2023-2024学年广东省广州市番禺区高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市番禺区高二（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5}，B={x|x≥3}，则A∩B=( )
A. {0,1,2}B. {3,4,5}C. {0,1,2,3}D. {4,5}
2.若复数z=i(2+i)，则|z|=( )
A. 1B. 2C. 5D. 5
3.在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是( )
A. OM=2OA−OB−OCB. OM=14OA+14OB+14OC
C. OM+OA+OB+OC=0D. OM=16OA+13OB+12OC
4.已知直线l经过点P(0,1)，且它的一个方向向量为(1,2)，则直线l的方程为( )
A. 2x−y−1=0B. x+2y−2=0C. 2x−y+1=0D. 2x+y+1=0
5.番禺图书馆新谊是一个集知识、信息、文化为一体的综合性阅读场所.在一段时间内，若甲同学前往图书馆新馆的概率为0.5，乙前往图书馆新馆的频率为0.8，且甲、乙两人各自行动，则在此段时间内，甲、乙两人至少有一人称往番禺图书馆新馆的概率是( )
A. 0.9B. 0.8C. 0.5D. 0.4
6.设点F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的渐近线交于A，B两点(均异于点O).若|AB|=|OF|，则双曲线C的离心率为( )
A. 2B. 3C. 2D. 5
7.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在BD上，点F在CB1上，则EF的最小值为( )
A. 1
B. 22
C. 33
D. 12
8.蜜蜂是母系社会生物.蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是“有母无父”，雌蜂是“有父有母”的.如图是某只雄蜂的家系图，规定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推.记Fn表示该雄蜂上溯第n代的祖辈数量，例如F1=1.那么，下列结论中正确的是( )
A. F7+F9>F10B. F8+F10>2F9
C. F8+F9>F7+F10D. 4F5+F9>F10
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在等差数列{an}中，已知a4=8，a12=−8，Sn是其前n项和，则下列选项正确的是( )
A. d=−2B. a8=0C. S15=54D. S33>S44
10.已知函数f(x)= 32sin2x−cs2x+12(x∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的图象关于y轴对称
B. 函数f(x)的最小正周期为π
C. 点(π6,0)为函数f(x)图象的一个对称中心
D. 函数f(x)的最大值为1
11.已知O为坐标原点，点A(2,0)，动点P满足OP⋅PA=0，Q是直线x− 3y+3=0上的点，下列结论正确的是( )
A. 点P的轨迹是圆B. |PQ|的最大值为3
C. |PQ|的最小值为1D. ∠OQA<90°
12.过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，则( )
A. 以线段AB为直径的圆与y轴相切
B. |AB|的最小值为4
C. 当AF=3FB时，直线l的斜率为± 3
D. 1|FA|+1|FB|=2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.等比数列{an}中，a2=1，a4=4，则a6=______．
14.已知圆C：(x−1)2+y2=1，过点A(−1,0)作圆C的切线，切点为B，则|AB|= ______ ．
15.在棱长为2的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则AE⋅AD= ______ ．
16.用一个平面将圆柱切割成如图的两部分，然后将下半部分几何体的侧面展开.若该平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为y=1+2csx，x∈[−π,π]，则该平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a= 3b，c=8．
(1)若A=π3，求B的值；
(2)若C=π6，求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
某大型连锁超市为了解客户去年在该超市的消费情况，随机抽取了100位客户进行调查、经统计，这100位客户去年到该超市消费金额(单位：万元)均在区间[0.2,1.4]内，按[0.2,0.4]，(0.4,0.6]，(0.6,0.8]，(0.8,1.0]，(1.0,1.2]，(1.2,1.4]分成6组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求该频率分布直方图中a的值，并估计这100位客户去年到该超市消费金额的平均数x−；(同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作为代表)
