第13讲 三角恒等变换-【预习】高一数学寒假衔接讲义练习（人教B版 必修第三册）

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1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，重点培养逻辑推理的核心素养．
2．能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，掌握公式的结构形式，并能利用公式进行化简、求值，重点提升数学运算核心素养．
3.能利用Cα±β公式，诱导公式和同角三角函数的基本关系式推导两角和与差的正弦、正切公式，重点培养逻辑推理核心素养．
4.掌握两角和与差的正弦、正切公式，并能利用公式化简、求值，重点提升数学运算核心素养．
5.能利用两角和的正弦、余弦公式、正切公式推导证明倍角公式．重点培养逻辑推理核心素养．
6.掌握倍角公式及变形，能利用公式解决简单的三角函数式的求值、化简和证明问题．重点提升数学运算核心素养．
【知识导航】
知识点一 两角差的余弦公式
1．当α＝60°，β＝30°时，cs α－cs β等于多少？cs 60°－cs 30°＝cs(60°－30°)成立吗？
提示：cs 60°－cs 30°＝eq \f(1－\r(3),2)，cs(60°－30°)＝eq \f(\r(3),2)，故cs 60°－cs 30°＝cs(60°－30°)不成立．
2．单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角是多少？
提示：A(cs α，sin α)，B(cs β，sin β).eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角是α－β.
3．根据上图，分别利用平面向量数量积的定义及坐标运算，求出eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的数量积各是什么？
提示：①eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))|·|eq \(OB,\s\up6(→))|·cs(α－β)＝cs(α－β)．
②eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝(cs α，sin α)·(cs β，sin β)＝cs αcs β＋sin αsin β.
4．根据上面的计算可以得出什么结论？
提示：cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β.
Cα－β：cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β．
(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角．
(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号
知识点二 两角和的余弦公式
如何用两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式？
提示：cs(α＋β)＝cs[α－(－β)]＝cs αcs(－β)＋sin αsin(－β)＝cs αcs β－sin αsin β.
Cα＋β：cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β．
(1)适用条件：α，β都是任意角．
(2)记忆口诀：“余余正正，符号相反”．
[点拨]
比较公式Cα＋β和Cα－β，可得二者的结构特征：
知识点三 两角和与差的正弦公式
1．如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？
提示：sin(α＋β)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－（α＋β）))＝cs[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))－β]＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs β＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin β＝sin αcs β＋cs αsin β.
2．怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？
提示：用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β.
两角和与差的正弦公式
知识点四 两角和与差的正切公式
1．怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？
提示：tan(α＋β)＝eq \f(sin（α＋β）,cs（α＋β）)＝eq \f(sin αcs β＋cs αsin β,cs αcs β－sin αsin β)，
分子分母同除以cs αcs β，便可得到．
2．由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？
提示：用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到．
1．两角和与差的正切公式
2.两角和与差的正切公式的变形
(1)Tα＋β的变形：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)．
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tan（α＋β）)．
(2)Tα－β的变形：
tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)．
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．
tan αtan β＝eq \f(tan α－tan β,tan（α－β）)－1．
[点拨]
1．公式Sα±β，Cα±β，Tα±β的内在联系
Sα＋β，Cα＋β，Tα＋β，Sα－β，Cα－β，Tα－β这6个和与差的三角函数公式之间具有紧密的联系(有时可以互相转化)，这种联系可用框图形式表示，如图所示．
2．化一公式(辅助角公式)
形如asin θ＋bcs θ(a，b都不为零)的式子引入辅助角可变形为Asin(θ＋φ)的形式，有时也可变形为Acs(θ＋φ)的形式．
asin θ＋bcs θ＝eq \r(a2＋b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))sin θ＋\f(b,\r(a2＋b2))cs θ)).
令cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，
则原式＝eq \r(a2＋b2)(sin θcs φ＋cs θsin φ)＝eq \r(a2＋b2)sin(θ＋φ)．
其中φ的值由tan φ＝eq \f(b,a)确定，φ的终边所在的象限由点(a，b)来确定．
知识点无 倍角公式
1．角eq \f(α,2)＋β＋40°与α＋2β＋80°是什么关系？
提示：2倍．
2．在已学公式Cα＋β，Sα＋β，Tα＋β中，令α＝β，公式还成立吗？你能得到什么结论？
提示：成立．sin 2α＝2sin αcs α，cs 2α＝cs2 α－sin2 α，tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2 α).
