2023-2024学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是( )
A.
B.
C.
D. ρ
2.已知mn=23，则mm+n的值为( )
A. 35B. 25C. 75D. 23
3.已知反比例函数y=kx的图象经过点A(−2,6)，则下列各点中也在该函数图象上的是( )
A. (2,6)B. (1,−12)C. (−3,−4)D. (4,3)
4.抛物线y=2(x+9)2−3的顶点坐标是( )
A. ( 9，3)B. (9,−3)C. (−9,3)D. (−9,−3)
5.在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有( )
A. 10个B. 11个C. 12个D. 13个
6.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为( )
A. 1
B. 13
C. 12
D. 22
7.如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC=15°，则∠BDC=( )
A. 85°
B. 75°
C. 70°
D. 65°
8.如图，在直角坐标系中，点P(2,2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0,1)，(3,1).则木杆AB在x轴上的投影长为( )
A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
9.一次函数y=ax+b与反比例函数y=abx(a,b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.已知二次函数y=ax2−2ax+3(其中x是自变量)，当0≤x≤3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为( )
A. −13
C. a<−1或a>3D. −1二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若∠A是锐角，csA= 32，则∠A= ______ 度．
12.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD=1：3，△ABC的面积为2，则△DEF的面积为______ ．
13.如图，点A是反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接PA，PB.若△ABP的面积等于3，则k的值为______ ．
14.如图抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−1，与x轴的一个交点为(−5,0)，则不等式ax2+bx+c>0的解集为______．
15.如图，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得AB，BC恰好都经过圆心O，折C痕为AB，BC，则阴影部分的面积为______cm2．
16.如图，AB=5，BC=10，以AC为斜边在AC的右侧作△ACD，其中∠ADC=90°,ADCD=43，当BD长度最大时，点D到BC的距离是______ ．
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(12)−1+(π+1)0−2sin30°+ 9．
18.(本小题6分)
已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠AED=∠B，AD=3，AB=8，AE=4，求AC的长度．
19.(本小题6分)
如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1200N，阻力臂长为0.5m.设动力为y(N)，动力臂长为x(m).(杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计)
(1)求y关于x的函数解析式．
(2)当动力臂长为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？
20.(本小题8分)
随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，我国人民的出行方式越来越多，出行越来越便捷．为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出入闸口，分别记为A、B、C、D．
(1)一名乘客通过该站闸口时，求他选择A闸口通过的概率；
(2)当两名乘客通过该站闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相同闸口通过的概率．
21.(本小题8分)
如图大楼AB的高度为37m，小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行32m到达D处，再沿着斜坡DE走20m到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为30°.已知斜坡ED与水平面的夹角∠EDG=37°，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内(结果精确到0.1m)
(1)求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD．
(2)求旗杆的AC高度．
(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75， 3≈1.73)
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O是AB上一点，以OB为半径的⊙O与AB相交于点E，与AC相切于点D，连结BD．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)已知cs∠ABC=35，AB=6，求⊙O的半径r．
23.(本小题10分)
把边长为44cm的正方形硬纸板(如图1)，在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子(如图2).若剪掉的小正方形的边长为x cm，长方体形的无盖盒子的侧面积为S cm2．
