还剩5页未读，
继续阅读
所属成套资源：备考2024届高考数学一轮复习讲义全套
成套系列资料，整套一键下载
备考2024届高考数学一轮复习讲义第一章集合常用逻辑用语与不等式第1讲集合
展开
这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第一章集合常用逻辑用语与不等式第1讲集合，共8页。
1.集合的概念
2.集合间的基本关系
空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
规律总结
（1）A⊆B（子集）A＝B（相等）⇔A⊆B且A⊇B，A⫋B（真子集）⇔A⊆B且A≠B.
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即⌀⊆A，⌀⫋B（B≠⌀）.
（3）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.空集只有一个子集，即它本身.
（4）含有n个元素的集合的子集个数是2n，非空子集的个数是2n－1，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.
（5）对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.
3.集合的基本运算
常用结论
集合的运算性质
（1）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
（2）∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.{x｜y＝x2}＝{y｜y＝x2}＝{（x，y）｜y＝x2}
B.方程x－2024＋（y＋2 025）2＝0的解集为{2 024，－2 025}
C.若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0或1
D.对任意两个集合A，B，（A∩B）⊆（A∪B）恒成立
2.若集合P＝{x∈N｜x≤2025}，a＝22，则（ D ）
A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉P
3.集合{a，b}的真子集的个数为 3 .
解析 解法一 集合{a，b}的真子集为⌀，{a}，{b}，有3个.
解法二 集合{a，b}有2个元素，则集合{a，b}的真子集的个数为22－1＝3.
4.设a，b∈R，P＝{2，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，则a－b＝ 1 .
解析 ∵P＝Q，∴a＝－1，－b=2，∴a－b＝－1－（－2）＝1.
5.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩（∁UB）＝ {2，4} ，（∁UA）∩（∁UB）＝ {6} .
解析 ∵∁UA＝{1，3，6，7}，∁UB＝{2，4，6}，∴A∩（∁UB）＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，（∁UA）∩（∁UB）＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}.
研透高考 明确方向
命题点1 集合的概念
例1 （1）[2022全国卷乙]设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（ A ）
A.2∈MB.3∈M
C.4∉MD.5∉M
解析 由题意知M＝{2，4，5}，故选A.
（2）[全国卷Ⅲ]已知集合A＝{（x，y）｜x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）｜x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为（ C ）
A.2B.3
C.4D.6
解析 由题意得，A∩B＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}，所以A∩B中元素的个数为4，故选C.
方法技巧
1.解决集合含义问题的三个关键点：一是确定构成集合的元素；二是分析元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.2.常见集合的含义
训练1 （1）[多选/2024黑龙江模拟]已知集合A＝{x｜4ax2－4（a＋2）x＋9＝0}中只有一个元素，则实数a的可能取值为（ ABD ）
A.0B.1C.2D.4
解析 当a＝0时，－8x＋9＝0，解得x＝98，所以A＝{98}，符合题意；当a≠0时，由题意，得Δ＝[4（a＋2）]2－4×4a×9＝0，解得a＝1或a＝4.故选ABD.
（2）[多选/2023江苏省镇江中学模拟]已知集合A＝{y｜y＝x2＋2}，集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}，下列关系正确的是（ AB ）
A.（1，3）∈BB.（0，0）∉B
C.0∈AD.A＝B
解析 ∵集合A＝{y｜y≥2}＝[2，＋∞），集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}是由抛物线y＝x2＋2上的点组成的集合，∴AB正确，CD错误，故选AB.
（3）已知集合A＝{0，m，m2－5m＋6}，且2∈A，则实数m的值为 1或4 .
解析 因为A＝{0，m，m2－5m＋6}，2∈A，所以m＝2或m2－5m＋6＝2.当m＝2时，m2－5m＋6＝0，不满足集合中元素互异性，所以m＝2不符合题意.当m2－5m＋6＝2时，m＝1或m＝4，
若m＝1，A＝{0，1，2}符合题意；若m＝4，A＝{0，4，2}符合题意.所以实数m的值为1或4.
