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第三章 变量之间的关系（巩固与复习）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品导与练（北师大版）
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第三章 变量之间的关系 复习与巩固 从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况（重点）； 2.对表格所表达的两个变量关系的理解（难点）； 3.列关系式表示两个变量的关系，并会利用关系式进行相关计算并感受对应思想（重点）； 4.从具体问题中抽象出数学问题并将它用关系式表示出来（难点）； 5.把实际问题转化为数学图像，再根据图像来研究实际问题，使学生获得对图象反映变量之间关系的体验（重点）； 6.从图像中获得一些信息与在现实情景下用语言进行描述之间的等价转化（难点）。 知识点一. 变量、自变量、因变量、常量 变量：在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。 自变量、因变量：如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。 自变量是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；因变量是由于自变量变动而引起变动的量，它“依赖于”自变量的改变。 常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量. 知识点二. 列表法 列表法 采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。 表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。 绘制表格表示两个变量之间关系 （1）首先要明确表格中所列的是哪两个量； （2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量； （3）结合实际情境理解它们之间的关系。 知识点三. 解析式法 解析法 关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。 用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量的代数式表示因变量，这样的数学式子叫做关系式。 关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。 求两个变量之间关系式的途径： （1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。 （2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式； （3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式； （4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。 关系式的应用： （1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值； （2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值； （3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程或求代数式的值。 知识点四. 图象法 图像法 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 表示的步骤是： ①列表：列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。一般给出的数越多，画出的图象越精确。 ②描点：在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点来表示自变量，用竖直方向的数轴上的点来表示因变量。 ③连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的各点连结起来。 图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。 图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。 用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点表示自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 图象上的点： （1）对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值； （2）过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。 图象理解： （1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量； （2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置； （3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。 理解图像： 认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象； 从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义，特别是图像的起点、拐点、交点在同一平面内. 知识点01 变量、自变量、因变量、常量 典例：1. 以固定的速度v0(m/s)向上抛出一个小球，小球的高度h(m)与小球运动的时间t (s)之间的关系式是h＝v0t－4.9t2，在这个关系式中，常量、变量分别为( ) A. 常量为4.9，变量为t，h B. 常量为v0，变量为t，h C. 常量为－4.9，v0，变量为t，h D. 常量为4.9，变量为v0，t，h 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：中的(米/秒)是固定的速度，−4.9是定值， 故和−4.9是常量，t、h是变量， 故选C. 【点拨】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题． 典例：2.在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是( ) A. 太阳光强弱 B. 水的温度 C. 所晒时间 D. 热水器的容积 【答案】B 【解析】 【分析】函数的定义：设在某变化过程中有两个变量、，如果对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一的值与它对应，那么称是的函数，叫自变量．函数关系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量． 【详解】解：根据函数的定义可知， 水温是随着所晒时间的长短而变化， 可知水温是因变量， 所晒时间为自变量． 故选：B． 【点拨】本题主要考查的是对函数的定义，解题的关键是对自变量和因变量的认识和理解． 巩固练习 1．在三角形面积公式S＝ah，a＝2中，下列说法正确的是( ) A．S，a是变量，，h是常量 B．S，h是变量，是常量 C．S，h是变量，，a是常量 D．S，h，a是变量，是常量 【答案】C 【分析】根据常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量求解即可. 【详解】在三角形面积公式S＝ah，a＝2中，S，h是变量，，a是常量. 故选C. 【点拨】本题考查了常量与变量，根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系，常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量． 2．小丽的微信红包原有100元钱，她在新年一周里抢红包，红包里的钱随着时间的变化而变化，在上述过程中，自变量是（ ） A．时间 B．小丽 C．80元 D．红包里的钱 【答案】A 【分析】一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有为一得值与其对应，那么我们就说x是自变量，所以上述过程中，自变量是时间． 【详解】解：小丽的微信红包原有100元钱，她在新年一周里抢红包，红包里的钱随着时间的变化而变化，在上述过程中，自变量是时间， 故选：． 【点拨】此题主要考查了自变量的定义，解答此题的关键是要明确自变量的定义，看哪个量随着另一个量变化而变化． 知识点02 解析式法 典例：1.随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少.