(1)①求S与x的函数关系式；
②直接写出x的取值范围．
(2)求当x取何值时，S达到最大，并求出最大值．
24.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点.如图，已知双曲线y=kx(x>0)经过点A(2,2)，在第一象限内存在一点B(m,n)，满足mn>4．
(1)求k的值；
(2)如图1，过点B分别作平行于x轴，y轴的直线，交双曲线y=kx(x>0)于点C、D，记线段BC、BD、双曲线所围成的区域为W(含边界)，
①当m=n=4时，区域W的整点个数为______ ；
②直线y=ax−5a+4(a>0)过一个定点，若点B为此定点，这条直线将W分成两部分，直线上方(不包含直线)的区域记为W1，直线下方(不包含直线)的区域记为W2，当W1与W2的整点个数之差不超过2时，请求出a的取值范围．
25.(本小题12分)
(1)问题发现：如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，填空：ACBD= ______ ；∠AMB= ______ ；
(2)类比探究：如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M，请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，在(2)的条件下，将△OCD绕点O旋转至点C与点M重合，若OD=1，OB= 7，填空：AC= ______ ．
26.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，点A的坐标为(1,0)．
(1)该抛物线的表达式为______ ；
(2)点P为抛物线上一点(不与点A重合)，连接PC.当∠PCB=∠ACB时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：从正面看，下方长方体看到的是长方形，上方圆柱看到的也是长方形，
且两个长方形在左侧位置对齐，
故选：A．
根据观察方向即可求解．
本题考查几何体的三视图，解题的关键是具有一定的空间观念．
2.【答案】B
【解析】解：设m=2k，n=3k，其中k≠0，
则mm+n
=2k2k+3k
=2k5k
=25，
故选：B．
根据已知条件设m=2k，n=3k，其中k≠0，再代入求出答案即可．
本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点(−2,6)，
∴k=−2×6=−12，
A、2×6=12≠−12，故此点不在此函数图象上；
B、1×(−12)=−12，故此点在此函数图象上；
C、−3×(−4)=12，故此点不在此函数图象上；
D、4×3=12，故此点不在此函数图象上．
故选：B．
首先利用待定系数法求出k的值，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，等于k的值的就在反比例函数图象上，反之则不在．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
4.【答案】D
【解析】解：∵y=2(x+9)2−3，
∴抛物线顶点坐标为(−9,−3)，
故选：D．
由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．
5.【答案】B
【解析】解：设黑球个数为：x个，
∵摸到白色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中得到白色球的概率为25%，
∴55+4+x=0.25，
解得：x=11，
故黑球的个数为11个．
故选：B．
由摸到白球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出黑球个数即可．
此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：在直角△ACD中，AD=2，CD=6，
则tan∠ACB=ADCD=26=13．
故选：B．
在直角△ACD中利用正切函数的定义即可求解．
本题考查了正切函数的定义，掌握三角函数就是直角三角形中边的比是关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=15°，
∴∠CAB=75°，
∴∠BDC=∠CAB=75°，
故选：B．
由AB是直径可得∠ACB=90°，由∠ABC=30°可知∠CAB=60°，再根据圆周角定理可得∠BDC的度数，即可得出答案．
本题考查了圆周角定理，由AB是直径求出∠ACB=90°是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，
∵P(2,2)，A(0,1)，B(3,1)．
∴PD=1，PE=2，AB=3，
∵AB/​/A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴ABA′B′=ADAE，即3A′B′=12，
∴A′B′=6，
故选：C．
利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A′B′的长．
本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大(即位似变换)的关系．
9.【答案】D
【解析】解：A、一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限，则a>0，b>0，所以ab>0，则反比例y=abx应该经过第一、三象限，故本选项不可能；
B、一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a<0，b>0，所以ab<0，则反比例y=abx应该经过第二、四象限，故本选项不可能；
C、一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，则a>0，b<0，所以ab<0，则反比例y=abx应该经过第二、四象限，故本选项不可能；
D、一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a<0，b>0，所以ab<0，则反比例y=abx应该经过第二、四象限，故本选项有可能；