命题点2 集合间的基本关系
例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝（ B ）
A.2B.1C.23D.－1
解析 依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B.所以a＝1，故选B.
（2）[2024山西太原模拟]满足条件{1，2}⊆A⫋{1，2，3，4，5}的集合A的个数是（ C ）
A.5B.6C.7D.8
解析 解法一 因为集合{1，2}⊆A⫋{1，2，3，4，5}，所以集合A可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，共 7 个.故选C.
解法二 问题等价于求集合{3，4，5}的真子集的个数，则共有23－1＝7个.故选C.
方法技巧
1.求集合的子集个数，常借助列举法和公式法求解.
2.根据两集合间的关系求参数，常根据集合间的关系转化为方程（组）或不等式（组）求解，求解时注意集合中元素的互异性和端点值能否取到.
注意 在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的情况，如已知集合A、非空集合B满足A⊆B或A⫋B，则有A＝⌀和A≠⌀两种情况.
训练2 （1）设集合P＝{y｜y＝x2＋1}，M＝{x｜y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是（ D ）
A.M＝PB.P∈M
C.M⫋PD.P⫋M
解析 ∵P＝{y｜y＝x2＋1}＝{y｜y≥1}，M＝{x｜y＝x2＋1}＝R，∴P⫋M.故选D.
（2）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为 （－∞，3] .
解析 因为B⊆A，所以分以下两种情况：
①若B＝∅，则2m－1＜m＋1，此时m＜2；
②若B≠∅，则2m－1≥m+1，m+1≥－2，2m－1≤5，解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3].
命题点3 集合的基本运算
角度1 集合的交、并、补运算
例3 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（ C ）
A.{－2，－1，0，1}B.{0，1，2}
C.{－2}D.{2}
解析 解法一因为N＝{x｜x2－x－6≥0}＝{x｜x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C.
解法二 因为1∉N，所以1∉M∩N，排除A，B；因为2∉N，所以2∉M∩N，排除D.故选C.
（2）[2023全国卷甲]设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U（M∪N）＝（ A ）
A.{x｜x＝3k，k∈Z}B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}
C.{x｜x＝3k－2，k∈Z}D.∅
解析 解法一 M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.
解法二 集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好能被3整除的整数集，故选A.
角度2 已知集合运算结果求参数
例4 （1）[全国卷Ⅰ]设集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜2x＋a≤0}，且A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，则a＝（ B ）
A.－4B.－2C.2D.4
解析 易知A＝{x｜－2≤x≤2}，B＝{x｜x≤－a2}，因为A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，所以－a2＝1，解得a＝－2.故选B.
（2）已知集合A＝{x｜y＝ln（1－x2）}，B＝{x｜x≤a}，若（∁RA）∪B＝R，则实数a的取值范围为（ B ）
A.（1，＋∞）B.[1，＋∞）
C.（－∞，1）D.（－∞，1]
解析 由题可知A＝{x｜y＝ln（1－x2）}＝{x｜－1＜x＜1}，∁RA＝{x｜x≤－1或x≥1}，所以由（∁RA）∪B＝R，B＝{x｜x≤a}，得a≥1.
方法技巧
1.处理集合的交、并、补运算时，一是要明确集合中的元素是什么，二是要能够化简集合，得出元素满足的最简条件.
2.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可借助Venn图求解；如果集合中的元素是连续的，可借助数轴求解，此时要注意端点的情况.
训练3 （1）[2023全国卷乙]设集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，则{x｜x≥2}＝（ A ）
A.∁U（M∪N）B.N∪∁UM
C.∁U（M∩N）D.M∪∁UN
解析 由题意知M∪N＝{x｜x＜2}，所以∁U（M∪N）＝{x｜x≥2}，故选A.
（2）[2023江西省联考]已知集合A＝{（x，y）｜（x－1）2＋y2＝1}，B＝{（x，y）｜kx－y－2＜0}.若A∩B＝A，则实数k的取值范围是（ A ）
A.（－∞，34）B.（34，3）
C.（34，＋∞）D.（－∞，34]
解析 因为A∩B＝A，所以A⊆B，则圆（x－1）2＋y2＝1在直线y＝kx－2的上方，则k×1－2<0，｜k×1－0－2｜k2＋（－1）2>1，解得k＜34.
