2023-2024学年湖南省岳阳市平江县高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省岳阳市平江县高二（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线m的方程为 3x−y+2=0，则直线m的倾斜角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
2.圆x2+y2+2x−4y−6=0的圆心坐标和半径分别是( )
A. (−1,−2)，11B. (−1,2)，11C. (−1,−2)， 11D. (−1,2)， 11
3.已知数列{an}是等比数列，若a1=1，q=2，Sn=31，则n等于( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
4.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M.设A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，则下列向量中与MB1相等的向量是( )
A. 12a−12b−c
B. −12a−12b−c
C. −12a+12b−c
D. 12a+12b−c
5.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为( )
A. 25.5尺B. 34.5尺C. 37.5尺D. 96尺
6.椭圆x225+y29=1与椭圆x225−k+y29−k=1(0A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等
7.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面AEC1的距离等于( )
A. 66
B. 33
C. 63
D. 22
8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上的动点，I和G分别是△PF1F2的内心和重心，若IG与x轴平行，则椭圆的离心率为( )
A. 12B. 33C. 32D. 63
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增，且a5=2，则( )
A. 公差d的取值范围是(−∞,12)B. 2a7=a9+2
C. a8+a4>a6+a5D. a1+a9=4
10.下列说法中，正确的有( )
A. 过点P(1,2)且在x轴，y轴截距相等的直线方程为x+y−3=0
B. 直线y=kx−2在y轴的截距是2
C. 直线x− 3y+1=0的倾斜角为30°
D. 过点(5,4)且倾斜角为90°的直线方程为x−5=0
11.对于非零空间向量a，b，c，现给出下列命题，其中为真命题的是( )
A. 若a⋅b>0，则a，b的夹角是锐角
B. 若a=(2,3,3)，b=(−3,−1,3)，则a⊥b
C. 若a⋅b=b⋅c，则a=c
D. 若a=(1,1,0)，b=(0,2,0)，c=(0,0,3)，则a，b，c可以作为空间中的一组基底
12.已知抛物线C：y2=2px(p>0)与圆O：x2+y2=5交于A，B两点，且|AB|=4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是( )
A. 若直线l的斜率为 33，则|MN|=16
B. |MF|+2|NF|的最小值为3+2 2
C. 若以MF为直径的圆与y轴的公共点为(0, 62)，则点M的横坐标为32
D. 若点G(2,2)，则△GFM周长的最小值为4+ 5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.数列的前n项和Sn=2n2+n+1，那么它的通项公式是______ ．
14.过双曲线x24−y23=1的左顶点，且与直线2x−y+1=0平行的直线方程为______ ．
15.已知函数f(x)=x(x−c)2在x=2处有极大值，则c=______．
16.正四棱锥P−ABCD，底面四边形ABCD为边长为2的正方形，PA= 5，其内切球为球G，平面α过AD与棱PB，PC分别交于点M，N，且与平面ABCD所成二面角为30°，则平面α截球G所得的图形的面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知a=(2,−1,−4)，b=(−1,k,2)．
(1)若(a−b)//(a+b)，求实数k的值；
(2)若(a+3b)⊥(a+b)，求实数k的值．
18.(本小题12分)
已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0(m∈R)．
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)当m=0时，求直线l被圆C截得的弦长．
19.(本小题12分)
已知数列{an}的首项a1=35，且满足an+1=3an2an+1．
(1)求证：数列{1an−1}为等比数列．
(2)若1a1+1a2+1a3+⋯+1an<100，求满足条件的最大整数n．
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2CD=4，∠BAD=∠CDA=π3．
(1)判断直线BC与平面PAD的位置关系，并证明；
(2)求平面PAB与平面PBC所成二面角α余弦值的绝对值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−ln(x+m)．
(1)当m=12时，求曲线f(x)在点(0,f(0))处切线方程；
(2)当m≤2时，求证：f(x)>0．
22.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30．
