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期末押题检测卷（一）-八年级数学上册高频考点专题突破（人教版）
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这是一份期末押题检测卷（一）-八年级数学上册高频考点专题突破（人教版），文件包含期末押题检测卷一原卷版docx、期末押题检测卷一解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·山东聊城·）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍B．77×10﹣4倍C．7.7×10﹣6倍D．7.7×10﹣5倍
【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】由题意得：(3.85×10﹣9)÷(5×10﹣4)= 7.7×10﹣6倍，故选C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.（2021·浙江金华市·七年级期末）在①，②，③，④，⑤，计算结果为的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】由同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项，把每个选项进行化简计算，即可进行判断．
【详解】解：①；②；③；
④；⑤；∴计算结果为只有①；故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项，解题的关键是掌握运算法则进行判断．
3．（2021·辽宁·东北育才双语学校八年级期末）下列式子从左到右的变形属于因式分解的是
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意和因式分解的定义对各个选项进行逐一分析判断，即可求解．
【详解】解：，属于因式分解，故符合题意；
B．，不是因式分解，故不符合题意；
C．，不是因式分解，故不符合题意；
D．，是平方差公式，不是因式分解，故不符合题意．故选：A．
【点睛】本题主要考查因式分解的有关知识，属于基础题，掌握因式分解的定义是解决本题的关键．
4．（2021·黑龙江·哈尔滨市第一一三中学校）下列命题：①等腰三角形的角平分线、底边中线、高线三线合一；②有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，则它的周长为13或17；④轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】据等腰三角形三线合一是顶角平分线，底边中线与底边高线互相重合可判断①；根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可判断②；据三角形三边关系可判断③，根据轴对称图形的定义可判断④．
【详解】解：①等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高线三线合一，故选项①不正确；
②有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；
当顶角外角∠EAC=120°时，根据平角定义，可得∠BAC=60°，
∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，
当底角的外角∠BCD=120°，可得∠ACB=180°-120°=60°，
∵AB=AC，∠ACB=60°，∴△ABC为等边三角形，故②正确
③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，当3为底时，腰长为7，7.
∴7+7+3=17，当3为腰时，3+3＜7，不能构成三角形，∴三角形的周长为17，故③不正确；
④根据在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，任何一对对应点沿对称轴折叠互相重合，根据轴对称定义，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线正确．
故④正确；正确的个数有2个．故选择B．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，等边三角形判定，三角形三边关系，轴对称图形的性质，掌握基本概念是解题关键．
5．（2021·浙江越城·七年级期末）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．﹣2或﹣3D．0或3
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，
整理，得：（m+2）x＝﹣3，解得：，
①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，
②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，∴或，即无解或3（m+2）＝﹣3，
解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．故选C．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件．
6．（2021·山东曹县·）如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（ ）
A．30°B．60°C．70°D．80°
【答案】C
【分析】由SSS证明△AED≌△CFB，得到∠BCF＝∠DAE，利用三角形的外角的性质得∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝70°．
【详解】解：∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，∴BF=DE
又∵AD＝BC，AE＝CF．∴△AED≌△CFB（SSS），∴∠BCF＝∠DAE，
∵∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝100°-30°=70°∴∠BCF＝70°．故选C．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和等知识．
7．（2021·重庆市第十一中学校）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0）、B（0，3），对△AOB连续作旋转变换依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）…，则第2020个三角形的直角顶点的坐标是（ ）
A．（8072，0） B．（8027，）． C．（8076，0） D．（8076，）
【答案】C
【分析】利用勾股定理列式求出AB的长，再根据图形写出第（3）个三角形的直角顶点的坐标即可；观察图形不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商和余数的情况确定出第（2020）个三角形的直角顶点到原点O的距离，然后写出坐标即可．
【详解】解：∵点A（-4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴
∴三角形（3）的直角顶点坐标为：（12，0），∵，