命题点4 集合中的计数问题
例5 [全国卷Ⅲ]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ C ）
A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8
解析 解法一 由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为 90－80＋60＝70，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70÷100＝0.7.故选C.
解法二 用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系，如图，
易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.故选C.
方法技巧
集合中元素的个数问题的求解策略
关于集合中元素的个数问题，常借助Venn图或用公式card（A∪B）＝card（A）＋
card（B）－ card（A∩B），card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－
card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）（card（A）表示有限集合A中元素的个数）求解.
训练4 向50名学生调查对A，B两种观点的态度，结果如下：赞成观点A的学生人数是全体人数的35，其余的不赞成；赞成观点B的学生人数比赞成观点A的多3人，其余的不赞成；另外，对观点A，B都不赞成的学生人数比对观点A，B都赞成的学生人数的13多1人，则对观点A，B都赞成的学生有 21 人.
解析 赞成观点A的学生人数为50×35＝30，赞成观点B的学生人数为30＋3＝33.如图，记50名学生组成的集合为U，赞成观点A的学生全体为集合A，赞成观点B的学生全体为集合B.设对观点A，B都赞成的学生人数为x，则对观点A，B都不赞成的学生人数为x3＋1，赞成观点A或赞成观点B的学生人数为30＋33－x.依题意30＋33－x＋x3＋1＝50，解得x＝21.故对观点A，B都赞成的学生有21人.
命题点5 集合的新定义问题
例6 （1）[2024上海市晋元高级中学模拟]已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A⊆M，定义M（A）为A中元素的最小值，当A取遍M的所有非空子集时，对应的
M（A）的和记为S，则S＝ 120 .
解析 由M＝{1，2，3，4，5，6}得，M的非空子集A共有26－1个，其中最小值为1的有25个，最小值为2的有24个，最小值为3的有23个，最小值为4的有22个，最小值为5的有21个，最小值为6的有20个，故S＝25×1＋24×2＋23×3＋22×4＋2×5＋1×6＝120.
（2）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.已知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}和集合B＝{x｜x2－x－2＜0}，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为 （1，2） .
解析 由题意，可知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}，集合B＝{x｜－1＜x＜2}，因为集合A，B构成“偏食”，所以t>0，－t＜－1方法技巧
解决集合新定义问题的关键
紧扣新定义，分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义混淆.
训练5 [多选/2023山东省淄博一中月考]在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k｜n∈Z}（k＝0，1，2，3，4），给出如下四个结论，正确结论为（ ACD ）
A.2 023∈[3]
B.－2∈[2]
C.Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
D.整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]
解析 由2 023÷5＝404……3，得2 023∈[3]，故A正确；－2＝5×（－1）＋3，所以
－2∈[3]，故B错误；因为整数集中的被5除的数可以且只可以分成五类，所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正确；因为整数a，b属于同一“类”，所以整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]，故D正确.故选ACD.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.（1）了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.（2）能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.（3）了解全集与空集的含义.
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
3.（1）理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.（3）能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
集合的概念
2022全国卷乙T1；2020全国卷ⅢT1
本讲是高考必考内容.命题热点有集合的交、并、补运算，集合的含义及集合间的基本关系，常与不等式、函数等相结合命题，考查学生的数学运算和逻辑推理素养.题型以选择题为主，属于送分题，解题时常借助数轴和Venn图.预计2025年高考命题点变化不大，但应加强对集合中创新问题的重视.
