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2022-2023学年福建省泉州市永春一中高一（下）期初数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年福建省泉州市永春一中高一（下）期初数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设全集U=R，集合A={x|1A. (1,2)B. (1,2]C. (2,4)D. [2,4)
2.已知函数f(x)的图像是连续的，根据如下对应值表：
函数在区间[1,6]上的零点至少有( )
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
3.下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是( )
A. y=tan2xB. y=sin2x+π2
C. y=sinxD. y=cs32π−2x
4.设a=30.7，b=(13)−0.8，c=lg0.70.8，则a，b，c的大小关系为( )
A. a5.已知函数f(x)=2+lg 3tanx，x∈[π6,π3)，则函数y=f(x)的值域为( )
A. [1,3]B. [1,3)C. [2,3]D. [2,3)
6.素数也叫质数，部分素数可写成“2n−1”的形式(n是素数)，法国数学家马丁⋅梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n−1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数．2018年底发现的第51个梅森素数是P=282589933−1，它是目前最大的梅森素数．
已知第8个梅森素数为P=231−1，第9个梅森素数为Q=261−1，则QP约等于(参考数据：lg2≈0.3)( )
A. 107B. 108C. 109D. 1010
7.设p：关于x的方程4x−2x+1−a=0有解；q：函数f(x)=lg2(x+a−1)在区间(0,+∞)上恒为正值，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数f(x)=sinx,0≤x≤πlg2022(x−π+1),x>π，若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a+b+c−2π的取值范围是( )
A. (0,2021)B. (0,2022)C. (1,2022)D. [0,2022]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列运算中正确的是( )
A. lg38lg35=lg85B. (827)−13=32
C. (3−π)2=3−πD. (12)−lg27+ln(lne)=7
10.在下列四个命题中，正确的是( )
A. 命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”
B. 当x>1时，x+4x−1的最小值是5
C. 若不等式ax2+2x+c>0的解集为{x|−1D. “a>1”是“1a<1”的充要条件
11.下列命题中正确的是( )
A. 在△ABC中，cs(A+B)=csC
B. 若角α是第三象限角，则α3可能在第三象限
C. 若tanθ=2，则sin2θ−2cs2θ=25
D. 锐角α终边上一点坐标为P(−cs2,sin2)，则α=π−2
12.已知定义在R上函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：
①∀x∈R，f(−x)=f(x)；
②∀x1，x2∈(0,+∞)，当x1≠x2时，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0；
③f(−1)=0．
则下列选项成立的是( )
A. f(3)B. 若f(m−1)C. 若f(x)x>0，则x∈(−1,0)∪(1,+∞)
D. ∀x∈R，∃M∈R，使得f(x)≥M
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？“该问题的答案为 平方步．
14.若函数f(x)=ax2+2x−1在区间(−∞,6)上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
15.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+π)=f(x)，当x∈[0,π2)时，f(x)=2sinx，则f(−133π)+f(94π)= ．
16.已知函数f(x)=lg(ax−3)的图象经过定点(2,0)，若k为正整数，那么使得不等式2f(x)>lg(kx2)在区间[3,4]上有解的k的最大值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)xm的图象关于y轴对称，集合A={x|1−a(1)求m的值；
(2)当x∈[ 22,2]时，f(x)的值域为集合B，若x∈B是x∈A成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知f(α)=sin(2π−α)tan(π+α)sin(3π2−α)sin(α−π2)tan(3π−α)．
(1)若α∈(0,2π)，且f(α)=−12，求α的值；
(2)若f(α)−f(3π2+α)=15，且α∈(π2,3π2)，求tanα的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)= x，g(x)=|x−2|．
(1)求方程f(x)=g(x)的解集；
(2)定义：max{a,b}=a,a≥bb,a(3)在(2)的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数h(x)的简图，并根据图象写出函数h(x)的单调区间和最小值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式及对称中心坐标；
(2)先把f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，若当x∈[−π4,π6]时，求g(x)的值域．
21.(本小题12分)
