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2023-2024学年上海市松江区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含解析）
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这是一份2023-2024学年上海市松江区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数中，属于二次函数的是( )
A. y=x−2B. y=x2
C. y=x2−(x+1)2D. y=2x2
2.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=α，BC=a，那么AB的长为( )
A. asinαB. acsαC. asinαD. acsα
3.关于二次函数y=−2(x−1)2的图象，下列说法正确的是( )
A. 开口向上B. 经过原点
C. 对称轴右侧的部分是下降的D. 顶点坐标是(−1,0)
4.下列条件中，不能判定a//b的是( )
A. a//c，b//cB. a−=−c，b=2c
C. a=−2b−D. |a|=3|b|
5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，斜边BC上的高AH=3，矩形DEFG的边DE在边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果GF正好经过△ABC的重心，那么BD⋅EC的积等于( )
A. 4B. 1C. 1625D. 925
6.某同学对“两个相似的四边形”进行探究.四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是相似的图形，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1，点D与点D1分别是对应顶点，已知ABA1B1=k.该同学得到以下两个结论：①四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的面积比等于k2；②四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的两条对角线的和之比等于k.对于结论①和②，下列说法正确的是( )
A. ①正确，②错误B. ①错误，②正确C. ①和②都错误D. ①和②都正确
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.若yx=12，则yx+y= ______ ．
8.A、B两地的实际距离AB=250米，画在地图上的距离A′B′=5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比是______ ．
9.某印刷厂一月份印书50万册，如果第一季度从2月份起，每月印书量的增长率都为x，三月份的印书量为y万册，写出y关于x的函数解析式是______ ．
10.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，如果AB=5，那么AP= ______ ．
11.在直角坐标平面中，将抛物线y=−(x+1)2+2，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是______ ．
12.如果一个二次函数图象的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的.请写出一个符合条件的函数解析式：______ ．
13.如图，一辆小车沿着坡度为1：2.4的斜坡从A点向上行驶了50米，到达B点，那么此时该小车上升的高度为______ 米.
14.如图，梯形ABCD中，AB//CD，且ABCD=43，若AB=m，AD=n.请用m，n来表示AC= ______ ．
15.如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F，且l1//l2//l3，AB=2BC，DF=6，那么EF= ______ ．
16.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，点E是AD的中点，BE、CD的延长线交于点F，如果AD：BC=2：3，那么S△EDF：S△AEB= ______ ．
17.在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，BE与CD相交于点O，如果△OBC是等边三角形，那么tan∠ABC= ______ ．
18.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，将边AB绕点A逆时针旋转，点B落在B′处，联结BB′，CB′，若∠BB′C=90°，则BB′= ______ ．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表．
(1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图象的顶点D的坐标；
(2)如果该二次函数图象与y轴交于点A，点P(5,t)是图象上一点，求△PAD的面积．
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，连接DE、EF.已知ED//BC，EF//AB，AD=3，DB=9．
(1)求BFFC的值；
(2)若△ABC的面积为16，求四边形BFED的面积．
21.(本小题10分)
已知：如图，△ABC中，AB=15，BC=14，sinB=45，AD⊥BC于D．
(1)求AC的长；
(2)如果点E是边AC的中点，求ct∠EBC大小．
22.(本小题10分)
如图，A处有一垂直于地面的标杆AM，热气球沿着与AM的夹角为15°的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为30°(AM、B、C在同一平面内).求A、B之间的距离.(结果精确到1米， 2≈1.414)
23.(本小题12分)
已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，∠BDC=∠DEC.求证：
(1)△ADE∽△ACD；
(2)CD2BC2=AEAC．
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过原点O(0,0)、点A(1,3a)，此抛物线的对称轴与x轴交于点C，顶点为B．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)如果该抛物线与x轴负半轴的交点为D，且∠ADC的正切值为2，求a的值；
(3)将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P.联结PA，如果点P在y轴上，PA//x轴，且∠EPA=∠CBO，求新抛物线的表达式．
25.(本小题14分)
在△ABC中，AC=BC.点D是射线AC上一点(不与A、C重合)，点F在线段BC上，直线DF交直线AB于点E，CD2=CF⋅CB．
(1)如图，如果点D在AC的延长线上．
①求证：DE=BD；
②联结CE，如果CE//BD，CE=2，求EF的长．