集合间的基本关系
2023新高考卷ⅡT2；2021全国卷乙T2
集合的基本运算
2023新高考卷ⅠT1；2023全国卷乙T2；2023全国卷甲T1；2022新高考卷ⅠT1；2022新高考卷ⅡT1；2022全国卷乙T1；2022全国卷甲T3；2021新高考卷ⅠT1；2021新高考卷ⅡT2；2021全国卷甲T1；2021全国卷乙T2；2020新高考卷ⅠT1；2020全国卷ⅠT2；2020全国卷ⅡT1；2020全国卷ⅢT1；2019全国卷ⅠT1；2019全国卷ⅡT1；2019全国卷ⅢT1
集合中的计数问题
2019全国卷ⅢT3
集合的新定义问题
集合中元素的特征
① 确定性 、② 互异性 、无序性
集合的表示方法
③ 列举法 、④ 描述法 、图示法
常见数集的记法
自然数集（非负整数集），记作⑤ N ；正整数集，记作⑥ N* 或⑦ N＋ ；整数集，记作⑧ Z ；有理数集，记作⑨ Q ；实数集，记作⑩ R
元素与集合之间的关系
“属于”或“不属于”，分别记为“⑪ ∈ ”或“⑫ ∉ ”
关系
定义
符号语言
子集
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中⑬ 任意一个元素 都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集
A⊆B（或B⊇A）
真子集
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且⑭ x∉A，就称集合A是集合B的真子集
⑮ A⫋B （或B⫌A）
相等
若A⊆B，且⑯ B⊆A ，则A＝B
A＝B
运算
集合语言
图形语言
符号语言
并集
{x｜x∈A，或x∈B}
⑰ A∪B
交集
{x｜x∈A，且x∈B}
⑱ A∩B
补集
{x｜x∈U，且x∉A}
⑲ ∁UA
集合
{x｜f（x）＝0}
{x｜f（x）＞0}
{x｜y＝f（x）}
{y｜y＝f（x）}
{（x，y）｜y＝
f（x）}
代表元素
方程f（x）＝
0的根
不等式f（x）＞0的解
函数y＝f（x）的自变量的取值
函数y＝f（x）的函数值
函数y＝f（x）图象上的点
1.集合的概念
2.集合间的基本关系
空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
规律总结
（1）A⊆B（子集）A＝B（相等）⇔A⊆B且A⊇B，A⫋B（真子集）⇔A⊆B且A≠B.
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即⌀⊆A，⌀⫋B（B≠⌀）.
（3）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.空集只有一个子集，即它本身.
（4）含有n个元素的集合的子集个数是2n，非空子集的个数是2n－1，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.
（5）对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.
3.集合的基本运算
常用结论
集合的运算性质
（1）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
（2）∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.{x｜y＝x2}＝{y｜y＝x2}＝{（x，y）｜y＝x2}
B.方程x－2024＋（y＋2 025）2＝0的解集为{2 024，－2 025}
C.若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0或1
D.对任意两个集合A，B，（A∩B）⊆（A∪B）恒成立
2.若集合P＝{x∈N｜x≤2025}，a＝22，则（ D ）
A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉P
3.集合{a，b}的真子集的个数为 3 .
解析 解法一 集合{a，b}的真子集为⌀，{a}，{b}，有3个.
解法二 集合{a，b}有2个元素，则集合{a，b}的真子集的个数为22－1＝3.
4.设a，b∈R，P＝{2，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，则a－b＝ 1 .
解析 ∵P＝Q，∴a＝－1，－b=2，∴a－b＝－1－（－2）＝1.
5.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩（∁UB）＝ {2，4} ，（∁UA）∩（∁UB）＝ {6} .
解析 ∵∁UA＝{1，3，6，7}，∁UB＝{2，4，6}，∴A∩（∁UB）＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，（∁UA）∩（∁UB）＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}.
研透高考 明确方向
命题点1 集合的概念
例1 （1）[2022全国卷乙]设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（ A ）
A.2∈MB.3∈M
C.4∉MD.5∉M
解析 由题意知M＝{2，4，5}，故选A.
（2）[全国卷Ⅲ]已知集合A＝{（x，y）｜x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）｜x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为（ C ）
A.2B.3
C.4D.6
解析 由题意得，A∩B＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}，所以A∩B中元素的个数为4，故选C.