下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势： (1)上表中_____是自变量，_____是因变量； (2)你预计该地区从_____年起入学儿童的人数不超过2000人. 【答案】 年份， 入学儿童人数 2018. 【分析】（1）根据两个变量：年份和入学儿童人数和表中的变化趋势即可得出答案． （2）先根据表中的数据得出，每年的入学儿童人数都比上一年减少190人，2015年的入学儿童人数减去2000的差除以190即可． 【详解】解：（1）因为该表格中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数随年份的变化趋势， 所以年份是自变量，入学儿童人数是因变量； 故答案为年份，入学儿童人数 （2）因为每年的入学儿童人数都比上一年减少190人， ∴（2520-2000）÷190， 2015+3=2018(年) 所以2018年起入学儿童的人数不超过2000人． 故答案为2018 【点拨】本题考查了函数的定义，和简单的求值问题，分析表中数据的变化规律是解题的关键． 巩固练习 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系： 下列说法一定错误的是（ ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为0cm C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5 cm D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm 【答案】B 【分析】根据变量与常量，函数的表示方法，结合表格中数据的变化规律逐项进行判断即可． 【详解】解：A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，是正确的，因此选项A不符合题意； B．弹簧不挂重物时的长度，即当x=0时y的值，此时y=10cm，因此选项B是错误的，符合题意； C．物体质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，是正确的，因此选项C不符合题意； D．根据物体质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，可得出所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，是正确的，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键． 知识点03 解析式法 典例：1.写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围： (1)圆的周长是半径的函数； (2)火车以千米/时的速度行驶，它驶过的路程（千米）是所用时间（时）的函数； (3)边形内角和的度数S是边数的函数． 【答案】(1) (2) (3)，（n是大于或等于3的整数） 【分析】（1）根据圆的周长公式可得； （2）根据路程＝速度×时间可得； （3）根据多边形内角和公式可得． （1）解：圆的周长是半径的函数关系式为：． （2）解：火车驶过的路程（千米）是所用时间（时）的函数关系式为：． （3）解：边形内角和的度数S是边数的函数关系式为：，（n是大于或等于3的整数）． 【点拨】本题主要考查了函数关系式：根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系． 巩固练习 1. 如图所示，梯形的上底长是厘米，下底长是厘米，当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化． （）在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________． （）梯形的面积与高（厘米）之间的关系式为__________． （）当梯形的高由厘米变化到厘米时，梯形的面积由__________变化到__________． 【答案】 ①. 梯形的高 ②. 梯形的面积 ③. ④. 90 ⑤. 9 【分析】（1）在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断； （2）根据梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2，代入相应数值，进行计算即可； （3）把x=10，x=1分别代入函数解析式进行计算． 【详解】解：(1)自变量是梯形的高，因变量是梯形的面积； (2)梯形的面积y(cm²)与高x(cm)之间的关系式为：y=(5+13)x×=9x； (3)当梯形的高是l0cm时，y=9×10=90， 当梯形的高是l0cm时，y=9×1=9， 梯形的面积由90cm²变化到9cm²． 故答案为梯形的高，梯形的面积，y=9x，90，9． 【点拨】此题主要考查了列函数关系式，以及求函数值，关键是掌握梯形的面积公式． 知识点04 图象法 典例：1.某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（ ） A. 自行车发生故障时离家距离为1000米 B. 学校离家的距离为2000米 C. 到达学校时共用时间20分钟 D. 修车时间为15分钟 【答案】D 【分析】观察图象，明确每一段小明行驶的路程、时间，作出判断． 【详解】A、自行车发生故障时离家距离为米，正确； B、学校离家的距离为米，正确； C、到达学校时共用时间分钟，正确； D、由图可知，修车时间分钟，可知D错误． 故选：D． 【点拨】此题考查了学生从图象中获取信息的数形结合能力，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势． 巩固练习 1. 一个三角形的面积始终保持不变,它的一边的长为xcm,这边上的高为ycm,y与x的关系如下图，从图像中可以看出: (1)当x越来越大时,y越来越________； (2)这个三角形的面积等于________cm2； (3)可以想像:当x非常大非常大时,y一定非常小非常小,这个三角形显得很“扁”，但无论x多么的大，y总是_______零(填“大于”、“小于”、“大于或等于”之一). 【答案】(1)小；(2)2；(3)大于 【分析】根据三角形的面积公式及函数图象的特征即可得到结果. 【详解】(1)当x越来越大时，y越来越小； (2)这个三角形的面积等于xy=2cm2； (3)无论x多么的大，y总是大于零. 考点：本题考查的是三角形的面积公式，函数的图象 【点拨】解答本题的关键是读懂题意，得到图象的特征及规律，再根据这个规律解决问题. 能力提升 一、单选题 1．一辆慢车以50千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75千米/小时的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距离为500千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为慢车和快车从相距500千米的甲乙两地同时出发,则时间为0小时,两车相距距离为500千米,经过4小时,两车相遇,则此时两车相距距离为0,相遇之后快车经过小时先到达甲地,此时两车相距(75+50) ×=千米>250千米,然后再经过小时,慢车到达乙地,此时两车相距500千米, 故选C. 【点拨】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 2．如图，在直角三角形ABC中，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法错误的是( ) A．三角形面积随之增大 B．∠CAB的度数随之增大 C．BC边上的高随之增大 D．边AB的长度随之增大 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式、角和线段大小的比较以及三角形高的定义进行解答即可． 【详解】解：A、在直角三角形ABC中，S△ABC=BC•AC，点B沿CB所在直线远离C点移动时BC增大，则该三角形的面积越大．故A正确； B、如图，随着点B的移动，∠CAB的度数随之增大．故B正确； C、BC边上的高是AC，线段AC的长度是不变的．故C错误． D、如图，随着点B的移动，边AB的长度随之增大．故D正确； 故选C． 【点拨】本题考查了三角形的面积，角和线段大小的比较以及三角形高的定义，解题时要注意“数形结合”数学思想的应用． 3．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案． 【详解】解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快． 故选：D． 【点拨】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 4．