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【全套精品专题】数学苏科版 八年级上册复习专题精讲 八上数学： (含答案)期中模拟卷02【范围：1-3章】
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这是一份【全套精品专题】数学苏科版 八年级上册复习专题精讲 八上数学： (含答案)期中模拟卷02【范围：1-3章】，文件包含八上数学苏科期中模拟卷02范围1-3章docx、苏科期中模拟卷02答题卡pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1-3章（苏科版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）
A．45°B．60°C．90°D．100°
3．（2分）下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，2，3B．4，5，6C．8，15，17D．1.5，2，25
4．（2分）已知等腰三角形的一个外角是80°，则这个等腰三角形的顶角是（ ）
A．100°B．80°C．80°或100°D．40°
5．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、点B为圆心，大于 QUOTE 的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝46°，则∠CAD＝（ ）
A．28°B．36°C．42°D．46°
6．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，AB＝6cm，DE＝4cm，S△ABC＝30cm2，则AC的长为（ ）
A．10cmB．9cmC．4.5cmD．3cm
7．（2分）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，DE的长为（ ）
A．7.4mB．3.7mC．1.85mD．2.85m
8．（2分）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（ ）
A． QUOTE B． QUOTE
C． QUOTE D． QUOTE
第Ⅱ卷
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ．
10．（2分）等腰三角形的边长为5cm，另一边为6cm，则等腰三角形的周长为 ．
11．（2分）如图，BE，CD是△ABC的高，BD＝CE，可判定 ≌ ，根据是 ．
12．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＜∠BCA＜∠BAC，∠BAC和∠ABC的外角平分线AE、BD分别与BC、CA的延长线交于E、D．若AB＝AE，BD＝BA．则∠BCA的度数为 ．
13．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点D在射线CB上，点E是AB延长线上的点，且DE＝AC，（CD＞2），若△ABC与△DBE全等，则CD的值为 ．
14．（2分）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个．
15．（2分）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是40、60、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于 ．
16．（2分）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为 QUOTE 的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的 QUOTE ）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则P4﹣P3＝ ；Pn﹣Pn﹣1＝ ．
三．解答题（共9小题，满分68分）
17．（6分）求满足下列各式的未知数x的值．
（1）4（x﹣1）2＝100；（2）（x+2）3＝﹣27．
18．（4分）如图是4×4正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的四种方案不能重复．
19．（8分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于F，G．
（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长．
（2）若∠BAC＝128°，求∠EAG的度数．
20．（8分）学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为8米（如图2）．
（1）设AB长为x米，绳子为 米，AE为 米（用x的代数式表示）；
（2）请你求出旗杆的高度AB．
21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC，CD是△ABC的角平分线，AD＝CD．
（1）如图1，求∠A的度数．
（2）如图2，过点D作DE∥BC交AC于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等腰三角形（△ABC除外）．
22．（8分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；
（1）若AB＝BD，则∠A的度数为 °（直接写出结果）；
（2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC．
（3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC．
24．（8分）如图1，△ABC的两条外角平分线AO，BO相交于点O，∠ACB＝50°．
（1）直接写出∠AOB的大小；
（2）如图2，连接OC交AB于K．
①求∠BCK的大小；
②如图3，作AF⊥OC于F，若∠BAC＝105°，求证：AB＝2CF．
25．（10分）请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
2023-2024学年上学期期中模拟考试02
八年级数学
（考试时间90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1-3章（苏科版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2分）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）
A．45°B．60°C．90°D．100°
【分析】首先证明△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质可得∠1＝∠AED，再根据余角的定义可得∠AED+∠2＝90°，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°．
【解答】解：∵在△ABC和△AED中AC=AD?A=?AAB=AE，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴∠1＝∠AED，
∵∠AED+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
3．（2分）下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，2，3B．4，5，6C．8，15，17D．1.5，2，25
【分析】根据勾股数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵12+22≠32，∴1，2，3不是勾股数，不符合题意；
B、∵42+52≠62，∴4，5，6不是勾股数，不符合题意；
C、∵82+152＝172，∴8，15，17是勾股数，符合题意；
D、∵1.5不是整数，∴1.5，2，25不是勾股数，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
4．（2分）已知等腰三角形的一个外角是80°，则这个等腰三角形的顶角是（ ）
A．100°B．80°C．80°或100°D．40°
【分析】三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，100°只可能是顶角．
【解答】解：等腰三角形一个外角为80°，那相邻的内角为100°
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以100°只可能是顶角．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出80°的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键．