(2)如果DF：DE=1：2，求：AE：EB的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：y=x−2不符合二次函数的定义，它不是二次函数，则A不符合题意；
y=x2符合二次函数的定义，它是二次函数，则B符合题意；
y=x2−(x+1)2整理得y=−2x−1，不符合二次函数的定义，它不是二次函数，则C不符合题意；
y=2x2不符合二次函数的定义，它不是二次函数，则D不符合题意；
故选：B．
形如y=ax2+bx+c(,a,b,c是常数且a≠0)的函数即为二次函数，据此进行判断即可．
本题考查二次函数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，∠A=α，BC=a，
∴sinα=BCAB，
∴AB=asinα，
故选：A．
根据三角函数的定义进行选择即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握三个三角函数的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、∵a=−2<0，∴抛物线开口向下，原说法错误，不符合题意；
B、∵当x=0时，y=−2(0−1)2=−2，∴函数图象不经过原点，原说法错误，不符合题意；
C、∵a=−2<0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分是下降的，正确，符合题意．
D、由函数解析式可知其顶点坐标为(1,0)，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
根据二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次函数的性质及二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵a//c,b//c，
∴a//b；
∵a=−c,b=2c，
∴a//c//b；
∵a=−2b，
∴a//b；
由|a|=3|b|不能得到a//b，
故选：D．
根据平面向量的相关定义逐一判断即可．
本题考查了平面向量，熟记平面向量的相关定义是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：设△ABC的重心是O，连接AO，延长AO交BC于M，
∴AO=2OM，
∵四边形DEFG是矩形，
∴GF//DE，∠GDE=∠FED=90°，
∴AK：KH=AO：OM，
∴AK=2KH，
∵AH=3，
∴KH=13AH=1，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵∠EFC+∠C=90°，
∴∠B=∠EFC，
∵∠BDG=∠CEF=90°，
∴△BDG∽△FEC，
∴BD：FE=GD：EC，
∴BD⋅CE=FE⋅DG，
∵FG//BC，GD⊥BC，KH⊥BC，FE⊥BC，
∴DG=FE=KH=1，
∴BD⋅CE=1×1=1．
故选：B．
△ABC的重心是O，连接AO，延长AO交BC于M，由三角形重心的性质，得到AO=2OM，由矩形的性质推出GF//DE，∠GDE=∠FED=90°，由平行线分线段成比例得到AK：KH=AO：OM，因此AK=2KH，即可求出KH=13AH=1，由余角的性质推出∠B=∠EFC，又∠BDG=∠CEF=90°，即可证明△BDG∽△FEC，推出BD⋅CE=FE⋅DG=1．
本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，关键是由三角形重心的性质，平行线分线段成比例推出KH=13AH=1，由△BDG∽△FEC，推出BD⋅CE=FE⋅DG．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是相似的图形，ABA1B1=k，
∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是相似比为k，
∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的面积比等于k2，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的两条对角线之比等于k，
∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的两条对角线的和之比等于k，
则①和②都正确，
故选：D．
根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7.【答案】13
【解析】解：∵yx=12，
∴x=2y，
∴yx+y=y2y+y=13，
故答案为：13．
利用比例的性质进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
8.【答案】1：5000
【解析】解：∵250米=25000厘米，
∴比例尺=5：25000=1：5000；
故答案为：1：5000．
根据比例尺=图上距离：实际距离，直接求出即可．
本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．
9.【答案】y=50(1+x)2
【解析】解：根据题意得：y=50(1+x)2．
故答案为：y=50(1+x)2．
利用三月份的印书量=一月份的印书量×(1+每月印书量的增长率)2，即可得出y关于x的函数解析式．
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数解析式是解题的关键．
10.【答案】5 5−52
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，AB=5，
∴AP= 5−12AB=5 5−52，
故答案为：5 5−52．
利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
11.【答案】y=−(x+2)2
【解析】解：抛将抛物线y=−(x+1)2+2，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是：yy=−(x+1+1)2+2−2，即y=−(x+2)2．
故答案为：y=−(x+2)2．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
12.【答案】y=x2(答案不唯一)
【解析】解：∵二次函数图象的顶点在x轴上，在y轴的右侧部分是上升的．
∴二次函数顶点在原点，对称轴是y轴，且开口向上，
∴符合条件的函数解析式为：y=x2(答案不唯一)．
根据题意，二次函数顶点在原点且开口向上即可．
本题考查了二次函数解析式，熟练掌握解析式与图象位置关系式解答本题的关键．
13.【答案】25013
【解析】解：设小车上升的高度为x米，
∵斜坡AB的坡度为1：2.4，
∴AC=2.4x米，
由勾股定理得：x2+(2.4x)2=502，
解得：x=25013(负值舍去)，
∴小车上升的高度为25013米，
故答案为：25013．
设小车上升的高度为x米，根据坡度的概念得到AC=2.4x米，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
14.【答案】n+34m
【解析】解：∵AB//CD，ABCD=43，AB=m，
∴DC=34m，
∴AC=AD+DC=n+34m．
故答案为：n+34m．
由题意得DC=34m，再根据AC=AD+DC可得答案．