∴第2020个三角形是第673组后的第一个直角三角形，顶点坐标与第673组的最后一个三角形顶点坐标相同，∵，∴第2020个三角形的直角顶点的坐标是（8076，0）．故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理的应用，观察图形，发现每3个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键．
8．（2021·贵州遵义·）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．6858B．6860C．9260D．9262
【答案】B
【分析】根据“和谐数”的概念找出公式：(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝2(12k2+1)（其中k为非负整数），然后再分析计算即可．
【详解】解：(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝[(2k+1)﹣(2k﹣1)][(2k+1)2+(2k+1)(2k﹣1)+(2k﹣1)2]＝2(12 k2+1)（其中 k为非负整数），由2(12k2+1)≤2019得，k≤9，∴k＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2019的“和谐数”，
它们的和为[13﹣(﹣1)3]+(33﹣13)+(53﹣33)+…+(173﹣153)+(193﹣173)＝193+1＝6860．故选：B．
【点睛】本题考查了新定义，以及立方差公式，有一定难度，重点是理解题意，找出其中规律是解题的关键所在．
9．（2021·山东龙口·）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为，则点F到BC的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求出ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．
【详解】解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝，∴S△ADE＝5，
由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝5，∠BFD＝90°，
∴•(AF+DF)•BF＝5，∴•(4+DF)•2＝5，∴DF＝1，∴DB＝＝＝，
设点F到BD的距离为h，则•BD•h＝•BF•DF，即：，∴h＝，故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
10．（2021·山东牡丹·）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②∠FAD＝90°；③BE+DC＝DE；④BE2+DC2＝DE2，其中一定正确的是（ ）
A．①③B．①②④C．①②③④D．②④
【答案】B
【分析】首先根据等腰直角三角形的性质，可求得顶角与底角的度数；根据旋转的性质，可得对应角与对应边相等；根据全等三角形的判定定理即可求得①正确；根据勾股定理与等量代换可得④正确；由三角形的三边关系可得③错误；根据旋转的性质可以判断②正确．
【详解】解：在中，，，，
，，
将绕点顺时针旋转后，得到，
，，，，
，，，，①正确，
，在中，，，③错误，
根据旋转的性质可得，∠FAD＝90°，故②正确；在中，，
；④正确；故选：B．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理、等腰直角直角三角形的性质以及旋转的性质．此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021·河南汝州·八年级期末）给出下列分式：①、②、③、④，其中最简分式是 ___（填序号）．
【答案】②
【分析】直接利用分式的性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案．
【详解】解：∵， ，
∴最简分式是，故答案为：②．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握分式的性质是解题的关键．
12．（2021·江苏镇江·）等腰三角形的一个内角为100°，则它的一个底角的度数为______．
【答案】40°
【分析】由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：①当100°这个角是顶角时，底角=（180°-100°）÷2=40°；
②当100°这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°=200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．故答案为：40°．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．
13．（2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校）将4a2﹣8ab+4b2因式分解后的结果为___．
【答案】
【分析】先提取公因式4，再利用完全平方式即可求出结果．
【详解】．故答案为：
【点睛】本题考查因式分解．掌握提公因式和公式法进行因式分解是解答本题的关键．
14．（2021·江苏崇川·南通田家炳中学八年级月考）若恒成立，则A-B=__________．
【答案】2
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求．
【详解】解：等式整理得，
∴ ∴A-B＝2．故答案为：2．
【点睛】本题考查分式的加减，解题的关键是通分，对等式进行整理，转化为分母相同的形式，从而求解．
15．（2021·黑龙江龙凤·）已知，则代数式的值是_______．
【答案】
【分析】先利用完全平方公式得到，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵
，
∵，∴，
∴，故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式．
16．（2021·四川省成都市七中育才学校九年级月考）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ___．
【答案】−2
【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为x≥5，列出不等式求得a的范围；解分式方程，根据方程有非负整数解，且y−2≠0列出不等式，求得a的范围；综上所述，求得a的范围．根据a为整数，求出a的值，最后求和即可．
【详解】解：，解不等式①得：x≥5，解不等式②得：x≥a＋2，
∵解集为x≥5，∴a＋2≤5，∴a≤3；分式方程两边都乘以（y−2）得：y−a＝−（y−2），解得：y＝，
∵分式方程有非负整数解，∴≥0，为整数，∴a≥−2，a为偶数，
∵≠2，∴a≠2，综上所述，−2≤a≤3且a≠2且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a的数有：−2，0，和为−2＋0＝−2．故答案为：−2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，解分式方程时一定记得要检验．
17．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校））如图，锐角中，，，的面积是，D，E，F分别是三边上的动点，则周长的最小值是______．