为了加强爱国主义教育，每周一学校都要举行庄严的升旗仪式，同学们凝视着冉冉上升的国旗，下列哪个函数图象能近似地刻画上升的国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系( ) A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【详解】试题分析：设旗杆高h，国旗上升的速度为v，国旗离旗杆顶端的距离为S，根据题意，得S=h﹣vt，∵h、v是常数，∴S是t的一次函数，∵S=﹣vt+h，﹣v＜0，∴S随v的增大而减小． 故选A． 【点拨】本题主要考查函数的图象． 5．为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）．一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点到6点（至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①0点到1点不进水，只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水．则一定正确的论断是（ ） A．①③ B．②③ C．③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据图象1可知一个进水管的进水速度小于出水速度，且为出水速度的一半，再结合图2中特殊点的实际意义即可作出判断． 【详解】解：①0点到1点既进水，也出水； ②1点到4点同时打开两个管进水，和一只管出水； ③4点到6点只进水，不出水． 正确的只有③． 故选：C． 【点拨】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 6．如图，是一台自动测温仪记录的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ） A．凌晨4时气温最低为－3℃ B．14时气温最高为8℃ C．从0时至14时，气温随时间增长而上升 D．从14时至24时，气温随时间增长而下降 【答案】C 【详解】解：A．∵由图象可知，在凌晨4点函数图象在最低点﹣3，∴凌晨4时气温最低为﹣3℃，故本选项正确； B．∵由图象可知，在14点函数图象在最高点8，∴14时气温最高为8℃，故本选项正确； C．∵由图象可知，从4时至14时，气温随时间增长而上上升，不是从0点，故本选项错误； D．∵由图象可知，14时至24时，气温随时间增长而下降，故本选项正确． 故选C． 【点拨】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 7．一个正方形的边长为3 cm，它的各边边长减少x cm后，得到的新正方形的周长为y cm，y与x间的函数关系式是( ) A．y=12-4x B．y=4x-12 C．y=12-x D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：∵各边边长减少xcm， ∴新正方形的边长为(3－x)cm， ∴y＝4(3－x)＝12－4x， 即y＝12－4x． 故选A． 【点拨】本题考查了列函数关系式，熟练掌握正方形的周长公式是解题的关键． 8．已知的底边上的高为8cm，当底边从16 cm变化到5 cm时，的面积 ( ) A．从20 cm2变化到64 cm2 B．从40 cm2变化到128 cm2 C．从128 cm2变化到40 cm2 D．从64 cm2变化到20 cm2 【答案】D 【分析】根据（底高）计算分别计算得出最值即可． 【详解】解：当的底边上的高为cm，底边cm时， cm2； 底边cm时，cm2． 故选：D． 【点拨】此题主要考查了函数关系，解题的关键是利用极值法得出的最大值和最小值． 9．如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图（滴水速度保持不变），能正确反映容器中水的高度（）与时间（）之间对应关系的大致图象是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据容器的上下的大小，判断水上升快慢和对应的图象，再对题中的每一种结论进行判断． 【详解】解：由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快． 表现出的函数图形为先缓，后陡． 故选D． 【点拨】本题考查单式折线统计图，解题关键在于根据容器的上下的大小，判断水上升快慢和对应的图象 10．地表以下的岩层温度y随着所处深度x的变化而变化，在某个地点y与x的关系可以由公式来表示，则y随x的增大而（ ）． A．增大 B．减小 C．不变 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵ 35＞0， ∴y随x的增大而增大． 故选：A 【点拨】此题主要考查了一次函数的图象性质，只有掌握它的性质才能灵活解题． 二、填空题 11．如图所示表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，已知龟、兔上午8点从同一地点出发，请你根据图中给出的信息，算出乌龟在___点追上兔子． 【答案】18 【详解】两个函数图形的交点的横坐标是10，说明10小时后，乌龟追上兔子，此时的时间为：8+10=18时. 故答案为18. 【点拨】本题考查了函数图象，利用路程与时间的关系是解题关键． 12．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需________分钟到达终点B． 【答案】78． 【分析】根据路程与时间的关系，可得甲乙的速度，根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达A站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达B站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案． 【详解】解：由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟， 甲的速度是1÷6=千米/分钟， 由纵坐标看出AB两地的距离是16千米， 设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得 10x+16×=16， 解得x=千米/分钟， 相遇后乙到达A站还需（16×）÷=2分钟， 相遇后甲到达B站还需（10×）÷=80分钟， 当乙到达终点A时，甲还需80-2=78分钟到达终点B， 故答案为：78 【点拨】本题考查了函数图象，利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键． 13．“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，_____随____变化而变化，其中自变量是___，因变量是___. 【答案】 温度； 时间； 时间； 温度. 【详解】“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语中早、午、晚是时间，早穿皮袄说明早上冷，午穿纱说明中午热，说明温度随着时间在变化． 故答案为：温度；.时间；时间；温度. 14．某市出租车收费与行驶路程关系如图所示．如果小明姥姥乘出租车去小明家花去了元，那么小明姥姥乘车路程为__________千米． 【答案】13 【详解】设AB的解析式为y=kx+b，由题意， 得， 解得：， ∴直线AB的解析式为y=1.6x+1.2（x≥3）， 当y=22时，22=1.6x+1.2， 解得：x=13， 故答案为13． 【点拨】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，根据解析式由函数值求自变量的值的运用．解答时求出函数的解析式是关键． 15．如图，都是由边长为1的正方体叠成的图形． 例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位，．依此规律．则第（5）个图形的表面积_____个平方单位 【答案】90 【分析】结合图形，发现第（1）个图形的表面积是1×6=6，第（2）个图形的表面积是（1+2）×6=18，第（3）图形的表面积是（1+2+3）×6=36；以此类推即可求解． 【详解】解：结合图形，发现： 第（1）个图形的表面积是1×6=6， 第（2）个图形的表面积是（1+2）×6=18， 第（3）图形的表面积是（1+2+3）×6=36， 第（4）图形的表面积是（1+2+3+4）×6=60， … 故第n个图形的表面积是（1+2+3+…+n）×6=3n（n+1）， 第（5）个图形的表面积是3×5×（5+1）=90， 故答案为：90． 【点拨】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 三、解答题 16．