郑州市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，t∈N*，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10−t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p(t)．
(1)求p(t)的解析式；
(2)若该时段这条线路每分钟的净收益为Q=6p(t)−3360t−360(元)，问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
22.(本小题12分)
已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)=2lg2(1−x)．
(1)求f(x)及g(x)的解析式及定义域；
(2)如果函数F(x)=2g(x)，若函数y=F(|2x−1|)−3k⋅|2x−1|+2k有两个零点，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了集合交并补混合运算，属于基础题．
先求集合B的补集，再求交集即可．
【解答】
解：∵U=R，B={x|0∴∁UB={x|x≤0或x≥2}，
又∵A={x|1∴A∩(∁UB)=[2,4)，
故选D．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了零点判定定理，属于基础题．
利用零点存在性定理即可求解．
【解答】
解：函数f(x)的图像是连续的，f(2)f(3)=−63<0；
f(3)f(4)=−77<0，
f(4)f(5)=−55<0，
所以f(x)在(2,3)、(3,4)，(3,4)之间一定有零点，
即函数在区间[1,6]上的零点至少有3个．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查诱导公式的应用，三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题．
结合三角函数的诱导公式，判断三角函数的奇偶性和周期性，逐一判断各个选项是否满足条件，从而得出结论．
【解答】
解：由于y=tan2x为奇函数，周期为π2，故排除A；
由于y=sin(2x+π2)=cs2x，是偶函数，故排除B；
由于y=|sinx|是偶函数，所以排除C；
由于y=cs(32π−2x)=−sin2x是奇函数，周期为π，故D正确，
故选：D．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数的图象与性质比较大小、利用对数函数的图象与性质比较大小，属于基础题．
利用指数函数与对数函数的性质，求出a，b，c的取值范围，即可求出结果．
【解答】
解：∵b=(13)−0.8=30.8>30.7>30=1，
∴b>a>1，
∵lg0.70.8<，
∴c<1，
∴c故选D．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正切函数和对数函数的单调性，函数值域的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．
根据正切函数的单调性可得出 33≤tanx< 3，然后根据对数函数的单调性即可求出f(x)的值域．
【解答】
解：∵x∈[π6,π3),
∴ 33≤tanx< 3，
∴lg 3 33≤lg 3tanx∴−1≤lg 3tanx<1，
∴1≤f(x)<3，
∴f(x)的值域为[1,3)．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：QP=261−1231−1≈230，
令230=k，则lg230=lgk，
∴30lg2=lgk，
又lg2≈0.3，∴lgk=9，
即k=109，
∴QP约等于109．
故选：C．
由QP=261−1231−1≈230，令230=k，化指数式为对数式求解．
本题考查有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，是基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，涉及充分必要的定义和判断，属于中档题．
根据题意，分析命题p、q为真时a的取值范围，结合充分必要条件的定义分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，对于p，方程4x−2x+1−a=0，
设t=2x，(t>0)，则t2−2t−a=0，
变形可得：a=t2−2t=(t−1)2−1，(t>0)，
若关于x的方程4x−2x+1−a=0有解，必有a≥−1，
即a的取值范围为[−1,+∞)；
对于q，函数f(x)=lg2(x+a−1)在区间(0,+∞)上恒为正值，
则有x+a−1>1在区间(0,+∞)上恒成立，
必有x>2−a在(0,+∞)上恒成立，必有a≥2，
即a的取值范围为[2,+∞)；
又由[2,+∞)是[−1,+∞)真子集；
故p是q的必要不充分条件，
故选：B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的对称性、对数的计算，属于中档题．
结合对称性求得a+b+c的取值范围，进而求解结论．
【解答】
解：依题意函数f(x)=sinx,0≤x≤πlg2022(x−π+1),x>π，f(π2)=sinπ2=1，
y=sinx(0≤x≤π)关于x=π2对称．
不妨设0则a+b=2×π2=π，
由lg2022(x−π+1)=1可得x=2021+π，
所以π所以a+b+c∈(π+π,π+2021+π)，
即a+b+c−2π∈(0,2021)．
故选：A．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查幂指数及对数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．
通过对数运算性质可判断AD；通过幂指数运算可判断BC．
【解答】
解：因为lg38lg35=lg8lg3lg5lg3=lg8lg5=lg58，所以A错；
因为(827)−13=[(23)3]−13=32，所以B对；
因为 (3−π)2=π−3，所以C错；
因为(12)−lg27+ln(lne)=7+0=7，所以D对．