1．倍角公式
2.常用升降幂公式
(1)升幂缩角变换．
1＋cs 2α＝2cs2 α，1－cs 2α＝2sin2 α．
(2)降幂扩角变换．
cs2 α＝eq \f(1,2)(1＋cs 2α)，sin2 α＝eq \f(1,2)(1－cs 2α)．
[理解]
对“二倍角”应该有更广义的理解，不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍，eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍，3α是eq \f(3α,2)的二倍等，这里蕴含着换元思想，这就是说，“倍”是相对而言的，描述了两个数量之间的关系．
[拓展]
三倍角公式：
(1)sin 3θ＝3sin θ－4sin3θ；
(2)cs 3θ＝4cs3 θ－3cs θ.
推导过程：
(1)sin 3θ＝sin(2θ＋θ)
＝sin 2θcs θ＋cs 2θsin θ
＝2sin θcs2θ＋(1－2sin2θ)sin θ
＝2sin θ(1－sin2 θ)＋(1－2sin2 θ)sin θ
＝3sin θ－4sin3θ.
(2)cs 3θ＝cs(2θ＋θ)
＝cs 2θcs θ－sin 2θsin θ
＝(2cs2θ－1)cs θ－2(1－cs2θ)cs θ
＝4cs3 θ－3cs θ.
【知识预习】
考点一：两角和与差的正弦
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以（1），
因为，所以（2），
（1）+（2）得，
∴.
故选：A．
2． 的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
故选：D
3．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】.
故选：A.
4．（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】；
；
原式
.
故选：C
5．的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：.
故选：B.
考点二：两角和与差的余弦
6．（ ）
A．B．C．D．—
【答案】C
【详解】
.
故选：C
7．计算的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【详解】
.
故选：B．
8．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】

；
故选：B.
9．已知为锐角，，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【详解】由题设可得，
故选：A.
10．的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：.
故选：B.
考点三：倍角公式
11．若，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由已知，
所以，
故选：C.
12．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由得，因此，
故选：A
13．若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】.
故选：D
14．函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，最小正周期为.
故选：A
15．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由题意得：
故选：A
考点四：三角恒等变换的应用
16．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，
所以.
故选：D.
17．已知函数，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【详解】解：由题意得：
由可得：
故选：B
18．函数，则（ ）
A．的值域为B．在上单调递增
C．有无数个零点D．在定义域内不存在递减区间
【答案】D
【详解】解：定义域为：，
又，因为，故，故的值域为，即无零点，故A、C项错误.
因为，在上，的单调递增区间为，故B项错误；
，故在定义域内不存在减区间，D项正确.
故选：D.
19．已知函数，则f(x)（ ）
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
【答案】A
【详解】
故f(x)是奇函数.
故选：A.
20．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，可得，平方可得，所以．
所以．
故选：A.
【对点训练】
一、单选题
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由得，所以，
所以，
所以，其中，
所以，则，
所以，
所以
.
故选:D.
2．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，可得
由，可得，
又，则
则
故选：C
3．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，
所以，
故选：D.
4．该函数的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，又，
所以函数的最大值是2.
故选：C.
5．函数的最小正周期是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】(其中)，
．
故选：C．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】.
故选：B
7．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，得，∴，所以，∴，所以，
故选：A．
8．设，，，则有（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由题意得：，
，，
，，
，
故选：C
二、多选题
9．已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．B．函数的图象关于直线对称
C．的最小正周期为D．的值域为
【答案】ABC
【详解】，A选项正确，
，所以函数的图象关于直线对称，B选项正确，
的最小正周期为，C选项正确，
的值域为，D选项错误.
