2023-2024学年湖北省武汉市武昌实验中学高二（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市武昌实验中学高二（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线y=4x2的焦点坐标是( )
A. (0,1)B. (1,0)C. (0,116)D. (116,0)
2.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=12a5，则S9S4=( )
A. 15B. 1C. −1D. −9
3.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2 2，P是C上一点，若|PF1|−|PF2|=a，且sin∠PF1F2=13，则椭圆C的方程为( )
A. x24+y23=1B. x26+y23=1C. x26+y24=1D. x24+y22=1
4.已知O为坐标原点，F为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线右支交于点P，线段PF上存在不同的两点A，B满足|FA|=|BP|，且|OA|=|OB|，则双曲线的离心率为( )
A. 2B. 3C. 2+1D. 3+1
5.对于集合A，B，定义A−B={x|x∈A，且x∉B}.若A={x|x=2k+1,k∈N}，B={x|x=3k+1,k∈N}，将集合A−B中的元素从小到大排列得到数列{an}，则a7+a30=( )
A. 55B. 76C. 110D. 113
6.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，PH⊥l于H，若|HF|=|PF|，O为坐标原点，则△PFH与△OFQ的面积之比为( )
A. 6B. 8C. 12D. 16
7.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐家的世界数学史上第一道数列题.已知数列{an}满足：an=cs2nπ3−sin2nπ3，记bn=(3n−1)an，n∈N*，则数列{bn}的前60项和是( )
A. 130B. −845C. 90D. −860
8.已知椭圆C1：x2m+1+y23−n=1与双曲线C2：x2m+y2n=1有相同的焦点，则双曲线C2的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为( )
A. (π4,π2)B. (π4,π2]C. (0,π4)D. (π4,π3)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+3a2=S6，则( )
A. a7=0B. a2+a6=a8C. S13=0D. S6=S8
10.已知曲线C的方程为x2k+y26−k=1(k∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 当0B. “k<0”是“曲线C表示焦点在y轴上的双曲线”的充分必要条件
C. 存在实数，使得曲线C的离心率为 22
D. 存在实数k，使得曲线C表示渐近线方程为y=±x的双曲线
11.首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，则下列4个命题中正确的有( )
A. 若S10=0，则a5>0，a6<0
B. 若S4=S12，则使Sn>0的最大的n为15
C. 若S15>0，S16<0，则{Sn}中S7最大
D. 若S812.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是( )
A. 对于任意直线m，均有AE⊥PF
B. 不存在直线m，满足BF=2EB
C. 对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切
D. 存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为______ 升.
14.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率与椭圆x216+y212=1的离心率互为倒数，则椭圆的焦点到双曲线的渐近线的距离是______ ．
15.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点(A在x轴上方)，延长BO交抛物线的准线于点C，若|AF|=3|BF|，|AC|=3，则抛物线的方程为______ ．
16.已知圆锥曲线CK的方程：x29−k+y24−k=1.当m、n为正整数，且m四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
数列{an}中，a1=31，an+1=an−2，
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
已知点P(2,0)，圆C：x2+y2−6x+4y+4=0．
(1)若直线l过点P且被圆C截得的弦长为4 2，求直线l的方程；
(2)设直线ax−y+1=0与圆C交于A，B两点，过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB，这样的实数a是否存在，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
设各项均为正数的数列{an}满足Snan=pn+r(p,r为常数)，其中Sn为数列{an}的前n项和．
(1)若p=1，r=0，求证：{an}是等差数列；
(2)若p=13，a1=2，求数列{an}的通项公式．
20.(本小题12分)
设双曲线C：x2a2−y2=1(a>0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且PA=512PB，求a的值．
21.(本小题12分)
如图，已知动圆M过定点F(1,0)且与y轴相切，点F关于圆心M的对称点为F′，点F′的轨迹为H．
(1)求曲线H的方程；