故选：BD．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了含有量词的命题的否定，基本不等式求解最值，二次不等式的解集与二次方程的根的关系的应用，不等式的性质，属于中档题．
结合含有量词的命题的否定检验选项A，结合基本不等式检验选项B，结合二次不等式的解集与二次方程根的关系检验选项C，结合不等式的性质，选取特殊值检验选项D．
【解答】
解：命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”为存在量词命题，
否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0，A正确；
x>1时，x+4x−1=x−1+4x−1+1≥2 (x−1)⋅4x−1+1=5，
当且仅当x−1=4x−1，即x=3时取等号，B正确；
由不等式ax2+2x+c>0的解集为{x|−1得ax2+2x+c=0的解为x=−1，x=2，
所以−1+2=−2a−1×2=ca，
所以a=−2，c=4，a+c=2，C正确；
当a=−1时，1a<1，D显然错误．
故选：ABC．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了象限角，诱导公式，三角函数的定义等知识，考查定义和运算能力，属于中档题．
运用象限角知识，诱导公式，三角函数的定义等知识对四个选项逐一分析可得答案．
【解答】
解：对于A，∵在△ABC中，A+B+C=π，可得：A+B=π−C，
∴cs(A+B)=cs(π−C)=−csC，故A错误；
对于B，若角α是第三象限角，即2kπ+π<α<2kπ+3π2，k∈Z，
所以2kπ3+π3<α3<2kπ3+π2，k∈Z，
当k=3n，n∈Z时，α3为第一象限角，
当k=3n+1，n∈Z时，α3为第三象限角，
当k=3n+2，n∈Z时，α3为第四象限角，
所以α3可能在第三象限，故B正确；
对于C，若tanθ=2，
则原式=sin2θ−2cs2θsin2θ+cs2θ=tan2θ−2tan2θ+1=22−222+1=25，故C正确；
对于D，锐角α终边上一点坐标为P(−cs2,sin2)，
由三角函数的定义可得tanα=sin2−cs2=−tan2=tan(π−2)，
因为α是锐角，则α=π−2正确．
故选：BCD．
12.【答案】ACD
【解析】解：由条件①得f(x)是偶函数，条件②得f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以f(3)若f(m−1)若f(x)x>0，则f(x)>0x>0或f(x)<0x<0，因为f(−1)=f(1)=0，所以x>1或−1因为定义在R上函数f(x)的图象是连续不断的，且在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(0)，
所以对∀x∈R，只需M≤f(0)即可，故D正确．
故选：ACD．
由条件可得f(x)是偶函数且在(0,+∞)上单调递增，然后逐一判断每个选项即可．
本题主要函数奇偶性和单调性的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题目．
13.【答案】120
【解析】【分析】
本题考查了扇形面积公式，属于基础题．
利用扇形面积公式计算得出．
【解答】
解：因为圆的直径为16步，
所以半径为8步，
因为弧长为30步，
所以扇形面积S=12lr=12×8×30=120，
故答案为：120．
14.【答案】[−16,0]
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数单调性的定义，属于基础题．
根据题意，分a=0与a≠0两种情况讨论，结合二次函数的性质可得关于a的不等式，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f(x)=ax2+2x−1在区间(−∞,6)上单调递增，
当a=0时，f(x)=2x−1，符合题意，
当a≠0时，f(x)为二次函数，其对称轴为x=−1a，必有−1a≥6a<0，
解可得−16≤a<0，即a的取值范围为[−16,0]；
故答案为：[−16,0]．
15.【答案】 2− 3
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和周期性的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
由题意可得f(x)的最小正周期为π，由奇函数的定义和周期性，结合特殊角的三角函数值，计算可得所求和．
【解答】
解：函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+π)=f(x)，
可得f(x)的最小正周期为π，
又当x∈[0,π2)时，f(x)=2sinx，
所以f(−133π)+f(9π4)=f(4π−133π)+f(2π+π4)=f(−π3)+f(π4)=−f(π3)+f(π4)=−2sinπ3+2sinπ4=− 3+ 2．
故答案为： 2− 3．
16.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性及转化思想，属于基础题．
由f(2)=0可得出a=2，由已知不等式结合参变量分离法可得出k<9x2−12x+4，令t=1x∈[14,13]，求出函数g(t)=9t2−12t+4在[14,13]上的最大值，即可得出实数k的取值范围，即可得解．
【解答】
解：由已知可得f(2)=lg(2a−3)=0，则2a−3=1，解得a=2，故f(x)=lg(2x−3)，由2f(x)>lg(kx2)得lg(2x−3)2>lg(kx2)，
因为x∈[3,4]，则kx2<4x2−12x+9，可得k<9x2−12x+4，
令t=1x∈[14,13]，g(t)=9t2−12t+4，
则函数g(t)在[14,13]上单调递减，
所以，g(t)max=g(14)=2516，
∴k<2516．
因此，正整数k的最大值为1．
故答案为：1．
17.【答案】解：(1)由幂函数f(x)=(m2−3m+3)xm，
可知m2−3m+3=1，解得m=1或m=2，
当m=1时，f(x)=x的图象不关于y轴对称，舍去，
当m=2时，f(x)=x2的图象关于y轴对称，满足条件，
因此，m=2．
(2)当x∈[ 22,2]时，f(x)的值域为[12,4]，则集合B=[12,4]，
由题意知B⫋A，得1−a<3a+11−a<123a+1≥4，解得a≥1，
所以a的取值范围为[1,+∞)．