本题考查平面向量，熟练掌握三角形法则是解答本题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：∵l1//l2//l3，AB=2BC，
∴ABBC=DEEF=2，
∵DE=DF−EF=6−EF，
∴6−EFEF=2，
解得EF=2．
故答案为：2．
先由l1//l2//l3，运用平行线分线段成比例的内容可得ABBC=DEEF=2，再将DE=DF−EF=6−EF代入求出EF，即可求解．
本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
16.【答案】1：2
【解析】解：过点F作BC的垂线，交BC于点H，交DE于点G，过点B作BK⊥DA，交DA的延长线于点K，
∵AD//BC，
∴FG⊥AD．
∴四边形BHGK为矩形，
∴BK=GH．
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AD：BC=2：3，
∴DE：BC=1：3．
∵AD//BC，
∴∠FED=∠FBC，∠FDE=∠FCB，
∴△DEF∽△CBF，
∴FG：FH=DE：BC=1：3，
∴FG：GH=FG：BK=1：2，
∴S△EDF：S△AEB=(12DE⋅FG)：(12AE⋅BK)=FG：BK=1：2．
故答案为：1：2．
过点F作BC的垂线，交BC于点H，交DE于点G，过点B作BK⊥DA，交DA的延长线于点K，可得四边形BHGK为矩形，则BK=GH.由题意可得DE：BC=1：3，证明△DEF∽△CBF，则FG：FH=DE：BC=1：3，即FG：GH=FG：BK=1：2，将S△EDF：S△AEB化简为FG：BK，即可得出答案．
本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
17.【答案】3 3
【解析】解：如图：连接AO，延长AO交BC于H，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，BE与CD相交于点O，
∴O是△ABC的重心，
∴AH是△ABC的中线，
∵AB=AC，
∴AH⊥BC，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBH=60°，
∴OH= 3BH，
∵O是△ABC的重心，
∴AH=3OH=3 3BH，
∴tan∠ABC=AHBH=3 3．
故答案为：3 3．
如图：连接AO，延长AO交BC于H，由O是△ABC的重心，得到AH是△ABC的中线，由等腰三角形的性质得到AH⊥BC，由等边三角形的性质得到∠OBH=60°，因此OH= 3BH，由三角形重心的性质得到AH=3OH=3 3BH，即可求出tan∠ABC=AHBH=3 3．
本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的重心，等边三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质，三角形重心的性质得到AH⊥BC，AH=3OH．
18.【答案】125
【解析】解：过点A作AE⊥BB′于点E，
∵将边AB绕点A逆时针旋转，点B落在B′处，
∴AB=AB′，
∵AE⊥BB′，
∴BE=B′E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠ABE+∠B′BC=90°，
∵∠BB′C=90°，
∴∠B′BC+∠BCB′=90°，
∴∠ABE=∠BCB′，
∵∠AEB=∠BB′C，
∴△ABE∽△BCB′，
∴ABBC=AEBB′，
设BE=B′E=x，
∴BB′=2x，AE= AB2−BE2= 4−x2，
∴23= 4−x22x，
解得x=65(负值舍去)，
∴BE=65，
∴BB′=2BE=125．
故答案为：125．
过点A作AE⊥BB′于点E，由旋转的性质得出AB=AB′，证明△ABE∽△BCB′，得出ABBC=AEBB′，设BE=B′E=x，得出23= 4−x22x，求出x即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵抛物线经过点(0,3)，(4,3)，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴抛物线的顶点D的坐标为(2,−1)，
设抛物线解析式为y=a(x−2)2−1，
把(0,3)代入得3=a×(0−2)2−1，
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=(x−2)2−1；
(2)把P(5,t)代入y=(x−2)2−1得t=9−1=8，
∴P(5,8)，
∵A(0,3)，
∴△PAD的面积=5×9−12×3×9−12×2×4−12×5×5=15．
【解析】(1)利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，则顶点D的坐标为(2,−1)，设顶点式y=a(x−2)2−1，然后把(0,3)代入求出a即可；
(2)先利用抛物线解析式确定P(5,8)，A(0,3)，然后用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△PAD的面积．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
20.【答案】解：(1)∵ED//BC，EF//AB，
∴ADBD=AEEC，BFFC=AEEC，
∴ADBD=BFFC，
∵AD=3，DB=9，
∴BFFC=39=13；
(2)∵AD=3，DB=9，
∴AB=AD+DB=12，
∵DE//BF，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=312=14，S△ADES△ABC=(ADAB)2，
∴S△ADE=116S△ABC，
∵△ABC的面积是16，
∴S△ADE=1，
∵EF//AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴S△EFCS△ABC=(FCBC)2=(31+3)2=916，
∴△EFC的面积=916×16=9，
∴四边形BFED的面积=S△ABC−S△EFC−S△ADE=16−9−1=6．
【解析】(1)根据平行线分线段成比例定理求解即可；
(2)根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ADE的面积是1，同理可得△EFC的面积是9，根据四边形BFED的面积=S△ABC−S△EFC−S△ADE可得答案．
本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键．
21.【答案】解：(1)∵AD⊥BC，
∴sin∠ABC=ADBA=45，
∵AB=15，
∴AD=12，
∴BD= AB2−AD2=9，
∴CD=BC−BD=14−9=5，
∴AC= AD2+CD2=13；
(2)过E作EH⊥CD于H，
∵AD⊥BC，
∴EH//AD，
∴AE：EC=DH：HC，
∵E是边AC的中点，
∴AE=EC，
∴DH=CH=12CD=52，
∴EH是△ADC的中位线，
∴EH=12AD=6，
∵BH=BD+DH=232，
∴ct∠EBC=BHEH=2312．
【解析】(1)由锐角的正弦求出AD长，由勾股定理求出BD长，得到CD长，由勾股定理即可求出AC长．
(2)过E作EH⊥CD，由平行线分线段比例定理，推出DH=CH=12CD=52，得到EH是△ADC的中位线，因此EH=12AD=6，求出BH=BD+DH=232，即可求出ct∠EBC=BHEH=2312．
