的两时刻波形相同．故D选项正确．
波动是振动的结果，波动问题中很多知识点与振动有关系，因此要搞清波动与振动的联系与区别，在解决问题时才能抓住关键．
类型题： 判定波的传播方向与质点的振动方向
方法一：若知道某一时刻t的波形曲线，将波形曲线沿波的传播方向平移一微小的距离（小于），它便是t+t时刻的波形曲线，知道了各个质点经过t时间到达的位置，质点的振动方向就可以判断出来了。
方法二：通过波的传播方向判断处波源的位置，在质点A靠近波源一侧附近（不超过）图象上找另一质点B，若质点B在A的上方，则A向上运动，若B在A的下方，则A向下运动。即沿波的传播方向，后振动的质点总是追随先振动的质点来运动的。
方法三：运用逆向复描波形法解答十分简捷。即，手握一支笔，逆着波的传播方向复描已知波形，凡复描时笔尖沿波形向上经过的质点，此刻均向上运动；凡复描时笔尖沿波形向下经过的质点，此刻均向下运动(波峰和波谷点除外)。
【例题】一简谐横波在x轴上传播，在某时刻的波形如图所示。已知此时质点F的运动方向向下，则（ ）
A．此波朝x轴负方向传播
B．质点D此时向下运动
C．质点B将比质点C先回到平衡位置
D．质点E的振幅为零
★解析：本题主要考查对波的传播方向与波上某质点运动方向间的关系的推理判断，以及对波形图的想像能力。
对于本题，已知质点F向下振动，由上述方法可知，此列波向左传播。质点B此时向上运动，质点D向下运动，质点C比B先回到平衡位置。在此列波上所有振动质点的振幅都是相等的。故只有A、B选项正确。
【例题】简谐横波某时刻的波形图如图10所示。由此图可知（ ）
A．若质点a向下运动，则波是从左向右传播的
B．若质点b向上运动，则波是从左向右传播的
C．若波从右向左传播，则质点c向下运动
D．若波从右向左传播，则质点d向上运动
★解析：运用上述逆向复描波形法可立即判定出B、D正确。
类型题： 已知波速V和波形，作出经Δt的波形
方法一、平移法：先算出经Δt时间波传播的距离Δx=VΔt，再把波形沿波的传播方向平移Δx即可。因为波动图象的重复性，若已知波长λ，则波形平移n个λ时波形不变，当Δx=nλ+x时，可采取去nλ留零x的方法，只需平移x即可。
方法二、特殊点法：在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷）点，先确定这两点的振动方向，再看Δt=nT+t，由于经nT波形不变，所以也采取去整nT留零t的方法，分别作出两特殊点经t后的位置，然后按正弦规律画出新波形。
【例题】一列简谐横波向右传播，波速为v。沿波传播方向上有相距为L的P、Q两质点，如图所示。某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰，经过时间t，Q质点第一次运动到波谷。则t的可能值（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
★解析：解答本题，必须做出在题设条件下可能的波的图形，然后才能作出判定。题中指出：“某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰”，符合这一条件的波形图有4个，如图15所示。显然，Q质点第一次运动到波谷所需的时间t的可能值有4个。故D选项正确。
类型题： 已知波的图象，求波速
【例题】一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点，相距14.0 m，b点在a点的右方，如图16所示。当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动，经过1.0s后，a点的位移为零，且向下运动，而b点的位移达到负极大，则这简谐横波的波速可能等于( )
A．4.67m/s B．6m/s C．10m/s D．14m/s
★解析：本题考查振动以及波动的传播规律，只有理解波动(图象)传播的规律，准确把握波动过程中的图象关于时间和空间的周期性，才能作出确切和完整的判断。
由于波向右传播，据“a点位移达正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动”，可画出此时a、b间的最简波形，如图17所示。