【解析】本题主要考查幂函数的定义，函数的奇偶性，集合间的包含关系，属于中档题．
(1)由题意，利用幂函数的定义，函数的奇偶性，求得m的值．
(2)先求出B，再根据B⫋A，考查端点间点的大小关系，求出a的范围．
18.【答案】解：(1)f(α)=sin(2π−α)tan(π+α)sin(3π2−α)sin(α−π2)tan(3π−α)=−sinαtanα⋅(−csα)−csα⋅tan(−α)=sinα⋅csα⋅sinαcsαcsα⋅sinαcsα=sin2αsinα=sinα．
所以f(α)=sinα=−12，
因为α∈(0,2π)，
则α=7π6，或α=11π6．
(2)由(1)知：f(α)=sinα，
所以f(α)−f(3π2+α)=sinα−sin(3π2+α)=sinα+csα=15，
即sinα+csα=15，
所以sinα=15−csα，
所以cs2α+(15−csα)2=1，即(5csα−4)(10csα+6)=0，
可得csα=45或csα=−35．
因为α∈(π2,3π2)，则csα=−35，
所以sinα=15−csα=15−(−35)=45．
所以tanα=sinαcsα=45×(−53)=−43，
故tanα=−43．
【解析】(1)利用诱导公式化简函数解析式，结合已知可求f(α)=sinα=−12，结合范围α∈(0,2π)，即可求解α的值；
(2)由(1)知：f(α)=sinα，利用诱导公式化简已知等式可得sinα=15−csα，利用同角三角函数基本关系式，结合范围α∈(π2,3π2)，可求csα=−35，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解tanα的值．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由 x=|x−2|，得x2−5x+4=0，∴x1=1，x2=4；解集为{1,4}；
(2)由已知得h(x)= x, x≥|x−2||x−2|, x<|x−2|=2−x,0≤x<1 x,1≤x≤4x−2,x>4；
(3)函数h(x)的图象如图实线所示：
函数h(x)的单调递减区间是[0,1]，
单调递增区间是(1,+∞)，
其最小值为1．
【解析】本题考查了分类讨论思想及数形结合思想，属于基础题．
(1)根据题意可得 x=|x−2|，平方即可求解．
(2)由题意比较 x与|x−2|的大小，从而可得出答案．
(3)由(2)得到的函数关系，作出函数图象，根据图象可得函数的单调区间和最小值．
20.【答案】解：(1)由图象可知：A+B=1−A+B=−3，解得：A=2，B=−1，
又由于T2=7π12−π12，可得：T=π，所以ω=2πT=2，
由图像知f(π12)=1，sin(2×π12+φ)=1，又因为−π3<π6+φ<2π3，
所以2×π12+φ=π2，φ=π3.所以f(x)=2sin(2x+π3)−1．
令2x+π3=kπ(k∈Z)，得：x=kπ2−π6(k∈Z)，
所以f(x)的对称中心的坐标为(kπ2−π6,−1)(k∈Z)，
(2)依题可得g(x)=f(x+π6)+1=2sin(2x+2π3)，因为x∈[−π4,π6]，
令2x+2π3=t∈[π6,π]，所以sint∈[0,1]，
即g(x)的值域为[0,2]．
【解析】(1)利用函数图象列出A+B=1−A+B=−3，解得：A，B，结合函数的周期，求解ω，利用函数的最大值求解φ，然后得到函数的解析式，然后求解对称中心坐标．
(2)求出g(x)=f(x+π6)+1=2sin(2x+2π3)，通过x的范围，求解相位的范围，结合正弦函数的值域求解即可．
本题考查函数的解析式的求法，三角函数对称性以及三角函数图象的平移，三角函数的最值的求法，是中档题．
21.【答案】解：(1)当2≤t<10时，
p(t)=1200−k(10−t)2，
当10≤t≤20时，
p(t)=1200，
∵p(2)=1200−k(10−2)2=1200−64k=560，
∴k=10，
∴p(t)=−10t2+200t+200,2≤t<101200,10≤t≤20．
(2)Q=6p(t)−3360t−360(元)，
当2≤t<10时，
Q=6(−10t2+200t+200)−3360t−360=840−60(t+36t)≤840−60×2 t⋅36t=840−60×12=120，当且仅当t=36t，即t=6时，等号成立，
当10≤t≤20时，
Q=7200−3360t−360≤384−360=24，当t=10时，等号成立，
综上所述，当发车时间间隔为6分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大．
【解析】(1)先分别写出分段函数，再结合p(2)=560，即可求解．
(2)根据已知条件，分段求出净收益Q，再通过比较大小，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
所以f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，∵f(x)+g(x)=2lg2(1−x)，①
∴令x取−x代入上式得f(−x)+g(−x)=2lg2(1+x)，
即−f(x)+g(x)=2lg2(1+x)，②
联立①②可得，f(x)=lg2(1−x)−lg2(1+x)=lg21−x1+x(−1g(x)=lg2(1−x)+lg2(1+x)=lg2(1−x2)(−1(2)F(x)=1−x2，x∈(−1,1)，−1<|2x−1|<1，x∈(−∞,1)，
∴y=1−|2x−1|2−3k⋅|2x−1|+2k，x∈(−∞,1)．
设t=|2x−1|∈[0,1)，∴y=−t2−3kt+2k+1，t∈[0,1)，
∵当t∈(0,1)时，y=t与y=|2x−1|有两个交点，
要使函数y=F(|2x−1|)−3k⋅|2x−1|+2k有两个零点，
即使得函数y=−t2−3kt+2k+1，在t∈(0,1)有一个零点(t=0时x=0，y只有一个零点)，
即方程t2+3kt−2k−1=0在(0,1)内只有一个实根，∵Δ>0，
令u(t)=t2+3kt−2k−1，则使u(0)⋅u(1)<0即可，∴k<−12或k>0．
∴k的取值范围k∈(−∞,−12)∪(0,+∞)．
【解析】本题考查函数的解析式、定义域的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的奇偶性、换元法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想，是中档题．