本题考查解直角三角形，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，勾股定理，关键是由锐角的正弦求出AD长，证明EH是△ADC的中位线．
22.【答案】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得：AC=200米，∠BAC=90°+15°=105°，∠C=30°，
∴∠ABD=180°−∠BAC−∠C=45°，
在Rt△ACD中，∠C=30°，
∴AD=12AC=100(米)，
在Rt△ABD中，AB=ADsin45∘=100 22=100 2≈141(米)，
∴A、B之间的距离约为141米．
【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得：AC=200米，∠BAC=105°，∠C=30°，从而利用三角形内角和定理可得∠ABD=45°，然后在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AD=100米，再在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵∠BDC=∠DEC，∠BDC=∠A+∠ACD，∠DEC=∠A+ADE，
∴∠ADE=∠ACD，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD；
(2)∵DE//BC，
∴∠EDC=∠BCD，
∵∠BDC=∠DEC，
∴△DEC∽△BDC，
∴CDBC=DECD，
∴CD2=DE⋅BC．
∴CD2BC2=DEBC．
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC，
∴CD2BC2=AEAC．
【解析】(1)利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理解答即可；
(2)利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理得到△DEC∽△BDC，利用相似三角形的性质得到CD2=DE⋅BC，再证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即可．
本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)把O(0,0)，A(1,3a)代入y=ax2+bx+c，解得b=2a，c=0，
得抛物线的解析式为y=ax2+2ax，
则抛物线的对称轴为直线x=−1；
(2)把y=0代入y=ax2+2ax，解得x=−2，x=0(点O的横坐标，舍去)，
∴点D的坐标为(−2,0)，
过点A作AF⊥x轴，垂足为F，
∵D(−2,0)，A(1,3a)，
∴DF=3，AF=3a，
∵∠ADC的正切值为2，
∴AFDF=2，即3a3=2，
解得a=2；
(3)由条件可得如下图象，过点E作EG垂直于PA的延长线，垂足为G，
∵PA//x轴，点A的坐标为(1,3a)，
∴点P的坐标为(0,3a)，
由新抛物线是原抛物线平移得到，且顶点B(−1,−a)的对应点是点P，
即原抛物线向左平移1个单位长度，向上平移4a个单位长度得到新抛物线，
设新抛物线的解析式为y=ax2+3a，
由点A的坐标为(1,3a)，得点E的坐标为(2,7a)
∴PG=2，EG=4a，
∵∠EPA=∠CBO，∠EGP=∠OCB=90°，
∴△BCO∽△PGE，
∴CBPG=OCGE，
∴a2=14a，解得a=± 22，
∵a>0，
∴a= 22，
∴新抛物线的解析式为y= 22x2+3 22．
【解析】(1)把O(0,0)，A(1,3a)代入y=ax2+bx+c，求出a和b的数量关系，即可求出抛物线对称轴；
(2)把y=0代入y=ax2+2ax求出点D的坐标，过点A作AF⊥x轴，垂足为F，在直角三角形ADF中求出DF和AF的长，根据∠ADC的正切值为2列方程求出a；
(3)根据条件画出图象，过点E作EG垂直于PA的延长线，垂足为G，通过原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P得到原抛物线向左平移1个单位长度，向上平移4a个单位长度得到新抛物线，再证明△BCO∽△PGE，通过对应线段成比例列方程求出a的值，进而得到新抛物线的解析式．
本题考查了待定系数法求函数解析式，求二次函数对称轴，锐角三角函数，二次函数的平移，相似三角形的性质和判定等知识点．
25.【答案】(1)①证明：如图1，∵CD2=CF⋅CB，
∴CDCB=CFCD，
∵∠FCD=∠DCB，
∴△FCD∽△DCB，
∴∠CDF=∠CBD，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∴∠A+∠CDF=∠ABC+∠CBD，
∵∠DEB=∠A+∠CDF，∠DBE=∠ABC+∠CBD，
∴∠DEB=∠DBE，
∴DE=BD．
②解：如图1，∵CE//BD，CE=2，
∴∠FCE=∠CBD，
∵∠CDE=∠CBD，
∴∠FCE=∠CDE，
∵∠CEF=∠DEC，
∴△FCE∽△CDE，
∴CEDE=EFCE，
∴EF⋅DE=CE2=22=4，
∵△CEF∽△BDF，
∴EFDF=CEBD=CEDE，
∴EF⋅DE=2DF，
∴2DF=4，
∴DF=2，
∴EF(EF+2)=4，
解得EF= 5−1或EF=− 5−1(不符合题意，舍去)，
∴EF的长是 5−1．
(2)解：如图2，点D在AC的延长线上，
联结CE，作EG//BD交BC的延长线于点G，则∠G=∠DBF，
∴∠G=∠ADE，
∵DF：DE=1：2，
∴DF=EF=12DE，
在△GEF和△BDF中，
∠G=∠DBF∠GFE=∠BFDEF=DF，
∴△GEF≌△BDF(AAS)，
∴GE=BD，
∴GE=DE，
∵∠DEB=∠DBE=∠GEA，
∴∠DEB+∠GED=∠GEA+∠GED，
∴∠BEG=∠AED，
在△BEG和△AED中，
∠G=∠ADEGE=DE∠BEG=∠AED，
∴△BEG≌△AED(ASA)，
∴BE=AE，
∴AEEB=1；
如图3，点D在线段AC上，
∵∠CDF>∠A，
∴∠CDF>∠ABC，
∵∠ABC>∠BFE，∠BFE=∠DFC，
∴∠ABC>∠DFC，
∴∠CDF>∠DFC，
∵∠DFC>∠CBD，
∴∠CDF>∠CBD，
∴△FCD与△DCB不相似，
∴不存在CD2=CF⋅CB的情况，
综上所述，AE：EB的值为1．
【解析】(1)①由CD2=CF⋅CB，得CDCB=CFCD，因为∠FCD=∠DCB，所以△FCD∽△DCB，得∠CDF=∠CBD，由AC=BC，得∠A=∠ABC，所以∠A+∠CDF=∠ABC+∠CBD，则∠DEB=∠DBE，即可证明DE=BD；
②由CE//BD，得∠FCE=∠CBD，则∠FCE=∠CDE，可证明△FCE∽△CDE，得CEDE=EFCE，所以EF⋅DE=CE2=4，而△CEF∽△BDF，得EFDF=CEBD=CEDE，所以EF⋅DE=2DF，则2DF=4，求得DF=2，于是得EF(EF+2)=4，求得EF= 5−1；
(2)分两种情况讲座，一是当点D在AC的延长线上，联结CE，作EG//BD交BC的延长线于点G，可证明△GEF≌△BDF，得GE=BD=DE，再证明△BEG≌△AED，得BE=AE，则AEEB=1；二是当点D在线段AC上，可证明△FCD与△DCB不相似，则不存在CD2=CF⋅CB的情况．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△FCD∽△DCB是解题的关键．x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