故选：D．
根据一次函数图象判定a、b的符号，根据ab的符号判定反比例函数图象所在的象限．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
10.【答案】A
【解析】解：由题意可知，抛物线开口向下，
∴a<0；
∵当0≤x≤3时对应的函数值y均为正数，对称轴为直线x=−−2a2a=1，x=0时，y=3>0，
∴x=3时，9a−6a+3>0，
解得a>−1，
故−1故选：A．
根据抛物线开口向下，得到a<0；结合00，计算即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】30
【解析】【分析】
本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．
根据特殊角的三角函数值直接求解．
【解答】
解：∵∠A是锐角，csA= 32，
∴∠A=30°．
故答案为30．
12.【答案】18
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，
∴△ABC∽△DEF，AB/​/DE，
∴ABDE=OAOD=13，
∵△ABC∽△DEF，
∴S△ABCS△DEF=(ABDE)2=19，
∴S△DEF=9S△ABC=9×2=18．
故答案为：18．
利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，AB/​/DE，所以ABDE=OAOD=13，然后根据相似三角形的性质求解．
本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行(或共线)．
13.【答案】6
【解析】解：设反比例函数的解析式为y=kx，
∵△AOB的面积=△ABP的面积=3，△AOB的面积=12|k|，
∴12|k|=3，
∴k=±6；
又∵反比例函数的图象的一支位于第二象限，
∴k<0．
∴k=−6．
故答案为：6．
由于同底等高的两个三角形面积相等，所以△AOB的面积=△ABP的面积=3，然后根据反比例函数y=kx中k的几何意义，知△AOB的面积=|k|，从而确定k的值，求出反比例函数的解析式．
本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数y=kx中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
14.【答案】−5【解析】解：根据图示知，抛物线y=ax2+bx+c图象的对称轴是x=−1，与x轴的一个交点坐标为(−5,0)，
根据抛物线的对称性知，抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x=−1对称，即
抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与(−5,0)关于直线x=−1对称，
∴另一个交点的坐标为(3,0)，
∵不等式ax2+bx+c>0，即y=ax2+bx+c>0，
∴抛物线y=ax2+bx+c的图形在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c>0的解集是−5故答案为：−5先根据抛物线的对称性得到另一个交点坐标(3,0)，由y=ax2+bx+c>0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c>0的解集．
此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y>0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
15.【答案】43π
【解析】解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，如图所示：
∵OD=12AO，
∴∠OAD=30°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
同理∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形AOC=13×S圆=13×π×22=43π(cm2)，
故答案为：43π.
作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=S扇形AOC得出阴影部分的面积是⊙O面积的13，即可得出结果．
本题主要考查了翻折变换(折叠问题)、扇形面积的计算等知识，解题的关键是确定∠AOC=120°．
16.【答案】335
【解析】解：以AB为斜边构造直角三角形ABE，使AE=4，BE=3，∠AEB=90°，连接DE，如图：
∵AE：BE=AD：CD=4；3，
∴AEAD=BECD，
又∵∠AEB=∠ADC=90°，
∴△AEB∽△ADC，
∴∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE，
即∠BAC=∠EAD，
又∵ABAE=ACAD=54，
∴△ABC∽△AED，
∴BCDE=54，
∴DE=8，
在△BDE中，DE+BE≥BD，
∴当BD最大时，B，D，E共线，即AE⊥BD，
此时，过D作DF⊥AC于F，如图：
∵△ABE∽△ACD，
∴∠ABD=∠ACD，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴AB/​/DF，
∴∠ABE=∠BDF，
∴△ABE∽△BDF，
∴ABBD=BEDF，
∴DF=335．
故答案为：335．
以AB为斜边构造与△ADC相似的直角三角形，然后利用三角形三边关系得出BD最大时的情况，再根据相似三角形的判定和性质进行求解即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，构造出与△ADC相似的三角形得出BD取最大时的情况是本题解题的关键．
17.【答案】解：(12)−1+(π+1)0−2sin30°+ 9
=2+1−2×12+3
=2+1−1+3
=5．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB，
∵AD=3，AB=8，AE=4，
∴3AC=48，
∴AC=6．
【解析】本题考查相似三角形的判定与性质．由∠AED=∠B，∠A=∠A，得△ADE∽△ACB，再根据相似三角形的性质列出比例式即可得出结果．