5．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝46°，则∠CAD＝（ ）
A．28°B．36°C．42°D．46°
【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，得到DA＝DB，进而得到∠DAB＝∠B＝50°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAC，然后计算∠BAC﹣∠DAB即可．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝46°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝46°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣46°﹣46°＝88°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝88°﹣46°＝42°．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，由基本作图判断MN垂直平分AB是解决问题的关键．
6．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，AB＝6cm，DE＝4cm，S△ABC＝30cm2，则AC的长为（ ）
A．10cmB．9cmC．4.5cmD．3cm
【分析】过点D作DF⊥AC于F，然后利用△ABC的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝4，
∵AB＝6，
∴S△ABC=12×6×4+12AC×4＝30，
解得AC＝9；
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
7．（2分）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，DE的长为（ ）
A．7.4mB．3.7mC．1.85mD．2.85m
【分析】由点D是AB的中点，求得AD的长度，然后在含30°角的直角三角形ADE中利用，30°角所对的直角边DE等于斜边AD的一半，求得DE的长．
【解答】解：∵点D是斜梁AB的中点，
∴AD=12AB=12×7.4＝3.7（m），
∵DE垂直于横梁AC，
∴∠DEA＝90°，
在Rt△ADE中，∠A＝30°，
∴DE=12AD=12×3.7＝1.85（m）．
故选：C．
【点评】本题考查含30°角的直角三角形的性质，在直角三角形中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，是解题的关键．
8．（2分）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（ ）
A．(12)n×75° B．(12)n−1×65°
C．(12)n−1×75°D．(12)n×85°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数．
【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C=180°−∠B2=75°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×75°；
同理可得∠EA3A2＝（12）2×75°，∠FA4A3＝（12）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（12）n﹣1×75°．
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
第Ⅱ卷
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 15：01 ．
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：21成轴对称，所以此时实际时刻为15：01，
故答案为：15：01．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
10．（2分）等腰三角形的边长为5cm，另一边为6cm，则等腰三角形的周长为 16cm或17cm ．
【分析】分为两种情况：①当腰长为5cm，底边为6cm时，②当腰长6cm，底边为5cm时，求出即可．
【解答】解：①当腰长为5cm，底边长为6cm时，三边长是5cm、5cm、6cm，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是5cm+5cm+6cm＝16cm；
②当腰长为6cm，底边长为5cm时，三边长是6cm、6cm、5cm，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是6cm+6cm+5cm＝17cm；
故答案为：16cm或17cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理的应用，注意此题要分为两种情况讨论．
11．（2分）如图，BE，CD是△ABC的高，BD＝CE，可判定 Rt△BCD ≌ Rt△CBE ，根据是 HL ．
【分析】需证△BCD和△CBE是直角三角形，可证△BCD≌△CBE的依据是HL．
【解答】解：如图，
∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠CDB＝∠BEC＝90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BD=CEBC=CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为：Rt△BCD，Rt△CBE，HL．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＜∠BCA＜∠BAC，∠BAC和∠ABC的外角平分线AE、BD分别与BC、CA的延长线交于E、D．若AB＝AE，BD＝BA．则∠BCA的度数为 36° ．
【分析】设∠ABC＝x，由∠ABC＝∠AEB，则∠AEB＝x，根据三角形外角的性质得到∠1＝∠ABC+∠AEB＝2x，则∠2＝2x，利用对顶角相等得∠3＝∠D＝4x，再根据三角形外角的性质得∠BCA＝∠2+∠AEC＝3x，∠FBD＝∠D+∠BCD＝7x，则∠DBA＝∠FBD＝7x，在△BCD中利用三角形的内角和定理可得到关于x的方程，解出x，然后在△ABC中根据三角形内角和定理即可求得∠BAC的度数．
【解答】解：设∠ABC＝x，
∵∠ABC＝∠AEB，
∴∠AEB＝x，
∴∠1＝∠ABC+∠AEB＝2x，
∴∠2＝2x，
∴∠3＝∠D＝4x，∠BCA＝∠2+∠AEC＝3x，
∴∠FBD＝∠D+∠BCD＝7x，
∴∠DBA＝∠FBD＝7x，
∴7x+7x+x＝180°，解得x＝12°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣x﹣3x＝132°，
∴∠ABF＝2∠DBF＝168°，
∴∠ACB＝∠ABF﹣∠BAC＝36°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质．
13．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点D在射线CB上，点E是AB延长线上的点，且DE＝AC，（CD＞2），若△ABC与△DBE全等，则CD的值为 6或8 ．
【分析】根据CD＞2可知：D在点B的右侧，因为DE＝AC，所以当△ABC与△DBE全等时，有两种情况，分别根据全等三角形的性质可解答．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，△ABC≌△DBE，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝BD+CB＝2+4＝6；
②如图2，△ABC≌△EBD，
∴BD＝BC＝4，
∴CD＝4+4＝8；
综上，CD的长是6或8．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确画图并分情况讨论是本题的关键．
14．（2分）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 5 个．
【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知．
【解答】解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，
