2023-2024学年贵州省“三新”改革联盟校高一上学期12月联考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年贵州省“三新”改革联盟校高一上学期12月联考数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A=4,5,7,9，B=3,4,7,8,9，则集合A∩B的子集个数有
( )
A. 2个B. 4个C. 8个D. 16个
2.若a2,0,−1=a,b,0，则a2023+b2023的值是
( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
3.扇形的面积为2cm2，半径为1cm，则扇形的圆心角是
( )
A. 2B. 4C. 2或−2D. 4或−4
4.命题“有一个偶数是素数”的否定是( )
A. 任意一个奇数是素数B. 任意一个偶数都不是素数
C. 存在一个奇数不是素数D. 存在一个偶数不是素数
5.已知a=lg12，b=e0.1，c=sin1，则
( )
A. a>b>cB. c>b>aC. b>a>cD. b>c>a
6.设函数fx=x+1,x>012ℎx,x<0，若fx是奇函数，则ℎ−1=( )
A. −4B. −2C. 2D. 4
7.某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常，排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm(ppm为浓度单位，1ppm表示百万分之一)，经检验知，该地下车库一氧化碳浓度yppm与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y=28−mt(m为常数)，若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，则至少需要排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳浓度达到正常状态
( )
A. 10B. 14C. 18D. 28
8.已知函数fx=14x2−2ax,x≤2lgax−1−2,x>2是定义域上的单调减函数，则实数a的取值范围是
( )
A. 12,34B. 34,1C. 12,1D. 0,12
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中正确的是( )
A. 120∘=2π3
B. cs2α−sin2α=1
C. 若角α的终边过点P3k,4kk≠0，则sinα=45
D. 若α 是第三象限角，则sinα<0
10.已知函数y=−lgax(a>0,a≠1)和y=1ax(a>0,a≠1)，以下结论正确的有
( )
A. 它们互为反函数B. 它们的定义域与值域正好互换
C. 它们的单调性相反 D. 它们的图象关于直线y=x对称
11.已知函数fx=2x+1x−1，则下列说法正确的是
( )
A. fx在定义域单调递减B. fx的值域为R
C. fx的图象关于1,2对称D. fx可以由函数y=3x平移得到
12.关于函数fx=sinx+sinx，下列选项正确的是
( )
A. fx的最小正周期是πB. fx在区间π2,π单调递减
C. fx在−π,π有3个零点D. fx的最大值为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.角α的终边经过点P5,12，则csα= ．
14.1∘的角是1rad角的 倍．
15.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：ℎ)的变化关系为C=20tt2+4，则经过 ℎ后池水中药品的浓度达到最大．
16.若函数y=lg3x+x−3在(k,k+1)上有零点，则整数k= ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A=x−5t，C=xa−2(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数t的范围；
(2)若A∩B=C，求实数a的范围．
18.(本小题12分)
在平面直角坐标系：xOy中，角a以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点Pm,n．
(1)若n=45，求tanα及2sin(π+α)+csαcs(π2+α)+2csα的值；
(2)若sinα+csα=15，求点P的坐标．
19.(本小题12分)
已知函数fx=2csx2−π3．
(1)求fx的最小正周期T，并求出fx取最大值时x的集合；
(2)求fx的单调递增区间．
20.(本小题12分)
某家物流公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：千米)之间的关系为：y1=nx+1n≠0，每月库存货物费y2(单位：万元)与x之间的关系为：y2=mxm≠0；若在距离车站5千米建仓库，则y1和y2分别为8万元和15万元．
(1)求n,m的值；
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？
21.(本小题12分)
已知_____，且函数gx=x+bx2+1.①函数fx=x2+4在定义域为b−1,b+1上为偶函数；②函数fx=x+b在区间1,2上的最大值为2.在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出b的值，并解答本题．
(1)判断gx的奇偶性，并证明你的结论；
(2)设ℎx=−x−2c，对任意的x1∈R，总存在x2∈−2,2，使得gx1<ℎx2成立，求实数c的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数fx的定义域为D=xx≠0，且满足对任意m，n∈D，都有fmn=fm+fn．
(1)求f1，f−1的值；
(2)判断函数fx的奇偶性并证明你的结论；
(3)当0答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】由交集的概念以及子集个数公式即可得解．
【详解】由题意A∩B=4,7,9，所以A∩B的子集个数有23=8个.