某空军加油飞机接到命令,立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油,在加油过程中,设运输飞机的油箱余油量为Q1吨,加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨,加油时间为t分钟,Q1,Q2与t之间的关系如图所示,结合图象回答下列问题: (1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟? (2)运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需10小时到达目的地,油料是否够用?说明理由. 【答案】(1) 加油油箱中装载了30吨油,全部加给运输飞机需10分钟；(2)油料够用.理由见解析. 【分析】（1）通过观察线段Q2段图象，不难得到加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，将这些油全部加给运输飞机中需10分钟 （2）首先根据运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，求出每小时耗油量．再计算10小时共耗油量，与69吨比较大小，判定油料是否够用． 【详解】(1)由图象知加油飞机的加油油箱中装载了30吨油,全部加给运输飞机需10分钟. (2)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0.1吨,所以10小时耗油量为10×60×0.1=60(吨).因为60<69,所以油料够用. 【点拨】本题考查了一次函数的应用．解题的关键是读懂图象，其中尤其注意运输飞机每小时耗油量这个隐含条件的确定． 17．某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元，“神州行”不缴月租费，每通话1分钟付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种方式的费用分别是元，元． （1）写出与之间的函数关系式； （2）一个月内通话多少分钟，两种移动移动通讯费相同； （3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通讯合算些． 【答案】（1）；（2）通话250分钟两种费用相同；（3）选择全球通合算． 【分析】（1）因为移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；“神舟行”不缴月租费，每通话1min付费0.6元．若一个月内通话xmin，两种方式的费用分别为y1元和y2元，则y1=50+0.4x，y2=0.6x； （2）令y1=y2，解方程即可； （3）令x=300，分别求出y1、y2的值，再做比较即可． 【详解】（1） （2）令y1=y2，则50+0.4x=0.6x， 解之，得x=250 所以通话250分钟两种费用相同； （3）令x=300， 则y1=50+0.4×300=170；y2=0.6×300=180 所以选择全球通合算． 【点拨】本题考查了一次函数的应用，需仔细分析题意，建立函数解析式，利用方程或简单计算即可解决问题． 18．如图，分别表示甲步行与乙骑自行车(在同一路上)行走的路程s甲，s乙与时间t的关系，观察图象并回答下列问题： （1）乙出发时，乙与甲相距 千米； （2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为 小时； （3）乙从出发起，经过 小时与甲相遇； （4）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？ 【答案】（1)10；(2)1；（3）3；（4）不一样，理由见解析； 【分析】（1）根据t=0时甲乙两人的路程差即为两人的距离解答即可； （2）根据s不变的时间即为修车时间解答即可； （3）根据两人的函数图象的交点即为相遇，写出时间即可； （4）利用速度与时间路程的关系解答即可； 【详解】解：（1）由图象可知，乙出发时，乙与甲相距10千米． 故答案为10． （2）由图象可知，走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为=1.5-0.5=1小时， 故答案为1． （3）图图象可知，乙从出发起，经过3小时与甲相遇． 故答案为3 （4）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样.理由如下： 乙骑自行车出故障前的速度=15千米/小时． 与修车后的速度=10千米/小时． 因为15＞10， 所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样. 【点拨】此题主要考查了学生从图象中读取信息的能力，以及路程、速度、时间的关系等知识，解题的关键是灵活运用图中信息解决问题，所以中考常考题型． 19．多边形的内角和随着边数的变化而变化．设多边形的边数为n，内角和为N，则变量N与n之间的关系可以表示为N＝(n-2)·180°． (1)在这个关系式中，自变量、因变量各是什么？ (2)在这个关系式中，n能取什么样的值？ (3)利用这个关系式计算六边形的内角和． (4)当边数每增加1时，多边形的内角和如何变化？ 【答案】(1)n是自变量，N是因变量．(2)大于2的整数．(3)720°．(4)增加180° 【分析】（1）自变量是n，因变量是N； （2）多边形的边数最少为3，所以n能取大于2的整数； （3）将n=6代入关系式中，计算出N的值即可； （4）设多边形原来边数为n，此时多边形的内角和为（n－2）×180度，多边形边数增加1后边数为n+1，此时多边形的内角和为（n+1－2）×180度，所以内角和增加了（n+1－2）×180－（n－2）×180=180度． 【详解】（1）自变量是n，因变量是N； （2）多边形的边数最少为3，所以n能取大于2的整数； （3）当n=6时，N=（6－2）×180=720°； （4）设原多边形边数为n，则边数增加1以后变为n+1， （n+1－2）×180－（n－2）×180=180°， 所以当边数每增加1时，多边形的内角和增加180°． 【点拨】掌握自变量、因变量的概念以及对关系式的运用． 20．小明某天上午时骑自行车离开家，时回到家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）． （1）图象表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）时和时，他分别离家多远？ （3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （4）时到时他行驶了多少千米？ （5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？ （6）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？ 【答案】（1）时间、离家的距离，自变量是时间，因变量是离家的距离；（2）15千米、30千米；（3）12:00，30千米；（4）15千米，（5）12:00-13:00；（6）15千米/小时． 【分析】（1）根据图象的x轴和y轴即可确定表示了哪两个变量的关系； （2）由函数图像可以看出10时的时候他离家的距离是15千米，12时的时候他离家30千米； （3）首先根据图象找到离家最远的距离，由此即可确定他到达离家最远的地方是什么时间，离家多远； （4）根据图象首先找到时间为10时和12时离家的距离，然后作差即可； （5）如果休息，那么距离没有增加，由此就可以确定在哪段时间内休息，并吃午餐； （6）根据返回时所走路程和使用时间即可求出返回时的平均速度． 【详解】解：（1）图像表示了离家的距离与时间这两个变量之间的关系．其中时间是自变量，离家的距离是因变量； （2）由函数图像可以看出10时的时候他离家的距离是15千米，13时的时候他离家30千米； （3）由图象看出他到达离家最远的地方是在12-13时，离家30千米； （4）由图象看出10时到12时他行驶了30－15=15千米； （5）由图象看出12:00~13:00时距离没变且时间较长，得他可能在12时到13时间内休息，并吃午餐； （6）由图象看出回家时用了2小时，路程是30千米，所以回家的平均速度是30÷2=15(千米/时)． 【点拨】此题考查了函数的图象，解题关键在于看懂图中数据表示的实际意义． 21．写出下列问题中两个变量之间的关系式： (1)设地面气温是20 ℃，如果每升高1 km，气温下降6 ℃，气温t(℃)与高度h(km)之间的关系式； (2)一盛满30 t水的水箱，每小时流出0.5 t水，试用流水时间t(h)表示水箱中的剩余水量y(t)． 【答案】 (1)t＝20－6h(h≥0);(2)y＝30－0.5t(0≤t≤60)． 【分析】（1）用地面气温是20 ℃减去下降的温度6h,即可得到气温t(℃)与高度h(km)之间的关系式； （2）用水箱里原来有的水30t减去流出去的水0.5t，即可得到剩余水量y(t)与流水时间t(h)的关系式. 【详解】(1)t＝20－6h(h≥0); (2)y＝30－0.5t(0≤t≤60)． 【点拨】本题考查了函数关系式：根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系.在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量. 年份201520162017…入学儿童人数252023302140…x/kg012345y/cm1010.51111.51212.5