因未明确a、b距离与波长的约束关系，故a、b间的距离存在“周期性”。即
(n1+ (n1=0，1，2，……)
因所给定时间与周期的关系未知，故运动时间也存在“周期性”。即
(n2=0，1，2，…)
因此可能的波速为
当n2=0，n1=0时，V=4.67m/s;
当n2=0，n1=1时，V=2m/s;
(n2=0，V随n1增大还将减小。)
当n2=1，n1=0时，V=23.3m/s;（n1=0，V随n2的增大而增大。）
当n2=1，n1=1时，V=10m/s;
据以上计算数据，不可能出现B和D选项的结果，故选项A、C正确。
【例题】一列横波沿直线在空间传播，某一时刻直线上相距为d的M、N两点均处在平衡位置，且M、N之间仅有一个波峰，若经过时间t，N质点恰好到达波峰位置，则该列波可能的波速是多少？
★解析：本题没有给定波的传播方向，仅告诉我们在某一时刻M、N两点均处在平衡位置，且M、N之间仅有一个波峰．由此我们可以推想，处在直线MN上的各个质点在该时刻相对平衡位置的位移可能会有以下四种情况，即波的图像有以下四种图形（如图18中A、B、C、D图，各图中均为左端为M，右端为N）：
若波的传播方向由M到N，那么：
在A图中，经过时间t，N恰好到达波峰，说明时间t内波向右前进的距离，且，所以波速．
在B图中，经过时间t，波峰传到N点，则波在时间t内向右前进的距离，且，所以波速．
在C图中，经过时间t，波向右前进的距离，且，所以波速．
在D图中，经过时间t，波向右前进的距离，且，所以波速．
若波的传播方向从N到M，那么：
在A图中，质点N此时要向下振动，经过时间t，N到达波峰，则时间，在时间t内波向左前进的距离，所以波速．
在B图中，经过时间t， N到达波峰，则时间，在此时间内波向左前进的距离，所以波速．
在C图中，波在时间t内向左前进的距离，且，所以波速
．
在D图中，质点N经过变为波峰，所以，在时间t内波向左前进的距离
，所以波速．
所以该列波可能的波速有五种、、、、．
其实上述解决问题的方法过于程序化，如果能够判断出八种情况下该时刻波形图上的波峰在传播方向上到N点的距离S，波速v就等于．例如：最后一种情况中，波峰在传播方向上到N点的距离，所以波速．其它情况读者可自行解决
类型题： “前锋波”问题
“前锋波”是指在机械波传播过程中最前面的波形。
“前锋波”具有下列特点：
（1）在传播过程中，最前面的波形不变；
（2）最前面质点的起振方向跟波源的起振方向相同；
（3）波源振动一个周期，机械波将添加一个波长的波形；
（4）波源起振方向向上，则最前面的一个波长内的波形，前半个在x轴上方，后半个在x轴下方；否则相反。
（5）波形向前传播为匀速运动，在一个周期内，传播一个波长的距离。
1。 “前锋波”的形成
【例题】一质点从t＝0时刻开始以坐标原点O为中心在y轴上做简谐运动，其振动图象如图1所示，0.3s后，此质点停止运动。振动在介质中产生的简谐横波沿x轴正方向传播，波速为1.0m/s，此质点停止振动后，再经过0.2s后的波形图是（）
★解析：由振动图象可知，振源振动了周期就停止运动，因此所形成的波有个波长。显然选项A错误。由于振源开始向下运动，根据“前锋波”的特点（4）知，最前面的半个波长的波形在x轴下方，所以B、D都错误，选C。
2。 “前锋波”的传播
解答“前锋波”的传播问题主要是根据波形匀速传播和最前面波形不变的特点，运用“平移法”进行计算。
【例题】一列简谐横波，在t＝0时的波形图如图2所示，P、Q两点的x坐标分别为－1m、－7m，波的传播方向由右向左（即沿x轴负方向），已知t＝0.7s时，P质点第二次出现波峰，则以下叙述正确的是（）
图2
A．t＝1.2s时，Q质点第一次出现波峰
B．t＝0.9s时，Q质点第一次出现波峰
C．波源的起振方向一定沿y轴正方向
D．质点Q位于波峰时，质点P正好位于波谷
★解析：根据“前锋波”特点（1）知，P点第一次出现波峰，应是t＝0时处于x＝2m处的波峰传播到P处，传播了个波长的距离，用时为个周期。当P点第二次出现波峰时，再用时一个周期，所以有
，
解得 T＝0.4s
波速
Q点第一次出现波峰是t＝0时刻处于x＝2m处的波峰匀速传播至x＝－7m处，所以
，
B选项正确。
由所给的波的图象和“前锋波”特点（4）可知，波源的起振方向沿y轴正方向，C选项正确。
由于 ，
所以D选项也正确。