(2)一条直线AB经过点F，且交曲线H于A、B两点，点C为直线x=−1上的动点．
①求证：∠ACB不可能是钝角；
②是否存在这样的点C，使得△ABC是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由．
22.(本小题12分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F的坐标为(1,0)，离心率e= 22．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF⊥QF，C为PQ的中点，线段PQ的垂直平分线分别交x轴、y轴于A、B两点．
(i)求证：A为BC的中点；
(ii)若S△ABOS△BCF=35(S为三角形的面积)，求直线PQ的方程．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=14y，p=18，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，
故焦点坐标为(0,116)，
故选：C．
把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．
本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，(d>0)．
∵a4=12a5，∴a4=12(a4+d)，解得：a4=d，a5=2d．
∴a1=a4−3d=−2d，
∴a1+a4=−d．
∴S9S4=(a1+a9)×9(a1+a4)×4=2a5×9(a1+a4)×4=4d×9−d×4=−9．
故选：D．
设等差数列{an}的公差为d，利用基本量代换求出S9S4=(a1+a9)×9(a1+a4)×4，进而求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2 2，
可得c= 2，|PF1|−|PF2|=a，并且|PF1|+|PF2|=2a，可得|PF1|=32a，|PF2|=12a，
sin∠PF1F2=13，
可得cs∠PF1F2=2 23，
所以14a2=9a24+8−2×32a×2 2×2 23，
解得a=2，则b= 2，
椭圆方程为：x24+y22=1．
故选：D．
利用椭圆的定义，结合已知条件求出a，通过椭圆的焦距求出c，然后求出b，即可得到椭圆方程．
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．
设双曲线的右焦点为F′，连接PF′，取AB的中点M，可得M为FB的中点，运用中位线定理和双曲线的定义，结合离心率公式，计算可得所求值．
【解答】
解：设双曲线的右焦点为F′，连接PF′，
取AB的中点M，由|FA|=|BP|，
可得M为PF的中点，
|OA|=|OB|，可得OM⊥AB，
由∠PFO=30°，可得|PF′|=2|OM|=c，
即有|PF|=2ccs30°= 3c，
由双曲线的定义可得 3c−c=2a，
即有e=ca=2 3−1= 3+1，
故选：D．
5.【答案】C
【解析】解：因为A={1,3,5,7,9,11,⋯}，B={1,4,7,10,13,16,19,22,25,⋯}，
所以A−B={3,5,9,11,15,⋯}，所以a7=21.A−B相当于集合A中除去x=6n−5(n∈N*)形式的数，其前45项包含了15个这样的数，所以a30=89．
则a7+a30=110．
故选：C．
根据集合的特征列出集合A与B的前若干项，找出集合A−B中元素的特征，进而即可求解．
本题主要考查数列的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：依题意，由PH⊥于H，得|PH|=|PF|=|HF|，即△PFH是正三角形，∠PFx=∠FPH=60°，
而F(2,0)，则直线PQ的方程为y= 3(x−2)，
由y= 3(x−2)y2=8x，消去y并整理，得3x2−20x+12=0，
令P(x1,y1)，Q(x2,y2)，解得x1=6,x2=23，又准线l：x=−2，
因此|PF|=x1+2=8,|QF|=x2+2=83，
所以△PFH与△OFQ的面积之比S△PFHS△OFQ=12|PF|2sin60°12|QF|⋅|OF|sin60°=8283×2=12．
故选：C．
根据给定的条件，求出直线PQ的方程，与抛物线方程联立求出|PF|，|QF|的长即可求解作答．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：∵an=cs2nπ3−sin2nπ3=cs2nπ3，
∴an+3=cs2(n+3)π3=cs(2nπ3+2π)=cs2nπ3=an，
∴数列{an}是以3为周期的周期数列，
又a1=cs2π3=−12，a2=cs4π3=−12，a3=cs2π=1，
∴{bn}的前60项和为(b1+b4+b7+⋅⋅⋅+b55+b58)+(b2+b5+b8+⋅⋅⋅+b56+b59)+(b3+b6+b9+⋅⋅⋅+b57+b60)
=(2+11+20+⋅⋅⋅+173)×(−12)+(5+14+23+⋅⋅⋅+176)×(−12)+(8+17+26+⋅⋅⋅+179)×1
=−12×20×(2+173)2−12×20×(5+176)2+20×(8+179)2=−875−905+1870=90．
故选：C．
结合二倍角余弦公式和余弦函数的周期性可推导证得数列{an}是以3为周期的周期数列，采用分组求和的方式即可求得数列{bn}的前60项和．
本题主要考查数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可得mn<0，当m>0，n<0，焦点在x轴上，可得m+1>3−n，可得m+n>2，且m+1−(3−n)=m−n即n=1，显然不成立；
m<0，n>0时，焦点在y轴上，3−n>m+1>0，−1可得3−n−(m+1)=n−m，可得n=1，−11，
所以双曲线的斜率为正的渐近线的斜率k= −nm= −1m∈(1,+∞)，
故斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为(π4,π2).
