2023-2024学年福建省厦门外国语学校高一（上）第二次月考数学试卷（1月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省厦门外国语学校高一（上）第二次月考数学试卷（1月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.与−2024°角终边相同的角是( )
A. 24°B. 113°C. 136°D. 224°
2.已知扇形的周长为4，圆心角为弧度数2，则扇形的面积为( )
A. 1B. 2C. πD. 2π
3.已知α是锐角，若cs(α+π6)=513，则sin(α−π12)=( )
A. −17 226B. −7 226C. 7 226D. 17 226
4.函数f(x)=(1−x2)cs(x+3π2)x的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.设a=12cs7°+ 32sin7°，b=2tan19°1−tan219°，c= 1−cs72°2，则有( )
A. b>a>cB. a>b>cC. a>c>bD. c>b>a
6.已知0<β<α<π2，cs(α+β)=15，sin(α−β)=35，则tanαtanβ的值为( )
A. 12B. 35C. 53D. 2
7.已知把函数f(x)=sin(x+π3)csx− 34的图象向右平移π3个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g(x1)⋅g(x2)=14，且x1，x2∈[−π,π]，则x1−x2的最大值为( )
A. πB. 3π4C. 3π2D. 2π
8.已知函数f(x)=4cs(ωx−π12)(ω>0),f(x)在区间[0,π3]上的最小值恰为−ω，则所有满足条件的ω的积属于区间( )
A. (1,4]B. [4,7]C. (7,13)D. [13,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 若tanα<0且sinα>0，则α为第二象限角
B. 锐角α终边上一点坐标为P(sin1,cs1)，则α=π2−1
C. 若sinα+csα>1，则α是第一象限角
D. 若α是第三象限角，则|sinα2|sinα2+|csα2|csα2取值的集合为{−2,0,2}
10.在△ABC中，下列命题中正确的是( )
A. csA+cs(B+C)为常数
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
C. 若sin2A=cs2B，则(1+tanA)(1+tanB)=2
D. 若△ABC是锐角三角形，则sin(sinA)>sin(csB)
11.如图，正方形ABCD的长为2，O为边AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x，射线OP扫过的正方形ABCD内部的区域(阴影部分)的面积为f(x)，则下列说法正确的是( )
A. f(π4)=12
B. f(x)在(π2,π)上为减函数
C. f(x)+f(π−x)=4
D. 若O，E为DA，AB上的动点，且DO+EB=OE，则∠OCE为定值
12.已知函数f(x)=tan(sinx)+tan(csx)，则( )
A. 2π是f(x)的周期
B. f(x)的图象有对称中心，没有对称轴
C. 当x∈(0,π2)时，f(x)D. 对任意k∈Z，f(x)在(kπ−π2,kπ)上单调
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若点A(csθ,sinθ)与点B(cs(θ+π5),sin(θ+π5))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ= ．
14.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π2)的一部分图象如图所示，则f(2φ)= ______ ．
15.已知函数f(x)=49(x−32)2,x∈[0,3)sinπ6x,x∈[3,15]，若存在实数a，b，c，d满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d)(其中a16.已知函数f(x)=6cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，对∀x∈R都有f(x)≤|f(π6)|，且x=−π6是f(x)的一个零点．
(1)若f(x)的周期大于π，则ω= ______ ；
(2)若y=f(x)−6在(π15,π6)上有且只有一个零点，则ω的最大值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=tan(−2x+θ)，其中θ为三角形的一个内角，且2cs2θ−csθ−1=0．