方法技巧
1.解决集合含义问题的三个关键点：一是确定构成集合的元素；二是分析元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.2.常见集合的含义
训练1 （1）[多选/2024黑龙江模拟]已知集合A＝{x｜4ax2－4（a＋2）x＋9＝0}中只有一个元素，则实数a的可能取值为（ ABD ）
A.0B.1C.2D.4
解析 当a＝0时，－8x＋9＝0，解得x＝98，所以A＝{98}，符合题意；当a≠0时，由题意，得Δ＝[4（a＋2）]2－4×4a×9＝0，解得a＝1或a＝4.故选ABD.
（2）[多选/2023江苏省镇江中学模拟]已知集合A＝{y｜y＝x2＋2}，集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}，下列关系正确的是（ AB ）
A.（1，3）∈BB.（0，0）∉B
C.0∈AD.A＝B
解析 ∵集合A＝{y｜y≥2}＝[2，＋∞），集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}是由抛物线y＝x2＋2上的点组成的集合，∴AB正确，CD错误，故选AB.
（3）已知集合A＝{0，m，m2－5m＋6}，且2∈A，则实数m的值为 1或4 .
解析 因为A＝{0，m，m2－5m＋6}，2∈A，所以m＝2或m2－5m＋6＝2.当m＝2时，m2－5m＋6＝0，不满足集合中元素互异性，所以m＝2不符合题意.当m2－5m＋6＝2时，m＝1或m＝4，
若m＝1，A＝{0，1，2}符合题意；若m＝4，A＝{0，4，2}符合题意.所以实数m的值为1或4.
命题点2 集合间的基本关系
例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝（ B ）
A.2B.1C.23D.－1
解析 依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B.所以a＝1，故选B.
（2）[2024山西太原模拟]满足条件{1，2}⊆A⫋{1，2，3，4，5}的集合A的个数是（ C ）
A.5B.6C.7D.8
解析 解法一 因为集合{1，2}⊆A⫋{1，2，3，4，5}，所以集合A可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，共 7 个.故选C.
解法二 问题等价于求集合{3，4，5}的真子集的个数，则共有23－1＝7个.故选C.
方法技巧
1.求集合的子集个数，常借助列举法和公式法求解.
2.根据两集合间的关系求参数，常根据集合间的关系转化为方程（组）或不等式（组）求解，求解时注意集合中元素的互异性和端点值能否取到.
注意 在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的情况，如已知集合A、非空集合B满足A⊆B或A⫋B，则有A＝⌀和A≠⌀两种情况.
训练2 （1）设集合P＝{y｜y＝x2＋1}，M＝{x｜y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是（ D ）
A.M＝PB.P∈M
C.M⫋PD.P⫋M
解析 ∵P＝{y｜y＝x2＋1}＝{y｜y≥1}，M＝{x｜y＝x2＋1}＝R，∴P⫋M.故选D.
（2）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为 （－∞，3] .
解析 因为B⊆A，所以分以下两种情况：
①若B＝∅，则2m－1＜m＋1，此时m＜2；
②若B≠∅，则2m－1≥m+1，m+1≥－2，2m－1≤5，解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3].
命题点3 集合的基本运算
角度1 集合的交、并、补运算
例3 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（ C ）
A.{－2，－1，0，1}B.{0，1，2}
C.{－2}D.{2}
解析 解法一因为N＝{x｜x2－x－6≥0}＝{x｜x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C.
解法二 因为1∉N，所以1∉M∩N，排除A，B；因为2∉N，所以2∉M∩N，排除D.故选C.
（2）[2023全国卷甲]设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U（M∪N）＝（ A ）
A.{x｜x＝3k，k∈Z}B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}
C.{x｜x＝3k－2，k∈Z}D.∅
解析 解法一 M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.
解法二 集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好能被3整除的整数集，故选A.
角度2 已知集合运算结果求参数
例4 （1）[全国卷Ⅰ]设集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜2x＋a≤0}，且A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，则a＝（ B ）
A.－4B.－2C.2D.4
解析 易知A＝{x｜－2≤x≤2}，B＝{x｜x≤－a2}，因为A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，所以－a2＝1，解得a＝－2.故选B.
