2023-2024学年江西省景德镇市景德镇一中高三上学期1月考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省景德镇市景德镇一中高三上学期1月考试数学试题（含解析），共19页。

2.为了庆祝中国共产党成立100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，将本单位全体党员党史知识竞赛的成绩(均位于60,100之内)整理，得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分图，下列结论中不正确的是
( )
A. 本次成绩不低于80分的人数的占比为75%
B. 本次成绩低于70分的人数的占比为5%
C. 估计本次成绩的平均分不高于85分
D. 本次成绩位于[70,90)的人数是其他人数的3倍
3.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，AA1=2 3，且该棱柱外接球O的表面积为20π，E为线段AB上一点．则当该四棱柱的体积取最大值时，D1E+CE的最小值为
( )
A. 6B. 5+ 17C. 2 5+2D. 2 10
4.已知函数fx=Asinωx+φ(A>0,ω>0,φ<π)的部分图象如图所示，将fx的图象向左平移π6个单位长度得函数y=gx的图象，若gx=12在0,π上有两个不同的根x1，x2(x1( )
A. − 32B. −12C. −14D. − 154
5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，点P,Q均在双曲线上且关于y轴对称，若直线AP,AQ的斜率之积为−14，则双曲线的离心率为
( )
A. 52B. 5C. 54D. 5
6.若x−33x2n的展开式中各项系数之和为−128，则展开式中x2的系数为
( )
A. −2835B. 945C. 2835D. −945
7.设Sn是等差数列an的前n项和，若S3S6=13，S5=5S3−5，则a9=( )
A. 2B. −2C. 3D. −1
8.若函数fx=ax2+bx+c(a>0)的图象的顶点在第三象限，则函数f′x的图象大致是
( )
A. B.
C. D.
9.已知函数fx=x+1,gx=2x.记maxa,b=a,a≥bb,a( )
A. 当x∈0,1时，Fx=2x
B. 函数Fx的最小值为−1
C. 函数Fx在−2,0上单调递减
D. 若关于x的方程Fx=m恰有两个不相等的实数根，则−12
10.正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，M是CC1的中点，下列说法中错误的是
( )
A. AC1//平面MBD
B. 异面直线MB与AA1所成角的余弦值为2 55
C. 若P为正方体对角线BD1上的一个动点，PD+PM最小值为 5+2
D. 过A、B、M三点的正方体ABCD−A1B1C1D1的截面面积为 5
11.设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m0( )
A. AF+BF为定值B. ▵ABF的周长的取值范围是[6,12]
C. 当m= 2时，▵ABF为直角三角形D. 当m=1时，▵ABF的面积为 6
12.已知函数fx的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y=xf′(x)的图像，则下列说法正确的是
( )
A. 函数fx的增区间是−2,0，2,+∞
B. 函数fx的增区间是−∞,−2，2,+∞
C. x=−2是函数f(x)的极小值点
D. x=2是函数f(x)的极小值点
13.若关于x的一元二次方程x2+3a−1x+a+8=0有两个不相等的实根x1,x2，且x1<1,x2>1.则实数a的取值范围为 ．
14.已知函数fx=sinωx+φ，如图A,B是直线y=12与曲线y=fx的两个交点，若AB=π6，则ω= ，fπ= ．
15.已知直线l:ax−y+3=0是圆C:x2+y2+2x−4y−4=0的对称轴，过点Pa,−2作圆C的一条切线，切点为Q，则PQ= ．
16.在等比数列an中，a2=2，a4a6−16a5=0，若bn=−2,n为偶数an,n为奇数，且bn的前n项和为Sn，则满足S2n>360的最小正整数n的值为 ．
17.已知函数f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数，且f(x)+g(x)=lg4(4x+1)．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)若函数ℎ(x)=f(x)−12lg2(a⋅2x+2 2a)(a>0)在R上只有一个零点，求实数a的取值范围．