(1)求双曲线C的方程；
(2)经过点F的直线与双曲线的右支交于A，B两点，与y轴交于P点，点P关于原点的对称点为点Q，求△QAB的面积的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设直线m的倾斜角为α，
因为直线 3x−y+2=0的斜率为 3，
所以tanα= 3，
又∵0°≤α<180°，
因此α=60°．
故选：C．
求出直线m的斜率，即可得出直线m的倾斜角．
本题考查了根据直线的斜率求倾斜角的值，属于易做题．
2.【答案】D
【解析】解：圆x2+y2+2x−4y−6=0，即(x+1)2+(y−2)2=11，
故圆心坐标为(−1,2)，半径为 11．
故选：D．
将圆的一般方程化为圆的标准方程，即可求解．
本题主要考查圆的一般方程，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为数列{an}是等比数列，a1=1，q=2，
所以Sn=1−2n1−2=31，
则n=5．
故选：B．
由已知结合等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，
所以MB1=MA+AA1+A1B1=12CA−c+a=−12(AB+AD)−c+a=−12a−12b−c+a=12a−12b−c．
故选：A．
由已知结合空间向量的线性运算求出MB1即可判断．
本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等差数列的实际运用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由题意知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为a1尺，公差为d尺，利用等差数列的通项公式，求出d，即可求出a1，由此能求出结果．
【解答】
解：设从冬至起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{an}，
设冬至日的日影长为a1尺，公差为d尺，
∵冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，
∴a1+a4+a7=3a1+9d=31.5a2+a5+a8=3a1+12d=28.5，
解得a1=13.5，d=−1，
∴大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为：
a3+a6+a9=3a1+15d=25.5(尺)．
故选：A．
6.【答案】D
【解析】解：椭圆x225+y29=1，可知a=5，b=3，c=4，
∴长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是(±4,0)；离心率是：45．
椭圆x225−k+y29−k=1(0∵a= 25−k，b= 9−k，c=4，
∴长轴长是2 25−k，短轴长是2 9−k；焦距是8；焦点坐标是(±4,0)；离心率是4 25−k．
∴椭圆x225+y29=1与椭圆x225−k+y29−k=1(0故选：D．
分别求出椭圆x225+y29=1与椭圆x225−k+y29−k=1(0本题考查椭圆的长轴、短轴、焦距、焦点坐标、离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
7.【答案】A
【解析】解：以D1为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则A(1,0,1)，C(0,1,1)，C1(0,1,0)，E(1,12,0)，F(1,12,1)，
∴AE=(0,12,−1)，EC1=(−1,12,0)，FC=(−1,12,0)，AF=(0,12,0)，EF=(0,0,1)，
∵FC=EC1=(−1,12,0)，∴FC//EC1，
∵FC⊄平面AEC1，EC1⊂平面AEC1，
∴点F到平面AEC1的距离就是直线FC到平面AEC1的距离，
设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AE=12y−z=0n⋅EC1=−x+12y=0，取x=1，得n=(1,2,1)，
∴直线FC到平面AEC1的距离d=|AF⋅n||n|=1 6= 66．
故选：A．
建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线FC到平面AEC1的距离．
本题考查点到平面的距离、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】A
【解析】解：如图，设P(m,n)(m>0,n>0)，则G( m3,n3)，
因为IG与x轴平行，所以I的纵坐标为 n3，即△PF1F2的内切圆的半径r=n3，
则S△PF1F2=12⋅2c⋅n=12(2a+2c)⋅n3，
所以3c=a+c，
∴e=ca=12，
故选：A．
如图所示，设P(m,n)，不妨设m、n>0.利用三角形重心性质可得G的坐标，根据IG平行x轴，可得yI.即三角形内切圆的半径为r=yI.由三角形内切圆的性质可得：12 r(2a+2c)=12⋅2c⋅n.可得2c=a，即可求解．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形内切圆的性质、三角形重心性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：因为各项均为正数的等差数列{an}单调递增，
所以a1>0，d>0，
因为a5=2，则a1=2−4d>0，
所以02a7−a9=a5+a9−a9=a5=2，B正确；
a8+a4−a5−a6=d>0，
所以a8+a4>a6+a5，C正确；
a1+a9=2a5=4，D正确．