故选：C．
2.【答案】B
【解析】【分析】由a2,0,−1=a,b,0可得①a2=ab=−1或②a2=ba=−1，解出a,b，再由集合的互异性检验即可得出答案．
【详解】因为a2,0,−1=a,b,0，
所以①a2=ab=−1或②a2=ba=−1,
由①得a=0b=−1或a=1b=−1，其中a=0b=−1与元素互异性矛盾，舍去，a=1b=−1符合题意，
由②得b=1a=−1，符合题意，两种情况代入a2023+b2023=0，答案相同．
故选：B
3.【答案】D
【解析】【分析】扇形的圆心角弧度为|α|，根据扇形的面积公式，即可求得答案．
【详解】设扇形的圆心角弧度为|α|，
由扇形的面积为2cm2，半径为1cm，可得2=12×|α|×12,∴α=±4，
故选：D
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查存在量词命题的否定，属于基础题．
根据存在量词命题 p:∃x∈M,p(x) ，否定为 ¬p:∀x∈M,¬p(x) ，即可解得正确结果．
【解答】
解：由于存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”．
故选：B
5.【答案】D
【解析】【分析】利用对数函数与指数函数、正弦函数的性质即可得解．
【详解】因为0<1<π2，所以0又a=lg12e0=1，
所以b>c>a．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】【分析】根据题意，求得f1=2，得出f−1=−2，结合f−1=12ℎ−1，即可求解．
【详解】由函数fx=x+1,x>012ℎx,x<0，可得f1=1+1=2，
因为函数fx为奇函数，可得f−1=−f1=−2，
又由f−1=12ℎ−1，即12ℎ−1=−2，可得ℎ−1=−4．
故选：A．
7.【答案】C
【解析】【分析】由题意列方程求解m，再由指数函数性质解不等式，
【详解】由题意得28−4m=64，解得m=12，
所以y=28−12t，因为y=28−12t≤2−1，所以8−12t≤−1，
解得t≥18，即至少需要排气18分钟才能使这个地下车库中一氧化碳浓度达到正常状态．
故选：C
8.【答案】A
【解析】【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得a的取值范围．
【详解】依题意，fx在R上单调递减，
所以−−2a2×14≥20故选：A
9.【答案】AD
【解析】【分析】对A，由角度与弧度转化的计算即可得；对B，由cs2α+sin2α=1，即可得；对C，结合正弦函数定义即可得；对D，第三象限角的正弦值为负．
【详解】由1∘=π180rad，故120∘=2π3，故 A正确；
由cs2α+sin2α=1，故 B错误；
若角α的终边过点P3k,4kk≠0，
则sinα=4k 3k2+4k2=4k5k，
当k<0时，sinα=−45，故 C错误；
若α是第三象限角，则sinα<0，故 D正确．
故选：AD．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查了指数函数与对数函数互为反函数，属于基础题．
互为反函数的函数图像关于直线y=x对称，解题关键是根据反函数的定义直接判断即可．
【解答】
解：∵y=−lgax=lg1ax，
∴函数y=−lgax(a>0,a≠1)和y=1ax(a>0,a≠1)互为反函数，故A正确；
再根据反函数的定义可知BD正确；
又互为反函数的函数图像关于直线y=x对称，∴它们的单调性相同，故C不正确;
故选：ABD．
11.【答案】CD
【解析】【分析】化简fx的解析式，然后根据函数的定义域、单调性、值域、对称性、三角函数图象变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
【详解】fx=2x+1x−1=2x−1+3x−1=2+3x−1，
所以fx的定义域是x|x≠1，
减区间是−∞,1,1,+∞，在定义域上不具有单调性，A选项错误．
fx的值域为y|y≠2，所以B选项错误．