3。 “前锋波”的叠加
【例题】在一条弦线的两端，各发生一个如图3所示的横脉冲，它们均沿弦线传播，速度相等，传播方向相反。在它们传播的过程中，可能出现的脉冲图是（）
图3
ABCD
★解析：在两脉冲前端刚好相遇的瞬间，即出现A的波形。两脉冲继续向各自传播方向前进，当它们的前半个波形重叠时，重叠区域各个质点的位移矢量和为零，即出现D所示波形。再继续传播，当两脉冲完全重合时，每个质点的位移应为只有一列波时的位移的2倍，B不正确。从相遇到分离的整个过程中均不会出现C所示的波形。正确答案为A、D。
由例3可知，几列波相遇时，能够保持各自的运动状态，继续传播。在它们重叠的区域里，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。需要注意的是，D选项图象中中间一段位移虽然为零，但这些质点的速度并不为零
类型题： 波动图象与振动图象的关系
【例题】一列简谐横波沿x 轴负方向传播，图1是t =1s 时的波形图，图2是波中某振动质元位移随时间变的振动图线（两图用同一时间起点），则图2可能是图1中哪个质元的振动图线？
A．x=0处的质元 B．x=1m处的质元
C．x=2m处的质元 D．x=3m处的质元
★解析： 由图象2可右该项振动质点是从正的最大位置开始振动，应该是x=3m处的质元，选D答案。
答案：D（这题应选A，可能答案错。）
【例题】一列简谐机械横波某时刻的波形如图所示，波源的平衡位置坐标为。当波源质点处于其平衡位置上方且向下运动时，介质中平衡位置坐标的质点所处位置及运动情况是（）
A．在其平衡位置下方且向上运动
B．在其平衡位置上方且向下运动
C．在其平衡位置上方且向上运动
D．在其平衡位置上方且向下运动
★解析：X=0处的质点和x=2处的质点是两个反相质点（相隔半个波长，运动情况总相反），选答案A。
【例题】如图所示，甲为某一简谐横波在t=1.0s时刻的图象，乙为参与波动的某一质点的振动图象。
（1）两图中的AA’、OC各表示什么物理量？量值各是多少？
（2）说明两图中OA ’B段图线的意义？
（3）该波的波速为多大？
（4）画出再经过0.25s后的波动图象和振动图象。
（5）甲图中P点此刻的振动方向。
★解析：依据波动图象和振动图象的物理意义来分析判断。注意振动图象和波动图象的区别与联系。
解答：（1）甲图中的AA’表示振幅A和x=1m处的质点在t=1.0s时对平衡位置的位移，振幅A=0.2m，位移y=-0.2m；甲图中OC表示波长，大小=4m。乙图中AA’即是质点振动的振幅，又是t=0.25s时质点偏离平衡位置的位移，振幅A=0.2m，位移y=-0.2m;OC表示质点振动的周期，大小T=1.0s。
（2）甲图中的OA’B段图线表示O到B之间的各质点在t=1.0s时相对平衡位置的位移，OA间各质点正向着平衡位置运动，AB间各质点正在远离平衡位置运动。乙图中的OA’B段图线表示该质点在t=0~0.5s时间内振动位移随时间变化的情况，在0~0.25s内该质点正远离平衡位置运动，在0.25s~0.2s内该质点正向平衡位置运动。
（3）由v=/t可得波速v=m/s= 4m/s
（4）再过0.25s，波动图象向右平移x=vt=0.254m=1m=/4;振动图象在原有的基础上向后延伸T/4，图象分别如图6-11丙、丁所示
（5）已知波的传播方向（或某质点的振动方向）判定图象上该时刻各质点的振动方向（或波的传播方向），常用方法如下：
a．带动法：根据波动过程的特点，利用靠近波源的点带动它邻近的离波源稍远的点的特性，在被判定振动方向的点P附近图象上靠近波源一方找一点P’，若在P点的上方，则P’带动P向上运动，如图所示；若P’在P点的下方，则P’带动P向下运动。
b．微平移法：将波形沿波的传播方向做微小移动x</4，根据质点P相对平衡位置位移的变化情况判断质点P的运动方向。
c．口诀法：沿波的传播方向看，“上山低头，下山抬头”，其中“低头”表示质点向下运动，“抬头” 表示质点向上运动。
故P向上振动。
说明：波动图象和振动图象的形状相似，都是正弦或余弦曲线，其物理意义有本质的区别，但它们之间又有联系，因为参与波动的质点都在各自的平衡位置附近振动，质点振动的周期也等于波动的周期
类型题： 能确定振动加强和振动减弱位置