(1)求函数f(x)的解析式及定义域；
(2)求函数f(x)的对称中心及单调区间．
18.(本小题12分)
角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与如图的单位圆交于点A(x1,y1)，将射线OA绕点O按逆时针方向旋转π3后与单位圆相交于点B(x2,y2)，设f(α)=y1+y2．
(1)求f(π6)的值；
(2)若函数g(x)=f(2x−π3)+(λ−1)f(x−π2)的最小值为−2 3，求实数λ的值．
19.(本小题12分)
已知f(x)=sin(2π−x)cs(π+x)cs(π2+x)cs(11π2−x)cs(π−x)sin(3π−x)sin(−π−x)sin(9π2+x)．
(1)若f(α)=2，求sinαcsα+2sin2α的值；
(2)若f(α)=−12,f(α−β)=−13，且α,β∈(0,π2)，求2α−β的值．
20.(本小题12分)
定义在R上的函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤π2)，若f(x)在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时函数取得最大值为3；当x=6π，函数取得最小值为−3．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求关于m的不等式f( −m2+2m+3)>f( −m2+4)的解集；
(3)若将函数f(x)的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的13得到函数g(x)，再将函数g(x)的图像向左平移φ0(φ0>0)个单位得到函数h(x)，且函数y=eg(x)+lgh(x)的最大值为e，求满足条件的φ0的最小值．
21.(本小题12分)
在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化.下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y(单位：米)与时间x(单位：时)的大致关系：

假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．
(1)请运用函数模型y=Asin(ωx+φ)+h(A>0,ω>0,−π2<φ<π2,h∈R)，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式；
(2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港.一艘船满载货物，吃水(即船底到水面的距离)6米，计划明天进港卸货．
①求该船可以进港的时间段；
②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米.请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货(不计停靠码头和驶离码头所需时间)．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinx+acsx的图象关于x=−π4对称，g(x)是函数y=ex的反函数．
(1)求方程f(x)=cs2x在[0,2π]上的解集；
(2)求证：函数F(x)=f(x)+32g(x)有且仅有一个零点x0，且−23答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为−2024°=136°−360°×6，
所以−2024°角与136°角终边相同．
故选：C．
将−2024°改写为−2024°=136°−360°×6，根据终边相同角的定义即可求解．
本题主要考查了终边相同角的表示，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：设扇形的半径为r，弧长为l，
则l=2r，扇形的周长为l+2r=4r=4，可得r=1，
所以l=2，可知该扇形的面积为S=12lr=12×2×1=1．
故选：A．
设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形的弧长公式与扇形的周长求得r、l的值，进而利用扇形的面积公式算出答案．
本题主要考查弧长公式与面积公式及其应用，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵α是锐角，α+π6∈(π6,2π3)，且cs(α+π6)=513，
∴sin(α+π6)= 1−cs2(α+π6)=1213，
∴sin(α−π12)=sin[(α+π6)−π4]=sin(α+π6)csπ4−cs(α+π6)sinπ4=1213× 22−513× 22=7 226．