19.【答案】解：(1)由题意可得：xy=1200×0.5，
则y=600 x，
即y关于x的函数表达式为y=600x；
(2)∵y=600x，
∴当x=1.5时，y=6001.5=400，
故当动力臂长为1.5m时，撬动石头至少需要400N的力．
【解析】(1)根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式；
(2)将x=1.5代入(1)中所求解析式，即可得出y的值．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y与x之间的关系是解题关键．
20.【答案】解：(1)一名乘客通过该站闸口时，他选择A闸口通过的概率为14；
(2)画树状图得：
由树状图可知：有16种等可能的结果，其中两名乘客选择相同闸口通过的有4种结果，
∴两名乘客选择相同闸口通过的概率=416=14．
【解析】(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)在Rt△DEG中，∠EDG=37°，DE=20m，
∴EG=DE⋅sin37°≈20×0.60=12(m)，
DG=DE⋅cs37°≈20×0.80=16(m)，
∴斜坡ED的铅直高度EG约为12m，水平宽度GD约为16m；
(2)过点E作EH⊥BC，垂足为H，

由题意得：DB=32m，
∴EH=GB=GD+DB=16+32=48(m)，
在Rt△CEH中，∠CEH=30°，
∴CH=EH⋅tan30°=48× 33=16 3(m)，
∴AC=CH+BH−AB=16 3+12−37≈2.7(m)，
∴旗杆的AC高度约为2.7m．
【解析】(1)在Rt△DEG中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
(2)过点E作EH⊥BC，垂足为H，根据题意可得：DB=32m，则EH=GB=48m，然后在Rt△CEH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OD，
∵AC切⊙O于点D，
∴OD⊥AC，
∵∠C=90°，
∴OD//BC，
∴∠ODB=∠CBD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠CBD，即BD平分∠ABC；
(2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，cs∠ABC=BCAB，
∵cs∠ABC=35，AB=6，
∴BC=185，
∵OD/​/BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴ODBC=AOAB，即r185=6−r6，
解得：r=136．
【解析】(1)连接OD，根据切线的性质得到OD⊥AC，进而得到OD/​/BC，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；
(2)根据余弦的定义求出BC，根据△AOD∽△ABC列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
23.【答案】解：(1)①由题意得，长方体形的无盖盒子的底面边长为(44−2x)cm，
∴盒子的侧面积S=4x(44−2x)．
②由题意，44−2x>0x>0，
∴0(2)由题意得，S=4x(44−2x)，
即S=−8x2+176x，
即S=−8(x−11)2+968，
∴当x=11时，S最大=968．
即当剪掉的正方形的边长x为11cm时，长方形盒子的侧面积S最大为968cm2．
【解析】(1)①依据题意得，长方体形的无盖盒子的底面边长为(44−2x)cm，进而列式可以得解；
②依据题意，列不等式44−2x>0x>0，进而计算可以得解；
(2)依据题意，结合(1)得S=4x(44−2x)=−8x2+176x=−8(x−11)2+968，从而根据二次函数的性质进行判断可以得解．
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能找到关键描述语从而根据等量关系准确地列出函数关系式是关键．
24.【答案】11
【解析】解：(1)因为双曲线y=kx经过点A(2,2)，
所以k=2×2=4．
即k的值为：4；
(2)①当m=n=4时，由图1可知，
BC上的整点有4个，
BD上的整点有4个，
双曲线上CD段的整点有3个，
区域W内部的整点有3个，
又点B，C，D都被算了2次，
所以区域W的整点个数为：4+4+3+3−3=11．
故答案为：11；
②由题知，
y=ax−5a+4=(x−5)a+4，
则不论a为何值，x=5时，y=4，
即直线过定点(5,4)，
所以B(5,4)．
如图所示，当B(5,4)时，区域W内的整点共有15个．
又被分成的区域W1和W2的整点个数之差不超过2，
则当直线经过点(4,3)时，W1的整点个数是7，W2的整点个数是5，满足要求．
此时4a−5a+4=3，得a=1．
当直线过点(3,3)时，W1的整点个数是5，W2的整点个数是8，不满足要求．故当点(3,3)在直线上方时，即可．
此时3a−5a+4=3，得a=12．
故a的取值范围是：12(1)根据点A在y=kx的图象上，可求出k的值．
(2)①标出区域W，再统计区域内的整数点即可．
②过定点即表示与a的取值无关，则有a的系数(x−5)等于0，便可解决问题．利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可．
本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键．
25.【答案】1 40° 3 3或2 3
【解析】解：(1)如图1，
∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COA=∠DOB，
∵OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB(SAS)，
∴AC=BD，
∴ACBD=1；
∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB=40°，
∴∠OAB+∠ABO=140°，