【例题】如图所示，在半径为R=45m的圆心O和圆周A处，有两个功率差不多的喇叭，同时发出两列完全相同的声波，且波长=10m。若人站在B处，正好听不到声音；若逆时针方向从B走到A，则时而听到时而听不到声音。试问在到达A点之前，还有几处听不到声音？
★解析：因为波源A、O到B点的波程差为r=r1—r2=R=45m=，所以B点发生干涉相消现象。
在圆周任一点C上听不到声音的条件为：
r = r1—r2 =（2k+1）=5（2k+1）
将r2=R=45m代入上式得：r1=5（2k+1）+ r2
所以：r1=10k+50 或 r1= —10k+40
而0 < r1 < 90m，所以有：0 <（10k+50） < 90m 和 0 <（—10k+40） < 90m
求得 :—5 < k < 4
即k = —4、—3、—2、—1、0、1、2、3，所以在到达A点之前有八处听不到声音。
这题直接说8次也可以。
类型题： 能正确作出两列波叠加后的波形图
确定两列波相遇后的波形问题的思路是首先根据波的独立传播原理分别画出给定时刻的两列波的波形；再根据波的叠加原理，对各个质点的位移进行合成，画出叠加以后的波形图。
【例题】如图23甲所示，两列相同的波相向传播，当它们相遇时，图23乙中可能的波形是：
A．图（a）和图(b); B．图（b）和图(c);
C．图（c）和图(d); D．图（a）和图(d)。
a
b
c
d
★解析：
当两列相遇时，达到图24所示的状态时，叠加以后的波形应是图23乙(b)。
当两列相遇时，达到图25所示的状态时，叠加以后的波形应是图23乙(c)。
所以正确答案应是B。
【例题】A、B两波相向而行，在某时刻的波形与位置如图26所示，已知波的传播速度为V，图中标尺每格长度为L，在图中画出又经过t=7L/V时的波形。(参考答案)
A
B
★解析：根据波的叠加原理很容易确定经过t=7L/V时的波形如图27所示。
类型题： 确定两列频率不相同的波叠加后的各质点的运动情况
不同频率的两列波相遇也可以叠加，也存在振动加强和振动减弱的点，但这些点不是固定的，而是随时变化的，因此看不到稳定的干涉图样。
【例题】如图28所示，一波源在绳的左端发生半个波1，频率为f1，振幅为A1；同时另一波源在绳的右端发生半个波2，频率为f2，振幅为A2。图中AP=PB，由图可知（ ）
A
B
P
1
2
A、两列波同时到达P点；
B、两列波相遇时，P点的波峰可达（A1+A2）；
C、两列波相遇后各自保持原来波形独立传播；
D、两列波相遇时，绳上振幅可达（A1+A2）的质点只有一点。
★解析：1、2两列波在同一条绳上传播，波速相同，所以A、B的运动状态传播相同距离历时相同，两列波应同时到达P点，选项A是正确的；两列波到达P点后，在彼此穿过区间，P处质点的位移为两列波独立引起的位移之和，由于两波频率不同，波长不同，相向传播时，两波峰不会同时到达P点，故在P处两列波叠加的位移峰值不会达到（A1+A2），选项B是错误的；两波峰可同时到达的一点应是与图28中现正处于波峰的两质点的平衡位置等距的一点：如果f1>f2，则λ1<λ2，则P点右侧某处质点振幅可达到（A1+A2），而如果f1
综上所述，本题正确答案为ACD。
类型题： 确定两列波叠加后某质点的振动方向
【例题】两列沿相反方向传播的振幅和波长都相同的半波，如图29（甲）所示，在相遇的某一时刻两列波“消失”，如图29（乙），此时图中a、b质点的振动方向是：
a
b
甲
乙
1
2
1
2
A．a向上，b向下； B．a向下，b向上；
C．a、b都静止； D．a、b都向上。
★解析：两列波在相遇的某一时刻两列波“消失”了，是因为两列波分别引起各质点的位移矢量和为零。但两列波分别引起各质点总的振动速度的矢量和不为零。对于a点，波1使其振动的速度为零，波2使其振动的速度也向下，故a点的振动合速度应向下。而对于b点，波1使其振动的速度方向向上，波2使其振动的速度为零，故b点的振动合速度应向上。所以B选项正确
类型题： 波动现象在工农业生产中的应用问题
【例题】利用超声波可以探测鱼群的位置。在一只装有超声波发射和接收装置的渔船上，向选定的方向发射出频率f=5.8×104Hz的超声波后，经过时间t=0.64s收到从鱼群反射回来的反射波。已知这列超声波在水中的波长λ=2.5cm，求鱼群到渔船的距离是多少？