故选：C．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin(α+π6)的值，由于α−π12=(α+π6)−π4，两角差的正弦函数公式即可计算得解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由题可得f(x)=(1−x2)cs(x+3π2)x=(1−x2)sinxx，
且其定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，f(−x)=[1−(−x)2]sin(−x)−x=(1−x2)sinxx=f(x)，
所以函数f(x)为偶函数，故排除C，D选项；
又当x∈(0,1)时，1−x2>0，sinx>0，所以f(x)>0，故排除A选项．
故选：B．
根据题意，先化简函数解析式，利用奇偶性和函数值的符号可得答案．
本题考查函数的图象分析，注意用排除法分析，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：∵a=12cs7°+ 32sin7°=sin(7°+30°)=sin37°，
b=2tan19°1−tan219°=tan38°=sin38°cs38°>sin38°>sin37°=a，
c= 1−cs72°2=sin36°，
又y=sinx在[0°,90°]上单调递增，
∴sin38°>sin37°>sin36°，
即b>a>c．
故选：A．
利用辅助角公式可求得a=sin37°，利用二倍角的正切可求得b=tan38°=sin38°cs38°>sin38°，利用二倍角的余弦可求得c=36°，从而可利用正弦函数的单调性比较a、b、c的大小．
本题考查三角函数中的恒等变换，着重考查两角和的正弦、二倍角的正切与余弦公式的应用，突出正弦函数单调性的应用，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：因为cs(α+β)=15，sin(α−β)=35，
所以cs(α+β)sin(α−β)=csαcsβ−sinαsinβsinαcsβ−csαsinβ=13，
分子分母同时除以csαcsβ得：1−tanαtanβtanα−tanβ=13①，
由于0<β<α<π2，所以α−β>0−π2<−β<00<α<π2，所以0<α−β<π2，
所以cs(α−β)= 1−(35)2=45，tan(α−β)=sin(α−β)cs(α−β)=34，
所以tanα−tanβ1+tanαtanβ=34②，
联立①②，可得tanαtanβ=35．
故选：B．
结合两角和差公式，同角三角函数的基本关系，可得1−tanαtanβtanα−tanβ=13①，再根据α，β的取值范围，由同角三角函数的基本关系，可得tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=34②，然后联立①②，解方程组即可．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和差公式，同角三角函数的基本关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：f(x)=sin(x+π3)csx− 34=(sinxcsπ3+csxsinπ3)csx− 34=12sinxcsx+ 32cs2x− 34=14sin2x+ 32⋅1+cs2x2 34=12sin(2x+π3)．
将图象向右平移至π3个单位长度，
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数g(x)=12sin(4x−π3)，
所以g(x)max=12,g(x)min=−12，
∴x1，x2同时使得g(x)取得最大值或最小值时，g(x1)⋅g(x2)=14．
当x1，x2∈[−π,π]时，−4π−π3≤4x−π3≤4π−π3，
根据函数的图象可知x1−x2的最大值为3个周期的长度，即3π2．
故选：C．
先化简函数f(x)，然后根据图像的变换得函数g(x)的解析式，通过判断得x1，x2同时令g(x)取得最大值或最小值时，g(x1)⋅g(x2)=14，再结合函数g(x)的图像，即可求得x1−x2的最大值．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：当x∈[0,π3]时ωx−π12∈[−π12,π3ω−π12]，因为此时f(x)的最小值为−ω<0，
所以π3ω−π12>π2，即ω>74．
若π3ω−π12≥π，此时f(x)能取到最小值−4，即−ω=−4，
整理得：ω=4，
代入可得π3×4−π12>π，满足要求；
若f(x)取不到最小值−4，
则需满足π3ω−π12<π，即ω<134，
所以ω=4或者ω∈(74,134)，
所以所有满足条件的ω的积属4×74=7和4×134=13，
故满足的区间为(7,13)，
故选：C．
根据余弦型函数的性质判断能否取到最小值进行分类讨论即可．