（2）已知集合A＝{x｜y＝ln（1－x2）}，B＝{x｜x≤a}，若（∁RA）∪B＝R，则实数a的取值范围为（ B ）
A.（1，＋∞）B.[1，＋∞）
C.（－∞，1）D.（－∞，1]
解析 由题可知A＝{x｜y＝ln（1－x2）}＝{x｜－1＜x＜1}，∁RA＝{x｜x≤－1或x≥1}，所以由（∁RA）∪B＝R，B＝{x｜x≤a}，得a≥1.
方法技巧
1.处理集合的交、并、补运算时，一是要明确集合中的元素是什么，二是要能够化简集合，得出元素满足的最简条件.
2.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可借助Venn图求解；如果集合中的元素是连续的，可借助数轴求解，此时要注意端点的情况.
训练3 （1）[2023全国卷乙]设集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，则{x｜x≥2}＝（ A ）
A.∁U（M∪N）B.N∪∁UM
C.∁U（M∩N）D.M∪∁UN
解析 由题意知M∪N＝{x｜x＜2}，所以∁U（M∪N）＝{x｜x≥2}，故选A.
（2）[2023江西省联考]已知集合A＝{（x，y）｜（x－1）2＋y2＝1}，B＝{（x，y）｜kx－y－2＜0}.若A∩B＝A，则实数k的取值范围是（ A ）
A.（－∞，34）B.（34，3）
C.（34，＋∞）D.（－∞，34]
解析 因为A∩B＝A，所以A⊆B，则圆（x－1）2＋y2＝1在直线y＝kx－2的上方，则k×1－2<0，｜k×1－0－2｜k2＋（－1）2>1，解得k＜34.
命题点4 集合中的计数问题
例5 [全国卷Ⅲ]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ C ）
A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8
解析 解法一 由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为 90－80＋60＝70，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70÷100＝0.7.故选C.
解法二 用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系，如图，
易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.故选C.
方法技巧
集合中元素的个数问题的求解策略
关于集合中元素的个数问题，常借助Venn图或用公式card（A∪B）＝card（A）＋
card（B）－ card（A∩B），card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－
card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）（card（A）表示有限集合A中元素的个数）求解.
训练4 向50名学生调查对A，B两种观点的态度，结果如下：赞成观点A的学生人数是全体人数的35，其余的不赞成；赞成观点B的学生人数比赞成观点A的多3人，其余的不赞成；另外，对观点A，B都不赞成的学生人数比对观点A，B都赞成的学生人数的13多1人，则对观点A，B都赞成的学生有 21 人.
解析 赞成观点A的学生人数为50×35＝30，赞成观点B的学生人数为30＋3＝33.如图，记50名学生组成的集合为U，赞成观点A的学生全体为集合A，赞成观点B的学生全体为集合B.设对观点A，B都赞成的学生人数为x，则对观点A，B都不赞成的学生人数为x3＋1，赞成观点A或赞成观点B的学生人数为30＋33－x.依题意30＋33－x＋x3＋1＝50，解得x＝21.故对观点A，B都赞成的学生有21人.
命题点5 集合的新定义问题
例6 （1）[2024上海市晋元高级中学模拟]已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A⊆M，定义M（A）为A中元素的最小值，当A取遍M的所有非空子集时，对应的
M（A）的和记为S，则S＝ 120 .
解析 由M＝{1，2，3，4，5，6}得，M的非空子集A共有26－1个，其中最小值为1的有25个，最小值为2的有24个，最小值为3的有23个，最小值为4的有22个，最小值为5的有21个，最小值为6的有20个，故S＝25×1＋24×2＋23×3＋22×4＋2×5＋1×6＝120.
（2）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.已知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}和集合B＝{x｜x2－x－2＜0}，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为 （1，2） .
解析 由题意，可知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}，集合B＝{x｜－1＜x＜2}，因为集合A，B构成“偏食”，所以t>0，－t＜－1
解决集合新定义问题的关键
紧扣新定义，分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义混淆.
