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陕西省榆林市2023-2024学年高三第一次模拟检测数学（理科）试题
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这是一份陕西省榆林市2023-2024学年高三第一次模拟检测数学（理科）试题，共4页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，已知 a=lg0等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设 z=(2+2i)i+i³,则. z=
A.-2+i B. -2-i
C.-1-2i D.-1+2i
2.设集合A={-4,-2,0,2,4},B={x|x²-4x-5>0},则A∩B=
A.{0,2,4} B.{-4,-2,0}
C.{-4,4} D. {-4,-2}
3.已知直线 y=5x是双曲线 y2a2-x2b2=1（a>0,b>0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为
A.65 B. 5
C. 6 D.305
4.在等比数列{an}中, a₁+a₂=1,a₂+a₃=2,则 a₅=
A. 163 B. 83 C.16 D.8
5.某圆锥的侧面积为16π，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为
A.2 B.4
C.22 D.42
6.执行如图所示的程序框图，输出的 S=
A.18
B.22
C.25
D.1375
7.已知 a=lg0.50.7,b=lg52,c=12,则
A. aC. a8.已知y=f(x+1)+1为奇函数,则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=
A.-14 B.14 C. -7 D.7
9.如图，设抛物线 y²=4x的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若 |FA|=7,|FB|=52,则 |AB||BC|=
A. 83
B. 72
C.73
D.3
10.下图是由两个边长不相等的正方形构成的，在整个图形中随机取一点，此点取自△ADC，△AFC,△BEF 的概率分别记为p₁,p₂,p₃,则
A.p₁=p₂
B.p₁=p₃
C.p₂=p₃
D.p₁=p₂+p₃
11.已知 H 是球O的直径AB上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π，M为α上的一点，且 MH=24,过点 M 作球O 的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为
A.142 B.114
C.144 D.112
12.已知函数. fx=eᵃʳ-eʳ在[0，+∞)上单调递增，则a 的取值范围是
A.[0,+∞) B.(1,+∞) C.(e,+∞) D.[2e,+∞)
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知向量a,b满足|a|=1,b=(-1,2),a·b=1,则|a+b|= ▲ .
14.若x，y满足约束条件 8x-y-4≤0,x+y+4≥0,y-2≤0,则目标函数z=x-3y的最大值为 ▲ .
15.已知函数 fx=2sin4x+π3.若存在 x1,x2∈0π4,使不等式 fx₁16.某网店统计了 A 商品近 30 天的日销售量，日销售量依次构成数列{an}，已知 a₁=20,且 aₙ₊₁-aₙ=1+-1ⁿn∈N₊,则 A商品近 30天的总销量为 ▲ .
三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题:共60 分.
17.(12分)
在三棱锥A-BCD中, AB=AD,BC=CD.
(1)证明:AC⊥BD.
(2)若 AB=BC=BD,平面. ABD⊥平面BCD,，求直线 AB 与平面ACD 所成角的正弦值.
18.(12 分)
△ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 △ABC的周长为 6， AB⋅AC=3a2-2bc2.
(1)求 a 的值;
(2)求 A 的最大值.
19.(12 分)
某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本,将 100 个样本数据按[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80)，[80，90]分成6 组，并整理得到如下频率分布直方图.
(1)请通过频率分布直方图估计这 100 份样本数据的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于 60 分，则被认定为成绩合格，低于 60 分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取5 人，用 X 表示成绩合格的人数，求 X 的分布列及数学期望.
20.(12 分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab>0)经过A(0,1), P85-35两点.
(1)求 C 的方程;
(2)斜率不为0 的直线 l 与椭圆C 交于M,N 两点,且点 A 不在l上, AM⊥AN,,过点 P 作y轴的垂线，交直线x=-1于点S，与椭圆C的另一个交点为T，记 △SMN的面积为 S₁,△TMN的面积为S₂,求 S1S2.
21.(12 分)
已知函数 fx=x-x³.
(1)求 f(x)的极值;
(2)已知 α∈0π2,mfsinα+nfcsα=tanπ6,证明： m+n>32.
(二)选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角 坐 标 系 xOy 中,曲线 C₁ 和 C₂ 的参数 方 程 分 别为 x=1+csαy=sinα,(α为 参 数), x=2+5csβy=1+5sinβ,(β为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 C₁ 和 C₂ 的极坐标方程;
(2)已知直线 l:y=kx(k>0),且l与曲线C₁ 相交于 O,A 两点,与曲线(C₂相交于 O,B 两点，则当|AB|取得最大值时，求 k 的值.