18.某沙漠地区每年有2个月属于雨季，10个月属于旱季.经过初步治理该沙漠地区某年旱季的月降水量(单位：mm)依次达到12.1，12.0，10.4，10.5，12.5，14.1，14.3，14.3，16.7，18.1.记这组数据的第40百分位数与平均数分别为m,x．
(1)求m,x；
(2)已知雨季的月降水量均大于旱季的月降水量，该沙漠地区人工种植了甲､乙两种植物，当月降水量低于12.0mm时甲种植物需要浇水，当月降水量低于15.0mm时乙种植物需要浇水，求这一年的某月甲､乙两种植物都需要浇水的概率及二者中有植物需要浇水的概率．
19.已知函数fx=2cs2x−π3−1
(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)在x∈0,π2上的最大值和最小值
(2)求函数f(x)的单调递增区间和单调递减区间
20.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AB=2，BD1和B1D交于点E，F为AB的中点．
(1)求证：EF//平面ADD1A1；
(2)已知B1D与平面ABCD所成角为π4，求点A到平面CEF的距离．
21.设点M是直线y=−1上的一个动点，O为坐标原点，过点M作x轴的垂线l.过点O作直线OM的垂线交直线l于P．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过曲线C上的一点P(异于原点O)作曲线C的切线l1交椭圆y24+x23=1于A，B两点，求▵AOB面积的最大值．
22.已知数列an满足：a1=12，an+an+1=n+12．
(1)求an的通项公式；
(2)设x表示不超过x的最大整数，如0.9=0，−0.9=−1.设bn=an，Tn为前n项和，求数列bn的前1000项和T1000．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】分析函数f(x)的性质，作出函数图象，借助图象求出k的范围．
【详解】当x≤0时，函数y=ex单调递增，函数值集合为(0,1],
当0当x≥1时，函数y=lnx单调递增，函数值集合为[0,+∞),
作出函数y=f(x)的图象与直线y=k，如图，

观察图象知，当0所以fx−k=0有三个不同的实数根，实数k的取值范围是0,1．
故选：C
2.【答案】D
【解析】【分析】根据题意，结合频率分布直方图的性质，结合频率的计算方法，平均数的计算公式，以及频率分布直方图的性质，逐项判定，即可求解．
【详解】对于A中，由频率分布直方图的数据，可得本次考试成绩不低于80分的人数的频率为0.050+0.025×10=0.75，
所以本次成绩不低于80分的人数占比为75%，所以 A正确；
对于B中，本次成绩低于70分的人数的频率为1−(0.020+0.050+0.025)×10=0.05，
所以本次成绩低于70分的人数的占比为5%，所以 B正确；
对于C中，估计本次成绩的平均分为：
x=65×0.005×10+75×0.020×10+85×0.050×10+95×0.025×10=84.5<85，
所以C正确；
对于D中，本次成绩位于[70,90)的频率为(0.020+0.050)×10=0.7，
所以本次成绩位于[70,90)的人数小于其他人数的3倍，所以D错误．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直棱柱的结构特征，体积和基本量的计算及外接球的表面积，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
首先求得外接球的半径，再设出矩形ABCD的长，宽分别为x，y，根据外接球的直径就是直四棱柱的对角线长，得到x2+y2=8，进而由基本不等式得到xy的最大值，即可得到体积的最大值．
【解答】
解：设外接球O的半径为R，则球O的表面积S=4πR2，
由题意，4πR2=20π，解得R= 5，
设矩形ABCD的长，宽分别为x，y，
则x2+y2+12=2 52，即x2+y2=8，
∴直四棱柱的体积为V=2 3xy≤ 3x2+y2=8 3，当且仅当x=y=2时取等号，
即底面为边长为2的正方形时，四棱柱的体积最大，
将平面ABCD沿AB展开，与ABC1D1处于同一平面，
则D1E+EC≥D1C= CC12+C1D12=2 10．
故选：D．
4.【答案】D
【解析】【分析】首先求出ω=2，再代入点坐标得到φ=−2π3，分析得到x1+x2=5π6，再代入计算即可．