故选：BCD．
由已知结合等差数列的性质及通项公式分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：对于A，当截距为0时，可设直线方程为y=kx，
直线过点P(1,2)，
则直线为y=2x，
当截距不为0时，可设直线方程为x+y=a(a≠0)，
直线过点P(1,2)，
则1+2=a，即a=3，
故直线方程为x+y−3=0，
综上所述，所求直线方程为2x−y=0或x+y−3=0，故A错误；
对于B，直线y=kx−2在y轴的截距是−2，故B错误；
对于C，直线x− 3y+1=0的斜率为 33，
则直线的x− 3y+1=0的倾斜角为30°，故C正确；
对于D，直线的倾斜角为90°，
则直线的斜率不存在，
直线过点(5,4)，
故所求直线的方程为x=5，即x−5=0，故D正确．
故选：CD．
对于A，分截距为0，不为0两种情况讨论，即可求解；
对于B，结合截距的定义，即可求解；
对于C，先求出直线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系，即可求解；
对于D，根据已知条件，推得直线与x轴垂直，即可求解．
本题主要考查直线的截距式方程，以及直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A，若a,b共线且同方向，
则a⋅b>0，但夹角为0，故A错误，
对于B，a⋅b=2×(−3)−3×1+3×3=0，
故a⊥b，故B正确，
对于C，根据向量的数量积定义知，a⋅b=b⋅c时，a=c不一定成立，故C错误，
对于D，假设c=λa+μb0=λ，0=λ+2μ，3=0，矛盾，
所以向量a,b,c不共面，则a,b,c可以作为空间中的一组基底，故D正确．
故选：BD．
对于A，未排除夹角为0时的情况，
对于B，结合向量垂直的性质，即可求解，
对于C，根据向量数量积的定义，即可求解，
对于D，验证三者向量是否共面，即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
12.【答案】ABC
【解析】解：由抛物线C：y2=2px(p>0)与圆O：x2+y2=5交于A，B两点，且|AB|=4，
得到第一象限交点(1,2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，
所以22=2p，解得p=2，所以C：y2=4x，则F(1,0)，
对于A选项，设直线l：x=my+1，与y2=4x联立得y2−4my−4=0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=−4，
所以|MN|= 1+m2|y1−y2|= 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2=4(1+m2)，
当直线l的斜率为 33时，m= 3,|MN|=16，故A项正确；
对于B选项，由抛物线的定义，1|MF|+1|NF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1x2+x1+x2+1=m(y1+y2)+4(y1y2)216+m(y1+y2)+3=4m2+44m2+4=1，
所以|MF|+2|NF|=(|MF|+2|NF|)⋅(1|MF|+1|NF|)=3+2|NF||MF|+|MF||NF|≥3+2 2，
当且仅当|MF|=1+ 2,|NF|=1+ 22时等号成立，故B项正确；
对于C选项，如图，过点M作准线的垂线，垂足为M′，交y轴于M1，
取MF的中点为D，过点D作y轴的垂线，垂足为D1，
则MM1//OF，DD1是梯形OFMM1的中位线，
由抛物线的定义可得|MM1|=|MM′|−|M1M′|=|MF|−1，
所以|DD1|=|OF|+|MM1|2=1+|MF|−12=|MF|2，
所以以MF为直径的圆与y轴相切，
所以(0, 62)为圆与y轴的切点，所以点D的纵坐标为 62，
又因为D为MF的中点，所以点M的纵坐标为 6，
又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为32，故C项正确；
对于D选项，过G作GH垂直于准线，垂足为H，
所以△GFM的周长为|MG|+|MF|+|GF|=|MG|+|MM′|+ 5≥|GH|+ 5=3+ 5，
当且仅当点M的坐标为(1,2)时取等号，故D项错误．
故选：ABC．
首先求出抛物线的解析式，设出MN方程，与抛物线方程联立进行求解，当m= 3时，|MN|=16，进而判断选项A；再根据韦达定理和不等式求最小值后判断选项B；画出大致图像过点M作准线的垂线，垂足为M′，交y轴于M1，结合抛物线定义判断选项C；过G作GH垂直于准线，垂足为H，结合△GFM的周长为|MG|+|MF|+|GF|=|MG|+|MM′|+ 5≥|GH|+ 5=3+ 5进而判断选项D即可．
本题考查了抛物线的性质以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
13.【答案】an=4,n=14n−1,n≥2
【解析】解：当n=1时，a1=S1=2×12+1+1=4，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n2+n+1−[2(n−1)2+(n−1)+1]=4n−1．
因此an=4,n=14n−1,n≥2，
故答案为：an=4,n=14n−1,n≥2．
利用当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn−Sn−1即可得出．
本题考查了“当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn−Sn−1”数列通项公式的求法，属于基础题．
14.【答案】2x−y+4=0
【解析】解：由双曲线方程知，其左顶点为(−2,0)，