−1
？
3
…
1.下列函数中，属于二次函数的是( )
A. y=x−2B. y=x2
C. y=x2−(x+1)2D. y=2x2
2.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=α，BC=a，那么AB的长为( )
A. asinαB. acsαC. asinαD. acsα
3.关于二次函数y=−2(x−1)2的图象，下列说法正确的是( )
A. 开口向上B. 经过原点
C. 对称轴右侧的部分是下降的D. 顶点坐标是(−1,0)
4.下列条件中，不能判定a//b的是( )
A. a//c，b//cB. a−=−c，b=2c
C. a=−2b−D. |a|=3|b|
5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，斜边BC上的高AH=3，矩形DEFG的边DE在边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果GF正好经过△ABC的重心，那么BD⋅EC的积等于( )
A. 4B. 1C. 1625D. 925
6.某同学对“两个相似的四边形”进行探究.四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是相似的图形，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1，点D与点D1分别是对应顶点，已知ABA1B1=k.该同学得到以下两个结论：①四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的面积比等于k2；②四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的两条对角线的和之比等于k.对于结论①和②，下列说法正确的是( )
A. ①正确，②错误B. ①错误，②正确C. ①和②都错误D. ①和②都正确
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.若yx=12，则yx+y= ______ ．
8.A、B两地的实际距离AB=250米，画在地图上的距离A′B′=5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比是______ ．
9.某印刷厂一月份印书50万册，如果第一季度从2月份起，每月印书量的增长率都为x，三月份的印书量为y万册，写出y关于x的函数解析式是______ ．
10.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，如果AB=5，那么AP= ______ ．
11.在直角坐标平面中，将抛物线y=−(x+1)2+2，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是______ ．
12.如果一个二次函数图象的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的.请写出一个符合条件的函数解析式：______ ．
13.如图，一辆小车沿着坡度为1：2.4的斜坡从A点向上行驶了50米，到达B点，那么此时该小车上升的高度为______ 米.
14.如图，梯形ABCD中，AB//CD，且ABCD=43，若AB=m，AD=n.请用m，n来表示AC= ______ ．
15.如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F，且l1//l2//l3，AB=2BC，DF=6，那么EF= ______ ．
16.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，点E是AD的中点，BE、CD的延长线交于点F，如果AD：BC=2：3，那么S△EDF：S△AEB= ______ ．
17.在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，BE与CD相交于点O，如果△OBC是等边三角形，那么tan∠ABC= ______ ．
18.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，将边AB绕点A逆时针旋转，点B落在B′处，联结BB′，CB′，若∠BB′C=90°，则BB′= ______ ．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表．
(1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图象的顶点D的坐标；
(2)如果该二次函数图象与y轴交于点A，点P(5,t)是图象上一点，求△PAD的面积．
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，连接DE、EF.已知ED//BC，EF//AB，AD=3，DB=9．
(1)求BFFC的值；
(2)若△ABC的面积为16，求四边形BFED的面积．
21.(本小题10分)
已知：如图，△ABC中，AB=15，BC=14，sinB=45，AD⊥BC于D．
(1)求AC的长；
(2)如果点E是边AC的中点，求ct∠EBC大小．
22.(本小题10分)
如图，A处有一垂直于地面的标杆AM，热气球沿着与AM的夹角为15°的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为30°(AM、B、C在同一平面内).求A、B之间的距离.(结果精确到1米， 2≈1.414)
23.(本小题12分)
已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，∠BDC=∠DEC.求证：
(1)△ADE∽△ACD；
(2)CD2BC2=AEAC．
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过原点O(0,0)、点A(1,3a)，此抛物线的对称轴与x轴交于点C，顶点为B．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)如果该抛物线与x轴负半轴的交点为D，且∠ADC的正切值为2，求a的值；
(3)将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P.联结PA，如果点P在y轴上，PA//x轴，且∠EPA=∠CBO，求新抛物线的表达式．
25.(本小题14分)
在△ABC中，AC=BC.点D是射线AC上一点(不与A、C重合)，点F在线段BC上，直线DF交直线AB于点E，CD2=CF⋅CB．
(1)如图，如果点D在AC的延长线上．
①求证：DE=BD；
②联结CE，如果CE//BD，CE=2，求EF的长．
(2)如果DF：DE=1：2，求：AE：EB的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：y=x−2不符合二次函数的定义，它不是二次函数，则A不符合题意；
y=x2符合二次函数的定义，它是二次函数，则B符合题意；