训练5 [多选/2023山东省淄博一中月考]在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k｜n∈Z}（k＝0，1，2，3，4），给出如下四个结论，正确结论为（ ACD ）
A.2 023∈[3]
B.－2∈[2]
C.Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
D.整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]
解析 由2 023÷5＝404……3，得2 023∈[3]，故A正确；－2＝5×（－1）＋3，所以
－2∈[3]，故B错误；因为整数集中的被5除的数可以且只可以分成五类，所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正确；因为整数a，b属于同一“类”，所以整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]，故D正确.故选ACD.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.（1）了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.（2）能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.（3）了解全集与空集的含义.
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
3.（1）理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.（3）能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
集合的概念
2022全国卷乙T1；2020全国卷ⅢT1
本讲是高考必考内容.命题热点有集合的交、并、补运算，集合的含义及集合间的基本关系，常与不等式、函数等相结合命题，考查学生的数学运算和逻辑推理素养.题型以选择题为主，属于送分题，解题时常借助数轴和Venn图.预计2025年高考命题点变化不大，但应加强对集合中创新问题的重视.
集合间的基本关系
2023新高考卷ⅡT2；2021全国卷乙T2
集合的基本运算
2023新高考卷ⅠT1；2023全国卷乙T2；2023全国卷甲T1；2022新高考卷ⅠT1；2022新高考卷ⅡT1；2022全国卷乙T1；2022全国卷甲T3；2021新高考卷ⅠT1；2021新高考卷ⅡT2；2021全国卷甲T1；2021全国卷乙T2；2020新高考卷ⅠT1；2020全国卷ⅠT2；2020全国卷ⅡT1；2020全国卷ⅢT1；2019全国卷ⅠT1；2019全国卷ⅡT1；2019全国卷ⅢT1
集合中的计数问题
2019全国卷ⅢT3
集合的新定义问题
集合中元素的特征
① 确定性 、② 互异性 、无序性
集合的表示方法
③ 列举法 、④ 描述法 、图示法
常见数集的记法
自然数集（非负整数集），记作⑤ N ；正整数集，记作⑥ N* 或⑦ N＋ ；整数集，记作⑧ Z ；有理数集，记作⑨ Q ；实数集，记作⑩ R
元素与集合之间的关系
“属于”或“不属于”，分别记为“⑪ ∈ ”或“⑫ ∉ ”
关系
定义
符号语言
子集
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中⑬ 任意一个元素 都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集
A⊆B（或B⊇A）
真子集
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且⑭ x∉A，就称集合A是集合B的真子集
⑮ A⫋B （或B⫌A）
相等
若A⊆B，且⑯ B⊆A ，则A＝B
A＝B
运算
集合语言
图形语言
符号语言
并集
{x｜x∈A，或x∈B}
⑰ A∪B
交集
{x｜x∈A，且x∈B}
⑱ A∩B
补集
{x｜x∈U，且x∉A}
⑲ ∁UA
集合
{x｜f（x）＝0}
{x｜f（x）＞0}
{x｜y＝f（x）}
{y｜y＝f（x）}
{（x，y）｜y＝
f（x）}
代表元素
方程f（x）＝
0的根
不等式f（x）＞0的解
函数y＝f（x）的自变量的取值
函数y＝f（x）的函数值
函数y＝f（x）图象上的点
相关学案
备考2024届高考数学一轮复习讲义第一章集合常用逻辑用语与不等式第3讲等式性质与不等式性质： 这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第一章集合常用逻辑用语与不等式第3讲等式性质与不等式性质，共6页。
备考2024届高考数学一轮复习讲义第一章集合常用逻辑用语与不等式第2讲常用逻辑用语： 这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第一章集合常用逻辑用语与不等式第2讲常用逻辑用语，共7页。
备考2024届高考数学一轮复习讲义第一章集合常用逻辑用语与不等式第4讲基本不等式： 这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第一章集合常用逻辑用语与不等式第4讲基本不等式，共10页。