【详解】设fx的最小正周期为T，由图象可知A=2，34T=7π12+π6=3π4，所以T=π，
则ω=2，于是fx=2sin(2x+φ)，又fx的图象过点7π12,2，
所以2×7π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，所以φ=−2π3+2kπ，
又φ<π，则φ=−2π3，fx=2sin2x−2π3，则gx=2sin2x−π3，由2sin2x−π3=12，
得sin2x−π3=14，则sin2x1−π3=sin2x2−π3=14，
又当x∈0,π时，2x−π3∈−π3,5π3，所以2x1−π3+2x2−π32=π2，得x1+x2=5π6，
则x2=5π6−x1，sinx1−x2=sin2x1−5π6=−cs2x1−π3，
结合x1故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】设出坐标后结合题意表示出斜率之积，计算可得b2a2=14，由c2=a2+b2即可得离心率．
【详解】
设Px0,y0，则Q−x0,y0，A−a,0，
则kAP⋅kAQ=y0x0+a⋅y0−x0+a=y02a2−x02，
由Px0,y0在双曲线上，故x02a2−y02b2=1，
即有y02=b2a2x02−a2，故y02a2−x02=b2a2x02−a2a2−x02=−b2a2，
即有−b2a2=−14，即b2a2=14，
故e=ca= a2+b2a2= 1+b2a2= 1+14= 52．
故选：A．
6.【答案】D
【解析】【分析】根据赋值法求系数和得n=7，即可根据展开式的通项公式求解．
【详解】令x=1，得−2n=−128，得n=7，
则x−33x27的展开式的通项Tr+1=C7rx7−r⋅−3r⋅x−23r=−3rC7rx7−5r3，
令7−5r3=2，得r=3，则T4=−33C73x2=−945x2，故展开式中x2的系数为−945，
故选：D．
7.【答案】A
【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式得出等差数列的基本量，计算可得结果．
【详解】记等差数列an的公差为d，
由S5=5S3−5可得S5=5a1+10d=53a1+3d−5，整理得2a1+d−1=0；
因为 S3S6=13，S6=3S3，即6a1+15d=33a1+3d；
整理可得a1=2d，联立可得a1=25，d=15，
故a9=a1+8d=2；
故选：A．
8.【答案】C
【解析】【分析】依题意可得a>0b>0，再求出f′x，即可判断．
【详解】因为函数fx=ax2+bx+c(a>0)的图象的顶点在第三象限，
则a>0−b2a<04ac−b24a<0，所以a>0b>0，又f′x=2ax+b，则f′x的图象单调递增，且与y轴交于正半轴．
故选：C
9.【答案】ABD
【解析】【分析】由定义作出函数Fx的图像，结合图像验证选项中的结论．
【详解】在同一直角坐标系下作出函数fx=x+1和gx=2x的图像，
由函数Fx的定义，得Fx的图像如图所示，
结合图像可知，当x∈0,1时，2x>x+1，Fx=2x，A选项正确；
函数Fx的最小值为−1，B选项正确；
函数Fx在−2,0上单调递增，C选项错误；
若关于x的方程Fx=m恰有两个不相等的实数根，则−12，D选项正确．
故选：ABD
10.【答案】BCD
【解析】【分析】利用线面平行的判定定理可判断A选项；利用异面直线所成角的定义可判断B选项；将△BD1M、▵BDD1延展至同一个平面，由D、P、M三点共线时，PD+PM取最小值可判断C选项；作出截面，并计算出截面面积，可判断D选项．
【详解】如下图所示：

对于A选项，连接AC交BD于点O，连接OM，
因为四边形ABCD为正方形，AC∩BD=O，则O为AC的中点，
又因为M为CC1的中点，所以，AC1//OM，
又因为AC1⊄平面MBD，OM⊂平面MBD，所以，AC1//平面MBD，A对；
对于B选项，因为AA1//CC1，则异面直线MB与AA1所成角为∠BMC或其补角，
因为BC⊥CM，且BC=2，CM=1，则BM= BC2+CM2= 22+12= 5，
所以，cs∠BMC=CMBM=1 5= 55 ，故异面直线MB与AA1所成角的余弦值为 55，B错；
对于C选项，将△BD1M、▵BDD1延展至同一个平面，如下图所示：

且D1M= C1M2+C1D12= 12+22= 5，DD1=2，
结合图形可知，当D、P、M三点共线时，PD+PM取最小值，
即PD+PMmin=DM故PD+PM最小值不是 5+2，C错；
对于D选项，设平面ABM交棱DD1于点N，如下图所示：