(1)由奇偶性的定义可得−f(x)+g(x)=2lg2(1+x)，与f(x)+g(x)=2lg2(1−x)联立，即可求解f(x)和g(x)的解析式及定义域；
(2)设t=|2x−1|∈[0,1)，则y=−t2−3kt+2k+1，t∈[0,1)，当t∈(0,1)时，y=t与y=|2x−1|有两个交点，要使函数y=F(|2X−1|)−3k⋅|2X−1|+2k有两个零点，即使得函数y=−t2−3kt+2k+1，在t∈(0,1)有一个零点，即方程t2+3kt−2k−1=0在(0,1)内只有一个实根，由此能求出实数k的取值范围．x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
23
9
−7
11
−5
−12
−26
1.设全集U=R，集合A={x|1
2.已知函数f(x)的图像是连续的，根据如下对应值表：
函数在区间[1,6]上的零点至少有( )
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
3.下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是( )
A. y=tan2xB. y=sin2x+π2
C. y=sinxD. y=cs32π−2x
4.设a=30.7，b=(13)−0.8，c=lg0.70.8，则a，b，c的大小关系为( )
A. a
A. [1,3]B. [1,3)C. [2,3]D. [2,3)
6.素数也叫质数，部分素数可写成“2n−1”的形式(n是素数)，法国数学家马丁⋅梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n−1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数．2018年底发现的第51个梅森素数是P=282589933−1，它是目前最大的梅森素数．
已知第8个梅森素数为P=231−1，第9个梅森素数为Q=261−1，则QP约等于(参考数据：lg2≈0.3)( )
A. 107B. 108C. 109D. 1010
7.设p：关于x的方程4x−2x+1−a=0有解；q：函数f(x)=lg2(x+a−1)在区间(0,+∞)上恒为正值，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数f(x)=sinx,0≤x≤πlg2022(x−π+1),x>π，若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a+b+c−2π的取值范围是( )
A. (0,2021)B. (0,2022)C. (1,2022)D. [0,2022]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列运算中正确的是( )
A. lg38lg35=lg85B. (827)−13=32
C. (3−π)2=3−πD. (12)−lg27+ln(lne)=7
10.在下列四个命题中，正确的是( )
A. 命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”
B. 当x>1时，x+4x−1的最小值是5
C. 若不等式ax2+2x+c>0的解集为{x|−1
11.下列命题中正确的是( )
A. 在△ABC中，cs(A+B)=csC
B. 若角α是第三象限角，则α3可能在第三象限
C. 若tanθ=2，则sin2θ−2cs2θ=25
D. 锐角α终边上一点坐标为P(−cs2,sin2)，则α=π−2
12.已知定义在R上函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：
①∀x∈R，f(−x)=f(x)；
②∀x1，x2∈(0,+∞)，当x1≠x2时，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0；
③f(−1)=0．
则下列选项成立的是( )
A. f(3)
D. ∀x∈R，∃M∈R，使得f(x)≥M
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？“该问题的答案为 平方步．
14.若函数f(x)=ax2+2x−1在区间(−∞,6)上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
15.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+π)=f(x)，当x∈[0,π2)时，f(x)=2sinx，则f(−133π)+f(94π)= ．
16.已知函数f(x)=lg(ax−3)的图象经过定点(2,0)，若k为正整数，那么使得不等式2f(x)>lg(kx2)在区间[3,4]上有解的k的最大值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)xm的图象关于y轴对称，集合A={x|1−a
(2)当x∈[ 22,2]时，f(x)的值域为集合B，若x∈B是x∈A成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知f(α)=sin(2π−α)tan(π+α)sin(3π2−α)sin(α−π2)tan(3π−α)．
(1)若α∈(0,2π)，且f(α)=−12，求α的值；
(2)若f(α)−f(3π2+α)=15，且α∈(π2,3π2)，求tanα的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)= x，g(x)=|x−2|．
(1)求方程f(x)=g(x)的解集；
(2)定义：max{a,b}=a,a≥bb,a
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式及对称中心坐标；
(2)先把f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，若当x∈[−π4,π6]时，求g(x)的值域．
21.(本小题12分)
郑州市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，t∈N*，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10−t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p(t)．