分别为△BCD，△BFH，△ADC，△AEF，△CGH．
【点评】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
15．（2分）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是40、60、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于 2：3：4 ．
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是40、60、80，所以面积之比就是2：3：4．
【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=12•AB•OE：12•BC•OF：12•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，
故答案为：2：3：4．
【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高是相等的，这点非常重要．
16．（2分）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则P4﹣P3＝ 18 ；Pn﹣Pn﹣1＝ 12n−1 ．
【分析】根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P1，P2，P3，P4，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．
【解答】解：P1＝1+1+1＝3，
P2＝1+1+12=52，
P3＝1+1+14×3=114，
P4＝1+1+14×2+18×3=238，
…
∴p3﹣p2=114−52=14=122；
P4﹣P3=238−114=18=123，
则Pn﹣Pn﹣1=12n−1，
故答案为：18，12n−1
【点评】本题主要考查对等边三角形的性质的理解和掌握，此题是一个规律型的题目，题型较好．
三．解答题（共9小题，满分68分）
17．（6分）求满足下列各式的未知数x的值．
（1）4（x﹣1）2＝100；
（2）（x+2）3＝﹣27．
【分析】（1）根据等式的性质解决此题．
（2）根据立方根的定义解决此题．
【解答】解：（1）∵4（x﹣1）2＝100，
∴（x﹣1）2＝25．
∴x﹣1＝±5．
∴x＝6或﹣4
（2）∵（x+2）3＝﹣27，
∴x+2＝﹣3．
∴x＝﹣5．
【点评】本题主要考查解一元一次方程、立方根，熟练掌握一元一次方程的解法、立方根的定义是解决本题的关键．
18．（4分）如图是4×4正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的四种方案不能重复．
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
【解答】解：如图所示：
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
19．（8分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于F，G．
（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长．
（2）若∠BAC＝128°，求∠EAG的度数．
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可知EA＝EB，GA＝GC，则△AEG周长转化为BC长；
（2）由∠BAC＝106°，可求得∠B+∠C的度数，又由AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，则可求得AE＝BE，AG＝CG，继而求得∠BAE+∠CAG的度数，则可求得答案．
【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB．
∵FG是AC的垂直平分线，
∴GA＝GC．
∴BC＝BE+EG+CG＝AE+EG+AG＝△AEG周长＝10；
（2）解：∵∠BAC＝128°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，
∵AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，
∴AE＝BE，AG＝CG，
∴∠BAE＝∠B，∠CAG＝∠C，
∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝52°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAG）＝76°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
20．（8分）学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为8米（如图2）．
（1）设AB长为x米，绳子为 （x+1） 米，AE为 （x﹣1） 米（用x的代数式表示）；
（2）请你求出旗杆的高度AB．
【分析】根据图形标出的长度，可以知道AB和AC的长度差值是1，以及CD＝1，CE＝8，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出旗杆的高度．
【解答】解：（1）设AB长为x米，则绳子长为（x+1）米，AE的长度为（x﹣1）米．
故答案为：（x+1）；（x﹣1）；
（2）在Rt△ACE中，AC＝x米，
AE＝（x﹣1）米，CE＝8米，
由勾股定理可得，（x﹣1）2+82＝（x+1）2，
解得：x＝16．
答：旗杆的高度为16米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，表示出AE与AC长度利用勾股定理求出，善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键．
21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC，CD是△ABC的角平分线，AD＝CD．
（1）如图1，求∠A的度数．
（2）如图2，过点D作DE∥BC交AC于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等腰三角形（△ABC除外）．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ACD，再利用角平分线的定义可得∠ACB＝2∠ACD，∠ACB＝2∠A，然后再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB＝2∠A，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，从而可得∠ADE＝∠AED，然后利用等角对等边可得AD＝AE；再利用角平分线的定义和平行线的性质可得△EDC是等腰三角形；根据已知可得△ADC是等腰三角形；最后再利用三角形的外角性质可得∠CDB＝∠A+∠ACD＝2∠A，从而可得∠B＝∠CDB，进而利用等角对等边可得CD＝CB，即可解答．
【解答】解：（1）∵AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD，
∴∠ACB＝2∠A，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝2∠A，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴5∠A＝180°，
∴∠A＝36°，
∴∠A的度数为36°；
（2）△ADE，△CDB，△ADC，△DEC是等腰三角形，
理由：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴ED＝EC，
∴△EDC是等腰三角形；
∵AD＝CD，
∴△ADC是等腰三角形；
∵∠CDB＝∠A+∠ACD，∠A＝∠ACD，
∴∠CDB＝2∠A，
∵∠B＝2∠A，
∴∠B＝∠CDB，
∴CD＝CB，
∴△CDB是等腰三角形，
∴△ADE，△CDB，△ADC，△DEC是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（8分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BC作垂线，垂足为M，若AM＞500则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线BC的长为500千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AM⊥BC，则M是DG的中点，