fx=2+3x−1，y=fx+1−2=3x为奇函数，图象关于原点对称，
所以fx关于1,2对称，C选项正确．
y=3x向右平移一个单位，得到y=3x−1，再向上平移2个单位，得到fx=2+3x−1，
所以D选项正确．
故选：CD
12.【答案】BD
【解析】【分析】对于A，举出反例推翻即可；对于B，求出函数表达式即可验证；对于C，求出函数表达式即可验证；对于D，由周期性结合函数单调性即可验证．
【详解】对于A，fπ2=sinπ2+sinπ2=2≠0=sin3π2+sin3π2=f3π2，
即π不是fx的最小正周期，故 A错误；
对于B，当x∈π2,π时，sinx>0，fx=sinx+sinx=2sinx在区间π2,π单调递减，故 B正确；
对于C，当x∈−π,π时，fx=sinx+sinx=0,−π≤x≤02sinx,0由此可知fx在−π,π有无数个零点，故 C错误；
对于D，注意到fx+2π=sinx+2π+sinx+2π=sinx+sinx=fx，
即fx是以2π为周期的一个周期函数，
故我们只需考虑它在一个周期内的最大值的情况即可，
由C选项分析可知，当x∈−π,π时，fx=sinx+sinx=0,−π≤x≤02sinx,0此时fxmax=2，当且仅当x=π2时，等号成立，
综上所述，fx的最大值为2，故 D正确．
故选：BD．
13.【答案】513
【解析】【分析】根据三角函数的定义即可求解．
【详解】由P5,12可得x=5,y=12,r= x2+y2= 52+122=13，
故由三角函数的定义可知csα=xr=513，
故答案为：513
14.【答案】π180
【解析】【分析】由弧度与角度的转化计算即可得．
【详解】由1∘=π180rad，故1∘的角是1rad角的π180倍.
故答案为：π180．
15.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
利用基本不等式求最值即可得出．
【解答】
解：C=20tt2+4=20t+4t≤202 t·4t=5，
当且仅当t=2时取等号，
因此经过2ℎ后池水中药品的浓度达到最大．
故答案为2．
16.【答案】2
【解析】【分析】根据零点存在性定理，即可求解．
【详解】记f(x)=lg3x+x−3，因为f(2)=lg32+2−3=lg32−1<0，f(3)=lg33+3−3=1>0，所以f(x)在(2,3)上有零点，且f(x)是单调增函数，因此f(x)只有一个零点，所以k=2．
故答案为：2
17.【答案】解：(1)若x∈A是x∈B的充分条件，则A⊆B，
即t≤−5，即实数t的范围是t≤−5；
(2)由A∩B=C，故C⊆A，
当C=⌀时，有a−2≥2a+1，解得a≤−3，
当C≠⌀时，有a−2<2a+12a+1≤2a−2≥−5，解得−3综上所述，a的取值范围为a≤12．

【解析】【分析】(1)若x∈A是x∈B的充分条件，则A⊆B，由子集性质计算即可得；
(2)若A∩B=C，则C⊆A，结合子集性质，对C=⌀与C≠⌀分类讨论并计算即可得．
18.【答案】解：(1)角α以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点Pm,n，由n=45，得m=− 1−(45)2=−35，
所以tanα=nm=−43，可得2sin(π+α)+csαcs(π2+α)+2csα=−2sinα+csα−sinα+2csα=1−2tanα2−tanα=1110．
(2)依题意，sinα>0，csα<0，又sinα+csα=15，①
两边平方，得1+2sinαcsα=125，即2sinαcsα=−2425，
因此sinα−csα= (sinα−csα)2= 1−2sinαcsα= 1−(−2425)=75，②
联立①②，解得sinα=45，csα=−35，所以点P的坐标为(−35,45)．

【解析】【分析】(1)求出n值，再利用三角函数定义求出tanα，利用诱导公式化简，借助齐次式法求值即得．
(2)利用同角公式求出sinα−csα，再结合三角函数定义求出点P的坐标．
19.【答案】解：(1)因为函数fx=2csx2−π3，故它的周期为2π12=4π；