本题考查的知识要点：余弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A，由tanα<0可知α为第二象限或第四象限角；
结合sinα>0，可知α为第二象限角，A正确；
对于B，锐角α终边上一点坐标为P(sin1,cs1)，
则tanα=cs1sin1=sin(π2−1)cs(π2−1)=tan(π2−1)，且α为锐角，所以α=π2−1，B正确；
对于C，sinα+csα= 2sin(α+π4)>1，故sin(α+π4)> 22，
故π4+2kπ<α+π4<3π4+2kπ,k∈Z，解得2kπ<α<π2+2kπ,k∈Z，则α是第一象限，C正确；
对于D，若α是第三象限角，则α2是第二或第四象限角，
当α2是第二象限角时，sinα2>0,csα2<0，所以|sinα2|sinα2+|csα2|csα2=1−1=0，
当α2是第四象限角时，sinα2<0,csα2>0，所以|sinα2|sinα2+|csα2|csα2=−1+1=0，
因此|sinα2|sinα2+|csα2|csα2取值的集合为{0}，D错误．
故选：ABC．
根据各象限内三角函数值的正负，判断出A的正误；由三角函数定义及诱导公式，判断出B的正误；根据辅助角公式化简并解三角不等式，从而判断出C的正误；根据α2的象限判断出三角函数的符号，进而判断出D的正误．
本题主要考查三角函数的定义、同角三角函数的关系与诱导公式、三角恒等变换等知识，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：在△中，cs(B+C)=−csA，
A中，csA+cs(B+C)=csA−csA=0为常数，所以A正确；
B中，若sin2A=sin2B，可得2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，所以B不正确；
C中，sin2A=cs2B，可得2A=π2−2B或π2+2A=2B，解得A+B=π4或B−A=π4，
当A+B=π4时，则(1+tanA)(1+tanB)=tanA+tanB+tanAtanB+1
=tan(A+B)(1−tanAtanB)+tanAtanB+1=2，
当B−A=π4，则B=A+π4，所以tanB=tan(A+π4)=1+tanA1−tanA，
所以(1+tanA)(1+tanB)=(1+tanA)(1+1+tanA1−tanA)=(1+tanA)⋅21−tanA≠2，所以C不正确；
D中，△ABC是锐角三角形，A+B>π2，所以A>π2−B，所以1>sinA>sin(π2−B)=csB>0，
则sin(sinA)>sin(csB)，所以D正确．
故选：AD．
在三角形中，由内角之间关系及诱导公式，逐一分析所给命题的真假．
本题考查三角形中角的关系的应用，诱导公式的应用，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A选项，当0所以，f(x)=12|OA|⋅|AE|=12tanx，∵0对于B选项，当x∈(π2,π)时，射线OP扫过的正方形ABCD内部的区域(阴影部分)的面积显然逐渐增加，即函数f(x)在(π2,π)上单调递增，故B错误；
对于C选项，取BC的中点G，连接OG，设射线OP与正方形的边的交点为E，作点E关于直线OG的对称点F，则∠FOD=x，所以，∠AOF=π−x，
将射线OF绕O点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S，由对称性可知S=f(x)，因为S+f(π−x)=4，即f(x)+f(π−x)=4，故C正确；
对于D选项，如图，
对于D选项，如图将三角形CBE绕C点顺时针90°至如图三角形CDF处，
注意到CE=CF，CD=CD，FD+DO=FO=EO，则△CEO≌△CFO，
故∠FCO=∠ECO，又∠FCD+∠DCO+∠OCE=∠DCO+∠OCE+∠ECB=90°，则∠OCE=45°，故D正确．
故选：ACD．
求出当0本题考查函数在解决实际问题上的应用，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A，因为f(x+2π)
=tan[sin(x+2π)]+tan[cs(x+2π)]
=tan(sinx)+tan(csx)
=f(x)，
可得2π是f(x)的周期，所以A选项正确；
对于B，因为f(π2−x)=tan[sin(π2−x)]+tan[cs(π2−x)]=tan(csx)+tan(sinx)，
所以f(x)=f(π2−x)，
所以f(x)的图象关于直线x=π4成轴对称，即f(x)有对称轴，所以B选项错误；
对于C，因为当x∈(0,π2)时，可得sinx，csx∈(0,1)，
所以可得sinx+csx<π2，
所以可得sinx<π2−csx，
可得tan(sinx)可得0可得tan(sinx)+tan(csx)对于D，因为2π是f(x)的周期，所以只需考虑k=0，1即可，
当k=0时，x∈(−π2,0)，可得sinx和csx都单调递增，可得f(x)单调递增；