(2)为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间(0.4,0.6]和(0.6,0.8]内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机抽取2人作为“幸运客户”，求“幸运客户”中恰有1人来自区间(0.4,0.6]的概率．
19.(本小题12分)
已知数列{an}是一个首项为3，公比为q(q≠1)的等比数列，且3a1，2a2，a3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}的前n项和Sn=n2，求数列{an⋅bn}的前n项和Tn．
20.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D是A1B上的一点，且AD⊥平面A1BC．
(1)求证：BC⊥A1B；
(2)若A1B=4，AB=BC=2，P为AC的中点，求平面A1PB与平面PBC的夹角的余弦值．
21.(本小题12分)
已知两个定点A1(−2,0)，A2(2,0)，动点M满足直线MA1与直线MA2的斜率之积为定值m4(m<0)．
(1)求动点M的轨迹方程，并说明随m变化时，方程所表示的曲线C的形状；
(2)若m=−1，设不经过原点的直线l与曲线C相交于E，F两点，直线OE，1，OF的斜率分别为k1.k，k2(其中k>0).若k1，k，k2恰好构成等比数列，求k的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2lg(10x+a)，g(x)=f(x)−x．
(1)当a=−1时，求函数f(x)的定义域；
(2)当a=1时，判断函数g(x)的奇偶性并证明；
(3)给定实数a>0且a≠1，试判断是否存在直线x=x0，使得函数g(x)的图象关于直线x=x0对称？若存在，求出x0的值(用a表示)；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5}，B={x|x≥3}，
则A∩B={3,4,5}．
故选：B．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：z=i(2+i)=−1+2i，
则|z|= (−1)2+22= 5．
故选：D．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：空间中的四点M，A，B，C共面，只需满足OM=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1即可，
对于A，OM=2OA−OB−OC，其中2−1−1=0，所以四点M，A，B，C不共面，故A错误；
对于B，OM=14OA+14OB+14OC，其中14+14+14=34，所以四点M，A，B，C不共面，故B错误；
对于C，OM=−OA−OB−OC，其中−1−1−1=−3，所以四点M，A，B，C不共面，故C错误；
对于D，OM=16OA+13OB+12OC，其中16+13+12=1，所以四点M，A，B，C共面，故D正确．
故选：D．
空间中的四点M，A，B，C共面，只需满足OM=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1即可，逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了空间向量共面的判定定理，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵直线的一个方向向量为(1,2)，
∴直线l的斜率为k=2，
∴直线l的方程为y−1=2(x−0)，即y=2x+1，即2x−y+1=0．
故选：C．
根据方向向量可得直线的斜率，进而根据点斜式解方程即可．
本题考查直线方程、直线的方向向量、斜率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：设事件A表示“甲同学前往图书馆新馆”，设事件B表示“乙同学前往图书馆新馆”，
则P(A)=0.5，P(B)=0.8，
∴在此段时间内，甲、乙两人至少有一人称往番禺图书馆新馆的概率是：
P=1−P(A−B−)=1−(1−P(A))(1−P(B))
=1−(1−0.5)(1−0.8)
=0.9．
故选：A．
设事件A表示“甲同学前往图书馆新馆”，设事件B表示“乙同学前往图书馆新馆”，则P(A)=0.5，P(B)=0.8，利用相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式能求出在此段时间内，甲、乙两人至少有一人称往番禺图书馆新馆的概率．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：如下图所示：
连接AF、BF，设AB∩OF=M，
由对称性可知，M为AB的中点，AB⊥OF，
因为|AB|=|OF|，则线段AB是以OF为直径的圆的一条直径，则M为圆心，
故M为OF的中点，
又因为AB⊥OF，且AB、OF互相垂直且平分，
所以，四边形OAFB为正方形，
则∠AOF=π4，
所以ba=tanπ4=1，
所以，该双曲线的离心率为e=ca= a2+b2a2= 1+(ba)2= 2．
故选：A．
作出图形，分析可知，四边形OAFB为正方形，可得出∠AOF=π4，求出ba的值，进而可求得该双曲线的离心率的值．
本题考查双曲线的性质，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：
，
则可设E(a,a,0)，其中0≤a≤1，F(b,1,b)，其中0≤b≤1，
根据图中可知直线BD和直线B1C为异面直线，
若能取到两异面直线间的距离，则此时EF距离最小，
根据异面直线公垂线的定义知EF⊥BD，EF⊥B1C，