y=x2−(x+1)2整理得y=−2x−1，不符合二次函数的定义，它不是二次函数，则C不符合题意；
y=2x2不符合二次函数的定义，它不是二次函数，则D不符合题意；
故选：B．
形如y=ax2+bx+c(,a,b,c是常数且a≠0)的函数即为二次函数，据此进行判断即可．
本题考查二次函数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，∠A=α，BC=a，
∴sinα=BCAB，
∴AB=asinα，
故选：A．
根据三角函数的定义进行选择即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握三个三角函数的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、∵a=−2<0，∴抛物线开口向下，原说法错误，不符合题意；
B、∵当x=0时，y=−2(0−1)2=−2，∴函数图象不经过原点，原说法错误，不符合题意；
C、∵a=−2<0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分是下降的，正确，符合题意．
D、由函数解析式可知其顶点坐标为(1,0)，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
根据二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次函数的性质及二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵a//c,b//c，
∴a//b；
∵a=−c,b=2c，
∴a//c//b；
∵a=−2b，
∴a//b；
由|a|=3|b|不能得到a//b，
故选：D．
根据平面向量的相关定义逐一判断即可．
本题考查了平面向量，熟记平面向量的相关定义是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：设△ABC的重心是O，连接AO，延长AO交BC于M，
∴AO=2OM，
∵四边形DEFG是矩形，
∴GF//DE，∠GDE=∠FED=90°，
∴AK：KH=AO：OM，
∴AK=2KH，
∵AH=3，
∴KH=13AH=1，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵∠EFC+∠C=90°，
∴∠B=∠EFC，
∵∠BDG=∠CEF=90°，
∴△BDG∽△FEC，
∴BD：FE=GD：EC，
∴BD⋅CE=FE⋅DG，
∵FG//BC，GD⊥BC，KH⊥BC，FE⊥BC，
∴DG=FE=KH=1，
∴BD⋅CE=1×1=1．
故选：B．
△ABC的重心是O，连接AO，延长AO交BC于M，由三角形重心的性质，得到AO=2OM，由矩形的性质推出GF//DE，∠GDE=∠FED=90°，由平行线分线段成比例得到AK：KH=AO：OM，因此AK=2KH，即可求出KH=13AH=1，由余角的性质推出∠B=∠EFC，又∠BDG=∠CEF=90°，即可证明△BDG∽△FEC，推出BD⋅CE=FE⋅DG=1．
本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，关键是由三角形重心的性质，平行线分线段成比例推出KH=13AH=1，由△BDG∽△FEC，推出BD⋅CE=FE⋅DG．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是相似的图形，ABA1B1=k，
∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是相似比为k，
∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的面积比等于k2，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的两条对角线之比等于k，
∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的两条对角线的和之比等于k，
则①和②都正确，
故选：D．
根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7.【答案】13
【解析】解：∵yx=12，
∴x=2y，
∴yx+y=y2y+y=13，
故答案为：13．
利用比例的性质进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
8.【答案】1：5000
【解析】解：∵250米=25000厘米，
∴比例尺=5：25000=1：5000；
故答案为：1：5000．
根据比例尺=图上距离：实际距离，直接求出即可．
本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．
9.【答案】y=50(1+x)2
【解析】解：根据题意得：y=50(1+x)2．
故答案为：y=50(1+x)2．
利用三月份的印书量=一月份的印书量×(1+每月印书量的增长率)2，即可得出y关于x的函数解析式．
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数解析式是解题的关键．
10.【答案】5 5−52
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，AB=5，
∴AP= 5−12AB=5 5−52，
故答案为：5 5−52．
利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
11.【答案】y=−(x+2)2
【解析】解：抛将抛物线y=−(x+1)2+2，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是：yy=−(x+1+1)2+2−2，即y=−(x+2)2．
故答案为：y=−(x+2)2．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
12.【答案】y=x2(答案不唯一)
【解析】解：∵二次函数图象的顶点在x轴上，在y轴的右侧部分是上升的．
∴二次函数顶点在原点，对称轴是y轴，且开口向上，
∴符合条件的函数解析式为：y=x2(答案不唯一)．
根据题意，二次函数顶点在原点且开口向上即可．
本题考查了二次函数解析式，熟练掌握解析式与图象位置关系式解答本题的关键．
13.【答案】25013
【解析】解：设小车上升的高度为x米，
∵斜坡AB的坡度为1：2.4，
∴AC=2.4x米，
由勾股定理得：x2+(2.4x)2=502，
解得：x=25013(负值舍去)，
∴小车上升的高度为25013米，
故答案为：25013．
设小车上升的高度为x米，根据坡度的概念得到AC=2.4x米，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
14.【答案】n+34m
【解析】解：∵AB//CD，ABCD=43，AB=m，
∴DC=34m，
∴AC=AD+DC=n+34m．
故答案为：n+34m．
由题意得DC=34m，再根据AC=AD+DC可得答案．
本题考查平面向量，熟练掌握三角形法则是解答本题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：∵l1//l2//l3，AB=2BC，
∴ABBC=DEEF=2，
∵DE=DF−EF=6−EF，
∴6−EFEF=2，