【答案】
【分析】作于，作关于和的对称点和，连接交于，交于，则，求得即可；
【详解】解：如图2，作于，作关于和的对称点和，
连接交于，交于，由对称性得，，，
，，，，
，即△DEF周长的最小值是GH的长，，
，
是正三角形，，
，，，，
的周长的最小值是；故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，解决问题的关键是运用“将军饮马”模型和将问题转化为AD的最值问题．
18．（2020·四川眉山·八年级期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边ABC和等边CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的有________．（填序号）
【答案】①②③
【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明ACD与BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BE，所以①正确，对应角相等可得∠CAD＝∠CBE，然后证明ACP与BCQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PC＝PQ，从而得到CPQ是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，从而证明PQ∥AE，所以②正确；根据全等三角形对应边相等可以推出AP＝BQ，所以③正确，根据③可推出DP＝EQ，再根据DEQ的角度关系DE≠DP．
【详解】解：∵等边ABC和等边CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，即∠ACD＝∠BCE，
在ACD与BCE中， ，∴ACD≌BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①小题正确；∵ACD≌BCE（已证），∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，
在ACP与BCQ中， ，∴ACP≌BCQ（ASA），
∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，∴PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，∴PQ∥AE，故②小题正确；
∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，
∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．
综上所述，正确的是①②③．故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，需要多次证明三角形全等，综合性较强，但难度不是很大，是热点题目，仔细分析图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·沭阳县怀文中学九年级月考）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】首先根据分式混合运算法则进行化简，然后利用条件变形，整体代入求值即可．
【详解】解：原式
∵，∴，∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则，熟练运用整体思想是解题关键．
20．（2021·苏州市相城区蠡口中学七年级月考）尝试解决下列有关幂的问题：
（1）若，求m的值；（2）已知求的值；
（3）若n为正整数，且，求的值
【答案】（1）15；（2）；（3）512
【分析】（1）首先利用幂的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘除法运算法则求出答案；
（2）根据同底数幂的除法被幂的乘方法则解答；
（3）将利用幂的乘方和积的乘方法则变形为，再代入计算．
【详解】解：（1）∵，∴，
∴，∴m+1=16，∴m=15；
（2）∵，∴====；
（3）∵，∴===512
【点睛】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
21．（2021·河南八年级期末）先化简，再求值：，其中
【答案】；
【分析】先利用完全平方公式以及多项式乘多项式的运算法则计算化简中括号中的内容，再进行除法运算，最后再代入求值即可．
【详解】解：
当时，原式
【点睛】本题考查的知识点是整式的混合运算化简求值以及分式的分母有理化，掌握整式的混合运算的运算法则是解此题的关键．
22．（2021·湖北洪山·）如图，在正五边形ABCDE中，DF⊥AB．F为垂足．（1）求∠CDF的度数；（2）求证：AF＝BF．
【答案】（1）54°；（2）见解析
【分析】（1）首先根据正五边形的性质求出内角度数，以及推出△AED≌△BCD，从而得到△ADB为等腰三角形，即可结合“三线合一”的性质推出∠CDF=∠EDC，最终得出结论；
（2）结合（1）中结论DA=DB，利用“HL”定理求证即可．
【详解】（1）解：五边形的内角和为，
∵五边形ABCDE为正五边形，∴，AE=ED=DC=CB，
∴∠EAD=∠EDA=(180°-∠E)=36°，∠CDB=∠CBD=(180°-∠C)=36°，∴∠EDA=∠CDB，
在△AED和△BCD中，∴△AED≌△BCD(SAS)，∴DA=DB，△ADB为等腰三角形，
∵DF⊥AB，∴由“三线合一”知，DF平分∠ADB，∴∠BDF=∠ADF，
∴∠BDF+∠CDB=∠ADF+∠EDA，∴∠CDF=∠EDF=∠EDC=54°；
（2）由（1）得DA=DB，∵DF⊥AB，∴∠DFA=∠DFB=90°，
在Rt△DAF和Rt△DBF中，∴Rt△DAF≌Rt△DBF(HL)，∴AF=BF．
【点睛】本题考查正多边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等，掌握基本图形的判定方法和性质是解题关键．
23．（2021·福建八年级期中）“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由
S四边形ABCD=S△ABC+S△ADE+S△ABE得，化简得：
实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程的图解法是：
画Rt△ABC，使∠ABC=90°，BC=，AC=，再在斜边AB上截取BD＝，则AD的长就是该方程的一个正根(如实例二图)
请根据以上阅读材料回答下面的问题：(1)如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是 ，乙图要证明的数学公式是
(2)如图2，若2和-8是关于x的方程x2+6x＝16的两个根，按照实例二的方式构造Rt△ABC，连接CD，求CD的长；(3)若x，y，z都为正数，且x2+y2＝z2，请用构造图形的方法求的最大值．
【答案】（1）完全平方公式；平方差公式；（2）；（3）
【分析】（1）利用面积法解决问题即可；（2）如图2，作于点H，由题意可得出，利用面积求出的长，再利用勾股定理求解即可；
（3）如图3，用4个全等的直角三角形（两直角边分别为x，y，斜边为z），拼如图正方形，当时定值，z最小时，的值最大值．易知，当小正方形的顶点是大正方形的中点时，z的值最小，此时，，据此求解即可．
【详解】解：（1）图1中甲图大正方形的面积
乙图中大正方形的面积即
∴甲图要证明的数学公式是完全平方公式，乙图要证明的公式是平方差公式；