因为平面AA1B1B//平面CC1D1D，平面ABM∩平面AA1B1B=AB，
平面ABM∩平面CC1D1D=MN，所以，MN//AB，
又因为AB//CD，则MN//CD，因为CM//DN，故四边形CDNM为平行四边形，
所以，DN=CM=12CC1=12DD1，故N为DD1的中点，所以，MN=CD=2，
又因为AB=2，则MN=AB，所以，四边形ABMN为平行四边形，
因为AB⊥平面BB1C1C，BM⊂平面BB1C1C，所以，AB⊥BM，
所以，四边形ABMN为矩形，且其面积为AB⋅BM=2× 5=2 5，D错．
故选：BCD．
11.【答案】AD
【解析】【分析】根据椭圆的定义可求AF+BF的值，结合三角形的边长关系可判断▵ABF周长的取值范围，计算BA⋅BF<0可判断▵ABF不是直角三角形，计算AB，利用面积公式可求▵ABF的面积．
【详解】设椭圆的左焦点为F′，则AF′=BF
∴AF+BF=AF+AF′=6为定值， A正确；
▵ABF的周长为AB+AF+BF，因为AF+BF为定值6，
∴AB的范围是0,6，
∴▵ABF的周长的范围是6,12， B错误；
将y= 2与椭圆方程联立，可解得A− 3, 2，B 3, 2，
又∵F 6,0，∴BA⋅BF=−2 3,0⋅ 6− 3,− 2=6−6 2<0，
∴▵ABF不是直角三角形，C不正确；
将y=1与椭圆方程联立，解得A− 6,1，B 6,1，
∴S▵ABF=12×2 6×1= 6， D正确．
故选：AD
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题主要考查利用导数研究函数单调性和极值，属于基础题．
根据函数图象，分情况讨论，判断f(x)的单调性，进而可得函数的极值点．
【解答】
解：由图可得函数y=xf ′(x)的零点为−2，0，2，
当x< −2时，y<0，∴f ′(x)>0，故f(x)在−∞,−2上单调递增；
当−20，∴f ′(x)<0，故f(x)在−2,0上单调递减；
当0当x>2时，y>0，∴f ′(x)>0，故f(x)在2,+∞上单调递增，
∴x=−2是函数f(x)的极大值点，x=2是函数f(x)的极小值点，
故选BD．
13.【答案】a<−2
【解析】【分析】构造函数，利用一元二次方程的实根分布列式求解即得．
【详解】令函数f(x)=x2+(3a−1)x+a+8，依题意，f(x)=0的两个不等实根x1,x2满足x1<1,x2>1，
而函数fx图象开口向上，因此f(1)<0，则12+(3a−1)×1+a+8<0，解得a<−2，
所以实数a的取值范围为a<−2．
故答案为：a<−2
14.【答案】±4；− 32
【解析】【分析】设Ax1,12,Bx2,12，依题可得，x2−x1=π6，结合sinx=12的解可得ωx2−x1=2π3，从而得到ω的值，再根据f23π=0以及f0<0，即可得f(x)=sin4x−23π，进而求得fπ．
【详解】设Ax1,12,Bx2,12，由AB=π6可得x2−x1=π6，
由sinx=12可知，x=π6+2kπ或x=5π6+2kπ，k∈Z，由图可知，
当ω>0时，ωx2+φ−ωx1+φ=56π−π6=2π3，即ωx2−x1=2π3，∴ω=4；
当ω<0时，ωx1+φ−ωx2+φ=56π−π6=2π3，即ωx1−x2=2π3，∴ω=−4；
综上：ω=±4；
因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设ω=4，则fx=sin4x+φ，
因为f23π=sin8π3+φ=0，所以8π3+φ=kπ，即φ=−83π+kπ，k∈Z．
所以f(x)=sin4x−83π+kπ=sin4x−23π+kπ，
所以fx=sin4x−23π或fx=−sin4x−23π，
又因为f0<0，所以f(x)=sin4x−23π，
∴fπ=sin4π−23π=− 32．
故答案为：±4；− 32．
15.【答案】 11
【解析】【分析】利用圆的一般方程求出圆心和半径，结合圆的性质和勾股定理即可求解．
【详解】由x2+y2+2x−4y−4=0，得x+12+y−22=9，
所以圆C的圆心为C−1,2，半径为3．
因为直线l:ax−y+3=0是圆C:x2+y2+2x−4y−4=0的对称轴，
所以l经过点−1,2．
由−a−2+3=0，得a=1，
所以P的坐标为1,−2．
因为圆C的半径为3，
所以PQ= |PC|2−32= 11．
故答案为： 11．
16.【答案】6
【解析】【分析】由题目条件先求数列an的通项，利用分组求和法求出S2n，根据Sn的单调性，解得满足不等式的最小正整数的值．
【详解】因为an是等比数列，设公比为q，
由a4a6−16a5=0可得a52−16a5=0，