解得EF=2．
故答案为：2．
先由l1//l2//l3，运用平行线分线段成比例的内容可得ABBC=DEEF=2，再将DE=DF−EF=6−EF代入求出EF，即可求解．
本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
16.【答案】1：2
【解析】解：过点F作BC的垂线，交BC于点H，交DE于点G，过点B作BK⊥DA，交DA的延长线于点K，
∵AD//BC，
∴FG⊥AD．
∴四边形BHGK为矩形，
∴BK=GH．
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AD：BC=2：3，
∴DE：BC=1：3．
∵AD//BC，
∴∠FED=∠FBC，∠FDE=∠FCB，
∴△DEF∽△CBF，
∴FG：FH=DE：BC=1：3，
∴FG：GH=FG：BK=1：2，
∴S△EDF：S△AEB=(12DE⋅FG)：(12AE⋅BK)=FG：BK=1：2．
故答案为：1：2．
过点F作BC的垂线，交BC于点H，交DE于点G，过点B作BK⊥DA，交DA的延长线于点K，可得四边形BHGK为矩形，则BK=GH.由题意可得DE：BC=1：3，证明△DEF∽△CBF，则FG：FH=DE：BC=1：3，即FG：GH=FG：BK=1：2，将S△EDF：S△AEB化简为FG：BK，即可得出答案．
本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
17.【答案】3 3
【解析】解：如图：连接AO，延长AO交BC于H，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，BE与CD相交于点O，
∴O是△ABC的重心，
∴AH是△ABC的中线，
∵AB=AC，
∴AH⊥BC，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBH=60°，
∴OH= 3BH，
∵O是△ABC的重心，
∴AH=3OH=3 3BH，
∴tan∠ABC=AHBH=3 3．
故答案为：3 3．
如图：连接AO，延长AO交BC于H，由O是△ABC的重心，得到AH是△ABC的中线，由等腰三角形的性质得到AH⊥BC，由等边三角形的性质得到∠OBH=60°，因此OH= 3BH，由三角形重心的性质得到AH=3OH=3 3BH，即可求出tan∠ABC=AHBH=3 3．
本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的重心，等边三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质，三角形重心的性质得到AH⊥BC，AH=3OH．
18.【答案】125
【解析】解：过点A作AE⊥BB′于点E，
∵将边AB绕点A逆时针旋转，点B落在B′处，
∴AB=AB′，
∵AE⊥BB′，
∴BE=B′E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠ABE+∠B′BC=90°，
∵∠BB′C=90°，
∴∠B′BC+∠BCB′=90°，
∴∠ABE=∠BCB′，
∵∠AEB=∠BB′C，
∴△ABE∽△BCB′，
∴ABBC=AEBB′，
设BE=B′E=x，
∴BB′=2x，AE= AB2−BE2= 4−x2，
∴23= 4−x22x，
解得x=65(负值舍去)，
∴BE=65，
∴BB′=2BE=125．
故答案为：125．
过点A作AE⊥BB′于点E，由旋转的性质得出AB=AB′，证明△ABE∽△BCB′，得出ABBC=AEBB′，设BE=B′E=x，得出23= 4−x22x，求出x即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵抛物线经过点(0,3)，(4,3)，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴抛物线的顶点D的坐标为(2,−1)，
设抛物线解析式为y=a(x−2)2−1，
把(0,3)代入得3=a×(0−2)2−1，
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=(x−2)2−1；
(2)把P(5,t)代入y=(x−2)2−1得t=9−1=8，
∴P(5,8)，
∵A(0,3)，
∴△PAD的面积=5×9−12×3×9−12×2×4−12×5×5=15．
【解析】(1)利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，则顶点D的坐标为(2,−1)，设顶点式y=a(x−2)2−1，然后把(0,3)代入求出a即可；
(2)先利用抛物线解析式确定P(5,8)，A(0,3)，然后用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△PAD的面积．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
20.【答案】解：(1)∵ED//BC，EF//AB，
∴ADBD=AEEC，BFFC=AEEC，
∴ADBD=BFFC，
∵AD=3，DB=9，
∴BFFC=39=13；
(2)∵AD=3，DB=9，
∴AB=AD+DB=12，
∵DE//BF，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=312=14，S△ADES△ABC=(ADAB)2，
∴S△ADE=116S△ABC，
∵△ABC的面积是16，
∴S△ADE=1，
∵EF//AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴S△EFCS△ABC=(FCBC)2=(31+3)2=916，
∴△EFC的面积=916×16=9，
∴四边形BFED的面积=S△ABC−S△EFC−S△ADE=16−9−1=6．
【解析】(1)根据平行线分线段成比例定理求解即可；
(2)根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ADE的面积是1，同理可得△EFC的面积是9，根据四边形BFED的面积=S△ABC−S△EFC−S△ADE可得答案．
本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键．
21.【答案】解：(1)∵AD⊥BC，
∴sin∠ABC=ADBA=45，
∵AB=15，
∴AD=12，
∴BD= AB2−AD2=9，
∴CD=BC−BD=14−9=5，
∴AC= AD2+CD2=13；
(2)过E作EH⊥CD于H，
∵AD⊥BC，
∴EH//AD，
∴AE：EC=DH：HC，
∵E是边AC的中点，
∴AE=EC，
∴DH=CH=12CD=52，
∴EH是△ADC的中位线，
∴EH=12AD=6，
∵BH=BD+DH=232，
∴ct∠EBC=BHEH=2312．
【解析】(1)由锐角的正弦求出AD长，由勾股定理求出BD长，得到CD长，由勾股定理即可求出AC长．
(2)过E作EH⊥CD，由平行线分线段比例定理，推出DH=CH=12CD=52，得到EH是△ADC的中位线，因此EH=12AD=6，求出BH=BD+DH=232，即可求出ct∠EBC=BHEH=2312．
本题考查解直角三角形，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，勾股定理，关键是由锐角的正弦求出AD长，证明EH是△ADC的中位线．