故答案为：完全平方公式；平方差公式；
（2）如图2，作于点H，
根据题意可知，根据三角形的面积可得：
解得：根据勾股定理可得：
根据勾股定理可得：；
（3）如图3，用4个全等的直角三角形（两直角边分别为x，y，斜边为z），拼如图正方形
当时定值，z最小时，的值最大值
易知，当小正方形的顶点是大正方形的中点时，z的值最小，此时，，∴的最大值为．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了正方形的性质、解直角三角形、完全平方公式、平方差公式、勾股定理等知识点，解此题的关键是理解题意，会用面积法解决问题，学会数形结合的思想解决问题．
24．（2020·南通市八一中学八年级月考）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？
【答案】（1）今年5月份A款汽车每辆售价9万元；（2）共有5种进货方案；（3）a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同，此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司有利
【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量＝去年的销售数量．（2）关系式为：99≤A款汽车总价+B款汽车总价≤105．（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；多进B款汽车对公司更有利，因为A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，所以要多进B款．
【详解】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：
，解得：m＝9．经检验，m＝9是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
（2）设购进A款汽车x辆．则：99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．解得：6≤x≤10．
∵x的正整数解为6，7，8，9，10，∴共有5种进货方案；
（3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，则：
W＝（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）＝（a﹣0.5）x+30﹣15a．
当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同，此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司有利．
【点睛】本题主要考查了分式方程与不等式的结合，准确计算是解题的关键．
25．（2021·全国）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4 即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则
根据材料回答问题：（1）已知，求x+的值．（2）已知，（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．
【答案】（1）5；（2）；（3）
【分析】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；
（2）仿照材料二，设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，代入所求式子即可；
（3）本题介绍两种解法：解法一：（3）解法一：设＝＝＝（k≠0），化简得：①，②，③，相加变形可得x、y、z的代入＝中，可得k的值，从而得结论；解法二：取倒数得：＝＝，拆项得，从而得x＝，z＝，代入已知可得结论．
【详解】解：（1）∵＝，∴＝4，∴x﹣1+＝4，∴x+＝5；
（2）∵设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，∴＝＝＝；
（3）解法一：设＝＝＝（k≠0），
∴①，②，③，
①+②+③得：2（）＝3k，＝k④，
④﹣①得：＝k，④﹣②得：，④﹣③得：k，
∴x＝，y＝，z＝代入＝中，得：
＝，，k＝4，
∴x＝，y＝，z＝，∴xyz＝＝＝；
解法二：∵，∴，
∴，∴，∴，
将其代入中得： ＝ ＝，y＝，
∴x＝，z＝＝，∴xyz＝＝．
【点睛】本题考查了以新运算的方式求一个式子的值，题目中涉及了求一个数的倒数，约分，等式的基本性质，求代数式的值，解决本题的关键是正确理解新运算的内涵，确定一个数的倒数并能够根据等式的基本性质将原式变为能够进一步运算的式子.
26．（2021·福建永泰·）已知：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°
（1）如图1，延长DE交BC于点F，若∠BAE＝68°，则∠DFC的度数为 ；（2）如图2，连接EC、BD，延长EA交BD于点M，若∠AEC＝90°，求证：点M为BD中点；（3）如图3，连接EC、BD，点G是CE的中点，连接AG，交BD于点H，AG＝9，HG＝5，直接写出△AEC的面积．
【答案】（1）68°；（2）见解析；（3）36．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可知：∠DFC=∠DAC=68°；（2）过点B作BG⊥DA，交DA的延长线于G，通过AAS证明△ABG≌△ACE，得AG=AE，则AD=AG，得AM为△BDG的中位线即可证明；（3）延长AG到点K，使GK=AG=9，连接CK，通过SAS可证明△ABE≌△ACD，有S△ABE=S△ACD，BE=CD，再通过SAS证明△AEG≌△KCG，得AE=CK，∠AEG=∠KCG，再证明△AKC≌△BDA，得BD=AK=18，∠CAK=∠DBA，证出∠AHB=90°，即可解决问题．
【详解】解：（1）∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAE=∠DAC，
∵∠BAE=68°，∴∠DAC=68°，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠C=∠D，
根据三角形的内角和定理可知：∠DFC=∠DAC=68°；故答案为：68°；
（2）过点B作BG⊥DA，交DA的延长线于G，
∴∠EAG=∠BAC=90°，∴∠BAG=∠EAC，
在△ABG和△ACE中，，∴△ABG≌△ACE（AAS），∴AG=AE，
∵AD=AE，∴AD=AG，∵∠MAD=∠G=90°，∴AM∥BG，
∴AM为△BDG的中位线，∴点M为BD的中点；
（3）如图，延长AG到点K，使GK=AG=9，连接CK，∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴S△ABE=S△ACD，BE=CD，
∵点G是EC的中点，∴EG=GC，∵∠AGE=∠KGC，AG=GK，∴△AEG≌△KCG（SAS），
∴AE=CK，∠AEG=∠KCG，∴AE=KC=AD，∠ACK=∠ACB+∠KCB=45°+∠ABC+∠BAE=90°+∠BAE=∠BAD，
∵AB=AC，∴△AKC≌△BDA（SAS），∴BD=AK=18，∠CAK=∠DBA，
∵∠BAG+∠CAG=90°，∴∠ABD+∠BAG=90°，∴∠AHB=90°，