当k=1时，x∈(π2,π)，可得sinx和csx均单调递减，可得f(x)单调递减，所以D选项正确．
故选：ACD．
验证f(x+2π)=f(x)即可判断A；利用函数的对称性即可判断B；由题意当x∈(0,π2)时，有sinx<π2−csx，利用三角函数的性质即可判断C；分类讨论利用函数的单调性即可判断D．
本题考查了三角函数恒等变换以及三角函数的性质的综合应用，考查了函数思想的应用，属于中档题．
13.【答案】2π5(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
由题意得csθ=−cs(θ+π5)，sinθ=sin(θ+π5)，即θ与θ+π5的终边关于y轴对称，可求．
【解答】
解：由题意得csθ=−cs(θ+π5)，sinθ=sin(θ+π5)，
所以θ+π5+θ=π+2kπ，k∈Z，
所以θ=2π5+kπ，k∈Z，
当k=0时，θ=2π5．
故答案为：2π5(答案不唯一)．
14.【答案】3
【解析】解：根据图象可知A+b=4−A+b=0，解得A=2b=2，
最小正周期T=(5π12−π6)×4=π，所以T=2πω=π，故ω=2，
当x=π6时取最大值4，即sin(2×π6+φ)=1，故2×π6+φ=2kπ+π2(k∈Z)，即φ=2kπ+π6(k∈Z)，
因为|φ|<π2，所以φ=π6，
所以f(x)=2sin(2x+π6)+2，
所以f(2φ)=f(π3)=2sin(2π3+π6)+2=2sin5π6+2=2×12+2=3．
故答案为：3．
根据函数图象可得最值和周期，进而可求出A，b，ω，再利用待定系数法求出φ，代入函数式计算即可．
本题考查三角函数的据图求式问题，以及函数的求值问题，属于中档题．
15.【答案】(135,216)
【解析】解：根据函数的性质作出图像，如图所示：
由图像的对称性可知：a+b=3，c+d=18(3所以d=18−c，
所以(a+b)⋅(cd)=3c(18−c)=3(−c2+18c)=−3(c−9)2+243，
因为33代入有：(a+b)⋅(cd)=135，
6代入有：(a+b)⋅(cd)=216，
所以(a+b)⋅(cd)∈(135,216)，
故答案为：(135,216)．
首先作出函数的图像，然后利用对称性得到a+b，c+d的值，再通过图像求出c的取值范围，然后消去d，利用二次函数的图像和性质求出范围．
本题考查了分段函数的性质，属于中档题．
16.【答案】32 692
【解析】解：(1)由题意可得π6ω+φ=k1π,(k1∈Z)−π6ω+φ=π2+k2π,(k2∈Z)，
解得φ=π4+k1+k22π,(k1,k2∈Z)ω=32+3(k1−k2),(k1−k2∈Z)，
由f(x)的周期大于π，则T=2πω>π，即0<ω<2，
当k1=k2=0时，φ=π4ω=−32，不符合题意，舍去，
当k1=1，k2=0时，φ=π4+k1+k22π,(k1,k2∈Z)ω=−32+3(k1−k2),(k1,k2∈Z)，
由f(x)的周期碁在于π，则T=2πω>π，即0<ω<2，
当k1=k2=0时，φ=π4ω=−32，不符合题意，舍去，
当k1=1，k2=0时，φ=3π4ω=32，符合题意．
(2)由y=f(x)−6在(π15,π6)上有且只有一个零点，
则方程6cs(ωx+φ)−6=0在(π15,π6)有且只有一个根，
∵−1≤cs(ωx+φ)≤1，∴f(x)在(π15,π6)上有且只有一个x0，
使得函数取得最大值，则π6−π15=π10<2T=4πω，
解得ω<40．
由(1)可知φ=π4+k1+k22π,(k1,k2∈Z)ω=−32+3(k1−k2),(k1,k2∈Z)，令k=k1+k2k′=k1−k2，
则φ=1+2k4π,(k∈Z)ω=6k′−32,(k′∈Z)，且k′=k+2k2，∴k，k′同奇偶，
由ω<40，则6k′−32<40，解得k′<836，即k′≤13，
当k′=13时，ω=752，k为奇数，则φ=3π4，∴f(x)=6cs(752x+3π4)，
由x∈(π15,π6)，则752x+3π4∈(13π4,14π2)，
当752x+3π4=4π，或752x+3π4=6π，
即x=13π150或x=21π150时，函数f(x)取得最大值，不符合题意．
当k′=13时，ω=752，k为奇数时，φ=π4，即f(x)=6cs(692x+π4)，
由x∈(π15,π6)，则692x+π4∈(51π20,6π)，
当692x+π4=4π，即x=10π92时，函数f(x)取得最大值，符合题意．
故答案为：(1)32；(2)692．
(1)根据余弦函数的性质，建立方程组，由题意，可得答案．
(2)根据函数与方程的关系，将问题转化为三角函数求最值，结合三角函数的性质，求得ω的取值范围，由大到小进行检验，能求出ω的最大值．
本题考查三角函数的最值、零点、对称中心、对称轴、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)①2cs2θ−csθ−1=0，则(2csθ+1)(csθ−1)=0，得csθ=−12或csθ=1，