第三章 变量之间的关系 复习与巩固 从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况（重点）； 2.对表格所表达的两个变量关系的理解（难点）； 3.列关系式表示两个变量的关系，并会利用关系式进行相关计算并感受对应思想（重点）； 4.从具体问题中抽象出数学问题并将它用关系式表示出来（难点）； 5.把实际问题转化为数学图像，再根据图像来研究实际问题，使学生获得对图象反映变量之间关系的体验（重点）； 6.从图像中获得一些信息与在现实情景下用语言进行描述之间的等价转化（难点）。 知识点一. 变量、自变量、因变量、常量 变量：在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。 自变量、因变量：如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。 自变量是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；因变量是由于自变量变动而引起变动的量，它“依赖于”自变量的改变。 常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量. 知识点二. 列表法 列表法 采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。 表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。 绘制表格表示两个变量之间关系 （1）首先要明确表格中所列的是哪两个量； （2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量； （3）结合实际情境理解它们之间的关系。 知识点三. 解析式法 解析法 关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。 用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量的代数式表示因变量，这样的数学式子叫做关系式。 关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。 求两个变量之间关系式的途径： （1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。 （2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式； （3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式； （4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。 关系式的应用： （1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值； （2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值； （3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程或求代数式的值。 知识点四. 图象法 图像法 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 表示的步骤是： ①列表：列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。一般给出的数越多，画出的图象越精确。 ②描点：在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点来表示自变量，用竖直方向的数轴上的点来表示因变量。 ③连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的各点连结起来。 图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。 图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。 用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点表示自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 图象上的点： （1）对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值； （2）过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。 图象理解： （1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量； （2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置； （3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。 理解图像： 认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象； 从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义，特别是图像的起点、拐点、交点在同一平面内. 知识点01 变量、自变量、因变量、常量 典例：1. 以固定的速度v0(m/s)向上抛出一个小球，小球的高度h(m)与小球运动的时间t (s)之间的关系式是h＝v0t－4.9t2，在这个关系式中，常量、变量分别为( ) A. 常量为4.9，变量为t，h B. 常量为v0，变量为t，h C. 常量为－4.9，v0，变量为t，h D. 常量为4.9，变量为v0，t，h 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：中的(米/秒)是固定的速度，−4.9是定值， 故和−4.9是常量，t、h是变量， 故选C. 【点拨】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题． 典例：2.在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是( ) A. 太阳光强弱 B. 水的温度 C. 所晒时间 D. 热水器的容积 【答案】B 【解析】 【分析】函数的定义：设在某变化过程中有两个变量、，如果对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一的值与它对应，那么称是的函数，叫自变量．函数关系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量． 【详解】解：根据函数的定义可知， 水温是随着所晒时间的长短而变化， 可知水温是因变量， 所晒时间为自变量． 故选：B． 【点拨】本题主要考查的是对函数的定义，解题的关键是对自变量和因变量的认识和理解． 巩固练习 1．在三角形面积公式S＝ah，a＝2中，下列说法正确的是( ) A．S，a是变量，，h是常量 B．S，h是变量，是常量 C．S，h是变量，，a是常量 D．S，h，a是变量，是常量 【答案】C 【分析】根据常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量求解即可. 【详解】在三角形面积公式S＝ah，a＝2中，S，h是变量，，a是常量. 故选C. 【点拨】本题考查了常量与变量，根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系，常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量． 2．小丽的微信红包原有100元钱，她在新年一周里抢红包，红包里的钱随着时间的变化而变化，在上述过程中，自变量是（ ） A．时间 B．小丽 C．80元 D．红包里的钱 【答案】A 【分析】一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有为一得值与其对应，那么我们就说x是自变量，所以上述过程中，自变量是时间． 【详解】解：小丽的微信红包原有100元钱，她在新年一周里抢红包，红包里的钱随着时间的变化而变化，在上述过程中，自变量是时间， 故选：． 【点拨】此题主要考查了自变量的定义，解答此题的关键是要明确自变量的定义，看哪个量随着另一个量变化而变化． 知识点02 解析式法 典例：1.随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少.下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势： (1)上表中_____是自变量，_____是因变量； (2)你预计该地区从_____年起入学儿童的人数不超过2000人. 