∴S△ABD＝×BD×AH=×18×4=36，∴S△AEC=S△ACK+S△AEG-S△KCG=S△ABD=36．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．
本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·山东聊城·）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍B．77×10﹣4倍C．7.7×10﹣6倍D．7.7×10﹣5倍
【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】由题意得：(3.85×10﹣9)÷(5×10﹣4)= 7.7×10﹣6倍，故选C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.（2021·浙江金华市·七年级期末）在①，②，③，④，⑤，计算结果为的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】由同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项，把每个选项进行化简计算，即可进行判断．
【详解】解：①；②；③；
④；⑤；∴计算结果为只有①；故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项，解题的关键是掌握运算法则进行判断．
3．（2021·辽宁·东北育才双语学校八年级期末）下列式子从左到右的变形属于因式分解的是
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意和因式分解的定义对各个选项进行逐一分析判断，即可求解．
【详解】解：，属于因式分解，故符合题意；
B．，不是因式分解，故不符合题意；
C．，不是因式分解，故不符合题意；
D．，是平方差公式，不是因式分解，故不符合题意．故选：A．
【点睛】本题主要考查因式分解的有关知识，属于基础题，掌握因式分解的定义是解决本题的关键．
4．（2021·黑龙江·哈尔滨市第一一三中学校）下列命题：①等腰三角形的角平分线、底边中线、高线三线合一；②有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，则它的周长为13或17；④轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】据等腰三角形三线合一是顶角平分线，底边中线与底边高线互相重合可判断①；根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可判断②；据三角形三边关系可判断③，根据轴对称图形的定义可判断④．
【详解】解：①等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高线三线合一，故选项①不正确；
②有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；
当顶角外角∠EAC=120°时，根据平角定义，可得∠BAC=60°，
∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，
当底角的外角∠BCD=120°，可得∠ACB=180°-120°=60°，
∵AB=AC，∠ACB=60°，∴△ABC为等边三角形，故②正确
③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，当3为底时，腰长为7，7.
∴7+7+3=17，当3为腰时，3+3＜7，不能构成三角形，∴三角形的周长为17，故③不正确；
④根据在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，任何一对对应点沿对称轴折叠互相重合，根据轴对称定义，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线正确．
故④正确；正确的个数有2个．故选择B．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，等边三角形判定，三角形三边关系，轴对称图形的性质，掌握基本概念是解题关键．
5．（2021·浙江越城·七年级期末）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．﹣2或﹣3D．0或3
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，
整理，得：（m+2）x＝﹣3，解得：，
①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，
②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，∴或，即无解或3（m+2）＝﹣3，
解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．故选C．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件．
6．（2021·山东曹县·）如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（ ）
A．30°B．60°C．70°D．80°
【答案】C
【分析】由SSS证明△AED≌△CFB，得到∠BCF＝∠DAE，利用三角形的外角的性质得∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝70°．
【详解】解：∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，∴BF=DE
又∵AD＝BC，AE＝CF．∴△AED≌△CFB（SSS），∴∠BCF＝∠DAE，
∵∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝100°-30°=70°∴∠BCF＝70°．故选C．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和等知识．
7．（2021·重庆市第十一中学校）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0）、B（0，3），对△AOB连续作旋转变换依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）…，则第2020个三角形的直角顶点的坐标是（ ）
A．（8072，0） B．（8027，）． C．（8076，0） D．（8076，）
【答案】C
【分析】利用勾股定理列式求出AB的长，再根据图形写出第（3）个三角形的直角顶点的坐标即可；观察图形不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商和余数的情况确定出第（2020）个三角形的直角顶点到原点O的距离，然后写出坐标即可．
【详解】解：∵点A（-4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴
∴三角形（3）的直角顶点坐标为：（12，0），∵，
∴第2020个三角形是第673组后的第一个直角三角形，顶点坐标与第673组的最后一个三角形顶点坐标相同，∵，∴第2020个三角形的直角顶点的坐标是（8076，0）．故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理的应用，观察图形，发现每3个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键．