根据直线平行关系知，所求直线的斜率为2，
所以所求直线为y=2(x+2)，则2x−y+4=0．
故答案为：2x−y+4=0．
由双曲线方程确定顶点坐标，根据直线平行确定斜率，应用点斜式写出直线方程．
本题主要考查了双曲线的性质，考查了两直线平行的斜率关系，属于基础题．
15.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查函数的极值问题，属于基础题．
由已知函数f(x)=x(x−c)2在x=2处有极大值，则必有f′(2)=0，且在x=2的左侧附近f′(x)>0，右侧附近f′(x)<0，据此即可求出c的值．
【解答】
解：∵f′(x)=(x−c)2+2x(x−c)=3x2−4cx+c2，且函数f(x)=x(x−c)2在x=2处有极大值，
∴f′(2)=0，即c2−8c+12=0，解得c=6或2．
经检验c=2时，函数f(x)在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去．
故c=6．
故答案为6．
16.【答案】π3
【解析】解：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则A(0,0,0)，D(2,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，
因为PA=PD=PB=PC= 5，AO=12AC= 2，
故PO= PA2−AO2= 3，
所以P(1,1, 3)，O(1,1,0)，
则内切球的球心G在PO上，
设G(1,1,h)，内切球的半径为R，
所以S△PAD=S△PCD=S△PBC=S△PAB=12×2× ( 5)2−12=2，
由等体积法可得，13R(2+2+2+2+2×2)=13×2×2× 3，
解得R= 33，则G(1,1, 33)，
因为平面α过直线AD，
设平面α的法向量为n=(0,−1,a)，
又平面ABCD的法向量为m=(0,0,1)，
设平面α与平面ABCD所成的二面角为θ，
则|csθ|=|m⋅n||m||n|= 32，即|a| a2+1= 32，解得a= 3或a=− 3(舍)，
故n=(0,−1, 3)，
所以圆心G到平面α的距离为d=|AG⋅n||n|=|1×(−1)+ 3× 33|2=0，
故平面α截球G所得的图形的面积为πR2=π3．
故答案为：π3．
建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用等体积法求出内切球的半径，即可得到球心的坐标，设平面α的法向量，利用向量的夹角公式表示出二面角的余弦值，求解a的值，从而得到球心到平面α的距离，即可求出平面α截球G所得的图形的面积．
本题考查了二面角的理解与应用，平面截球所得图形的面积问题，等体积法求解内切球半径的应用，点到平面距离的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵a=(2,−1,−4)，b=(−1,k,2)，
∴a−b=(3,−1−k,−6)，a+b=(1,k−1,−2)．
∵(a−b)//(a+b)，
∴31=−1−kk−1=−6−2，
解得k=12．
(2)∵a=(2,−1,−4)，b=(−1,k,2)，
∴(a+3b)=(−1,3k−1,2)，(a+b)=(1,k−1,−2)．
∵(a+3b)⊥(a+b)，
∴(a+3b)⋅(a+b)=0，
即(−1)×1+(3k−1)×(k−1)+2×(−2)=0，
解得k=−23或k=2．
【解析】(1)先求出a−b=(3,−1−k,−6)，a+b=(1,k−1,−2)，再根据向量平行的性质求解即可．
(2)先求出(a+3b)=(−1,3k−1,2)，(a+b)=(1,k−1,−2)，再根据数量积为零求解即可．
本题主要考查向量平行和垂直运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)证明：依题意直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0(m∈R)，
整理得l：(2x+y−7)m+x+y−4=0，
由2x+y−7=0x+y−4=0，解得x=3y=1，
所以l恒过定点(3,1)．
(2)当m=0时，直线l：x+y−4=0，
圆C：(x−1)2+(y−2)2=25的圆心为(1,2)，半径为5，
(1,2)到直线l：x+y−4=0的距离为|1+2−4| 2=1 2<5，
所以直线l被圆C截得的弦长为2 52−(1 2)2=7 2．
【解析】(1)根据直线过定点的知识证得结论成立．
(2)根据点到直线的距离公式以及勾股定理求得弦长．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】(1)证明：由an+1=3an2an+1，得1an+1=13⋅1an+23，
则1an+1−1=13(1an−1)，又a1=35，1a1−1=23≠0，
∴数列{1an−1}是以23为首项，以13为公比的等比数列；
(2)解：由(1)可得，1an−1=23⋅(13)n−1=23n，
∴1an=23n+1，
则1a1+1a2+1a3+...+1an=2(13+132+133+...+13n)+n
=2×13(1−13n)1−13+n=1−13n+n．
由1a1+1a2+1a3+⋯+1an<100，得1−13n+n<100，
即n−13n<99，
∵y=n−13n为单调增函数，∴满足n−13n<99的最大正整数n为99．
即满足条件的最大整数n=99．
【解析】(1)把已知数列递推式两边取倒数，变形即可证明数列{1an−1}为等比数列；
(2)由(1)求得数列{1an}的通项公式，求和后利用数列的函数特性求解满足1a1+1a2+1a3+⋯+1an<100的最大整数n．
本题考查数列递推式及等比数列的证明，考查等比数列的通项公式及前n项和，考查数列的函数特性，属于中档题．