23.[选修 4—5:不等式选讲](10分)
已知函数 fx=|3x-2|+|2x+1|.
(1)求不等式 f(x)>9 的解集;
(2)若存在x∈R,使得 f(x)
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设 z=(2+2i)i+i³,则. z=
A.-2+i B. -2-i
C.-1-2i D.-1+2i
2.设集合A={-4,-2,0,2,4},B={x|x²-4x-5>0},则A∩B=
A.{0,2,4} B.{-4,-2,0}
C.{-4,4} D. {-4,-2}
3.已知直线 y=5x是双曲线 y2a2-x2b2=1（a>0,b>0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为
A.65 B. 5
C. 6 D.305
4.在等比数列{an}中, a₁+a₂=1,a₂+a₃=2,则 a₅=
A. 163 B. 83 C.16 D.8
5.某圆锥的侧面积为16π，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为
A.2 B.4
C.22 D.42
6.执行如图所示的程序框图，输出的 S=
A.18
B.22
C.25
D.1375
7.已知 a=lg0.50.7,b=lg52,c=12,则
A. a
A.-14 B.14 C. -7 D.7
9.如图，设抛物线 y²=4x的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若 |FA|=7,|FB|=52,则 |AB||BC|=
A. 83
B. 72
C.73
D.3
10.下图是由两个边长不相等的正方形构成的，在整个图形中随机取一点，此点取自△ADC，△AFC,△BEF 的概率分别记为p₁,p₂,p₃,则
A.p₁=p₂
B.p₁=p₃
C.p₂=p₃
D.p₁=p₂+p₃
11.已知 H 是球O的直径AB上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π，M为α上的一点，且 MH=24,过点 M 作球O 的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为
A.142 B.114
C.144 D.112
12.已知函数. fx=eᵃʳ-eʳ在[0，+∞)上单调递增，则a 的取值范围是
A.[0,+∞) B.(1,+∞) C.(e,+∞) D.[2e,+∞)
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知向量a,b满足|a|=1,b=(-1,2),a·b=1,则|a+b|= ▲ .
14.若x，y满足约束条件 8x-y-4≤0,x+y+4≥0,y-2≤0,则目标函数z=x-3y的最大值为 ▲ .
15.已知函数 fx=2sin4x+π3.若存在 x1,x2∈0π4,使不等式 fx₁
三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题:共60 分.
17.(12分)
在三棱锥A-BCD中, AB=AD,BC=CD.
(1)证明:AC⊥BD.
(2)若 AB=BC=BD,平面. ABD⊥平面BCD,，求直线 AB 与平面ACD 所成角的正弦值.
18.(12 分)
△ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 △ABC的周长为 6， AB⋅AC=3a2-2bc2.
(1)求 a 的值;
(2)求 A 的最大值.
19.(12 分)
某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本,将 100 个样本数据按[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80)，[80，90]分成6 组，并整理得到如下频率分布直方图.
(1)请通过频率分布直方图估计这 100 份样本数据的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于 60 分，则被认定为成绩合格，低于 60 分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取5 人，用 X 表示成绩合格的人数，求 X 的分布列及数学期望.
20.(12 分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab>0)经过A(0,1), P85-35两点.
(1)求 C 的方程;
(2)斜率不为0 的直线 l 与椭圆C 交于M,N 两点,且点 A 不在l上, AM⊥AN,,过点 P 作y轴的垂线，交直线x=-1于点S，与椭圆C的另一个交点为T，记 △SMN的面积为 S₁,△TMN的面积为S₂,求 S1S2.
21.(12 分)
已知函数 fx=x-x³.
(1)求 f(x)的极值;
(2)已知 α∈0π2,mfsinα+nfcsα=tanπ6,证明： m+n>32.
(二)选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角 坐 标 系 xOy 中,曲线 C₁ 和 C₂ 的参数 方 程 分 别为 x=1+csαy=sinα,(α为 参 数), x=2+5csβy=1+5sinβ,(β为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 C₁ 和 C₂ 的极坐标方程;
(2)已知直线 l:y=kx(k>0),且l与曲线C₁ 相交于 O,A 两点,与曲线(C₂相交于 O,B 两点，则当|AB|取得最大值时，求 k 的值.
23.[选修 4—5:不等式选讲](10分)
已知函数 fx=|3x-2|+|2x+1|.
(1)求不等式 f(x)>9 的解集;
(2)若存在x∈R,使得 f(x)
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