故选：A．
分双曲线的焦点在x，y轴上两种情况讨论，注意两个曲线的焦点相同可得半个焦距的平方相等，可得n的值及m的范围，进而求出渐近线的斜率为正的范围．
本题主要考查圆锥曲线的综合，考查计算能力和分类讨论思想的应用，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：公差d≠0的等差数列{an}中，a1+3a2=S6，
所以4a1+3d=6a1+15d，
所以a1+6d=a7=0，A正确；
a2+a6−a8=a1+d+a1+5d−a1−7d=a1−d=−7d≠0，B错误；
S13=13(a1+a13)2=13a7=0，C正确；
S8−S6=a7+a8=a8=a7+d=d≠0，D错误．
故选：AC．
由已知结合等差数列的通项公式，求和公式及等差数列的性质分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式及等差数列性质的应用，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对A选项，∵当k=3时，曲线C表示圆，∴A选项错误；
对B选项，∵曲线C表示焦点在y轴上的双曲线的充要条件为k<06−k>0，即k<0，∴B选项正确；
对C选项，若曲线C表示椭圆，则e= k−(6−k) k= 22或e= 6−k−k 6−k= 22，解得k=4或k=2，∴C选项正确；
对D选项，若曲线C表示渐近线方程为y=±x的双曲线，则a=b，
∴k=k−6或6−k=−k，∴k无解，∴D选项错误．
故选：BC．
根据椭圆与双曲线的几何性质分别求解即可．
本题考查椭圆与双曲线的几何性质，属基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析4个式子：
对于A，若S10=0，则S10=(a1+a10)×102=0，则a1+a10=0，即a5+a6=0，
∵首项为正数，
∴a5>0，a6<0，故A正确；
对于B，若S4=S12，则S12−S4=0，即a5+a6+……+a11+a12=4(a8+a9)=0，由于a1>0，则a8>0，a9<0，
则有S15=15(a1+a15)2>0，S16=16(a1+a16)2=0，故使Sn>0的最大的n为15，故B正确；
对于C，若S15>0，S16<0，则S15=15(a1+a15)2=15a8>0，S16=16(a1+a16)2=8(a8+a9)<0，则有a8>0，a9<0，则{Sn}中S8最大；故C错误；
对于D，若S80，由于a1>0，则S8−S7=a8>0，故D正确；
故选：ABD．
利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质判断选项的正误即可．
本题考查等差数列的求和公式以及数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A：如图1：由抛物线知O为DF的中点，l/​/y轴，所以E为线段PF的中点，由抛物线的定义知|AP|=|AF|，所以AE⊥PF，故A正确；
B选项，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1>x2，F(1,0)，P(−1,y1)，E为线段PF的中点，则E(0,y12)，
BF=(1−x2,−y2)，EB=(x2,y2−y12)，由BF=2EB，得1−x2=2x2−y2=2(y2−y12)，解得x2=13，y1=3y2，
又y12=4x1，y22=4x2，故B(13,2 33)，A(3,2 3)，D(−1,0)，
可得kDA=2 33+1= 32，kDB=2 313+1= 32，故存在直线m，满足BF=2EB.故B不正确；
C选项：由题意知，E为线段PF的中点，从而设A(x1,y1)，则E(0,y12)，
直线AE的方程：y=y12x1(x+x1)，与抛物线方程y2=4x联立可得：
y=y12x1(y24+x1)，由y12=4x1，代入左式整理得y1y2−2y12y+y13=0，
∴Δ=4y14−4y1y13=0，所以直线AE与抛物线C相切，故C正确；
对于D：设AB的方程my=x+1，联立my=x+1y2=4x，则y2=4(my−1)，∴y1+y2=4m，y1y2=4，
由|AF|+|BF|=|BH|+|AP|=2+y124+y224=2+14[(y1+y2)2−2y1y2]=4m2，
而|CF|=2，由m(4−y22)=4y2，得Δ=16m2−16>0，解得：m2>1，
故4m2>4=2|CF|，故D正确；
故选：ACD．
A选项由E为线段PF的中点以及抛物线定义即可判断；B选项由BF=2EB及抛物线方程求出A，B坐标，再说明D，B，A三点共线，即存在直线m即可，C选项设A(x1,y1)，表示出直线AE，联立抛物线，利用Δ=0即可判断，D选项设出直线m，联立抛物线得到y1y2=4，通过焦半径公式结合基本不等式得|AF|+|BF|>4即可判断．