(1)求p(t)的解析式；
(2)若该时段这条线路每分钟的净收益为Q=6p(t)−3360t−360(元)，问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
22.(本小题12分)
已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)=2lg2(1−x)．
(1)求f(x)及g(x)的解析式及定义域；
(2)如果函数F(x)=2g(x)，若函数y=F(|2x−1|)−3k⋅|2x−1|+2k有两个零点，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了集合交并补混合运算，属于基础题．
先求集合B的补集，再求交集即可．
【解答】
解：∵U=R，B={x|0
又∵A={x|1
故选D．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了零点判定定理，属于基础题．
利用零点存在性定理即可求解．
【解答】
解：函数f(x)的图像是连续的，f(2)f(3)=−63<0；
f(3)f(4)=−77<0，
f(4)f(5)=−55<0，
所以f(x)在(2,3)、(3,4)，(3,4)之间一定有零点，
即函数在区间[1,6]上的零点至少有3个．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查诱导公式的应用，三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题．
结合三角函数的诱导公式，判断三角函数的奇偶性和周期性，逐一判断各个选项是否满足条件，从而得出结论．
【解答】
解：由于y=tan2x为奇函数，周期为π2，故排除A；
由于y=sin(2x+π2)=cs2x，是偶函数，故排除B；
由于y=|sinx|是偶函数，所以排除C；
由于y=cs(32π−2x)=−sin2x是奇函数，周期为π，故D正确，
故选：D．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数的图象与性质比较大小、利用对数函数的图象与性质比较大小，属于基础题．
利用指数函数与对数函数的性质，求出a，b，c的取值范围，即可求出结果．
【解答】
解：∵b=(13)−0.8=30.8>30.7>30=1，
∴b>a>1，
∵lg0.70.8<，
∴c<1，
∴c
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正切函数和对数函数的单调性，函数值域的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．
根据正切函数的单调性可得出 33≤tanx< 3，然后根据对数函数的单调性即可求出f(x)的值域．
【解答】
解：∵x∈[π6,π3),
∴ 33≤tanx< 3，
∴lg 3 33≤lg 3tanx
∴1≤f(x)<3，
∴f(x)的值域为[1,3)．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：QP=261−1231−1≈230，
令230=k，则lg230=lgk，
∴30lg2=lgk，
又lg2≈0.3，∴lgk=9，
即k=109，
∴QP约等于109．
故选：C．
由QP=261−1231−1≈230，令230=k，化指数式为对数式求解．
本题考查有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，是基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，涉及充分必要的定义和判断，属于中档题．
根据题意，分析命题p、q为真时a的取值范围，结合充分必要条件的定义分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，对于p，方程4x−2x+1−a=0，
设t=2x，(t>0)，则t2−2t−a=0，
变形可得：a=t2−2t=(t−1)2−1，(t>0)，
若关于x的方程4x−2x+1−a=0有解，必有a≥−1，
即a的取值范围为[−1,+∞)；
对于q，函数f(x)=lg2(x+a−1)在区间(0,+∞)上恒为正值，
则有x+a−1>1在区间(0,+∞)上恒成立，
必有x>2−a在(0,+∞)上恒成立，必有a≥2，
即a的取值范围为[2,+∞)；
又由[2,+∞)是[−1,+∞)真子集；
故p是q的必要不充分条件，
故选：B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的对称性、对数的计算，属于中档题．
结合对称性求得a+b+c的取值范围，进而求解结论．
【解答】
解：依题意函数f(x)=sinx,0≤x≤πlg2022(x−π+1),x>π，f(π2)=sinπ2=1，
y=sinx(0≤x≤π)关于x=π2对称．
不妨设0
由lg2022(x−π+1)=1可得x=2021+π，
所以π
即a+b+c−2π∈(0,2021)．
故选：A．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查幂指数及对数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．
通过对数运算性质可判断AD；通过幂指数运算可判断BC．
【解答】
解：因为lg38lg35=lg8lg3lg5lg3=lg8lg5=lg58，所以A错；
因为(827)−13=[(23)3]−13=32，所以B对；
因为 (3−π)2=π−3，所以C错；
因为(12)−lg27+ln(lne)=7+0=7，所以D对．
故选：BD．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了含有量词的命题的否定，基本不等式求解最值，二次不等式的解集与二次方程的根的关系的应用，不等式的性质，属于中档题．
结合含有量词的命题的否定检验选项A，结合基本不等式检验选项B，结合二次不等式的解集与二次方程根的关系检验选项C，结合不等式的性质，选取特殊值检验选项D．
【解答】