20.【答案】解：(1)直线BC/​/平面PAD，证明如下：
延长AB、DC，交于点M，因为PA=AD=2AB=2CD=4，∠BAD=∠CDA=π3，
所以AM=DM，所以BM=CM，所以BC/​/AD，
又因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以直线BC/​/平面PAD．
(2)分别以AD、AP为y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则A(0,0,0)，B( 3,1,0)，P(0,0,4)，C( 3,3,0)，
AB=( 3,1,0)，AP=(0,0,4)，PB=( 3,1,−4)，BC=(0,2,0)，
设平面PAB的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅AB=0m⋅AP=0，即 3x+y=04z=0，
令x=1，则y=− 3，z=0，所以平面PAB的一个法向量为m=(1,− 3,0)；
设平面PBC的法向量为n=(a,b,c)，则n⋅PB=0n⋅BC=0，即 3a+b−4c=02b=0，
令a=1，则b=0，c= 34，所以平面PBC的一个法向量为n=(1,0, 34)，
计算cs=m⋅n|m||n|=1+0+0 1+3+0× 1+0+316=2 1919，
所以平面PAB与平面PBC所成二面角α余弦值的绝对值为2 1919．
【解析】(1)直线BC/​/平面PAD，延长AB、DC，交于点M，证明BC/​/AD，即可证明直线BC/​/平面PAD．
(2)分别以AD、AP为y、z轴，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，分别求出平面PAB、平面PBC的一个法向量，即可计算平面PAB与平面PBC所成二面角α余弦值的绝对值．
本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了二面角的余弦值计算问题，以及运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)当m=12时，f(x)=ex+ln(x+12)，
f′(x)=ex−1x+12=ex−22x+1，切线的斜率f′(0)=1−2=−1，又f(0)=1+ln2，
所以f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y−1−ln2=0；
(2)证明：f′(x)=ex−1x+m单调递增，
f(x)的定义域为(−m,+∞)，f′(x)=ex−1x+m，设g(x)=f′(x)=ex−1x+m，
则g′(x)=ex+1(x+m)2>0，故f′(x)是增函数，当x→−m时，f′(x)→−∞，x→+∞时，f′(x)→+∞，
所以存在x0∈(−m,+∞)，使得ex0=1x0+m①，且x∈(−m,x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故(x)min=f(x0)=ex0−ln(x0+m) ②，由
①式得x0=−ln(x0+m) ③，①③两式代入②式，结合m≤2得：
f(x)min=1x0+m+x0=1x0+m+x0+m−m≥2 1x0+m⋅(x0+m)−m=2−m≥0，
当且仅当x0=1−m时取等号，结合②式可知，此时f(x0)=ex0>0，故f(x)>0恒成立．
【解析】(1)代入求导f′(x)=ex−22x+1，计算f′(0)和f(0)的值，即可得到切线斜率和切点坐标，最后用点斜式得切线方程并化简；(2)求出导函数，再利用导数确定f′(x)的单调性，从而确定f′(x)的零点x0存在，得出其为极小值点，由f′(x0)=0得x0，m间的关系，代入f(x0)变形，然后由基本不等式结合已知条件得证结论．
本题考查导数的综合应用，考查恒成立问题，属于中档题．
22.【答案】(1)解：抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0)，由题意得c=2，
ba=tan30°= 33，又c2=a2+b2，
解得a2=3，b2=1，
∴双曲线C的方程为：x23−y2=1；
由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：y=k(x−2)，得P(0,−2k)，Q(0,2k)，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=k(x−2)x23−y2=1，整理可得(3k2−1)x2−12k2x+12k2+3=0．
x1+x2=12k23k2−1，x1x2=12k2+33k2−1，
∴S△QAB=|S△QPB−S△QPA|=12|PQ||x1−x2|=2|k||x1−x2|，
∴(S△QAB)2=4k2[(x1+x2)2−4x1x2]=4k2[(12k23k2−1)2−4(12k2+3)3k2−1]=48k2(k2+1)(3k2−1)2，
∵直线与双曲线右支有两个交点，∴k∈(−∞,− 33)∪( 33,+∞)，即3k2>1，
设t=3k2−1>0，则(S△QAB)2=48⋅t+13(t+13+1)t2=643(1t+58)2−3>643×2564−3=163，
∴S△QAB>4 33．
即△QAB的面积的取值范围是(4 33,+∞)．
【解析】(1)由双曲线C的焦点F为抛物线的焦点，一条渐近线的倾斜角为30°，列方程组，解得a，b，即可求得双曲线方程；
(2)设直线方程为：y=k(x−2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，再计算S△QAB，利用配方法可得答案．
本题考查双曲线的方程，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，属于中档题．