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第13讲 二项式定理-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（新人教A专用）
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这是一份第13讲 二项式定理-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（新人教A专用），文件包含第13讲二项式定理教师卷-寒假衔接讲义高二数学寒假讲义练习新人教A专用docx、第13讲二项式定理学生卷-寒假衔接讲义高二数学寒假讲义练习新人教A专用docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
【考点目录】
【知识梳理】
知识点1 二项式定理
知识点2 二项式系数的性质
二项式系数是一组仅与二项式的幂指数n有关的n＋1个组合数，与a，b无关. 其性质如下：
(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)__得到. 直线r＝eq \f(n,2)将函数f(r)＝Ceq \\al(r,n)的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
(2)增减性与最大值：当keq \f(n＋1,2)时，Ceq \\al(k,n)随k的增加而减少. 如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项，即Teq \f(n,2)＋1的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项T与Teq \f(n＋1,2)＋1的二项式系数相等且最大.
(3)各二项式系数的和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
知识点3 杨辉三角
杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表(如下)，是我国数学史上一个伟大成就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论.
(1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1，2，3，4，…，第三层(含1，3)是三角形数列1，3，6，10，15，….
(2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即Ceq \\al(r,n)＝Ceq \\al(n－r,n).
(3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即Ceq \\al(r,n)＝Ceq \\al(r－1,n－1)＋Ceq \\al(r,n－1).
(4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋….
(5)第n行所有数的和为2n，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
(6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数.
知识点4 赋值法求和
①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法. 对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. ②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f（1）＋f（－1）,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f（1）－f（－1）,2).
【考点剖析】
考点一 展开式的特定项
（一）二项展开式
1．（2023秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）在二项展开式中，常数项是_______.
2．（2023秋·山东临沂·高二统考期末）二项式展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．40D．80
3．（2023秋·广东东莞·高二校联考期中）若的二项展开式共有8项，则n=___________.
4．（2023秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第3项为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·高二课时练习）已知二项式，求展开式中的：
(1)第6项；
(2)第3项的系数；
(3)含的项；
(4)常数项．
6．（2023·高二单元测试）若展开式中含有常数项，则的最小值是______．
（二）两个多项式积的展开式
7．（2023春·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知的展开式中的系数为10，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．2
9．（2023秋·湖南·高二校联考期末）的展开式中的常数项为（ ）
A．40B．60C．80D．120
10．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期中），则_________.
11．（2023秋·黑龙江佳木斯·高二校联考期末）的展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．80D．200
（三）三项展开式
12．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）的展开式中，共有多少项？（ ）
A．45B．36C．28D．21
13．（2023·高二课时练习）的展开式中，的系数是（ ）
A．120B．-120C．60D．30
14．（2023秋·广东佛山·高二校考阶段练习）在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．21B．15C．9D．-6
15．（2023·高二课时练习）在的展开式中的系数为________．
16．（2023秋·山东济宁·高二邹城市第二中学校考阶段练习）在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．B．480C．D．240
17．（2023秋·江苏·高二校联考阶段练习）展开式中的系数是___________.
18．（2023秋·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考期中）的展开式中各项系数之和为______；展开式中含项的系数为______．（用数字作答）
19．（2023·高二课时练习）的展开式的所有项的系数和为243，则展开式中的系数为______.
考点二 二项式系数的性质与各项的和
（一）二项式系数和与系数和
20．（2023·高二课时练习）如果，则______.