解：命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”为存在量词命题，
否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0，A正确；
x>1时，x+4x−1=x−1+4x−1+1≥2 (x−1)⋅4x−1+1=5，
当且仅当x−1=4x−1，即x=3时取等号，B正确；
由不等式ax2+2x+c>0的解集为{x|−1
所以−1+2=−2a−1×2=ca，
所以a=−2，c=4，a+c=2，C正确；
当a=−1时，1a<1，D显然错误．
故选：ABC．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了象限角，诱导公式，三角函数的定义等知识，考查定义和运算能力，属于中档题．
运用象限角知识，诱导公式，三角函数的定义等知识对四个选项逐一分析可得答案．
【解答】
解：对于A，∵在△ABC中，A+B+C=π，可得：A+B=π−C，
∴cs(A+B)=cs(π−C)=−csC，故A错误；
对于B，若角α是第三象限角，即2kπ+π<α<2kπ+3π2，k∈Z，
所以2kπ3+π3<α3<2kπ3+π2，k∈Z，
当k=3n，n∈Z时，α3为第一象限角，
当k=3n+1，n∈Z时，α3为第三象限角，
当k=3n+2，n∈Z时，α3为第四象限角，
所以α3可能在第三象限，故B正确；
对于C，若tanθ=2，
则原式=sin2θ−2cs2θsin2θ+cs2θ=tan2θ−2tan2θ+1=22−222+1=25，故C正确；
对于D，锐角α终边上一点坐标为P(−cs2,sin2)，
由三角函数的定义可得tanα=sin2−cs2=−tan2=tan(π−2)，
因为α是锐角，则α=π−2正确．
故选：BCD．
12.【答案】ACD
【解析】解：由条件①得f(x)是偶函数，条件②得f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以f(3)
所以对∀x∈R，只需M≤f(0)即可，故D正确．
故选：ACD．
由条件可得f(x)是偶函数且在(0,+∞)上单调递增，然后逐一判断每个选项即可．
本题主要函数奇偶性和单调性的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题目．
13.【答案】120
【解析】【分析】
本题考查了扇形面积公式，属于基础题．
利用扇形面积公式计算得出．
【解答】
解：因为圆的直径为16步，
所以半径为8步，
因为弧长为30步，
所以扇形面积S=12lr=12×8×30=120，
故答案为：120．
14.【答案】[−16,0]
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数单调性的定义，属于基础题．
根据题意，分a=0与a≠0两种情况讨论，结合二次函数的性质可得关于a的不等式，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f(x)=ax2+2x−1在区间(−∞,6)上单调递增，
当a=0时，f(x)=2x−1，符合题意，
当a≠0时，f(x)为二次函数，其对称轴为x=−1a，必有−1a≥6a<0，
解可得−16≤a<0，即a的取值范围为[−16,0]；
故答案为：[−16,0]．
15.【答案】 2− 3
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和周期性的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
由题意可得f(x)的最小正周期为π，由奇函数的定义和周期性，结合特殊角的三角函数值，计算可得所求和．
【解答】
解：函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+π)=f(x)，
可得f(x)的最小正周期为π，
又当x∈[0,π2)时，f(x)=2sinx，
所以f(−133π)+f(9π4)=f(4π−133π)+f(2π+π4)=f(−π3)+f(π4)=−f(π3)+f(π4)=−2sinπ3+2sinπ4=− 3+ 2．
故答案为： 2− 3．
16.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性及转化思想，属于基础题．
由f(2)=0可得出a=2，由已知不等式结合参变量分离法可得出k<9x2−12x+4，令t=1x∈[14,13]，求出函数g(t)=9t2−12t+4在[14,13]上的最大值，即可得出实数k的取值范围，即可得解．
【解答】
解：由已知可得f(2)=lg(2a−3)=0，则2a−3=1，解得a=2，故f(x)=lg(2x−3)，由2f(x)>lg(kx2)得lg(2x−3)2>lg(kx2)，
因为x∈[3,4]，则kx2<4x2−12x+9，可得k<9x2−12x+4，
令t=1x∈[14,13]，g(t)=9t2−12t+4，
则函数g(t)在[14,13]上单调递减，
所以，g(t)max=g(14)=2516，
∴k<2516．
因此，正整数k的最大值为1．
故答案为：1．
17.【答案】解：(1)由幂函数f(x)=(m2−3m+3)xm，
可知m2−3m+3=1，解得m=1或m=2，
当m=1时，f(x)=x的图象不关于y轴对称，舍去，
当m=2时，f(x)=x2的图象关于y轴对称，满足条件，
因此，m=2．
(2)当x∈[ 22,2]时，f(x)的值域为[12,4]，则集合B=[12,4]，
由题意知B⫋A，得1−a<3a+11−a<123a+1≥4，解得a≥1，
所以a的取值范围为[1,+∞)．
【解析】本题主要考查幂函数的定义，函数的奇偶性，集合间的包含关系，属于中档题．
(1)由题意，利用幂函数的定义，函数的奇偶性，求得m的值．
(2)先求出B，再根据B⫋A，考查端点间点的大小关系，求出a的范围．
18.【答案】解：(1)f(α)=sin(2π−α)tan(π+α)sin(3π2−α)sin(α−π2)tan(3π−α)=−sinαtanα⋅(−csα)−csα⋅tan(−α)=sinα⋅csα⋅sinαcsαcsα⋅sinαcsα=sin2αsinα=sinα．
所以f(α)=sinα=−12，
因为α∈(0,2π)，
则α=7π6，或α=11π6．
(2)由(1)知：f(α)=sinα，
所以f(α)−f(3π2+α)=sinα−sin(3π2+α)=sinα+csα=15，