θ是三角形内角，则csθ=−12，故θ=2π3.则f(x)=tan(−2x+2π3)=−tan(2x−2π3)，
②令2x−2π3≠kπ+π2，得x≠kπ2+7π12，k∈Z.即函数的定义域为{x|x≠kπ2+7π12,k∈Z}．
综上：θ=2π3,f(x)=tan(−2x+2π3)=−tan(2x−2π3)，定义域为{x|x≠kπ2+π12,k∈Z}；
(2)①2x−2π3=k⋅π2，得x=π3+k⋅π4，故对称中心为(π3+k⋅π4,0),k∈Z；
②令kπ−π2<2x−2π3即函数的单调递减区间为(kπ2+π12,kπ2+7π12),k∈Z，无单调增区间．
【解析】(1)确定(2csθ+1)(csθ−1)=0，得到csθ=−12或csθ=1，根据角度范围得到答案．计算定义域．
(2)令kπ−π2<2x−2π3本题考查三角函数的性质，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(α)=y1+y2=sinα+sin(α+π3)=sinα+sinαcsπ3+csαsinπ3=32sinα+ 32csα，
化简得：f(α)= 3sin(α+π6)，
所以f(π6)= 3sinπ3=32；
(2)由(1)可知g(x)= 3sin(2x−π6)+ 3(λ−1)sin(x−π3)= 3cs(2x−2π3)+ 3(λ−1)sin(x−π3)，
化简得：g(x)=−2 3sin2(x−π3)+ 3(λ−1)sin(x−π3)+ 3，
设sin(x−π3)=t，则t∈[−1,1]，
令m(t)=−2 3t2+ 3(λ−1)t+ 3，则此抛物线的对称轴方程为t=λ−14，
若λ−14≤0，即λ≤1，则m(t)min=m(1)=− 3+ 3(λ−1)=−2 3，
解得：λ=0；
若λ−14>0，即λ>1，则m(t)min=m(−1)=− 3− 3(λ−1)=−2 3，
解得：λ=2．
综上所述，λ=0或λ=2．
【解析】(1)由三角函数定义可得y1，y2，将α=π6直接代入即可求得f(π6)；
(2)先求出g(x)，根据正弦型函数单调区间的求法可求得结果；
(3)结合诱导公式和二倍角公式，采用换元法可将h(x)转化为关于t∈[−1,1]的二次函数的形式，讨论对称轴位置即可利用最小值构造方程求得λ的值．
本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了二次函数的性质，属于中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)=sin(2π−x)cs(π+x)cs(π2+x)cs(11π2−x)cs(π−x)sin(3π−x)sin(−π−x)sin(9π2+x)=sin(−x)(−csx)(−sinx)(−sinx)−csxsinxsinxcsx=−tanx，
∵f(x)=−tanx，
∵f(α)=2，∴tanα=−2，
∴sinαcsα+2sin2α=sinαcsα+2sin2αcs2α+sin2α=tanα+2tan2α1+tan2α=−2+81+4=65．
(2)依题意，由f(α−β)=−13,f(α)=−12，可得tan(α−β)=13,tanα=12，
∴tan(2α−β)=tan[(α−β)+α]=tan(α−β)+tanα1−tan(α−β)tanα=13+121−16=1．
∵α,β∈(0,π2)，∴α−β∈(−π2,π2)，
又tan(α−β)>0，∴α−β∈(0,π2)，
∴2α−β∈(0,π)，
∴2α−β=π4．
【解析】(1)利用诱导公式化简f(x)，并得到tanα=−2，将sinαcsα+2sin2α化为齐次式，转化为正切计算即可；
(2)结合题意求出tan(α−β)=13,tanα=12，再通过配凑角求出tan(2α−β)，找到2α−β的范围，从而求出2α−β的值．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题意f(x)max=f(π)=3，f(x)min=f(6π)=−3，
所以A=3，T=2πω=2×(6π−π)=10π，所以ω=15，
又因为f(π)=3sin(π5+φ)=3，所以π5+φ=2kπ+π2,k∈Z，所以φ=2kπ+3π10,k∈Z，
又0≤φ≤π2，所以φ=3π10，
所以f(x)=3sin(15x+3π10)．
(2)由题意m满足−m2+2m+3≥0−m2+4≥0，解得：−1≤m≤2，
因为−m2+2m+3=−(m−1)2+4≤4，所以0≤ −m2+2m+3≤2，
同理0≤ −m2+4≤2，
由(1)知函数在[−4π,π]上递增，因为f( −m2+2m+3)>f( −m2+4)，
故 −m2+2m+3> −m2+4，解得m∈(12,2]．
(3)由题意知：g(x)=sin(15x+3π10),h(x)=sin(15x+3π10+15φ0)，