EF=(b−a,1−a,b)，DB=(1,1,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
则B1C=(−1,0,−1)，则EF⋅BD=b−a+1−a=0，EF⋅B1C=−b+a−b=0，
解得a=23b=13，满足a，b范围，
则此时EF= (a−b)2+(a−1)2+b2= 19+19+19= 33，
则EFmin= 33．
故选：C．
以D为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，设E(a,a,0)，0≤a≤1，F(b,1,b)，0≤b≤1，根据异面直线距离定义利用空间两点距离公式即可得到答案．
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，考查异面直线距离定义以及空间两点距离公式，考查数形结合思想，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可得，F1=F2=1，
当n≥3时，Fn=Fn−1+Fn−2，
对于A，F10=F9+F8>F9+F7，故A错误；
对于B，F8+F10−2F9=F8+F8+F9−2F9=2F8−F9=2F8−(F8+F7)=F8−F7>0，
∴F8+F10>2F9，故B正确；
对于C，F8+F9=F10对于D，∵F10−4F5−F9=F8−4F5=F7+F6−4F5=F6+F5+F5+F4−4F5=2F4−F5=2F4−(F4+F3)=F4−F3=F2>0，
∴F10>4F5+F9，故D错误．
故选：B．
由题意可得，F1=F2=1，当n≥3时，Fn=Fn−1+Fn−2，从而利用次性质，结合作差法对选项一一进行判断即可．
本题考查数列的递推公式，涉及归纳推理的应用，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：设数列{an}的公差为d，
由a4=8，a12=−8，得a1+3d=8a1+11d=−8，解得d=−2a1=14，
∴a8=a1+7d=14−7×2=0，故选项A，B正确；
∴S15=15a1+15×142d=15×14+15×142×(−2)=0，故选项C错误；
∴S33=3×14+3×22×(−2)3=12，S44=4×14+4×32×(−2)4=11，
∴S33>S44，故选项D正确．
故选：ABD．
设数列{an}的公差为d，根据等差数列基本量的计算求出a1和d，再结合等差数列的通项公式与前n项和公式判断各个选项即可．
本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：函数f(x)= 32sin2x−cs2x+12= 32sin2x−1+cs2x2+12
= 32sin2x−12cs2x
=sin(2x−π6)(x∈R)，
因为f(x)不是偶函数，图象关于y轴不对称，A错误；
由ω=2知，f(x)的最小正周期为π，故B正确；
由f(π6)=sinπ6=12≠0，
∴点(π6,0)不是函数f(x)图象的一个对称中心，C错误；
由sin(2x−π6)∈[−1,1]，∴f(x)的最大值是1，D正确．
故选：BD．
化函数f(x)为正弦型函数，再依次判断选项中的命题是否正确．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：设P(x,y)，则OP⋅PA=(x,y)⋅(2−x,−y)=x(2−x)−y2=0，即(x−1)2+y2=1，
所以P点轨迹是圆，此圆圆心为C(1,0)，半径为r=1，OA是圆的一条直径．
因为C点到直线x− 3y+3=0的距离为d=|1−0+3| 12+(− 3)2=2>1，
所以直线与圆相离，所以|PQ|无最大值，最小值为2−1=1，
由于已知直线与以OA为直径的圆相离，∠OQA<90°，因此ACD正确．
故选：ACD．
设P(x,y)，由数量积的坐标表示求出P点轨迹方程，再利用直线和圆的位置关系求解，判断各选项．
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，
显然直线AB的斜率不为0，设直线的方程为x=my+1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=my+1y2=4x，整理可得：y2−4my−4=0，
可得y1+y2=4m，y1y2=−4，
B中，由抛物线的性质可得弦长|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+2+2=4m2+4≥4，所以|AB|的最小值为4，当且仅当m=0，即直线AB与对称轴垂直时取等号，所以B正确；
A中，由题意可得AB的中点D坐标(2m2+1,2m)，可得D到y轴的距离d=2m2+1≠|AB|2，所以可得以AB为直径的圆与y轴不相切，所以A不正确；
D中，因为1FA+1FB=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2(x1+1)(x2+1)=m(y1+y2)+4m2y1y2+2m(y1+y2)+4=4m2+4−4m2+8m2+4=1，所以D错误；
C中，当AF=3FB时，即−y1=3y2，而y1+y2=4m，可得y2=−2m，y1=6m，又y1y2=−4，可得12m2=4，可得m=± 33，所以直线的斜率k=1m=± 3，所以C正确．
故选：BC．