在Rt△ADM中，解出MD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【解答】解：（1）A城受到这次台风的影响，
理由：由A点向BC作垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，∠ABM＝30°，AB＝600km，则AM＝300km，
因为300＜500，所以A城要受台风影响；
（2）设BC上点D，DA＝500千米，则还有一点G，有
AG＝500千米．
因为DA＝AG，所以△ADG是等腰三角形，
因为AM⊥BC，所以AM是DG的垂直平分线，MD＝GM，
在Rt△ADM中，DA＝500千米，AM＝300千米，
由勾股定理得，MD=400（千米），
则DG＝2DM＝800千米，
遭受台风影响的时间是：t＝800÷200＝4（小时），
答：A城遭受这次台风影响时间为4小时．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离及速度与时间的关系等，构造出直角三角形是解题关键．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；
（1）若AB＝BD，则∠A的度数为 72 °（直接写出结果）；
（2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC．
（3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC．
【分析】（1）如图1中，设∠C＝x．则可证∠A＝∠ADB＝2x，利用三角形内角和定理，构建方程求出x即可解决问题；
（2）证明△ABD≌△ECD（AAS），可得结论；
（3）如图2中，延长BD到T，使得CD＝CT．证明△ABD≌△ECT（AAS），可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，设∠C＝x．
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝2x，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝x，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝∠DBC+∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴2x+2x+x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝2x＝72°，
故答案为：72．
（2）证明：如图1中，∵∠ABD＝∠DBC＝∠C，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
?A=?DEC?ABD=?CBD=CD，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB＝EC．
（3）证明：如图2中，延长BD到T，使得CD＝CT．
∵CD＝CT，
∴∠T＝∠CDT＝∠ADB，
∵BD＝CD，
∴BD＝CT，
在△ABD和△ECT中，
?A=?CET?ADB=?TBD=CT，
∴△ABD≌△ECT（AAS），
∴AB＝EC．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．
24．（8分）如图1，△ABC的两条外角平分线AO，BO相交于点O，∠ACB＝50°．
（1）直接写出∠AOB的大小；
（2）如图2，连接OC交AB于K．
①求∠BCK的大小；
②如图3，作AF⊥OC于F，若∠BAC＝105°，求证：AB＝2CF．
【分析】（1）根据三角形的内角定理求出∠CBA+∠CAB＝130°，则∠EBA+∠BAD＝230°，再由角平分线定义求出∠OBA+∠OAB＝115°，根据四边形的内角和求出∠AOB即可；
（2）过O点作OM⊥AD于M，ON⊥BE于N，OP⊥AB于P，根据角平分线的性质求解即可；
（3）先求出KB＝KC，过A点作AH∥BC交CO于H，再求出KA＝KH，则AB＝CH，分别求出AH＝AC，HF＝CF，即可证明AB＝CH＝2CF．
【解答】（1）解：∵AO平分∠BAD，
∴∠DAO＝∠OAB，
∵BO平分∠EOA，
∴∠EBO＝∠OBA，
∵∠ACB＝50°，
∴∠CBA+∠CAB＝130°，
∴∠EBA+∠BAD＝360°﹣130°＝230°，
∴∠OBA+∠OAB＝115°，
∴∠AOB＝360°﹣50°﹣115°﹣130°＝65°；
（2）解：过O点作OM⊥AD于M，ON⊥BE于N，OP⊥AB于P，
∵AO，BO分别平分∠DAB，∠EBA，
∴OM＝OP，OP＝ON，
∴OM＝ON，
∴CO平分∠ACB，
∵∠ACB＝50°，
∴∠BCK＝∠ACK＝25°；
（3）证明：∵∠BAC＝105°，∠ACB＝50°，
∴∠ABC＝25°，
∵∠KCB＝25°，
∴∠KBC＝∠KCE，
∴KB＝KC，
过A点作AH∥BC交CO于H，
∴∠AHK＝∠KCB，∠HAK＝∠KBC，
∴∠AHK＝∠HAK，
∴KA＝KH，
∴AB＝CH，
∵∠AHK＝∠ACH，
∴AH＝AC，
∵AF⊥CO，
∴HF＝CF，
∴CH＝2CF，
∴AB＝CH＝2CF．
【点评】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形的内角定理，四边形的内角和定理，角平分线的性质及定义，平行线的性质是解题的关键．
25．（10分）请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
【分析】（1）DE2＝BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF＝AB，FD＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，从而可以得到∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；
（2）根据（1）的思路一样可以解决问题；
（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD＝DF，EF＝BE．由此可以得到∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°，这样就可以解决问题．
【解答】解：（1）DE2＝BD2+EC2；
（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．
证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE
∴△AFD≌△ABD，
∴AF＝AB，FD＝DB，
∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，
又∵AB＝AC，
∴AF＝AC，
∵∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+45°，
∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，
∴∠FAE＝∠EAC，
又∵AE＝AE，
∴△AFE≌△ACE，
∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°
∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，
∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，
即DE2＝BD2+EC2；
解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．
∴∠ABT＝∠C＝45°，AT＝AE，∠TAE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠TBC＝∠TBD＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠DAT＝∠DAE，
∵AD＝AD，
∴△DAT≌△DAE（SAS），
∴DT＝DE，
∵DT2＝DB2+EC2，
∴DE2＝BD2+EC2；
（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．
如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，
可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．
∴AD＝DF，EF＝BE．
∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．
若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，
∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．
【点评】此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1-3章（苏科版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）
A．45°B．60°C．90°D．100°
3．（2分）下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，2，3B．4，5，6C．8，15，17D．1.5，2，25
4．（2分）已知等腰三角形的一个外角是80°，则这个等腰三角形的顶角是（ ）
A．100°B．80°C．80°或100°D．40°
5．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、点B为圆心，大于 QUOTE 的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝46°，则∠CAD＝（ ）
A．28°B．36°C．42°D．46°
6．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，AB＝6cm，DE＝4cm，S△ABC＝30cm2，则AC的长为（ ）
A．10cmB．9cmC．4.5cmD．3cm
7．（2分）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，DE的长为（ ）
A．7.4mB．3.7mC．1.85mD．2.85m
8．（2分）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（ ）
A． QUOTE B． QUOTE
C． QUOTE D． QUOTE
第Ⅱ卷
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ．
10．（2分）等腰三角形的边长为5cm，另一边为6cm，则等腰三角形的周长为 ．
11．（2分）如图，BE，CD是△ABC的高，BD＝CE，可判定 ≌ ，根据是 ．
12．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＜∠BCA＜∠BAC，∠BAC和∠ABC的外角平分线AE、BD分别与BC、CA的延长线交于E、D．若AB＝AE，BD＝BA．则∠BCA的度数为 ．
13．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点D在射线CB上，点E是AB延长线上的点，且DE＝AC，（CD＞2），若△ABC与△DBE全等，则CD的值为 ．
14．（2分）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个．
15．（2分）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是40、60、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于 ．
16．（2分）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为 QUOTE 的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的 QUOTE ）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则P4﹣P3＝ ；Pn﹣Pn﹣1＝ ．
三．解答题（共9小题，满分68分）
17．（6分）求满足下列各式的未知数x的值．
（1）4（x﹣1）2＝100；（2）（x+2）3＝﹣27．
18．（4分）如图是4×4正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的四种方案不能重复．
19．（8分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于F，G．
（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长．
（2）若∠BAC＝128°，求∠EAG的度数．
20．（8分）学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为8米（如图2）．
（1）设AB长为x米，绳子为 米，AE为 米（用x的代数式表示）；
（2）请你求出旗杆的高度AB．
21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC，CD是△ABC的角平分线，AD＝CD．
（1）如图1，求∠A的度数．
（2）如图2，过点D作DE∥BC交AC于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等腰三角形（△ABC除外）．
22．（8分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；
（1）若AB＝BD，则∠A的度数为 °（直接写出结果）；
（2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC．
（3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC．
24．（8分）如图1，△ABC的两条外角平分线AO，BO相交于点O，∠ACB＝50°．
（1）直接写出∠AOB的大小；
（2）如图2，连接OC交AB于K．
①求∠BCK的大小；
②如图3，作AF⊥OC于F，若∠BAC＝105°，求证：AB＝2CF．
25．（10分）请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
2023-2024学年上学期期中模拟考试02
八年级数学
（考试时间90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1-3章（苏科版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2分）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）
A．45°B．60°C．90°D．100°
【分析】首先证明△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质可得∠1＝∠AED，再根据余角的定义可得∠AED+∠2＝90°，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°．
【解答】解：∵在△ABC和△AED中AC=AD?A=?AAB=AE，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴∠1＝∠AED，
∵∠AED+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
3．（2分）下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，2，3B．4，5，6C．8，15，17D．1.5，2，25
【分析】根据勾股数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵12+22≠32，∴1，2，3不是勾股数，不符合题意；
B、∵42+52≠62，∴4，5，6不是勾股数，不符合题意；
C、∵82+152＝172，∴8，15，17是勾股数，符合题意；
D、∵1.5不是整数，∴1.5，2，25不是勾股数，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
4．（2分）已知等腰三角形的一个外角是80°，则这个等腰三角形的顶角是（ ）
A．100°B．80°C．80°或100°D．40°
【分析】三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，100°只可能是顶角．
【解答】解：等腰三角形一个外角为80°，那相邻的内角为100°
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以100°只可能是顶角．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出80°的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键．
5．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝46°，则∠CAD＝（ ）
A．28°B．36°C．42°D．46°