8．（2021·贵州遵义·）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．6858B．6860C．9260D．9262
【答案】B
【分析】根据“和谐数”的概念找出公式：(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝2(12k2+1)（其中k为非负整数），然后再分析计算即可．
【详解】解：(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝[(2k+1)﹣(2k﹣1)][(2k+1)2+(2k+1)(2k﹣1)+(2k﹣1)2]＝2(12 k2+1)（其中 k为非负整数），由2(12k2+1)≤2019得，k≤9，∴k＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2019的“和谐数”，
它们的和为[13﹣(﹣1)3]+(33﹣13)+(53﹣33)+…+(173﹣153)+(193﹣173)＝193+1＝6860．故选：B．
【点睛】本题考查了新定义，以及立方差公式，有一定难度，重点是理解题意，找出其中规律是解题的关键所在．
9．（2021·山东龙口·）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为，则点F到BC的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求出ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．
【详解】解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝，∴S△ADE＝5，
由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝5，∠BFD＝90°，
∴•(AF+DF)•BF＝5，∴•(4+DF)•2＝5，∴DF＝1，∴DB＝＝＝，
设点F到BD的距离为h，则•BD•h＝•BF•DF，即：，∴h＝，故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
10．（2021·山东牡丹·）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②∠FAD＝90°；③BE+DC＝DE；④BE2+DC2＝DE2，其中一定正确的是（ ）
A．①③B．①②④C．①②③④D．②④
【答案】B
【分析】首先根据等腰直角三角形的性质，可求得顶角与底角的度数；根据旋转的性质，可得对应角与对应边相等；根据全等三角形的判定定理即可求得①正确；根据勾股定理与等量代换可得④正确；由三角形的三边关系可得③错误；根据旋转的性质可以判断②正确．
【详解】解：在中，，，，
，，
将绕点顺时针旋转后，得到，
，，，，
，，，，①正确，
，在中，，，③错误，
根据旋转的性质可得，∠FAD＝90°，故②正确；在中，，
；④正确；故选：B．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理、等腰直角直角三角形的性质以及旋转的性质．此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021·河南汝州·八年级期末）给出下列分式：①、②、③、④，其中最简分式是 ___（填序号）．
【答案】②
【分析】直接利用分式的性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案．
【详解】解：∵， ，
∴最简分式是，故答案为：②．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握分式的性质是解题的关键．
12．（2021·江苏镇江·）等腰三角形的一个内角为100°，则它的一个底角的度数为______．
【答案】40°
【分析】由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：①当100°这个角是顶角时，底角=（180°-100°）÷2=40°；
②当100°这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°=200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．故答案为：40°．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．
13．（2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校）将4a2﹣8ab+4b2因式分解后的结果为___．
【答案】
【分析】先提取公因式4，再利用完全平方式即可求出结果．
【详解】．故答案为：
【点睛】本题考查因式分解．掌握提公因式和公式法进行因式分解是解答本题的关键．
14．（2021·江苏崇川·南通田家炳中学八年级月考）若恒成立，则A-B=__________．
【答案】2
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求．
【详解】解：等式整理得，
∴ ∴A-B＝2．故答案为：2．
【点睛】本题考查分式的加减，解题的关键是通分，对等式进行整理，转化为分母相同的形式，从而求解．
15．（2021·黑龙江龙凤·）已知，则代数式的值是_______．
【答案】
【分析】先利用完全平方公式得到，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵
，
∵，∴，
∴，故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式．
16．（2021·四川省成都市七中育才学校九年级月考）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ___．
【答案】−2
【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为x≥5，列出不等式求得a的范围；解分式方程，根据方程有非负整数解，且y−2≠0列出不等式，求得a的范围；综上所述，求得a的范围．根据a为整数，求出a的值，最后求和即可．
【详解】解：，解不等式①得：x≥5，解不等式②得：x≥a＋2，
∵解集为x≥5，∴a＋2≤5，∴a≤3；分式方程两边都乘以（y−2）得：y−a＝−（y−2），解得：y＝，
∵分式方程有非负整数解，∴≥0，为整数，∴a≥−2，a为偶数，
∵≠2，∴a≠2，综上所述，−2≤a≤3且a≠2且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a的数有：−2，0，和为−2＋0＝−2．故答案为：−2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，解分式方程时一定记得要检验．
17．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校））如图，锐角中，，，的面积是，D，E，F分别是三边上的动点，则周长的最小值是______．
【答案】
【分析】作于，作关于和的对称点和，连接交于，交于，则，求得即可；
【详解】解：如图2，作于，作关于和的对称点和，
连接交于，交于，由对称性得，，，
，，，，
，即△DEF周长的最小值是GH的长，，
，