由抛物线的方程可得焦点F的坐标，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，B中，由抛物线的性质可得弦长|AB|的表达式，将两根之和代入可得|AB|的最小值，判断B的真假；A中，求出AB的中点D的坐标，再求D点到y轴的距离d，可等于弦长|AB|的一半，可得以AB为直径的圆与y轴相切，判断A的真假；D中，由抛物线的性质求出1FA+1FB的表达式，将两根之和及两根之积代入，可得其值，判断D的真假；C中，由向量的关系，可得A，B的纵坐标的关系，代入两根之和及两根之积，可得参数的值，再求直线的斜率的值，判断C的真假．
本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
13.【答案】16
【解析】解：在等比数列{an}中，由a2=1，a4=4，得q2=a4a2=41=4，
∴a6=a4q2=4×4=16．
故答案为：16．
有已知求出q2，再由a6=a4q2得答案．
本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题．
14.【答案】 3
【解析】解：因为圆C：(x−1)2+y2=1，
所以圆心C(1,0)，半径r=1，
因为A(−1,0)，
所以|AC|= (1+1)2+02=2，
所以|AB|= |AC|2−r2= 4−1= 3．
故答案为： 3．
利用勾股定理求解即可．
本题考查直线与圆相切，属于基础题．
15.【答案】2
【解析】解：在正四面体中，所有的棱长都为2，且各个面都是正三角形，
因为E为BC的中点，所以AE=12(AB+AC)，
则AE⋅AD=12(AB+AC)⋅AD=12(AB⋅AD+AC⋅AD)=12(|AB||AD|cs60°+|AC||AD|cs60°)
=12×(2×2×12+2×2×12)=2．
故答案为：2．
利用正四面体的性质以及空间向量的数量积的运算性质化简即可求解．
本题考查了空间向量的数量积的运算性质，属于基础题．
16.【答案】2 55
【解析】解：由y=1+2csx在一个周期[−π,π]上图象如图，
其最大值与最小值相差4，即截面的最高处与最低处的高度差为4，
底面周长为2π，即底面半径为1，故直径为2，
所以平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是4 42+22=2 55．
故答案为：2 55．
根据已知画出y=1+2csx在−π，π]上的图象，直观想象侧面展开图与几何体的关系确定截面最高、低高度差及底面半径，即可求二面角正弦值．
本题考查了圆柱的展开图及最短距离问题，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由a= 3b及正弦定理，
可得sinA= 3sinB，
又A=π3，所以sinB=12，
又a>b，则A>B，
所以B=π6；
(2)由a= 3b，c=8，C=π6及余弦定理，
可得c2=a2+b2−2abcsC，
即64=3b2+b2−2 3b2× 32=b2，
解得b=8，a=8 3，
所以S△ABC=12absinC=12×8×8 3×12=16 3．
【解析】(1)由已知及正弦定理，可求得sinB，进而求得B；
(2)由已知及余弦定理，可求得b=8，a=8 3，进而求得△ABC面积．
本题考查应用正、余弦定理解三角形，属中档题．
18.【答案】解：(1)由题可知，0.2×(a+1.0+1.5+0.9+a+0.3)=1，
解得a=0.65，
由频率分布直方图可得x−=0.3×0.65×0.2+0.5×1.0×0.2+0.7×1.5×0.2+0.9×0.9×0.2+1.1×0.65×0.2+1.3×0.3×0.2=0.732，
因此，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.732万元；
(2)记“幸运客户中恰有1人来自区间(0.3,0.4]”为事件A，
因为区间(0.4,0.6]和(0.6,0.8]频率之比为2：3，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，
故从分组区间(0.4,0.6]中抽取2人，分别记为A1，A2，从分组区间(0.6,0.8]中抽取3人，分别记为B1，B2B3，
从这5个人中随机选择2人作为“幸运客户”，
则样本空间Ω={(A1,A2)，(A1,B1)(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)(A2,B2)，(A2,B3)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B2,B3)}，共10个样本点，
A={(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)}，共6个样本点，
所以P(A)=610=35．
【解析】(1)由题得，0.2×(a+1.0+1.5+0.9+a+0.3)=1，求得a=0.65，再利用平均数公式求解；
(2)先利用分层抽样得到分组区间(0.4,0.6]中抽取2人，分组区间(0.6,0.8]中抽取3人，再由古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵3a1，2a2，a3成等差数列，
∴2×2a2=3a1+a3，
∴4a1q=3a1+a1q2，
化为q2−4q+3=0，q≠1，
解得q=3．
∴an=3n．
(2)∵数列{bn}的前n项和Sn=n2，
∴n≥2时，bn=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1，
n=1时，b1=S1=1，满足上式，
∴bn=2n−1，
an⋅bn=(2n−1)⋅3n，
∴数列{an⋅bn}的前n项和Tn=3+3×32+5×33+…+(2n−1)⋅3n，
3Tn=32+3×33+…+(2n−3)⋅3n+(2n−1)⋅3n+1，