因为函数y=ex与函数y=lgx均为单调增函数，且−1≤g(x)≤1，0所以当且仅当g(x)=sin(15x+3π10)=1与h(x)=sin(15x+3π10+15φ0)=1同时成立时，函数取得最大值，
由g(x)=sin(15x+3π10)=1得15x+3π10=π2+2kπ,k∈Z，
则h(x)=sin(15x+3π10+15φ0)=sin(π2+2kπ+15φ0)=1，
所以cs(15φ0)=1，所以φ0=10kπ，k∈Z，
又φ0>0，所以φ0的最小值为10π．
【解析】(1)利用最大值和最小值可确定A，又T=2πω=10π，可求得ω；根据f(π)=3，结合φ的范围可求得φ，从而得到解析式；
(2)首先保证原式有意义可得到−1≤m≤2；根据二次函数性质可确定0≤ −m2+2m+3≤2，0≤ −m2+4≤2；由函数在[−4π,π]上递增可确定 −m2+2m+3> −m2+4，解不等式求得结果；
(3)根据三角函数伸缩和平移变化得到g(x)和h(x)；由复合函数单调性可确定当y=eg(x)+lgh(x)取最大值时，需g(x)=sin(15x+3π10)=1与h(x)=sin(15x+3π10+15φ0)=1同时取得，从而求得φ0=10kπ，根据φ0>0确定最小值．
本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由图象得T=12，则ω=2πT=π6，
又A+h=11−A+h=5，解得A=3，h=8，
根据一个最高点(2,11)得π6×2+φ=π2+2kπ，k∈Z，解得φ=π6+2kπ，k∈Z，
又−π2<φ<π2，则φ=π6，
∴函数y=3sin(π6x+π6)+8；
(2)①由(1)得y=3sin(π6x+π6)+8，
又y≥3.5+6，即y≥9.5，即sin(π6x+π6)≥12，解得2kπ+π6≤π6x+π6≤2kπ+5π6，k∈Z，
∴12k≤x≤12k+4，k∈Z，
故该船每天可以进港的时间段为0～4时和12～16时；
②由题意得y−(6−0.3x)≥3.5，即3sin(π6x+π6)+8≥−0.3x+9.5，解得0≤x≤5，
故从0点开始卸货到5点，此时船已经卸货一半，驶出港口，等到11点再次驶入港口进行卸货，直至卸完货．
【解析】本题考查三角函数在实际生活中的应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
(1)结合图象可得T=12，则ω=2πT=π6，且A+h=11−A+h=5，求出A，h，即可得出答案；
(2)①由(1)得y=3sin(π6x+π6)+8，由题意得y≥9.5，即sin(π6x+π6)≥12，求解即可得出答案；
②由题意得y−(6−0.3x)≥3.5，即3sin(π6x+π6)+8≥−0.3x+9.5，解得0≤x≤5，即可得出答案．
22.【答案】解：(1)由题意，f(−π4)=± 1+a2，即 22(−1+a)=± 1+a2，解得a=−1，
则sinx−csx=cs2x=cs2x−sin2x=(csx−sinx)(sinx+csx)，
解得sinx−csx=0或sinx+csx=−1，
当sinx−csx=0时，tanx=1，
又x∈[0,2π]，
∴x=π4或x=5π4，
当sinx+csx= 2sin(x+π4)=−1时，sin(x+π4)=− 22，
又x∈[0,2π]，
∴x=π,3π2，
∴f(x)=cs2x在[0,2π]上的解集是{π4,π,5π4,3π2}；
证明：(2)y=ex的反函数是g(x)=lnx，
∴F(x)=sinx−csx+32lnx= 2sin(x−π4)+32lnx，x>0，
当x∈(0,3π4]时，x−π4∈(−π4,π2]，此时函数y= 2sin(x−π4)在(0,3π4]上单调递增，
又y=32lnx在(0,3π4]上也是递增的，
∴F(x)在(0,3π4]上单调递增，
因为F(π4)=32lnπ4<0，F(π2)=1+32lnπ2>0，
函数F(x)的图象是连续不断的，
∴F(x)在(0,3π4]上有唯一零点x0，
当x∈(3π4,5π4)时， 2sin(x−π4)>0，32lnx>0，
所以F(x)>0，F(x)无零点，
当x∈[5π4,+∞)时，F(x)>0，F(x)无零点，
综上所述，F(x)存在唯一零点．
又sinx0−csx0+32lnx0=0，且x0∈(π4,π2)，
∴g(x0)+13sin2x0=2csx0−2sinx0+sin2x03，
设h(x)=2csx−2sinx+sin2x3，则h′(x)=−2sinx−2csx+2cs2x3<0，
∴h(x)在(π4,π2)上是单调递减的，
∴h(π2)【解析】(1)对于函数f(x)，利用正弦函数的图象性质可以求得a，再利用余弦函数二倍角公式求解；
(2)利用函数零点的存在性定理，找出能使F(x)的值既取正数，又可以取负数的区间，利用导数判定函数在这个区间上的单调性，获得不等式的证明．
本题考查三角函数的图象性质、函数零点存在性定理的应用，以及利用导数探究函数单调性，属于中档题．