21．（2023·高二课时练习）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
22．（2023秋·江苏扬州·高二扬州市江都区丁沟中学校考期末）若二项式的展开式中所有项的系数和为1024，则展开式中的常数项为（ ）
A．25B．C．15D．
23．（2023秋·湖南长沙·高二统考期末）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
24．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）已知．求：
(1)；
(2)；
(3)．
25．（2023秋·广东江门·高二校联考期中）已知，则（ ）
A．224B．C．D．448
26．（2023秋·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
27．【多选】（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）若，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
28．【多选】（2023秋·重庆万州·高二校考阶段练习）若，则正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
29．【多选】（2023秋·广东佛山·高二校考阶段练习）已知展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，则下列结论正确的为（ ）
A．展开式中偶数项的二项式系数之和为16
B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项
C．展开式中没有常数项
D．展开式有理项为第四项、第六项
30．（2023·高二课时练习）已知，下列命题中，不正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为
B．展开式中所有奇次项系数的和为
C．展开式中所有偶次项系数的和为
D．
（二）二项式系数的最值问题
31．（2023秋·浙江温州·高二温州中学校联考期末）在二项式的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中的第项系数为（ ）
A．B．C．D．
32．（2023·高二课时练习）已知在二项式的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式中，有理项的项数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
33．（2023秋·全国·高二专题练习）已知的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．求展开式中二项式系数最大的项．
34．（2023秋·广东深圳·高二校考期中）已知的展开式的二项式系数和为64
(1)求n的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项．
35．（2023春·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）若二项式展开式中所有项的系数的绝对值之和为，则展开式中二项式系数最大的项为______．
考点三 整除和余数问题
36．（2023秋·山东·高二校联考阶段练习）若n是正整数，则除以9的余数是____________.
37．（2023秋·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）设为奇数，那么除以13的余数是（ ）
A．B．2C．10D．11
38．（2023·高二单元测试）已知．求证：当为偶数时，能被64整除．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·广东广州·高二统考期末）已知二项式展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（ ）
A．B．C．15D．20
2．（2023秋·吉林·高二校联考期末）在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（ ）
A．16B．32C．1D．
3．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2023春·江苏宿迁·高二沭阳如东中学校考期末）对任意实数x，有则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023秋·云南曲靖·高二校考期末）若 ， 则（ ）
A．
B．
C．展开式中的各项系数之和为 0
D．展开式中所有项的二项式系数之和为
6．（2023秋·山东泰安·高二统考期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
7．（2023秋·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期末）的二项展开式中，系数最大的是第___________项.
8．（2023春·福建莆田·高二校考期末）的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为 _____．
9．（2023秋·四川绵阳·高二校考期末）若，则__________.
10．（2023秋·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知，则_____．
四、解答题
11．（2023春·福建莆田·高二校考期末）在的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项系数和．
概念
公式(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)叫做二项式定理.
二项式
系数
各项的系数Ceq \\al(k,n)(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
通项
Ceq \\al(k,n)an－kbk叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－k·bk(k＝0，1，2，…，n).
二项
展开式
Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式.
【考点目录】
【知识梳理】
知识点1 二项式定理
知识点2 二项式系数的性质
二项式系数是一组仅与二项式的幂指数n有关的n＋1个组合数，与a，b无关. 其性质如下：
(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)__得到. 直线r＝eq \f(n,2)将函数f(r)＝Ceq \\al(r,n)的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
(2)增减性与最大值：当k
(3)各二项式系数的和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
知识点3 杨辉三角
杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表(如下)，是我国数学史上一个伟大成就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论.
(1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1，2，3，4，…，第三层(含1，3)是三角形数列1，3，6，10，15，….
(2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即Ceq \\al(r,n)＝Ceq \\al(n－r,n).
(3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即Ceq \\al(r,n)＝Ceq \\al(r－1,n－1)＋Ceq \\al(r,n－1).
(4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋….
(5)第n行所有数的和为2n，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
(6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数.
知识点4 赋值法求和
①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法. 对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. ②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f（1）＋f（－1）,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f（1）－f（－1）,2).
【考点剖析】
考点一 展开式的特定项
（一）二项展开式
1．（2023秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）在二项展开式中，常数项是_______.
2．（2023秋·山东临沂·高二统考期末）二项式展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．40D．80
3．（2023秋·广东东莞·高二校联考期中）若的二项展开式共有8项，则n=___________.
4．（2023秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第3项为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·高二课时练习）已知二项式，求展开式中的：
(1)第6项；
(2)第3项的系数；
(3)含的项；
(4)常数项．
6．（2023·高二单元测试）若展开式中含有常数项，则的最小值是______．
（二）两个多项式积的展开式
7．（2023春·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知的展开式中的系数为10，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．2
9．（2023秋·湖南·高二校联考期末）的展开式中的常数项为（ ）
A．40B．60C．80D．120
10．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期中），则_________.