当x2−π3=2kπ,k∈Z时，fx取最大值．
解得x=2π3+4kπ,k∈Z，故x的集合为xx=2π3+4kπ,k∈Z
(2)令2kπ−π≤x2−π3≤2kπ,k∈Z，
解得4kπ−4π3≤x≤4kπ+2π3，k∈Z，
故函数fx的增区间为4kπ−4π3,4kπ+2π3，k∈Z

【解析】【分析】(1)根据周期公式即可求解周期，利用整体法即可求解，
(2)根据整体法求解即可．
20.【答案】解：(1)由y1=nx+1n≠0，y2=mxm≠0，
当x=5时，y1=n5+1=8，解得n=48，
y2=5m=15，解得m=3
(2)由(1)得y1=48x+1，y2=3x，
设两项费用之和为y，则y=y1+y2=48x+1+3x，
因为x>0，所以x+1>1，
则y=48x+1+3x=48x+1+3x+1−3≥2 48x+1⋅3x+1−3=21，
当且仅当48x+1=3x+1，即x=3时取等号，
所以应该把仓库建在距离车站3千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是21万元．

【解析】【分析】(1)直接把x=5、y1=8,y2=15分别代入函数表达式得相应的方程，由此即可得解．
(2)将两项费用之和的表达式求出来，结合基本不等式以及取等条件即可求解．
21.【答案】解：(1)当选①时：gx是奇函数，证明如下：
因为fx=x2+4在定义域为b−1,b+1上为偶函数，
所以b−1+b+1=0，所以b=0，
所以gx=xx2+1,x∈R，所以对∀x∈R，都有g−x=−xx2+1，
故gx+g−x=0，即g−x=−gx，所以gx是奇函数．
当选②时：gx是奇函数，证明如下：
因为fx=x+b，∴fx单调递增，
所以f2=2+b=2，解得b=0，
所以gx=xx2+1,x∈R，
所以对∀x∈R，都有g−x=−xx2+1，
故gx+g−x=0，即g−x=−gx，所以gx是奇函数．
(2)由1知当x=0，g0=0，
当x>0时，gx=xx2+1=1x+1x,x+1x≥2 x⋅1x=2，当且仅当x=1时等号成立，
所以0<1x+1x≤12，即x>0时，gx∈0,12,
因为gx是奇函数，所以当x<0时，gx∈−12,0,
综上，gx在R上的最大值为12．
因为ℎx=−x−2c，所以ℎx在−2,2的最大值为2−2c，
因为∀x1∈R，∃x2∈−2,2，使得gx1<ℎx2成立，
所以12<2−2c，解得c<34，
即实数c的取值范围是−∞,34．

【解析】【分析】(1)无论选那个条件都可以得到b=0，由奇偶性的定义即可证明gx是奇函数．
(2)由题意对任意的x1∈R，总存在x2∈−2,2，使得gx1<ℎx2成立，只需gxmax<ℎxmax，由g0=0，当x≥0时，结合基本不等式可得gxmax=12，由奇函数性质可得gxmin=−12，而ℎx=−x−2c在−2,2上的最大值为ℎxmax=2−2c，由此即可求解．
22.【答案】解：(1)令m=n=1，则f1×1=f1+f1⇒f1=2f1⇒f1=0，
令m=n=−1，则f−1×−1=f−1+f−1⇒f1=2f−1⇒f−1=0．
(2)fx为偶函数，证明如下：
令m=x,n=−1，则f−x=fx+f−1=fx，又函数定义域为D=xx≠0，
所以fx为偶函数．
(3)令x1>x2>0，则fx2=fx1⋅x2x1=fx1+fx2x1，且0所以fx2−fx1=fx2x1<0，即fx2故fx在0,+∞上递增，又fx为偶函数，则在−∞,0上递减，
由f2x所以不等式解集为−2,0∪0,2．

【解析】【分析】(1)在fmn=fm+fn中，分别依次令m=n=1、m=n=−1即可得解．
(2)在fmn=fm+fn中，令m=x,n=−1，结合D=xx≠0以及f−1=0即可得证．
(3)首先由单调性的定义结合已知证明fx在0,+∞上递增，结合fx为偶函数可知fx在−∞,0上递减，所以f2x【点睛】关键点睛：本题的第一二问的关键是适当赋值，并结合偶函数的定义证明即可，第三问的关键是利用单调性的定义先得出fx的单调性，再结合偶函数的性质解表达式即可，综合性比较强．