【答案】 年份， 入学儿童人数 2018. 【分析】（1）根据两个变量：年份和入学儿童人数和表中的变化趋势即可得出答案． （2）先根据表中的数据得出，每年的入学儿童人数都比上一年减少190人，2015年的入学儿童人数减去2000的差除以190即可． 【详解】解：（1）因为该表格中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数随年份的变化趋势， 所以年份是自变量，入学儿童人数是因变量； 故答案为年份，入学儿童人数 （2）因为每年的入学儿童人数都比上一年减少190人， ∴（2520-2000）÷190， 2015+3=2018(年) 所以2018年起入学儿童的人数不超过2000人． 故答案为2018 【点拨】本题考查了函数的定义，和简单的求值问题，分析表中数据的变化规律是解题的关键． 巩固练习 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系： 下列说法一定错误的是（ ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为0cm C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5 cm D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm 【答案】B 【分析】根据变量与常量，函数的表示方法，结合表格中数据的变化规律逐项进行判断即可． 【详解】解：A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，是正确的，因此选项A不符合题意； B．弹簧不挂重物时的长度，即当x=0时y的值，此时y=10cm，因此选项B是错误的，符合题意； C．物体质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，是正确的，因此选项C不符合题意； D．根据物体质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，可得出所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，是正确的，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键． 知识点03 解析式法 典例：1.写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围： (1)圆的周长是半径的函数； (2)火车以千米/时的速度行驶，它驶过的路程（千米）是所用时间（时）的函数； (3)边形内角和的度数S是边数的函数． 【答案】(1) (2) (3)，（n是大于或等于3的整数） 【分析】（1）根据圆的周长公式可得； （2）根据路程＝速度×时间可得； （3）根据多边形内角和公式可得． （1）解：圆的周长是半径的函数关系式为：． （2）解：火车驶过的路程（千米）是所用时间（时）的函数关系式为：． （3）解：边形内角和的度数S是边数的函数关系式为：，（n是大于或等于3的整数）． 【点拨】本题主要考查了函数关系式：根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系． 巩固练习 1. 如图所示，梯形的上底长是厘米，下底长是厘米，当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化． （）在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________． （）梯形的面积与高（厘米）之间的关系式为__________． （）当梯形的高由厘米变化到厘米时，梯形的面积由__________变化到__________． 【答案】 ①. 梯形的高 ②. 梯形的面积 ③. ④. 90 ⑤. 9 【分析】（1）在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断； （2）根据梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2，代入相应数值，进行计算即可； （3）把x=10，x=1分别代入函数解析式进行计算． 【详解】解：(1)自变量是梯形的高，因变量是梯形的面积； (2)梯形的面积y(cm²)与高x(cm)之间的关系式为：y=(5+13)x×=9x； (3)当梯形的高是l0cm时，y=9×10=90， 当梯形的高是l0cm时，y=9×1=9， 梯形的面积由90cm²变化到9cm²． 故答案为梯形的高，梯形的面积，y=9x，90，9． 【点拨】此题主要考查了列函数关系式，以及求函数值，关键是掌握梯形的面积公式． 知识点04 图象法 典例：1.某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（ ） A. 自行车发生故障时离家距离为1000米 B. 学校离家的距离为2000米 C. 到达学校时共用时间20分钟 D. 修车时间为15分钟 【答案】D 【分析】观察图象，明确每一段小明行驶的路程、时间，作出判断． 【详解】A、自行车发生故障时离家距离为米，正确； B、学校离家的距离为米，正确； C、到达学校时共用时间分钟，正确； D、由图可知，修车时间分钟，可知D错误． 故选：D． 【点拨】此题考查了学生从图象中获取信息的数形结合能力，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势． 巩固练习 1. 一个三角形的面积始终保持不变,它的一边的长为xcm,这边上的高为ycm,y与x的关系如下图，从图像中可以看出: (1)当x越来越大时,y越来越________； (2)这个三角形的面积等于________cm2； (3)可以想像:当x非常大非常大时,y一定非常小非常小,这个三角形显得很“扁”，但无论x多么的大，y总是_______零(填“大于”、“小于”、“大于或等于”之一). 【答案】(1)小；(2)2；(3)大于 【分析】根据三角形的面积公式及函数图象的特征即可得到结果. 【详解】(1)当x越来越大时，y越来越小； (2)这个三角形的面积等于xy=2cm2； (3)无论x多么的大，y总是大于零. 考点：本题考查的是三角形的面积公式，函数的图象 【点拨】解答本题的关键是读懂题意，得到图象的特征及规律，再根据这个规律解决问题. 能力提升 一、单选题 1．一辆慢车以50千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75千米/小时的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距离为500千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为慢车和快车从相距500千米的甲乙两地同时出发,则时间为0小时,两车相距距离为500千米,经过4小时,两车相遇,则此时两车相距距离为0,相遇之后快车经过小时先到达甲地,此时两车相距(75+50) ×=千米>250千米,然后再经过小时,慢车到达乙地,此时两车相距500千米, 故选C. 【点拨】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 2．如图，在直角三角形ABC中，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法错误的是( ) A．三角形面积随之增大 B．∠CAB的度数随之增大 C．BC边上的高随之增大 D．边AB的长度随之增大 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式、角和线段大小的比较以及三角形高的定义进行解答即可． 【详解】解：A、在直角三角形ABC中，S△ABC=BC•AC，点B沿CB所在直线远离C点移动时BC增大，则该三角形的面积越大．故A正确； B、如图，随着点B的移动，∠CAB的度数随之增大．故B正确； C、BC边上的高是AC，线段AC的长度是不变的．故C错误． D、如图，随着点B的移动，边AB的长度随之增大．故D正确； 故选C． 【点拨】本题考查了三角形的面积，角和线段大小的比较以及三角形高的定义，解题时要注意“数形结合”数学思想的应用． 3．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案． 【详解】解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快． 故选：D． 【点拨】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 4．为了加强爱国主义教育，每周一学校都要举行庄严的升旗仪式，同学们凝视着冉冉上升的国旗，下列哪个函数图象能近似地刻画上升的国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系( ) A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【详解】试题分析：设旗杆高h，国旗上升的速度为v，国旗离旗杆顶端的距离为S，根据题意，得S=h﹣vt，∵h、v是常数，∴S是t的一次函数，∵S=﹣vt+h，﹣v＜0，∴S随v的增大而减小． 