本题考查了抛物线的定义和性质，考查向量问题，考查韦达定理的应用以及数形结合思想，是难题．
13.【答案】811
【解析】解：设此等差数列为{an}，公差d>0，
由题意可得：a1+a2+a3+a4=2，a7+a8+a9=3，
则4a1+6d=2，3a1+21d=3，联立解得a1=411，d=111．
∴a5=411+4×111=811．
故答案为：811．
设此等差数列为{an}，公差d>0，由题意可得：a1与d的方程组，联立解出即可．
本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
14.【答案】 3
【解析】解：由椭圆x216+y212=1知：椭圆中a′=4,b′=2 3，
所以c′= 16−12=2，即椭圆的焦点为(±2,0)，
所以e′=c′a′=12，
由题意知双曲线的离心率e=ca= 1+b2a2=1e′=2，
所以b2a2=3，故双曲线的渐近线方程为y=± 3x，
不妨取椭圆左焦点(−2,0)，则由点到直线距离可得d=|(± 3)×(−2)−0| 1+3=2 32= 3，
同理，椭圆右焦点到渐近线的距离也是 3，
所以椭圆焦点到渐近线的距离为 3．
故答案为： 3．
根据椭圆方程求出焦点坐标、离心率，得到双曲线的离心率，求出双曲线渐近线，由点到直线距离求解．
本题考查椭圆与双曲线的几何性质，属中档题．
15.【答案】y2=3x
【解析】解：设|AF|=3|BF|=x，设直线AB的倾斜角为α，
则csα=3x−x3x+x=12，则α=π3，
所以直线AB的方程为y= 3(x−p2)，
联立y2=2pxy= 3(x−p2)，整理得：12x2−20px+3p2=0，
解得：xA=3p2，xB=p6，
所以yA= 3p，yB=− 33p，
所以直线OB的斜率kOB=− 33p6=−2 3，则直线OB的方程y=−2 3x，
令x=−p2，则yC= 3p，
∴yC=yA，即AC/​/x轴，
∴3p2+p2=3，所以p=32，
抛物线的标准方程：y2=3x．
故答案为：y2=3x．
根据抛物线的定义及性质，即可求得直线AB的斜率，求得直线AB的方程，代入抛物线方程，求得直线OB的方程，即可求得C点坐标，即可求得p的值，求得抛物线方程．
本题考查抛物线的定义及性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，属于中档题．
16.【答案】m=1n=7，m=2n=6，m=3n=5
【解析】解：由题意得C1，C2，C3是椭圆，C5，C6，C7，C8是双曲线，
结合椭圆与双曲线的几何性质可知本题中的任意两椭圆与两双曲线均无公共点，
从而m必然有m∈{1,2,3}，n∈{5,6,7,8}，
设|PF2|=d1，|PF2|=d2，则由椭圆与双曲线的定义可得，d1+d2=2 9−m，|d1−d2|=2 9−n，
又因为PF1⊥PF2，F1F2=2 5，
故d12+d22=20，
即(d1+d2)2=20+2d1d2=36−4m(d1−d2)2=20−2d1d2=36−4n，
所以m+n=8，
所以存在两条曲线Cm、Cn且m=1n=7，m=2n=6，m=3n=5．
故答案为：m=1n=7，m=2n=6，m=3n=5．
易得到C1，C2，C3是椭圆，C5，C6，C7，C8是双曲线，从而根据题意可得m∈{1,2,3}，n∈{5,6,7,8}，再结合椭圆与双曲线的定义与PF1⊥PF2即可得m+n=8，从而得到答案．
本题主要考查了圆锥曲线的定义，考查了椭圆与双曲线的几何性质，属于中档题．
17.【答案】解：(1)an+1−an=−2，所以{an}是以−2为公差的等差数列，
an=33−2n，sn=(31+33−2n)2n=(32−n)n；
(2)|an|=33−2n,n≤162n−33,n>16，
Tn=(32−n)n,n≤16n2−32n+512,n>16，
故答案为：(1)an=33−2n，sn=(32−n)n；
(2)Tn=(32−n)n,n≤16n2−32n+512,n>16．
【解析】(1)通过作差证明{an}是等差数列，进而求通项和；
(2)分段求出{|an|}的表达式，然后求和．
本题主要考察等差数列求通项公式和求和，涉及分类讨论，属基础题．
18.【答案】解：(1)∵点P(2,0)，直线l过点P，
∴设直线l的斜率为k(k存在)，则方程为y−0=k(x−2)，
又C的圆心为(3,−2)，半径r=3，
由弦长为4 2，故弦心距d=1，由|3k+2−2k| k2+1=1，解得k=−34，
所以直线方程为y=−34(x−2)，即3x+4y−6=0，
当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件，