22.【答案】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得：AC=200米，∠BAC=90°+15°=105°，∠C=30°，
∴∠ABD=180°−∠BAC−∠C=45°，
在Rt△ACD中，∠C=30°，
∴AD=12AC=100(米)，
在Rt△ABD中，AB=ADsin45∘=100 22=100 2≈141(米)，
∴A、B之间的距离约为141米．
【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得：AC=200米，∠BAC=105°，∠C=30°，从而利用三角形内角和定理可得∠ABD=45°，然后在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AD=100米，再在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵∠BDC=∠DEC，∠BDC=∠A+∠ACD，∠DEC=∠A+ADE，
∴∠ADE=∠ACD，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD；
(2)∵DE//BC，
∴∠EDC=∠BCD，
∵∠BDC=∠DEC，
∴△DEC∽△BDC，
∴CDBC=DECD，
∴CD2=DE⋅BC．
∴CD2BC2=DEBC．
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC，
∴CD2BC2=AEAC．
【解析】(1)利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理解答即可；
(2)利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理得到△DEC∽△BDC，利用相似三角形的性质得到CD2=DE⋅BC，再证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即可．
本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)把O(0,0)，A(1,3a)代入y=ax2+bx+c，解得b=2a，c=0，
得抛物线的解析式为y=ax2+2ax，
则抛物线的对称轴为直线x=−1；
(2)把y=0代入y=ax2+2ax，解得x=−2，x=0(点O的横坐标，舍去)，
∴点D的坐标为(−2,0)，
过点A作AF⊥x轴，垂足为F，
∵D(−2,0)，A(1,3a)，
∴DF=3，AF=3a，
∵∠ADC的正切值为2，
∴AFDF=2，即3a3=2，
解得a=2；
(3)由条件可得如下图象，过点E作EG垂直于PA的延长线，垂足为G，
∵PA//x轴，点A的坐标为(1,3a)，
∴点P的坐标为(0,3a)，
由新抛物线是原抛物线平移得到，且顶点B(−1,−a)的对应点是点P，
即原抛物线向左平移1个单位长度，向上平移4a个单位长度得到新抛物线，
设新抛物线的解析式为y=ax2+3a，
由点A的坐标为(1,3a)，得点E的坐标为(2,7a)
∴PG=2，EG=4a，
∵∠EPA=∠CBO，∠EGP=∠OCB=90°，
∴△BCO∽△PGE，
∴CBPG=OCGE，
∴a2=14a，解得a=± 22，
∵a>0，
∴a= 22，
∴新抛物线的解析式为y= 22x2+3 22．
【解析】(1)把O(0,0)，A(1,3a)代入y=ax2+bx+c，求出a和b的数量关系，即可求出抛物线对称轴；
(2)把y=0代入y=ax2+2ax求出点D的坐标，过点A作AF⊥x轴，垂足为F，在直角三角形ADF中求出DF和AF的长，根据∠ADC的正切值为2列方程求出a；
(3)根据条件画出图象，过点E作EG垂直于PA的延长线，垂足为G，通过原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P得到原抛物线向左平移1个单位长度，向上平移4a个单位长度得到新抛物线，再证明△BCO∽△PGE，通过对应线段成比例列方程求出a的值，进而得到新抛物线的解析式．
本题考查了待定系数法求函数解析式，求二次函数对称轴，锐角三角函数，二次函数的平移，相似三角形的性质和判定等知识点．
25.【答案】(1)①证明：如图1，∵CD2=CF⋅CB，
∴CDCB=CFCD，
∵∠FCD=∠DCB，
∴△FCD∽△DCB，
∴∠CDF=∠CBD，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∴∠A+∠CDF=∠ABC+∠CBD，
∵∠DEB=∠A+∠CDF，∠DBE=∠ABC+∠CBD，
∴∠DEB=∠DBE，
∴DE=BD．
②解：如图1，∵CE//BD，CE=2，
∴∠FCE=∠CBD，
∵∠CDE=∠CBD，
∴∠FCE=∠CDE，
∵∠CEF=∠DEC，
∴△FCE∽△CDE，
∴CEDE=EFCE，
∴EF⋅DE=CE2=22=4，
∵△CEF∽△BDF，
∴EFDF=CEBD=CEDE，
∴EF⋅DE=2DF，
∴2DF=4，
∴DF=2，
∴EF(EF+2)=4，
解得EF= 5−1或EF=− 5−1(不符合题意，舍去)，
∴EF的长是 5−1．
(2)解：如图2，点D在AC的延长线上，
联结CE，作EG//BD交BC的延长线于点G，则∠G=∠DBF，
∴∠G=∠ADE，
∵DF：DE=1：2，
∴DF=EF=12DE，
在△GEF和△BDF中，
∠G=∠DBF∠GFE=∠BFDEF=DF，
∴△GEF≌△BDF(AAS)，
∴GE=BD，
∴GE=DE，
∵∠DEB=∠DBE=∠GEA，
∴∠DEB+∠GED=∠GEA+∠GED，
∴∠BEG=∠AED，
在△BEG和△AED中，
∠G=∠ADEGE=DE∠BEG=∠AED，
∴△BEG≌△AED(ASA)，
∴BE=AE，
∴AEEB=1；
如图3，点D在线段AC上，
∵∠CDF>∠A，
∴∠CDF>∠ABC，
∵∠ABC>∠BFE，∠BFE=∠DFC，
∴∠ABC>∠DFC，
∴∠CDF>∠DFC，
∵∠DFC>∠CBD，
∴∠CDF>∠CBD，
∴△FCD与△DCB不相似，
∴不存在CD2=CF⋅CB的情况，
综上所述，AE：EB的值为1．
【解析】(1)①由CD2=CF⋅CB，得CDCB=CFCD，因为∠FCD=∠DCB，所以△FCD∽△DCB，得∠CDF=∠CBD，由AC=BC，得∠A=∠ABC，所以∠A+∠CDF=∠ABC+∠CBD，则∠DEB=∠DBE，即可证明DE=BD；
②由CE//BD，得∠FCE=∠CBD，则∠FCE=∠CDE，可证明△FCE∽△CDE，得CEDE=EFCE，所以EF⋅DE=CE2=4，而△CEF∽△BDF，得EFDF=CEBD=CEDE，所以EF⋅DE=2DF，则2DF=4，求得DF=2，于是得EF(EF+2)=4，求得EF= 5−1；
(2)分两种情况讲座，一是当点D在AC的延长线上，联结CE，作EG//BD交BC的延长线于点G，可证明△GEF≌△BDF，得GE=BD=DE，再证明△BEG≌△AED，得BE=AE，则AEEB=1；二是当点D在线段AC上，可证明△FCD与△DCB不相似，则不存在CD2=CF⋅CB的情况．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△FCD∽△DCB是解题的关键．x
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