是正三角形，，
，，，，
的周长的最小值是；故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，解决问题的关键是运用“将军饮马”模型和将问题转化为AD的最值问题．
18．（2020·四川眉山·八年级期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边ABC和等边CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的有________．（填序号）
【答案】①②③
【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明ACD与BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BE，所以①正确，对应角相等可得∠CAD＝∠CBE，然后证明ACP与BCQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PC＝PQ，从而得到CPQ是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，从而证明PQ∥AE，所以②正确；根据全等三角形对应边相等可以推出AP＝BQ，所以③正确，根据③可推出DP＝EQ，再根据DEQ的角度关系DE≠DP．
【详解】解：∵等边ABC和等边CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，即∠ACD＝∠BCE，
在ACD与BCE中， ，∴ACD≌BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①小题正确；∵ACD≌BCE（已证），∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，
在ACP与BCQ中， ，∴ACP≌BCQ（ASA），
∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，∴PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，∴PQ∥AE，故②小题正确；
∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，
∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．
综上所述，正确的是①②③．故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，需要多次证明三角形全等，综合性较强，但难度不是很大，是热点题目，仔细分析图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·沭阳县怀文中学九年级月考）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】首先根据分式混合运算法则进行化简，然后利用条件变形，整体代入求值即可．
【详解】解：原式
∵，∴，∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则，熟练运用整体思想是解题关键．
20．（2021·苏州市相城区蠡口中学七年级月考）尝试解决下列有关幂的问题：
（1）若，求m的值；（2）已知求的值；
（3）若n为正整数，且，求的值
【答案】（1）15；（2）；（3）512
【分析】（1）首先利用幂的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘除法运算法则求出答案；
（2）根据同底数幂的除法被幂的乘方法则解答；
（3）将利用幂的乘方和积的乘方法则变形为，再代入计算．
【详解】解：（1）∵，∴，
∴，∴m+1=16，∴m=15；
（2）∵，∴====；
（3）∵，∴===512
【点睛】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
21．（2021·河南八年级期末）先化简，再求值：，其中
【答案】；
【分析】先利用完全平方公式以及多项式乘多项式的运算法则计算化简中括号中的内容，再进行除法运算，最后再代入求值即可．
【详解】解：
当时，原式
【点睛】本题考查的知识点是整式的混合运算化简求值以及分式的分母有理化，掌握整式的混合运算的运算法则是解此题的关键．
22．（2021·湖北洪山·）如图，在正五边形ABCDE中，DF⊥AB．F为垂足．（1）求∠CDF的度数；（2）求证：AF＝BF．
【答案】（1）54°；（2）见解析
【分析】（1）首先根据正五边形的性质求出内角度数，以及推出△AED≌△BCD，从而得到△ADB为等腰三角形，即可结合“三线合一”的性质推出∠CDF=∠EDC，最终得出结论；
（2）结合（1）中结论DA=DB，利用“HL”定理求证即可．
【详解】（1）解：五边形的内角和为，
∵五边形ABCDE为正五边形，∴，AE=ED=DC=CB，
∴∠EAD=∠EDA=(180°-∠E)=36°，∠CDB=∠CBD=(180°-∠C)=36°，∴∠EDA=∠CDB，
在△AED和△BCD中，∴△AED≌△BCD(SAS)，∴DA=DB，△ADB为等腰三角形，
∵DF⊥AB，∴由“三线合一”知，DF平分∠ADB，∴∠BDF=∠ADF，
∴∠BDF+∠CDB=∠ADF+∠EDA，∴∠CDF=∠EDF=∠EDC=54°；
（2）由（1）得DA=DB，∵DF⊥AB，∴∠DFA=∠DFB=90°，
在Rt△DAF和Rt△DBF中，∴Rt△DAF≌Rt△DBF(HL)，∴AF=BF．
【点睛】本题考查正多边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等，掌握基本图形的判定方法和性质是解题关键．
23．（2021·福建八年级期中）“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由
S四边形ABCD=S△ABC+S△ADE+S△ABE得，化简得：
实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程的图解法是：
画Rt△ABC，使∠ABC=90°，BC=，AC=，再在斜边AB上截取BD＝，则AD的长就是该方程的一个正根(如实例二图)
请根据以上阅读材料回答下面的问题：(1)如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是 ，乙图要证明的数学公式是
(2)如图2，若2和-8是关于x的方程x2+6x＝16的两个根，按照实例二的方式构造Rt△ABC，连接CD，求CD的长；(3)若x，y，z都为正数，且x2+y2＝z2，请用构造图形的方法求的最大值．
【答案】（1）完全平方公式；平方差公式；（2）；（3）
【分析】（1）利用面积法解决问题即可；（2）如图2，作于点H，由题意可得出，利用面积求出的长，再利用勾股定理求解即可；
（3）如图3，用4个全等的直角三角形（两直角边分别为x，y，斜边为z），拼如图正方形，当时定值，z最小时，的值最大值．易知，当小正方形的顶点是大正方形的中点时，z的值最小，此时，，据此求解即可．
【详解】解：（1）图1中甲图大正方形的面积
乙图中大正方形的面积即
∴甲图要证明的数学公式是完全平方公式，乙图要证明的公式是平方差公式；
故答案为：完全平方公式；平方差公式；
（2）如图2，作于点H，
根据题意可知，根据三角形的面积可得：
解得：根据勾股定理可得：
根据勾股定理可得：；
（3）如图3，用4个全等的直角三角形（两直角边分别为x，y，斜边为z），拼如图正方形