故a5=16，则q3=a5a2=8，即q=2，
故an=a2qn−2=2n−1，
所以S2n=1+4+16+⋅⋅⋅+4n−1−2×n=1−4n1−4−2n=4n3−2n−13．
由于n≥2时，bn+bn+1>0，故S2n随着n的增大而增大，
而S10=453−2×5−13=331<360，S12=463−2×6−13=1353>360，
故满足S2n>360的最小正整数n的值为6．
故答案为：6．
17.【答案】解：(1)因为f(x)+g(x)=lg4(4x+1)，①
∴f(−x)+g(−x)=lg4(4−x+1)，
又∵函数f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数，
∴f(x)−g(x)=lg4(4x+1)−x，②
由①②得f(x)=lg4(4x+1)−x2，g(x)=x2．
(2)由ℎ(x)=f(x)−12lg2(a⋅2x+2 2a)
=lg4(4x+1)−x2−12lg2(a⋅2x+2 2a)
=12lg2(22x+1)−x2−12lg2(a⋅2x+2 2a)=0．
得：lg222x+12x=lg2(a⋅2x+2 2a)⇒(a−1)22x+2 2a⋅2x−1=0，
令t=2x，则t>0，即方程(a−1)t2+2 2at−1=0(1)只有一个大于0的根，且知a>0，
①当a=1时，t= 24>0，满足条件；
②当a≠1，方程(1)有一正一负两根时，满足条件，则−1a−1<0且Δ=8a2+4a−4>0，解得a>1；
③当a≠1，方程(1)有两个相等的且为正的实根时，
则−1a−1>0且Δ=8a2+4(a−1)=0，解得a=12或a=−1(舍)，
当a=12时，t= 2>0，满足条件．
综上所述，a=12或a≥1．
【解析】本题考查函数的零点的求法，函数的解析式，函数的奇偶性的应用，考查分类讨论思想的应用，属于拔高题．
(1)利用函数的奇偶性列出方程组求解即可得到函数的解析式．
(2)利用函数只有一个零点，通过换元法，对a分类讨论，结合二次方程求解即可．
18.【答案】解：(1)由数据从小到大为10.4,10.5,12.0,12.1,12.5,14.1,14.3,14.3,16.7,18.1，
又10×40%=4，则第40百分位数为m=12.1+12.52=12.3mm，
平均数x=10.4+10.5+12.0+12.1+12.5+14.1+14.3+14.3+16.7+18.110=13.5mm．
(2)由数据及题设知：12个月中降水量低于12.0mm有2个月，降水量低于15.0mm有8个月，所以甲､乙两种植物都需要浇水的概率为16，二者中有植物需要浇水的概率为23．

【解析】(1)由百分位数、平均数求法求m,x；
(2)根据数据的频率估计所求概率即可．
19.【答案】解：(1)T=2π2=π，
∵0≤x≤π2,∴−π3≤2x−π3≤2π3，
当2x−π3=0，即x=π6时，fxmax=2cs0−1=1，
当2x−π3=2π3，即x=π2时，fxmin=2cs2π3−1=−2，
所以，f(x)的最大值为1，最小值−2．
(2)由余弦函数性质可得：
当2kπ−π≤2x−π3≤2kπ时，fx单调递增，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6，
所以，f(x)的单调递增区间是kπ−π3,kπ+π6,k∈Z，
当2kπ≤2x−π3≤2kπ+π时，fx单调递减，解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，
所以，f(x)的单调递减区间是kπ+π6,kπ+2π3,k∈Z．

【解析】(1)利用最小正周期公式计算即可求得函数f(x)最小正周期，由0≤x≤π2，得−π3≤2x−π3≤2π3，借助余弦函数图像即可求解；
(2)将2x−π3看作整体，借助余弦函数性质建立不等式，计算即可求解．
20.【答案】解：(1)连接AD1,BD，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，DD1//BB1,DD1=BB1，
故四边形DD1B1B为平行四边形，则E为BD1的中点，
又F为AB的中点，故EF//AD1，而EF⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，
故EF//平面ADD1A1；
(2)在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AB=2，则四边形ABCD为正方形，
则BD=2 2，又BB1⊥平面ABCD，则∠B1DB为B1D与平面ABCD所成角，