在△AMB中，∠AMB=180°−(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°−(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°−140°=40°，
故答案为：1；40°；
(2)如图2，ACBD= 3，∠AMB=90°，
理由是：
Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，
∴ODOC=tan30°= 33，
同理得：OBOA=tan30°= 33，
∴ODOC=OBOA，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴ACBD=OCOD= 3，∠CAO=∠DBO，
在△AMB中，∠AMB=180°−(∠MAB+∠ABM)=180°−(∠OAB+∠ABM+∠DBO)=90°；
(3)点C与点M重合时，如图，同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB=90°，ACBD= 3，
设BD=x，则AC= 3x，
Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，
∴CD=2，BC=x−2，
Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB= 7，
∴AB=2OB=2 7，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
( 3x)2+(x−2)2=(2 7)2，
x2−x−6=0，
(x−3)(x+2)=0，
x1=3，x2=−2，
∴AC=3 3；
②点C与点M重合时，如图4，
同理得：∠AMB=90°，ACBD= 3，
设BD=x，则AC= 3x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
( 3x)2+(x+2)2=(2 7)2
x2+x−6=0，
(x+3)(x−2)=0，
x1=−3，x2=2，
∴AC=2 3；
综上所述，AC的长为3 3或2 3．
故答案为：3 3或2 3
(1)①证明△COA≌△DOB(SAS)，得AC=BD，比值为1；由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°−(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=40°；
(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则ACBD=OCOD= 3，由全等三角形的性质得∠AMB的度数；
(3)正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，ACBD= 3，可得AC的长．
本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
26.【答案】y=x2−4x+3
【解析】解：(1)∵对称轴为直线x=2，点A的坐标为(1,0)，
∴B(3,0)，
∴y=(x−1)(x−3)=x2−4x+3，
故答案为：y=x2−4x+3；
(2)方法一：作AD⊥BC于D，交CP于E，如图：
在y=x2−4x+3中，令x=0得y=3，
∴C(0,3)，
∵B(3,0)，
∴OB=OC，
∴∠OBC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵A(1,0)，B(3,0)，
∴D(2,1)，
∵∠PCB=∠ACB，
∴AD=DE，
∴E(3,2)，
∴直线CE的关系式为：y=−13x+3，
由−13x+3=x2−4x+3得：x1=0(舍去)，x2=113，
∴P(113,169)，
方法二：过点B作BD垂直于x轴，交CP于D，如图：
∵OC=OB，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠DBC=∠ABC=45°，
∵∠PCB=∠ACB，BC=BC，
∴△ABC≌△DBC(ASA)，
∴BD=AB=2，
∴D(3,2)，
∴直线CP的解析式为y=−13x+3，
由−13x+3−=x2−4x+3得：x1=0(舍去)，x2=113，
∴P(113,169)；
(3)在对称轴上存在一点Q，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上，理由如下：
点P旋转后的对应点为P′，
当P在Q上方时，作PK⊥对称轴于K，P′T⊥对称轴于T，
∵P(113,169)，对称轴为直线x=2，
∴PK=53，
设KQ=m，
∵将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°得线段QP′，
∴∠PQP′=90°，PQ=P′Q，
∴∠PQK=90°−∠TQP′=∠QP′T，∠PKQ=90°=∠P′TQ，
∴△PKQ≌△QTP′(AAS)，
∴P′T=KQ=m，QT=PK=53，
∴P′(m+2,19−m)，
∵P′恰好落在抛物线上，
∴(m+2)2−4(m+2)+3=19−m，
解得m1=23，m2=−53，
∴Q(2,109)，
当Q在P上方时，作PW⊥对称轴于W，如图：
由图可得，P，P′关于直线x=2对称，
∴△PQP′是等腰直角三角形，
∴△P′QW，△PQW是等腰直角三角形，
∴QW=PW=53，
∴Q(2,319)，
综上所述：Q(2,109)或Q(2,319).
(1)由对称轴为直线x=2，点A的坐标为(1,0)，得出B(3,0)，由交点式得出函数关系式；
(2)方法一：作AD⊥BC于D，可知D在对称轴上，求出E的坐标，得出直线CE的关系式与抛物线求交点即可；
方法二：过点B作BD垂直于x轴，交CP于D，证明△ABC≌△DBC，得AB=BD，可得D的坐标，从而求出CP解析式，得到P的坐标；
(3)分P在Q上方和下方两种情况，当P在Q上方时，构造出△PKQ≌△QTP′，得P′(m+2,19−m)代入抛物线即可求得m的值，从而可得Q的坐标，当Q在P上方时，由抛物线的对称性可得出Q(2,319).
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式、等腰直角三角形的性质以及运算能力，用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．