【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，得到DA＝DB，进而得到∠DAB＝∠B＝50°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAC，然后计算∠BAC﹣∠DAB即可．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝46°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝46°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣46°﹣46°＝88°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝88°﹣46°＝42°．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，由基本作图判断MN垂直平分AB是解决问题的关键．
6．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，AB＝6cm，DE＝4cm，S△ABC＝30cm2，则AC的长为（ ）
A．10cmB．9cmC．4.5cmD．3cm
【分析】过点D作DF⊥AC于F，然后利用△ABC的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝4，
∵AB＝6，
∴S△ABC=12×6×4+12AC×4＝30，
解得AC＝9；
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
7．（2分）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，DE的长为（ ）
A．7.4mB．3.7mC．1.85mD．2.85m
【分析】由点D是AB的中点，求得AD的长度，然后在含30°角的直角三角形ADE中利用，30°角所对的直角边DE等于斜边AD的一半，求得DE的长．
【解答】解：∵点D是斜梁AB的中点，
∴AD=12AB=12×7.4＝3.7（m），
∵DE垂直于横梁AC，
∴∠DEA＝90°，
在Rt△ADE中，∠A＝30°，
∴DE=12AD=12×3.7＝1.85（m）．
故选：C．
【点评】本题考查含30°角的直角三角形的性质，在直角三角形中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，是解题的关键．
8．（2分）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（ ）
A．(12)n×75° B．(12)n−1×65°
C．(12)n−1×75°D．(12)n×85°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数．
【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C=180°−∠B2=75°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×75°；
同理可得∠EA3A2＝（12）2×75°，∠FA4A3＝（12）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（12）n﹣1×75°．
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
第Ⅱ卷
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 15：01 ．
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：21成轴对称，所以此时实际时刻为15：01，
故答案为：15：01．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
10．（2分）等腰三角形的边长为5cm，另一边为6cm，则等腰三角形的周长为 16cm或17cm ．
【分析】分为两种情况：①当腰长为5cm，底边为6cm时，②当腰长6cm，底边为5cm时，求出即可．
【解答】解：①当腰长为5cm，底边长为6cm时，三边长是5cm、5cm、6cm，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是5cm+5cm+6cm＝16cm；
②当腰长为6cm，底边长为5cm时，三边长是6cm、6cm、5cm，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是6cm+6cm+5cm＝17cm；
故答案为：16cm或17cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理的应用，注意此题要分为两种情况讨论．
11．（2分）如图，BE，CD是△ABC的高，BD＝CE，可判定 Rt△BCD ≌ Rt△CBE ，根据是 HL ．
【分析】需证△BCD和△CBE是直角三角形，可证△BCD≌△CBE的依据是HL．
【解答】解：如图，
∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠CDB＝∠BEC＝90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BD=CEBC=CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为：Rt△BCD，Rt△CBE，HL．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＜∠BCA＜∠BAC，∠BAC和∠ABC的外角平分线AE、BD分别与BC、CA的延长线交于E、D．若AB＝AE，BD＝BA．则∠BCA的度数为 36° ．
【分析】设∠ABC＝x，由∠ABC＝∠AEB，则∠AEB＝x，根据三角形外角的性质得到∠1＝∠ABC+∠AEB＝2x，则∠2＝2x，利用对顶角相等得∠3＝∠D＝4x，再根据三角形外角的性质得∠BCA＝∠2+∠AEC＝3x，∠FBD＝∠D+∠BCD＝7x，则∠DBA＝∠FBD＝7x，在△BCD中利用三角形的内角和定理可得到关于x的方程，解出x，然后在△ABC中根据三角形内角和定理即可求得∠BAC的度数．
【解答】解：设∠ABC＝x，
∵∠ABC＝∠AEB，
∴∠AEB＝x，
∴∠1＝∠ABC+∠AEB＝2x，
∴∠2＝2x，
∴∠3＝∠D＝4x，∠BCA＝∠2+∠AEC＝3x，
∴∠FBD＝∠D+∠BCD＝7x，
∴∠DBA＝∠FBD＝7x，
∴7x+7x+x＝180°，解得x＝12°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣x﹣3x＝132°，
∴∠ABF＝2∠DBF＝168°，
∴∠ACB＝∠ABF﹣∠BAC＝36°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质．
13．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点D在射线CB上，点E是AB延长线上的点，且DE＝AC，（CD＞2），若△ABC与△DBE全等，则CD的值为 6或8 ．
【分析】根据CD＞2可知：D在点B的右侧，因为DE＝AC，所以当△ABC与△DBE全等时，有两种情况，分别根据全等三角形的性质可解答．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，△ABC≌△DBE，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝BD+CB＝2+4＝6；
②如图2，△ABC≌△EBD，
∴BD＝BC＝4，
∴CD＝4+4＝8；
综上，CD的长是6或8．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确画图并分情况讨论是本题的关键．
14．（2分）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 5 个．
【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知．
【解答】解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，
分别为△BCD，△BFH，△ADC，△AEF，△CGH．
【点评】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
15．（2分）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是40、60、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于 2：3：4 ．