即sinα+csα=15，
所以sinα=15−csα，
所以cs2α+(15−csα)2=1，即(5csα−4)(10csα+6)=0，
可得csα=45或csα=−35．
因为α∈(π2,3π2)，则csα=−35，
所以sinα=15−csα=15−(−35)=45．
所以tanα=sinαcsα=45×(−53)=−43，
故tanα=−43．
【解析】(1)利用诱导公式化简函数解析式，结合已知可求f(α)=sinα=−12，结合范围α∈(0,2π)，即可求解α的值；
(2)由(1)知：f(α)=sinα，利用诱导公式化简已知等式可得sinα=15−csα，利用同角三角函数基本关系式，结合范围α∈(π2,3π2)，可求csα=−35，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解tanα的值．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由 x=|x−2|，得x2−5x+4=0，∴x1=1，x2=4；解集为{1,4}；
(2)由已知得h(x)= x, x≥|x−2||x−2|, x<|x−2|=2−x,0≤x<1 x,1≤x≤4x−2,x>4；
(3)函数h(x)的图象如图实线所示：
函数h(x)的单调递减区间是[0,1]，
单调递增区间是(1,+∞)，
其最小值为1．
【解析】本题考查了分类讨论思想及数形结合思想，属于基础题．
(1)根据题意可得 x=|x−2|，平方即可求解．
(2)由题意比较 x与|x−2|的大小，从而可得出答案．
(3)由(2)得到的函数关系，作出函数图象，根据图象可得函数的单调区间和最小值．
20.【答案】解：(1)由图象可知：A+B=1−A+B=−3，解得：A=2，B=−1，
又由于T2=7π12−π12，可得：T=π，所以ω=2πT=2，
由图像知f(π12)=1，sin(2×π12+φ)=1，又因为−π3<π6+φ<2π3，
所以2×π12+φ=π2，φ=π3.所以f(x)=2sin(2x+π3)−1．
令2x+π3=kπ(k∈Z)，得：x=kπ2−π6(k∈Z)，
所以f(x)的对称中心的坐标为(kπ2−π6,−1)(k∈Z)，
(2)依题可得g(x)=f(x+π6)+1=2sin(2x+2π3)，因为x∈[−π4,π6]，
令2x+2π3=t∈[π6,π]，所以sint∈[0,1]，
即g(x)的值域为[0,2]．
【解析】(1)利用函数图象列出A+B=1−A+B=−3，解得：A，B，结合函数的周期，求解ω，利用函数的最大值求解φ，然后得到函数的解析式，然后求解对称中心坐标．
(2)求出g(x)=f(x+π6)+1=2sin(2x+2π3)，通过x的范围，求解相位的范围，结合正弦函数的值域求解即可．
本题考查函数的解析式的求法，三角函数对称性以及三角函数图象的平移，三角函数的最值的求法，是中档题．
21.【答案】解：(1)当2≤t<10时，
p(t)=1200−k(10−t)2，
当10≤t≤20时，
p(t)=1200，
∵p(2)=1200−k(10−2)2=1200−64k=560，
∴k=10，
∴p(t)=−10t2+200t+200,2≤t<101200,10≤t≤20．
(2)Q=6p(t)−3360t−360(元)，
当2≤t<10时，
Q=6(−10t2+200t+200)−3360t−360=840−60(t+36t)≤840−60×2 t⋅36t=840−60×12=120，当且仅当t=36t，即t=6时，等号成立，
当10≤t≤20时，
Q=7200−3360t−360≤384−360=24，当t=10时，等号成立，
综上所述，当发车时间间隔为6分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大．
【解析】(1)先分别写出分段函数，再结合p(2)=560，即可求解．
(2)根据已知条件，分段求出净收益Q，再通过比较大小，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
所以f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，∵f(x)+g(x)=2lg2(1−x)，①
∴令x取−x代入上式得f(−x)+g(−x)=2lg2(1+x)，
即−f(x)+g(x)=2lg2(1+x)，②
联立①②可得，f(x)=lg2(1−x)−lg2(1+x)=lg21−x1+x(−1
∴y=1−|2x−1|2−3k⋅|2x−1|+2k，x∈(−∞,1)．
设t=|2x−1|∈[0,1)，∴y=−t2−3kt+2k+1，t∈[0,1)，
∵当t∈(0,1)时，y=t与y=|2x−1|有两个交点，
要使函数y=F(|2x−1|)−3k⋅|2x−1|+2k有两个零点，
即使得函数y=−t2−3kt+2k+1，在t∈(0,1)有一个零点(t=0时x=0，y只有一个零点)，
即方程t2+3kt−2k−1=0在(0,1)内只有一个实根，∵Δ>0，
令u(t)=t2+3kt−2k−1，则使u(0)⋅u(1)<0即可，∴k<−12或k>0．
∴k的取值范围k∈(−∞,−12)∪(0,+∞)．
【解析】本题考查函数的解析式、定义域的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的奇偶性、换元法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想，是中档题．
(1)由奇偶性的定义可得−f(x)+g(x)=2lg2(1+x)，与f(x)+g(x)=2lg2(1−x)联立，即可求解f(x)和g(x)的解析式及定义域；
(2)设t=|2x−1|∈[0,1)，则y=−t2−3kt+2k+1，t∈[0,1)，当t∈(0,1)时，y=t与y=|2x−1|有两个交点，要使函数y=F(|2X−1|)−3k⋅|2X−1|+2k有两个零点，即使得函数y=−t2−3kt+2k+1，在t∈(0,1)有一个零点，即方程t2+3kt−2k−1=0在(0,1)内只有一个实根，由此能求出实数k的取值范围．x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
23
9
−7
11
−5
−12
−26
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