故l的方程为3x+4y−6=0或x=2；
(2)把直线ax−y+1=0，即y=ax+1，代入圆C的方程，消去y，整理得(a2+1)x2+6(a−1)x+9=0，
由于直线ax−y+1=0交圆C于A，B两点，
故Δ=36(a−1)2−36(a2+1)>0，即−72a>0，解得a<0，
设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3,−2)必在l2上，
所以l2的斜率kPC=−2，而kAB=a=−1kPC，所以a=12，
由于12∉(−∞,0)，
故不存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB．
【解析】(1)设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长求得参数，注意考虑直线斜率不存在的情形；
(2)过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB，则圆心在直线l2上，由此可得直线l2的斜率，然后由垂直求得a，由直线与圆相交求得a的范围，比较可得．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】证明：(1)由p=1，r=0，得Sn=nan，
∴Sn−1=(n−1)an−1(n≥2)，
两式相减，得an−an−1=0(n≥2)，
∴{an}是等差数列．
(2)解：令n=1，得p+r=1，
∴r=1−p=23，
则Sn=(13n+23)an，Sn−1=[13(n−1)+23]an−1，
两式相减，anan−1=n+1n−1，
∴an=anan−1⋅an−1an−2⋅an−2an−3⋅…a4a3⋅a3a2⋅a2a1⋅a1
=n+1n−1⋅nn−2⋅n−1n−3⋅…⋅42×31×2=n(n+1)，
化简得an=n2+n(n≥2)，
又a1=2适合an=n2+n(n≥2)，
∴an=n2+n．
【解析】(1)利用递推关系即可得出；
(2)利用递推关系与“累乘求积”即可得出；
本题考查了数列递推关系、“累乘求积”、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20.【答案】解：(Ⅰ)由C与l相交于两个不同的点，
故知方程组x2a2−y2=1x+y=1有两个不同的实数解．消去y并整理得，
(1−a2)x2+2a2x−2a2=0.①
即有1−a2≠04a4+8a2(1−a2)>0.解得0∵双曲线的离心率e=ca= a2+b2a= a2+1a= 1a2+1，
由于0∴e> 62且e≠ 2；
(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)，
由于PA=512PB，
∴(x1,y1−1)=512(x2,y2−1)，
即有x1=512x2，
由于x1，x2都是方程①的根，且1−a2≠0，
∴x1+x2=−2a21−a2，x1⋅x2=−2a21−a2，
∴1712x2=−2a2a2−1，512x22=−2a21−a2，
消去x2得：2a2a2−1=28960，
又∵a>0
解得a=1713．
【解析】(I)把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和方程二次项系数不等于0求得a的范围，进而利用a和c的关系，用a表示出离心率，根据a的范围确定离心率的范围；
(II)设出A，B，P的坐标，根据PA=512PB求得x1和x2的关系式，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，联立方程求得a．
本题考查双曲线的方程和性质，主要考查了离心率的范围和直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
21.【答案】解：(1)设F′(x,y)，因为点F(1,0)在圆M上，且点F关于圆心M的对称点为F，
则M(x+12,y2)，而|FF′|= (x−1)2+y2，
则12 (x−1)2+y2=12|x+1|，
化简得：y2=4x，所以曲线C的方程为y2=4x…(5分)
(2)①设直线AB：x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(1,n)
由x=my+1y2=4x，得y2−4my−4=0，
则y1+y2=4m，y1⋅y2=−4，x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，x1⋅x2=m2y1⋅y2+m(y1+y2)+1=1…(7分)
CA=(x1−1,y1−n)，CB=(x2−1,y2−n)，