当时定值，z最小时，的值最大值
易知，当小正方形的顶点是大正方形的中点时，z的值最小，此时，，∴的最大值为．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了正方形的性质、解直角三角形、完全平方公式、平方差公式、勾股定理等知识点，解此题的关键是理解题意，会用面积法解决问题，学会数形结合的思想解决问题．
24．（2020·南通市八一中学八年级月考）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？
【答案】（1）今年5月份A款汽车每辆售价9万元；（2）共有5种进货方案；（3）a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同，此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司有利
【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量＝去年的销售数量．（2）关系式为：99≤A款汽车总价+B款汽车总价≤105．（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；多进B款汽车对公司更有利，因为A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，所以要多进B款．
【详解】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：
，解得：m＝9．经检验，m＝9是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
（2）设购进A款汽车x辆．则：99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．解得：6≤x≤10．
∵x的正整数解为6，7，8，9，10，∴共有5种进货方案；
（3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，则：
W＝（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）＝（a﹣0.5）x+30﹣15a．
当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同，此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司有利．
【点睛】本题主要考查了分式方程与不等式的结合，准确计算是解题的关键．
25．（2021·全国）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4 即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则
根据材料回答问题：（1）已知，求x+的值．（2）已知，（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．
【答案】（1）5；（2）；（3）
【分析】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；
（2）仿照材料二，设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，代入所求式子即可；
（3）本题介绍两种解法：解法一：（3）解法一：设＝＝＝（k≠0），化简得：①，②，③，相加变形可得x、y、z的代入＝中，可得k的值，从而得结论；解法二：取倒数得：＝＝，拆项得，从而得x＝，z＝，代入已知可得结论．
【详解】解：（1）∵＝，∴＝4，∴x﹣1+＝4，∴x+＝5；
（2）∵设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，∴＝＝＝；
（3）解法一：设＝＝＝（k≠0），
∴①，②，③，
①+②+③得：2（）＝3k，＝k④，
④﹣①得：＝k，④﹣②得：，④﹣③得：k，
∴x＝，y＝，z＝代入＝中，得：
＝，，k＝4，
∴x＝，y＝，z＝，∴xyz＝＝＝；
解法二：∵，∴，
∴，∴，∴，
将其代入中得： ＝ ＝，y＝，
∴x＝，z＝＝，∴xyz＝＝．
【点睛】本题考查了以新运算的方式求一个式子的值，题目中涉及了求一个数的倒数，约分，等式的基本性质，求代数式的值，解决本题的关键是正确理解新运算的内涵，确定一个数的倒数并能够根据等式的基本性质将原式变为能够进一步运算的式子.
26．（2021·福建永泰·）已知：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°
（1）如图1，延长DE交BC于点F，若∠BAE＝68°，则∠DFC的度数为 ；（2）如图2，连接EC、BD，延长EA交BD于点M，若∠AEC＝90°，求证：点M为BD中点；（3）如图3，连接EC、BD，点G是CE的中点，连接AG，交BD于点H，AG＝9，HG＝5，直接写出△AEC的面积．
【答案】（1）68°；（2）见解析；（3）36．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可知：∠DFC=∠DAC=68°；（2）过点B作BG⊥DA，交DA的延长线于G，通过AAS证明△ABG≌△ACE，得AG=AE，则AD=AG，得AM为△BDG的中位线即可证明；（3）延长AG到点K，使GK=AG=9，连接CK，通过SAS可证明△ABE≌△ACD，有S△ABE=S△ACD，BE=CD，再通过SAS证明△AEG≌△KCG，得AE=CK，∠AEG=∠KCG，再证明△AKC≌△BDA，得BD=AK=18，∠CAK=∠DBA，证出∠AHB=90°，即可解决问题．
【详解】解：（1）∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAE=∠DAC，
∵∠BAE=68°，∴∠DAC=68°，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠C=∠D，
根据三角形的内角和定理可知：∠DFC=∠DAC=68°；故答案为：68°；
（2）过点B作BG⊥DA，交DA的延长线于G，
∴∠EAG=∠BAC=90°，∴∠BAG=∠EAC，
在△ABG和△ACE中，，∴△ABG≌△ACE（AAS），∴AG=AE，
∵AD=AE，∴AD=AG，∵∠MAD=∠G=90°，∴AM∥BG，
∴AM为△BDG的中位线，∴点M为BD的中点；
（3）如图，延长AG到点K，使GK=AG=9，连接CK，∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴S△ABE=S△ACD，BE=CD，
∵点G是EC的中点，∴EG=GC，∵∠AGE=∠KGC，AG=GK，∴△AEG≌△KCG（SAS），
∴AE=CK，∠AEG=∠KCG，∴AE=KC=AD，∠ACK=∠ACB+∠KCB=45°+∠ABC+∠BAE=90°+∠BAE=∠BAD，
∵AB=AC，∴△AKC≌△BDA（SAS），∴BD=AK=18，∠CAK=∠DBA，
∵∠BAG+∠CAG=90°，∴∠ABD+∠BAG=90°，∴∠AHB=90°，
∴S△ABD＝×BD×AH=×18×4=36，∴S△AEC=S△ACK+S△AEG-S△KCG=S△ABD=36．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．
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