备考2024届高考数学一轮复习好题精练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破3概率统计与其他知识的综合命题点1概率统计与函数导数的综合

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例1 [全国卷Ⅰ]某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验.设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0.
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
（i）若不对该箱余下的产品做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E（X）；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品做检验？
解析 （1）20件产品中恰有2件不合格品的概率f（p）＝C202p2（1－p）18，
因此f'（p）＝C202[2p（1－p）18－18p2（1－p）17]＝2C202p（1－p）17（1－10p）.
令f'（p）＝0，得p＝0.1.
当p∈（0，0.1）时，f'（p）＞0；
当p∈（0.1，1）时，f'（p）＜0.
所以f（p）的最大值点p0＝0.1.
（2）由（1）知，p0＝0.1，所以p＝0.1.
（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品的件数，依题意知Y～B（180，0.1），X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.
所以E（X）＝E（40＋25Y）＝40＋25E（Y）＝40＋25×180×0.1＝490.
（ii）如果对这箱余下的所有产品做检验，那么这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于E（X）＞400，因此应该对这箱余下的所有产品做检验.
方法技巧
概率、统计与函数、导数的综合问题的解题策略
（1）读懂题意，利用随机变量的概率、均值与方差等的有关公式构造函数；
（2）结合函数的性质及概率统计知识求解.
训练1 [2021新高考卷Ⅱ]一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（X＝i）＝pi（i＝0，1，2，3）.
（1）已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E（X）.
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E（X）≤1时，p＝1，当E（X）＞1时，p＜1.
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.
解析 （1）由题意，P（X＝0）＝0.4，P（X＝1）＝0.3，P（X＝2）＝0.2，P（X＝3）＝0.1，
∴X的分布列为
∴E（X）＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.
（2）记f（x）＝p3x3＋p2x2＋（p1－1）x＋p0，
由题知，p为f（x）＝0的实根，由p0＝1－p1－p2－p3，
得f（x）＝p3（x3－1）＋p2（x2－1）＋p1（x－1）－（x－1）＝（x－1）[p3x2＋（p3＋p2）x＋p3＋p2＋p1－1].
记g（x）＝p3x2＋（p3＋p2）x＋p3＋p2＋p1－1，
则g（1）＝3p3＋2p2＋p1－1＝E（X）－1，
g（0）＝p3＋p2＋p1－1＝－p0＜0.
当E（X）≤1时，g（1）≤0，易知g（x）在（0，1）上单调递增，∴当x∈（0，1）时，g（x）＝0无实根.
∴f（x）＝0在（0，1]上有且仅有一个实根，即p＝1，
∴当E（X）≤1时，p＝1.
当E（X）＞1时，g（1）＞0，又g（0）＜0，g（x）的图象开口向上，∴g（x）＝0在（0，1）上有唯一实根p'，
∴f（x）＝0的最小正实根p＝p'∈（0，1），∴当E（X）＞1时，p＜1.
（3）E（X）≤1，表示1个微生物个体繁殖下一代的个数不超过自身个数，种群数量无法维持稳定或正向增长，多代繁殖后将面临灭绝，所以p＝1.
E（X）＞1，表示1个微生物个体可以繁殖下一代的个数超过自身个数，种群数量可以正向增长，所以面临灭绝的可能性小于1.X
0
1
2
3
P
0.4
0.3
0.2
0.1