即∠B1DB=π4，故BB1=BD=2 2，
连接EA、AC，设BD、AC相交于点O，所以点O为BD中点，
因为DD1//EO，EO=12DD1= 2，可得EO⊥底面ABCD，连接OF，
S▵ACF=12AF×BC=12×1×2=1，所以VE−ACF=13S▵ACFEO=13×1× 2= 23，
OF=12AD=1，OC=12AC=12BD= 2，
EF= EO2+OF2= 2+1= 3，EC= EO2+OC2= 2+2=2，
FC= BF2+BC2= 1+4= 5，
在▵EFC中，由余弦定理得cs∠FEC=EF2+EC2−FC22EF×EC=3+4−52 3×2= 36，
因为0<∠FEC<π，所以sin∠FEC= 1−cs2∠FEC= 336，
所以，S▵CEF=12EF×ECsin∠FEC=12× 3×2× 336= 112，
设点A到平面CEF的距离为ℎ，
因为VE−ACF=VA−CEF，所以 23=13S▵CEFℎ=13× 112ℎ，
解得ℎ=2 2211，
所以点A到平面CEF的距离为2 2211．

【解析】(1)连接AD1,BD，证明EF//AD1，根据线面平行的判定定理即可证明结论；
(2)连接EA、AC，设BD、AC相交于点O，根据VE−ACF=VA−CEF，可求得答案．
21.【答案】解：(1)设Px,y，则Mx,−1，所以OP=x,y,OM=x,−1，
因为OP⊥OM，所以OP⋅OM=0，所以x2−y=0，
所以点P的轨迹C的方程为x2=y；
(2)设Ax1,y1,Bx2,y2，l1:y=kx+m，
因为l1为曲线C的切线，
联立y=kx+mx2=y可得x2−kx−m=0，所以Δ=k2+4m=0，
联立y=kx+m4x2+3y2=12可得3k2+4x2+6kmx+3m2−12=0，
所以x1+x2=−6km3k2+4,x1x2=3m2−123k2+4，且Δ=−6km2−43k2+43m2−12>0，即3k2+4>m2，
所以AB= 1+k2× x1+x22−4x1x2= 1+k2× −6km3k2+42−4×3m2−123k2+4=4 3× 1+k2× 3k2+4−m23k2+4，
又因为原点到直线AB的距离d=m 1+k2，
所以S▵OAB=12×m1+k2×4 3× 1+k2× 3k2+4−m23k2+4=2 3m× 3k2+4−m23k2+4
=2 3× m2× 3k2+4−m23k2+4≤2 3×m2+3k2+4−m223k2+4= 3，
当且仅当3k2+4−m2=m2k2+4m=0即m=−3− 11k2=12+4 11(此时满足3k2+4>m2)时取等号，
综上可知，▵AOB面积的最大值为 3．
方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：
(1)利用弦长以及点到直线的距离公式，结合12×底×高，表示出三角形的面积；
(2)根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为12⋅AB⋅x1−x2或12⋅EF⋅y1−y2；
(3)借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为12⋅a+b+c⋅R(R为内切圆半径)．

【解析】(1)设出P点坐标，根据垂直关系写出对应向量关系式，由此可得轨迹C的方程；
(2)设出直线l1的方程，根据直线l1与曲线C相切得到关于k,m的表达式，然后通过联立方程结合韦达定理以及弦长公式表示出▵AOB的面积，最后利用基本不等式求解出最大值．
22.【答案】解：(1)因为a1=12，an+an+1=n+12，
当n=1时，a1+a2=32，得a2=1；
又由an+an+1=n+12，得an+1+an+2=n+32，两式相减得，an+2−an=1，
所以数列an的奇数项和偶数项分别构成以1为公差的等差数列．
当n 为 奇数时，an=a1+n+12−1⋅1=12+n2−12=n2，
当n为偶数时，an=a2+n2−1⋅1=1+n2−1=n2，
综上，an=n2．
(2)由(1)知bn=n2，
当n=2k−1时，bn=2k−12=k−12=k−1=n−12，
当n=2k时，bn=2k2=k=n2，
T1000=b1+b2+b3+⋯+b998+b999+b1000=0+1+1+2+2+⋅⋅⋅+499+499+500
=2×(1+2+3+⋅⋅⋅+499)+500=499×500+500=250000．

【解析】(1)根据题意求得a2=1，an+2−an=1，从而得到数列an的性质，结合等差数列的通项公式即可得解；
(2)分类讨论n为奇数或偶数，得到bn的通项公式，从而利用等差数列的求和公式即可得解．