相减可得：−2Tn=3+2×(32+33+…+3n)−(2n−1)⋅3n+1=3+2×9×(3n−1−1)3−1−(2n−1)⋅3n+1，
化为：Tn=(n−1)⋅3n+1+3．
【解析】(1)由3a1，2a2，a3成等差数列，可得2×2a2=3a1+a3，利用通项公式即可得出结论．
(2)由数列{bn}的前n项和Sn=n2，n≥2时，bn=Sn−Sn−1，n=1时，b1=S1，可得bn，利用错位相减法即可得出数列{an⋅bn}的前n项和Tn．
本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，
所以AA1⊥平面ABC，
因为BC⊂平面ABC，
所以AA1⊥BC，
又因为AD⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC，
所以AD⊥BC，
又因为AA1∩AD=A，AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，
所以BC⊥平面A1AB，
又因为A1B⊂平面A1AB，
所以BC⊥A1B；
(2)由(1)知BC⊥平面A1AB，
因为AB⊂平面A1AB，所以BC⊥AB．
所以BA，BC，BB1两两互相垂直，
以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，B1(0,0,4)，P(1,1,0)，A1(0,2,2 3)，
所以BA1=(0,2,2 3)，BP=(1,1,0)，
设平面A1PB的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅BA1=2y+2 3z=0m⋅BP=x+y=0，
令z= 3，得y=−3，x=3，所以n=(3,−3, 3)，
由题知，平面PBC的一个法向量为n=(0,0,1)，
设平面A1PB与平面PBC的夹角为θ，
则csθ=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|= 3 21= 77，
所以平面A1PB与平面PBC的夹角的余弦值为 77．
【解析】(1)由线面垂直的判定定理证明即可；
(2)建立空间直角坐标系，由向量法求平面与平面的夹角即可．
本题考查线线垂直的证明和平面与平面所成角，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设动点M(x,y)，依题意有yx−2⋅yx+2=m4(m≠0)，
整理得x24−y2m=1,m≠0，
∴动点M的轨迹方程为x24−y2m=1，
当m>0时，轨迹是焦点在x轴上的双曲线，
当m∈(−4,0)时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆，
当m=−4时，轨迹是圆，
当m∈(−∞,−4)时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且点A1(−2,0)，A2(2,0)不在曲线上；
(2)设直线l的方程为y=kx+t，E(x1,y1)，F(x2,y2)，
由y=kx+tx24+y2=1，解得(1+4k2)x2+8ktx+4(t2−1)=0，
由韦达定理有x1+x2=−8kt1+4k2，x1x2=4t2−41+4k2且Δ=16(1+4k2−t2)>0，
∵k1，k，k2构成等比数列，
∴k2=k1k2=(kx1+t)(kx2+t)x1x2，即kt(x1+x2)+t2=0，
由韦达定理代入化简得k2=14，∵k>0，∴k=12．
【解析】(1)设动点M(x,y)，依题意有yx−2⋅yx+2=m4(m≠0)，由此能求出动点M的轨迹方程，并能指出随m变化时方程所表示的曲线的形状；
(2)设直线l的方程为y=kx+t，E(x1,y1)，F(x2,y2)，由y=kx+tx24+y2=1，得(1+4k2)x2+8ktx+4(t2−1)=0，由此利用韦达定理、等比数列的性质即可求解k的值．
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)根据题意，当a=−1时，f(x)=2lg(10x−1)，
必有10x−1>0，解可得x>0，即f(x)的定义域为(0,+∞)；
(2)当a=1时，f(x)=2lg(10x+1)，则g(x)=2lg(10x+1)−x，其定义域为R，
g(−x)=2lg(10−x+1)+x=2lg(1+10x10x)+x=2lg(10x+1)−x=g(x)，
则函数g(x)为偶函数；
(3)根据题意，假设存在直线x=x0，使得函数g(x)的图象关于直线x=x0对称，
则有g(x0+x)=g(x0−x)，即2lg(10x0+x+a)−(x0+x)=2lg(10x0−x+a)−(x0−x)，
则有2lg(10x0+x+a)−2lg(10x0−x+a)=2x，
化简可得：lg(10x0+x+a10x0−x+a)=x，则有10x0+x+a10x0−x+a=10x，
进而可得10x0+x+a=(10x0−x+a)×10x，
变形可得(10x0−a)(10x+1)=0，必有10x0=a，即x0=lga，
故存在直线x=lga，使得函数g(x)的图象关于直线x=lga对称．
【解析】(1)根据题意，由对数函数的性质可得10x−1>0，解可得答案；
(2)根据题意，求出g(x)的解析式，进而分析可得答案；
(3)根据题意，先假设存在直线x=x0，使得函数g(x)的图象关于直线x=x0对称，由此可得g(x0+x)=g(x0−x)，即2lg(10x0+x+a)−(x0+x)=2lg(10x0−x+a)−(x0−x)，变形分析可得x0=lga，即可得结论．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．