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是40、60、80，所以面积之比就是2：3：4．
【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=12•AB•OE：12•BC•OF：12•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，
故答案为：2：3：4．
【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高是相等的，这点非常重要．
16．（2分）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则P4﹣P3＝ 18 ；Pn﹣Pn﹣1＝ 12n−1 ．
【分析】根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P1，P2，P3，P4，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．
【解答】解：P1＝1+1+1＝3，
P2＝1+1+12=52，
P3＝1+1+14×3=114，
P4＝1+1+14×2+18×3=238，
…
∴p3﹣p2=114−52=14=122；
P4﹣P3=238−114=18=123，
则Pn﹣Pn﹣1=12n−1，
故答案为：18，12n−1
【点评】本题主要考查对等边三角形的性质的理解和掌握，此题是一个规律型的题目，题型较好．
三．解答题（共9小题，满分68分）
17．（6分）求满足下列各式的未知数x的值．
（1）4（x﹣1）2＝100；
（2）（x+2）3＝﹣27．
【分析】（1）根据等式的性质解决此题．
（2）根据立方根的定义解决此题．
【解答】解：（1）∵4（x﹣1）2＝100，
∴（x﹣1）2＝25．
∴x﹣1＝±5．
∴x＝6或﹣4
（2）∵（x+2）3＝﹣27，
∴x+2＝﹣3．
∴x＝﹣5．
【点评】本题主要考查解一元一次方程、立方根，熟练掌握一元一次方程的解法、立方根的定义是解决本题的关键．
18．（4分）如图是4×4正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的四种方案不能重复．
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
【解答】解：如图所示：
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
19．（8分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于F，G．
（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长．
（2）若∠BAC＝128°，求∠EAG的度数．
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可知EA＝EB，GA＝GC，则△AEG周长转化为BC长；
（2）由∠BAC＝106°，可求得∠B+∠C的度数，又由AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，则可求得AE＝BE，AG＝CG，继而求得∠BAE+∠CAG的度数，则可求得答案．
【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB．
∵FG是AC的垂直平分线，
∴GA＝GC．
∴BC＝BE+EG+CG＝AE+EG+AG＝△AEG周长＝10；
（2）解：∵∠BAC＝128°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，
∵AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，
∴AE＝BE，AG＝CG，
∴∠BAE＝∠B，∠CAG＝∠C，
∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝52°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAG）＝76°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
20．（8分）学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为8米（如图2）．
（1）设AB长为x米，绳子为 （x+1） 米，AE为 （x﹣1） 米（用x的代数式表示）；
（2）请你求出旗杆的高度AB．
【分析】根据图形标出的长度，可以知道AB和AC的长度差值是1，以及CD＝1，CE＝8，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出旗杆的高度．
【解答】解：（1）设AB长为x米，则绳子长为（x+1）米，AE的长度为（x﹣1）米．
故答案为：（x+1）；（x﹣1）；
（2）在Rt△ACE中，AC＝x米，
AE＝（x﹣1）米，CE＝8米，
由勾股定理可得，（x﹣1）2+82＝（x+1）2，
解得：x＝16．
答：旗杆的高度为16米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，表示出AE与AC长度利用勾股定理求出，善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键．
21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC，CD是△ABC的角平分线，AD＝CD．
（1）如图1，求∠A的度数．
（2）如图2，过点D作DE∥BC交AC于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等腰三角形（△ABC除外）．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ACD，再利用角平分线的定义可得∠ACB＝2∠ACD，∠ACB＝2∠A，然后再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB＝2∠A，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，从而可得∠ADE＝∠AED，然后利用等角对等边可得AD＝AE；再利用角平分线的定义和平行线的性质可得△EDC是等腰三角形；根据已知可得△ADC是等腰三角形；最后再利用三角形的外角性质可得∠CDB＝∠A+∠ACD＝2∠A，从而可得∠B＝∠CDB，进而利用等角对等边可得CD＝CB，即可解答．
【解答】解：（1）∵AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD，
∴∠ACB＝2∠A，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝2∠A，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴5∠A＝180°，
∴∠A＝36°，
∴∠A的度数为36°；
（2）△ADE，△CDB，△ADC，△DEC是等腰三角形，
理由：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴ED＝EC，
∴△EDC是等腰三角形；
∵AD＝CD，
∴△ADC是等腰三角形；
∵∠CDB＝∠A+∠ACD，∠A＝∠ACD，
∴∠CDB＝2∠A，
∵∠B＝2∠A，
∴∠B＝∠CDB，
∴CD＝CB，
∴△CDB是等腰三角形，
∴△ADE，△CDB，△ADC，△DEC是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（8分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BC作垂线，垂足为M，若AM＞500则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线BC的长为500千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AM⊥BC，则M是DG的中点，
在Rt△ADM中，解出MD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【解答】解：（1）A城受到这次台风的影响，
理由：由A点向BC作垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，∠ABM＝30°，AB＝600km，则AM＝300km，
因为300＜500，所以A城要受台风影响；