CA⋅CB=x1⋅x2−x1−x2+1+y1⋅y2−n(y1+y2)+n2=(2m−n)2≥0恒成立，
则∠ACB不可能是钝角；…(10分)
②假设存在这样的点C，由①知M(2m2+1,2m)
kCM⋅kAB=2m−n2m2+2⋅1m=−1，则n=2m3+4m，则C(−1,2m3+4m)，
则|CM|= (2m2+2)2+(2m3+2m)2=2(m2+1) m2+1，
而|AB|= m2+1|y1−y2|=4(m2+1)，由|CM|= 32|AB|得，m=± 2
所以存在点C(−1,±8 2)满足条件…(15分)
【解析】(1)设F′(x,y)，则可得M(x+12,y2)，圆M的直径为|FF′|= (x−1)2+y2，利用动圆M与y轴相切，即可求得曲线C的方程；
(2)①设直线AB：x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(−1,n)，联立直线与抛物线方程，进而利用韦达定理结合向量的数量积运算，得到CA⋅CB≥0恒成立，可得结论；
②由①知M(2m2+1,2m)，根据CM与AB垂直，斜率积为−1，可得n=2m3+4m，再由|CM|= 32|AB|，求出m值．
本题考查轨迹方程的求解，考查直线的斜率，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)解：∵椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F的坐标为(1,0)，离心率e= 22．
∴c=1e=ca= 22a2=b2+c2，解得a= 2，b=c=1，
∴椭圆的方程为x22+y2=1．
(Ⅱ)(i)证明：设点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF⊥QF，
C为PQ的中点，线段PQ的垂直平分线分别交x轴、y轴于A、B两点．
设直线PQ的方程为y=kx+m，(k≠0)，
P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立x22+y2=1y=kx+m，
整理，得：(2k2+1)x2+2(m2−1)=0，
由韦达定理得x1+x2=−4km2k2+1，x1x2=2(m2−1)2k2+1，
∴C(−2km2k2+1,m2k2+1)，
线段PQ的垂直平分线AB的方程为y−m2k2+1=−1k(x+2km2k2+1)，
令y=0，得A(−2km2k2+1,m2k2+1)，
线段PQ的垂直平分线AB的方程为y−m2k2+1=−1k(x+2km2k2+1)，
令y=0，得A(−km2k2+1,0)，令x=0，得B(0,−m2k2+1)，
∵xA=xB+xC2，yA=yB+yC2，
∴A为BC的中点．
(ii)解：由(i)知A为BC中点，
∴S△ABOS△BCF=S△ABO2S△ABF=|AO|2|AF|=xA2(1−xA)=35，
解得xA=611，
∵PF⊥OF，∴(x1−1)(x2−1)+y1y2=0，
由y1=kx1+m，kxy2=kx2+m，
整理，得3m2−1+4km=0，即k=1−3m24m，
又∵xA=−km2k2+1=611，解得m2=3，
∵点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点，
∴m>0，∴m= 3，代入k=1−3m24m，解得k=−2 33，
∴直线PQ的方程为y=−2 33x+ 3．
【解析】(Ⅰ)由椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F的坐标为(1,0)，离心率e= 22.列出方程组能求出a= 2，b=c=1，由此能求出椭圆的方程．
(Ⅱ)(i)设点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF⊥QF，C为PQ的中点，线段PQ的垂直平分线分别交x轴、y轴于A、B两点．设直线PQ的方程为y=kx+m，(k≠0)，联立x22+y2=1y=kx+m，得：(2k2+1)x2+2(m2−1)=0，由韦达定理、线段PQ的垂直平分线AB的方程，线段PQ的垂直平分线AB的方程为y−m2k2+1=−1k(x+2km2k2+1)，由此能证明A为BC的中点．
(ii)由A为BC中点，得到S△ABOS△BCF=S△ABO2S△ABF=|AO|2|AF|=xA2(1−xA)=35，解得xA=611，由PF⊥OF，得(x1−1)(x2−1)+y1y2=0，由y1=kx1+m，kxy2=kx2+m，得k=1−3m24m，推导出m= 3，由此能求出直线PQ的方程．
本题考查椭圆方程的求法，考查点为线段中点的证明，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．