故选A． 【点拨】本题主要考查函数的图象． 5．为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）．一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点到6点（至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①0点到1点不进水，只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水．则一定正确的论断是（ ） A．①③ B．②③ C．③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据图象1可知一个进水管的进水速度小于出水速度，且为出水速度的一半，再结合图2中特殊点的实际意义即可作出判断． 【详解】解：①0点到1点既进水，也出水； ②1点到4点同时打开两个管进水，和一只管出水； ③4点到6点只进水，不出水． 正确的只有③． 故选：C． 【点拨】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 6．如图，是一台自动测温仪记录的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ） A．凌晨4时气温最低为－3℃ B．14时气温最高为8℃ C．从0时至14时，气温随时间增长而上升 D．从14时至24时，气温随时间增长而下降 【答案】C 【详解】解：A．∵由图象可知，在凌晨4点函数图象在最低点﹣3，∴凌晨4时气温最低为﹣3℃，故本选项正确； B．∵由图象可知，在14点函数图象在最高点8，∴14时气温最高为8℃，故本选项正确； C．∵由图象可知，从4时至14时，气温随时间增长而上上升，不是从0点，故本选项错误； D．∵由图象可知，14时至24时，气温随时间增长而下降，故本选项正确． 故选C． 【点拨】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 7．一个正方形的边长为3 cm，它的各边边长减少x cm后，得到的新正方形的周长为y cm，y与x间的函数关系式是( ) A．y=12-4x B．y=4x-12 C．y=12-x D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：∵各边边长减少xcm， ∴新正方形的边长为(3－x)cm， ∴y＝4(3－x)＝12－4x， 即y＝12－4x． 故选A． 【点拨】本题考查了列函数关系式，熟练掌握正方形的周长公式是解题的关键． 8．已知的底边上的高为8cm，当底边从16 cm变化到5 cm时，的面积 ( ) A．从20 cm2变化到64 cm2 B．从40 cm2变化到128 cm2 C．从128 cm2变化到40 cm2 D．从64 cm2变化到20 cm2 【答案】D 【分析】根据（底高）计算分别计算得出最值即可． 【详解】解：当的底边上的高为cm，底边cm时， cm2； 底边cm时，cm2． 故选：D． 【点拨】此题主要考查了函数关系，解题的关键是利用极值法得出的最大值和最小值． 9．如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图（滴水速度保持不变），能正确反映容器中水的高度（）与时间（）之间对应关系的大致图象是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据容器的上下的大小，判断水上升快慢和对应的图象，再对题中的每一种结论进行判断． 【详解】解：由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快． 表现出的函数图形为先缓，后陡． 故选D． 【点拨】本题考查单式折线统计图，解题关键在于根据容器的上下的大小，判断水上升快慢和对应的图象 10．地表以下的岩层温度y随着所处深度x的变化而变化，在某个地点y与x的关系可以由公式来表示，则y随x的增大而（ ）． A．增大 B．减小 C．不变 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵ 35＞0， ∴y随x的增大而增大． 故选：A 【点拨】此题主要考查了一次函数的图象性质，只有掌握它的性质才能灵活解题． 二、填空题 11．如图所示表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，已知龟、兔上午8点从同一地点出发，请你根据图中给出的信息，算出乌龟在___点追上兔子． 【答案】18 【详解】两个函数图形的交点的横坐标是10，说明10小时后，乌龟追上兔子，此时的时间为：8+10=18时. 故答案为18. 【点拨】本题考查了函数图象，利用路程与时间的关系是解题关键． 12．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需________分钟到达终点B． 【答案】78． 【分析】根据路程与时间的关系，可得甲乙的速度，根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达A站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达B站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案． 【详解】解：由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟， 甲的速度是1÷6=千米/分钟， 由纵坐标看出AB两地的距离是16千米， 设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得 10x+16×=16， 解得x=千米/分钟， 相遇后乙到达A站还需（16×）÷=2分钟， 相遇后甲到达B站还需（10×）÷=80分钟， 当乙到达终点A时，甲还需80-2=78分钟到达终点B， 故答案为：78 【点拨】本题考查了函数图象，利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键． 13．“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，_____随____变化而变化，其中自变量是___，因变量是___. 【答案】 温度； 时间； 时间； 温度. 【详解】“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语中早、午、晚是时间，早穿皮袄说明早上冷，午穿纱说明中午热，说明温度随着时间在变化． 故答案为：温度；.时间；时间；温度. 14．某市出租车收费与行驶路程关系如图所示．如果小明姥姥乘出租车去小明家花去了元，那么小明姥姥乘车路程为__________千米． 【答案】13 【详解】设AB的解析式为y=kx+b，由题意， 得， 解得：， ∴直线AB的解析式为y=1.6x+1.2（x≥3）， 当y=22时，22=1.6x+1.2， 解得：x=13， 故答案为13． 【点拨】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，根据解析式由函数值求自变量的值的运用．解答时求出函数的解析式是关键． 15．如图，都是由边长为1的正方体叠成的图形． 例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位，．依此规律．则第（5）个图形的表面积_____个平方单位 【答案】90 【分析】结合图形，发现第（1）个图形的表面积是1×6=6，第（2）个图形的表面积是（1+2）×6=18，第（3）图形的表面积是（1+2+3）×6=36；以此类推即可求解． 【详解】解：结合图形，发现： 第（1）个图形的表面积是1×6=6， 第（2）个图形的表面积是（1+2）×6=18， 第（3）图形的表面积是（1+2+3）×6=36， 第（4）图形的表面积是（1+2+3+4）×6=60， … 故第n个图形的表面积是（1+2+3+…+n）×6=3n（n+1）， 第（5）个图形的表面积是3×5×（5+1）=90， 故答案为：90． 【点拨】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 三、解答题 16．某空军加油飞机接到命令,立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油,在加油过程中,设运输飞机的油箱余油量为Q1吨,加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨,加油时间为t分钟,Q1,Q2与t之间的关系如图所示,结合图象回答下列问题: (1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟? (2)运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需10小时到达目的地,油料是否够用?