（2）设BC上点D，DA＝500千米，则还有一点G，有
AG＝500千米．
因为DA＝AG，所以△ADG是等腰三角形，
因为AM⊥BC，所以AM是DG的垂直平分线，MD＝GM，
在Rt△ADM中，DA＝500千米，AM＝300千米，
由勾股定理得，MD=400（千米），
则DG＝2DM＝800千米，
遭受台风影响的时间是：t＝800÷200＝4（小时），
答：A城遭受这次台风影响时间为4小时．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离及速度与时间的关系等，构造出直角三角形是解题关键．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；
（1）若AB＝BD，则∠A的度数为 72 °（直接写出结果）；
（2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC．
（3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC．
【分析】（1）如图1中，设∠C＝x．则可证∠A＝∠ADB＝2x，利用三角形内角和定理，构建方程求出x即可解决问题；
（2）证明△ABD≌△ECD（AAS），可得结论；
（3）如图2中，延长BD到T，使得CD＝CT．证明△ABD≌△ECT（AAS），可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，设∠C＝x．
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝2x，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝x，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝∠DBC+∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴2x+2x+x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝2x＝72°，
故答案为：72．
（2）证明：如图1中，∵∠ABD＝∠DBC＝∠C，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
?A=?DEC?ABD=?CBD=CD，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB＝EC．
（3）证明：如图2中，延长BD到T，使得CD＝CT．
∵CD＝CT，
∴∠T＝∠CDT＝∠ADB，
∵BD＝CD，
∴BD＝CT，
在△ABD和△ECT中，
?A=?CET?ADB=?TBD=CT，
∴△ABD≌△ECT（AAS），
∴AB＝EC．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．
24．（8分）如图1，△ABC的两条外角平分线AO，BO相交于点O，∠ACB＝50°．
（1）直接写出∠AOB的大小；
（2）如图2，连接OC交AB于K．
①求∠BCK的大小；
②如图3，作AF⊥OC于F，若∠BAC＝105°，求证：AB＝2CF．
【分析】（1）根据三角形的内角定理求出∠CBA+∠CAB＝130°，则∠EBA+∠BAD＝230°，再由角平分线定义求出∠OBA+∠OAB＝115°，根据四边形的内角和求出∠AOB即可；
（2）过O点作OM⊥AD于M，ON⊥BE于N，OP⊥AB于P，根据角平分线的性质求解即可；
（3）先求出KB＝KC，过A点作AH∥BC交CO于H，再求出KA＝KH，则AB＝CH，分别求出AH＝AC，HF＝CF，即可证明AB＝CH＝2CF．
【解答】（1）解：∵AO平分∠BAD，
∴∠DAO＝∠OAB，
∵BO平分∠EOA，
∴∠EBO＝∠OBA，
∵∠ACB＝50°，
∴∠CBA+∠CAB＝130°，
∴∠EBA+∠BAD＝360°﹣130°＝230°，
∴∠OBA+∠OAB＝115°，
∴∠AOB＝360°﹣50°﹣115°﹣130°＝65°；
（2）解：过O点作OM⊥AD于M，ON⊥BE于N，OP⊥AB于P，
∵AO，BO分别平分∠DAB，∠EBA，
∴OM＝OP，OP＝ON，
∴OM＝ON，
∴CO平分∠ACB，
∵∠ACB＝50°，
∴∠BCK＝∠ACK＝25°；
（3）证明：∵∠BAC＝105°，∠ACB＝50°，
∴∠ABC＝25°，
∵∠KCB＝25°，
∴∠KBC＝∠KCE，
∴KB＝KC，
过A点作AH∥BC交CO于H，
∴∠AHK＝∠KCB，∠HAK＝∠KBC，
∴∠AHK＝∠HAK，
∴KA＝KH，
∴AB＝CH，
∵∠AHK＝∠ACH，
∴AH＝AC，
∵AF⊥CO，
∴HF＝CF，
∴CH＝2CF，
∴AB＝CH＝2CF．
【点评】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形的内角定理，四边形的内角和定理，角平分线的性质及定义，平行线的性质是解题的关键．
25．（10分）请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
【分析】（1）DE2＝BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF＝AB，FD＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，从而可以得到∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；
（2）根据（1）的思路一样可以解决问题；
（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD＝DF，EF＝BE．由此可以得到∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°，这样就可以解决问题．
【解答】解：（1）DE2＝BD2+EC2；
（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．
证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE
∴△AFD≌△ABD，
∴AF＝AB，FD＝DB，
∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，
又∵AB＝AC，
∴AF＝AC，
∵∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+45°，
∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，
∴∠FAE＝∠EAC，
又∵AE＝AE，
∴△AFE≌△ACE，
∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°
∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，
∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，
即DE2＝BD2+EC2；
解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．
∴∠ABT＝∠C＝45°，AT＝AE，∠TAE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠TBC＝∠TBD＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠DAT＝∠DAE，
∵AD＝AD，
∴△DAT≌△DAE（SAS），
∴DT＝DE，
∵DT2＝DB2+EC2，
∴DE2＝BD2+EC2；
（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．
如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，
可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．
∴AD＝DF，EF＝BE．
∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．
若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，
∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．
【点评】此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．
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