专题突破卷18 外接球和内切球-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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1.长方体及柱体的外接球
1．长方体的所有顶点都在一个球面上，长､宽､高分别为，那么这个球体的体积为（）
A．B．C．D．
2．在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
3．一个正方体的体对角线长为，它的顶点都在同一球面上，则该球的体积为_____.
4．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为64，则这个球的表面积是_____.
5．已知直三棱柱中，，则该三棱柱外接球的体积为_____.
2.补形法解决墙角模型
6．在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（）
A．B．C．D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”（如图所示），其中底面，，，，则该“阳马”的外接球的表面积为_____．

8．如图，已知在三棱锥中，，，且，求该三棱锥外接球的表面积是_____．

9．球面上有四个点，若两两垂直，，则该球的表面积为_____．
10．已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球的表面积为_____.
3.线面垂直模型
11．则三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球半径为（）
A．3B．C．D．6
12．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面ABC，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（）
A．B．C．D．
13．已知在三棱锥中，平面SBC，，，，则该三棱锥外接球体积为（）
A．B．C．D．
14．已知在三棱锥中，平面，且，则三棱锥外接球的体积为_____.
15．已知在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球体积为_____.
4.侧棱相等模型
16．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（）
A．B．C．D．
17．设高为的正三棱锥的侧棱与底面所成角为60°，且该三棱锥的每个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）
A．B．C．D．
18．已知正三棱锥内接于半径为2的球，且扇形的面积为，则正三棱锥的体积为_____．
19．已知正三棱锥的四个顶点在球的球面上，侧棱，且，则球的体积为_____.
20．粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“四角粽子”，其形状可以看成所有棱长都相等的正三棱锥，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，当蛋黄体积最大时，三棱锥的高与蛋黄半径的比值是_____
21．（多选）正四棱锥的底面边长为，外接球的表面积为，则正四棱锥的高可能是（）
A．B．C．D．
5.台体的外接球
22．如图，已知四棱台的上下底面均为正方形，，则下述正确的是（）
A．该四棱台的高为B．
C．该四棱台的表面积为D．该四棱台外接球的表面积为
23．已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，侧棱长为，则正四棱台外接球的半径为_____.
24．在正四棱台中，上、下底面边长分别为、，该正四棱台的外接球的球心在棱台外，且外接球的表面积为，则该正四棱台的高为_____．
25．正四棱楼台的上、下底面的面积分别为，，若该正四棱台的体积为，则其外接球的表面积为_____．
26．现有一个高为2的三棱锥被一个平行于底面的平面截去一个高为1的三棱锥，得到棱台．已知，，，则该棱台的外接球体积为_____．
27．在正四棱台中，底面是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线与直线的交点为P，则四棱锥的外接球的体积为_____.
6.面面垂直模型
28．在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（）
A．B．C．D．
29．在菱形中，，，将绕对角线所在直线旋转至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
30．已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球表面积为（）
A．B．C．D．
31．如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（）

A．B．C．D．
32．已知四面体ABCD的顶点都在球О的表面上，平面平面BCD，，为等边三角形，且，则球O的表面积为_____.
33．如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为_____．

7.折叠模型
34．两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（）
A．B．C．D．
35．在菱形中，，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为_____.
36．已知四边形为菱形，且，现将沿折起至（点P在平面BCD上的投影在面BCD内），并使得与平面所成角的余弦值为，此时三棱锥外接球的体积为，则该三棱锥的表面积为（）
A．B．
C．D．
37．等边的边长为2，点为的中点，将沿折起到，使得，若该三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_____．
38．在菱形中，与交点为，将沿折起到的位置，使，则三棱锥的外接球的表面积为_____．
39．如图，平面四边形，将沿折起到的位置，此时二面角的大小为，连接，则三棱锥外接球的表面积为_____;三棱锥的体积为_____.
8.外接球的最值问题
40．球O内接三棱锥，平面，.若，球O表面积为.则三棱锥体积最大值为（）
A．1B．C．D．
41．已知四棱锥的外接球的体积为，平面，且底面为矩形，，则四棱锥体积的最大值为_____.
42．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，若球的体积为，则该三棱锥的体积的最大值是（）
A．B．5C．D．
43．在三棱锥中，为等边三角形，，则三棱锥外接球的表面积的最小值为（）
A．B．C．D．
44．在三棱锥中，和都是等边三角形，，平面平面，M是棱AC上一点，且，则过M的平面截三棱锥外接球所得截面面积的最大值与最小值之和为（）
A．24πB．25πC．26πD．27π
45．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，底面是边长为的正三角形，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为_____．
9.内切球
46．已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥内切球的体积为（）
A．B．C．D．
47．已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（）
A．B．C．D．
48．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（）

A．B．C．D．
49．已知四面体ABCD满足，，，且该四面体ABCD的外接球的球半径为，四面体的内切球的球半径为，则的值是（）
A．B．C．D．
50．已知三棱柱中，，，平面垂直平面，，若该三棱柱存在体积为的内切球，则三棱锥体积为（）
A．B．4C．2D．
51．如图，，分别是正方形的边，的中点，把，，折起构成一个三棱锥（，，重合于点），则三棱锥的外接球与内切球的面积之比是_____.

1．在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（）
A．B．C．D．
2．在正三棱台中，侧棱长均为，侧棱与底面所成的角60°，，则该三棱台的外接球的体积＝_____.

3．在正三棱柱中，，点D在棱BC上运动，若的最小值为，则三棱柱的外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
4．正三棱锥底面边长为为的中点，且，则正三棱锥外接球的体积为_____.
5．正多面体又称柏拉图多面体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成，正多面体共有五种，它们分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，连接棱长为2的正方体的六个面的中心，即可得到一个正八面体，则该正八面体的内切球的表面积为_____.
6．（多选）半正多面体亦称“阿基米德体多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论正确的是（）

A．该半正多面体的表面积为
B．该半正多面体的体积为
C．该半正多面体外接球的的表面积为
D．若点分别在线段上，则的最小值为
7．四棱锥中，底面为菱形，底面，，若，，则三棱锥的外接球表面积为_____.
8．已知正四棱台中，，，点到平面的距离为，将四棱台放入球O内，则球O表面积的最小值为_____．

9．分子式是有机化合物甲烷（农村沼气的主要气体），它作为燃料广泛应用于民用和工业中. 近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加. 深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题. 如图甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同、键角相等. 请计算甲烷碳氢键的键角的余弦值为_____.

10．在平面四边形中，是正三角形，现将点沿折起到点，连接，则三棱锥体积的最大值为_____；若，当二面角的余弦值为时，三棱锥的外接球表面积为_____.
11．如图，在二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，当时，则四面体外接球的半径为_____.

12．如图，已知球O的面上四点A，B，C，P，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，，，则球O的表面积等于_____．

13．等腰三角形中，，将它沿中线AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD的外接球的表面积为_____.