说明理由. 【答案】(1) 加油油箱中装载了30吨油,全部加给运输飞机需10分钟；(2)油料够用.理由见解析. 【分析】（1）通过观察线段Q2段图象，不难得到加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，将这些油全部加给运输飞机中需10分钟 （2）首先根据运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，求出每小时耗油量．再计算10小时共耗油量，与69吨比较大小，判定油料是否够用． 【详解】(1)由图象知加油飞机的加油油箱中装载了30吨油,全部加给运输飞机需10分钟. (2)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0.1吨,所以10小时耗油量为10×60×0.1=60(吨).因为60<69,所以油料够用. 【点拨】本题考查了一次函数的应用．解题的关键是读懂图象，其中尤其注意运输飞机每小时耗油量这个隐含条件的确定． 17．某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元，“神州行”不缴月租费，每通话1分钟付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种方式的费用分别是元，元． （1）写出与之间的函数关系式； （2）一个月内通话多少分钟，两种移动移动通讯费相同； （3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通讯合算些． 【答案】（1）；（2）通话250分钟两种费用相同；（3）选择全球通合算． 【分析】（1）因为移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；“神舟行”不缴月租费，每通话1min付费0.6元．若一个月内通话xmin，两种方式的费用分别为y1元和y2元，则y1=50+0.4x，y2=0.6x； （2）令y1=y2，解方程即可； （3）令x=300，分别求出y1、y2的值，再做比较即可． 【详解】（1） （2）令y1=y2，则50+0.4x=0.6x， 解之，得x=250 所以通话250分钟两种费用相同； （3）令x=300， 则y1=50+0.4×300=170；y2=0.6×300=180 所以选择全球通合算． 【点拨】本题考查了一次函数的应用，需仔细分析题意，建立函数解析式，利用方程或简单计算即可解决问题． 18．如图，分别表示甲步行与乙骑自行车(在同一路上)行走的路程s甲，s乙与时间t的关系，观察图象并回答下列问题： （1）乙出发时，乙与甲相距 千米； （2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为 小时； （3）乙从出发起，经过 小时与甲相遇； （4）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？ 【答案】（1)10；(2)1；（3）3；（4）不一样，理由见解析； 【分析】（1）根据t=0时甲乙两人的路程差即为两人的距离解答即可； （2）根据s不变的时间即为修车时间解答即可； （3）根据两人的函数图象的交点即为相遇，写出时间即可； （4）利用速度与时间路程的关系解答即可； 【详解】解：（1）由图象可知，乙出发时，乙与甲相距10千米． 故答案为10． （2）由图象可知，走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为=1.5-0.5=1小时， 故答案为1． （3）图图象可知，乙从出发起，经过3小时与甲相遇． 故答案为3 （4）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样.理由如下： 乙骑自行车出故障前的速度=15千米/小时． 与修车后的速度=10千米/小时． 因为15＞10， 所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样. 【点拨】此题主要考查了学生从图象中读取信息的能力，以及路程、速度、时间的关系等知识，解题的关键是灵活运用图中信息解决问题，所以中考常考题型． 19．多边形的内角和随着边数的变化而变化．设多边形的边数为n，内角和为N，则变量N与n之间的关系可以表示为N＝(n-2)·180°． (1)在这个关系式中，自变量、因变量各是什么？ (2)在这个关系式中，n能取什么样的值？ (3)利用这个关系式计算六边形的内角和． (4)当边数每增加1时，多边形的内角和如何变化？ 【答案】(1)n是自变量，N是因变量．(2)大于2的整数．(3)720°．(4)增加180° 【分析】（1）自变量是n，因变量是N； （2）多边形的边数最少为3，所以n能取大于2的整数； （3）将n=6代入关系式中，计算出N的值即可； （4）设多边形原来边数为n，此时多边形的内角和为（n－2）×180度，多边形边数增加1后边数为n+1，此时多边形的内角和为（n+1－2）×180度，所以内角和增加了（n+1－2）×180－（n－2）×180=180度． 【详解】（1）自变量是n，因变量是N； （2）多边形的边数最少为3，所以n能取大于2的整数； （3）当n=6时，N=（6－2）×180=720°； （4）设原多边形边数为n，则边数增加1以后变为n+1， （n+1－2）×180－（n－2）×180=180°， 所以当边数每增加1时，多边形的内角和增加180°． 【点拨】掌握自变量、因变量的概念以及对关系式的运用． 20．小明某天上午时骑自行车离开家，时回到家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）． （1）图象表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）时和时，他分别离家多远？ （3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （4）时到时他行驶了多少千米？ （5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？ （6）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？ 【答案】（1）时间、离家的距离，自变量是时间，因变量是离家的距离；（2）15千米、30千米；（3）12:00，30千米；（4）15千米，（5）12:00-13:00；（6）15千米/小时． 【分析】（1）根据图象的x轴和y轴即可确定表示了哪两个变量的关系； （2）由函数图像可以看出10时的时候他离家的距离是15千米，12时的时候他离家30千米； （3）首先根据图象找到离家最远的距离，由此即可确定他到达离家最远的地方是什么时间，离家多远； （4）根据图象首先找到时间为10时和12时离家的距离，然后作差即可； （5）如果休息，那么距离没有增加，由此就可以确定在哪段时间内休息，并吃午餐； （6）根据返回时所走路程和使用时间即可求出返回时的平均速度． 【详解】解：（1）图像表示了离家的距离与时间这两个变量之间的关系．其中时间是自变量，离家的距离是因变量； （2）由函数图像可以看出10时的时候他离家的距离是15千米，13时的时候他离家30千米； （3）由图象看出他到达离家最远的地方是在12-13时，离家30千米； （4）由图象看出10时到12时他行驶了30－15=15千米； （5）由图象看出12:00~13:00时距离没变且时间较长，得他可能在12时到13时间内休息，并吃午餐； （6）由图象看出回家时用了2小时，路程是30千米，所以回家的平均速度是30÷2=15(千米/时)． 【点拨】此题考查了函数的图象，解题关键在于看懂图中数据表示的实际意义． 21．写出下列问题中两个变量之间的关系式： (1)设地面气温是20 ℃，如果每升高1 km，气温下降6 ℃，气温t(℃)与高度h(km)之间的关系式； (2)一盛满30 t水的水箱，每小时流出0.5 t水，试用流水时间t(h)表示水箱中的剩余水量y(t)． 【答案】 (1)t＝20－6h(h≥0);(2)y＝30－0.5t(0≤t≤60)． 【分析】（1）用地面气温是20 ℃减去下降的温度6h,即可得到气温t(℃)与高度h(km)之间的关系式； （2）用水箱里原来有的水30t减去流出去的水0.5t，即可得到剩余水量y(t)与流水时间t(h)的关系式. 【详解】(1)t＝20－6h(h≥0); (2)y＝30－0.5t(0≤t≤60)． 【点拨】本题考查了函数关系式：根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系.在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量. 年份201520162017…入学儿童人数252023302140…x/kg012345y/cm1010.51111.51212.5
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