故选：ABC
10．已知函数的最小正周期为，且对于恒成立，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个零点
C．是曲线的一个对称中心
D．当时，函数取得极值
【答案】AB
【详解】，
，
对于 恒成立
，解得，
对于A，，，在上单调递减，故在区间单调递减，A正确；
对于B，，，在上有两个零点，故在区间有两个零点，B正确；
对于C，，故不是曲线的对称中心，C错误；
对于D，，故当时，函数不取极值，D错误；
故选：AB.
三、填空题
11．已知，则__________.
【答案】##
【详解】因为
，
，
，
因为，
所以，所以，
故
故答案为：.
12．已知，，则的值为______．
【答案】##0.5
【详解】原式.
故答案为：.
四、解答题
13．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的最值.
【答案】(1)(2)最大值为，最小值为
【详解】（1）解：∵，
∴，即函数的最小正周期为．
（2）解：在区间上，，
∴，
∴，
∴的最大值为，的最小值为．
14．已知函数 的最大值为 ．
（1）求常数 的值．
（2）求函数 的单调递减区间．
（3）若 ，求函数 的值域．
【答案】（1）；（2）单调递减区间为，；（3）
【详解】
.
（1）由，解得.
（2）由，
则，，
解得，，
所以函数的单调递减区间为，，
（3）由，则，
所以，
所以，
所以函数 的值域为.
15．函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，为该图象上三个点，其中为相邻的最高点与最低点，．且，.
(1)求的解析式；
(2)的图象向左平移1个单位后得到的图象，分析在的单调性及最值．
【答案】(1)；
(2)在单调递减；在单调递增，，.
【详解】（1）过作轴于，连接与轴交于，则.
设，则，由，
即，可得
进而可得，，
记的最小正周期为，则，得，
故，又，且，得，
即；
（2）依题意，
由，可得单调减区间为；
由，可得单调增区间为；
故在单调递减；在单调递增
则，
设表示中最大数，
.
【提升作业】
一、单选题
1．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】Da
【详解】∵，
故选：D.
2．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由得：，
即，则，
所以，
故选：D.
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由得，
解得，
因为，所以，所以，
又因为，
所以，
由解得，所以，
所以.
故选:C.
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由得：，
整理可得：；
，，
，则，.
故选：C.
5．已知函数在内有且仅有1个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意得
当时，，
因为在内有且仅有1个零点，
所以，解得，
故选：D
二、填空题
6．已知，则的值为__.
【答案】1
【详解】由，得，
再由，得，可得，
．
故答案为：1.
7．设，函数为偶函数，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】
，
∵为偶函数，所以（），
∴，
又∵，∴当时，的最小值为.
故答案为：.
三、解答题
8．已知为奇函数，其中.
(1)求函数的最小正周期和的表达式；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）因为为奇函数，
所以，
化简得到求出
，所以
，最小正周期是；
（2）若
所以
9．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的最小值及取到最小值时的值.
【答案】(1)(2)时，
【详解】（1），
所以函数的最小正周期；
（2）当，即时，.
10．已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)当时，求函数的值域．
【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间是
(2)
【详解】（1），
所以最小正周期为，
由，
得单调递减区间是；
（2）当时，，
则，即时，有最小值为，
，即时，有最大值为，
所以此时的值域为．
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和
的正弦
sin(α＋β)＝
sin αcs β＋cs αsin β
Sα＋β
任意角
两角差
的正弦
sin(α－β)＝
sin αcs β－cs αsin β
Sα－β
任意角
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
Tα＋β
tan(α＋β)＝
eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
α，β，α＋β均不等于kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
tan α＋tan β≠1
两角差的正切
Tα－β
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
α，β，α－β均不等于
kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
tan α＋tan β≠－1
记法
公式
推导
S2α
sin 2α＝2sin αcs α
Sα＋βeq \(――→,\s\up7(令β＝α))S2α
C2α
cs 2α＝cs2 α－sin2 α
Cα＋βeq \(――→,\s\up7(令β＝α))C2α
cs 2α＝2cs2 α－1
cs 2α＝1－2sin2 α
利用sin2 α＋cs2 α＝1
消去sin2 α或cs2 α
T2a
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2 α)
Tα＋βeq \(――→,\s\up7(令β＝α))T2α