11．（2023秋·黑龙江佳木斯·高二校联考期末）的展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．80D．200
（三）三项展开式
12．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）的展开式中，共有多少项？（ ）
A．45B．36C．28D．21
13．（2023·高二课时练习）的展开式中，的系数是（ ）
A．120B．-120C．60D．30
14．（2023秋·广东佛山·高二校考阶段练习）在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．21B．15C．9D．-6
15．（2023·高二课时练习）在的展开式中的系数为________．
16．（2023秋·山东济宁·高二邹城市第二中学校考阶段练习）在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．B．480C．D．240
17．（2023秋·江苏·高二校联考阶段练习）展开式中的系数是___________.
18．（2023秋·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考期中）的展开式中各项系数之和为______；展开式中含项的系数为______．（用数字作答）
19．（2023·高二课时练习）的展开式的所有项的系数和为243，则展开式中的系数为______.
考点二 二项式系数的性质与各项的和
（一）二项式系数和与系数和
20．（2023·高二课时练习）如果，则______.
21．（2023·高二课时练习）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
22．（2023秋·江苏扬州·高二扬州市江都区丁沟中学校考期末）若二项式的展开式中所有项的系数和为1024，则展开式中的常数项为（ ）
A．25B．C．15D．
23．（2023秋·湖南长沙·高二统考期末）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
24．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）已知．求：
(1)；
(2)；
(3)．
25．（2023秋·广东江门·高二校联考期中）已知，则（ ）
A．224B．C．D．448
26．（2023秋·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
27．【多选】（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）若，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
28．【多选】（2023秋·重庆万州·高二校考阶段练习）若，则正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
29．【多选】（2023秋·广东佛山·高二校考阶段练习）已知展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，则下列结论正确的为（ ）
A．展开式中偶数项的二项式系数之和为16
B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项
C．展开式中没有常数项
D．展开式有理项为第四项、第六项
30．（2023·高二课时练习）已知，下列命题中，不正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为
B．展开式中所有奇次项系数的和为
C．展开式中所有偶次项系数的和为
D．
（二）二项式系数的最值问题
31．（2023秋·浙江温州·高二温州中学校联考期末）在二项式的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中的第项系数为（ ）
A．B．C．D．
32．（2023·高二课时练习）已知在二项式的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式中，有理项的项数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
33．（2023秋·全国·高二专题练习）已知的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．求展开式中二项式系数最大的项．
34．（2023秋·广东深圳·高二校考期中）已知的展开式的二项式系数和为64
(1)求n的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项．
35．（2023春·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）若二项式展开式中所有项的系数的绝对值之和为，则展开式中二项式系数最大的项为______．
考点三 整除和余数问题
36．（2023秋·山东·高二校联考阶段练习）若n是正整数，则除以9的余数是____________.
37．（2023秋·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）设为奇数，那么除以13的余数是（ ）
A．B．2C．10D．11
38．（2023·高二单元测试）已知．求证：当为偶数时，能被64整除．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·广东广州·高二统考期末）已知二项式展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（ ）
A．B．C．15D．20
2．（2023秋·吉林·高二校联考期末）在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（ ）
A．16B．32C．1D．
3．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2023春·江苏宿迁·高二沭阳如东中学校考期末）对任意实数x，有则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023秋·云南曲靖·高二校考期末）若 ， 则（ ）
A．
B．
C．展开式中的各项系数之和为 0
D．展开式中所有项的二项式系数之和为
6．（2023秋·山东泰安·高二统考期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
7．（2023秋·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期末）的二项展开式中，系数最大的是第___________项.
8．（2023春·福建莆田·高二校考期末）的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为 _____．
9．（2023秋·四川绵阳·高二校考期末）若，则__________.
10．（2023秋·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知，则_____．
四、解答题
11．（2023春·福建莆田·高二校考期末）在的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项系数和．
概念
公式(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)叫做二项式定理.
二项式
系数
各项的系数Ceq \\al(k,n)(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
通项
Ceq \\al(k,n)an－kbk叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－k·bk(k＝0，1，2，…，n).
二项
展开式
Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式.
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