★解析：所发射的超声波在水中的传播速度为：
超声波往返的路程为
渔船到鱼群的距离为：S1=S/2=464m。
【例题】利用超声波测量汽车的速度，超声波遇到障碍物会发生反射，测速仪发出并接收反射回来的超声波脉冲信号，根据发出和接收到的时间差，测出汽车的速度。图30（a）是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图，测速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到的时间差，测出汽车的速度。图30（b）中是测速仪发出的超声波信号，n1、n2分别是由汽车反射回来的信号。设测速仪匀速扫描，p1、、p2之间的时间间隔Δt＝1.0s，超声波在空气中传播的速度是V＝340m。/s，若汽车是匀速行驶的，则根据图（b）可知，汽车在接收到p1、、p2两个信号之间的时间内前进的距离是 m，汽车的速度是_____________m/s
1
P1
P2
n1
n2
A
B
图a
图b
2
3
4
5
0
★解析：本题由阅读图30（b）后，无法让人在大脑中直接形成测速仪发射和接受超声波以及两个超声波在传播过程中量值关系形象的物理图象。只有仔细地分析图30（b）各符号的要素，深刻地思考才会在大脑中形成测速仪在P1时刻发出的超声波，经汽车反射后经过t1=0.4S接收到信号，在P2时刻发出的超声波，经汽车反射后经过t2=0.3S接收到信号的形象的物理情景图象。根据这些信息很容易给出如下解答：
汽车在接收到p1、、p2两个信号之间的时间内前进的距离是:
S=V（t1-t2）/2=17m，汽车通过这一位移所用的时间t=Δt-（t1-t2）/2=0.95S。所以汽车的速度是。（此题要注意n1、n2不是汽车接收的，而是测速仪接收的）
类型题： 不能忽视非重点知识
【例题】频率一定的声源在空气中向着静止的接收器匀速运动。以u表示声源的速度，V表示声波的速度（u＜V），v表示接收器接收到的频率。若u增大，则
A v增大，V增大B v增大，V不变
C v不变，V增大D v减少，V不变
★解析：本题考查的是多普勒效应，声源在向着观察者运动时，观察者感觉到的频率会变大，声波的传播速度是由介质决定的，与其它因素无关，应选答案B。
答案：B
要点提示：在第二轮复中，重点是复习高考的热点难，但高考中对非重点内容也加以考查，在复习时不能忽视
【例题】关于多普勒效应的叙述，下列说法正确的是（ B ）
A．产生多普勒效应的原因是波源频率发生了变化
B．产生多普勒效应的原因是观察者和波源之间发生了相对运动
C．甲乙两车相向行驶，两车均鸣笛，且发出的笛声频率相同，乙车中的某旅客听到的甲车笛声频率低于他听到的乙车笛声频率
D．波源静止时，不论观察者是静止的还是运动的，对波长“感觉”的结果是相等的
【例题】根据多普勒效应，我们知道当波源与观察者相互接近时，观察者接收到的频率增大；如果二者远离，观察者接收到的频率减小。由实验知道遥远的星系所生成的光谱都呈现“红移”，即谱线都向红色部分移动了一段距离，由此现象可知（ A ）
A、宇宙在膨胀
B、宇宙在收缩
C、宇宙部分静止不动
D、宇宙只发出红光光谱
【例题】声纳（水声测位移）向水中发出的超声波，遇到障碍物（如鱼群、潜艇、礁石等）后被反射，测出发出超声波到接收到反射波的时间及方向，即可算出障碍物的方位，；雷达则向空中发射电磁波，遇到障碍物后被反射，同样根据发射电磁波到接收到反射波的时间及方向，即可算出障碍物的方位。超声波与电磁波相比较，下列说法正确的是(D )
A．超声波和电磁波在传播时，都向外传递能量，但超声波不能传递信息
B．这两种波都可以在介质中传播，也可以在真空中传播
C．在真空中传播的速度与在其他介质中传播的速度相比较，这两种波在空气中传播时具有较大的传播速度
D．这两列波传播时，在一个周期内向前传播一个拨长
【例题】下列说法正确的是（）
A、只有声波才能发生多普勒效应
B、电磁波和光波也能发生多普勒效应
C、只有机械波才能发生多普勒效应
D、一切波都能发生多普勒效应
★解析：多普勒勒效应是波的牲，任何波都能发生多普勒效应，选答案D。而B中光波属于电磁波，所以不选。
答案：D
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