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浙江省台州市路桥区2022-2023学年下学期七年级期中数学模拟试卷
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这是一份浙江省台州市路桥区2022-2023学年下学期七年级期中数学模拟试卷，共24页。
A．
B．
C．
D．
2．（3分）下列各数中，无理数的是（ ）
A．B．
C．0.121221222D．π
3．（3分）设面积为7的正方形边长为m，下列关于m的四种说法：①m是无理数；②m可用数轴上的一个点来表示；③3＜m＜4；④m是49的算术平方根，其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（3分）已知平面直角坐标系内的点P（x，y）的纵坐标、横坐标满足下列条件：y＝﹣x2，则点P位于（ ）
A．x轴上方（含x轴的一点）B．x轴下方（含x轴的一点）
C．y轴右方（含y轴的一点）D．y轴左方（含y轴的一点）
5．（3分）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠DAC＝∠BCAB．∠D＝∠DCE
C．∠B＝∠DCED．∠BAD+∠B＝180°更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2﹣＝1B．﹣＝﹣6C．＝±2D．＝﹣3
7．（3分）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点（﹣1，﹣2），“炮”位于（﹣4，1），则“象”位于点（ ）
A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD＝，AB＝1，则∠BOC的度数为（ ）
A．60°B．120°或60°C．120°D．30°或60°
9．（3分）如图，∠1＝75°，∠2＝75°，∠3＝112°，则∠5﹣∠4的度数是（ ）
A．68°B．44°C．180°D．34°
10．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中．有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列．如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），根据这个规律探索可得．第2021个点的坐标为（ ）
A．（64，4）B．（63，0）C．（63，4）D．（64，2）
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，经过点A（﹣3，4）且垂直于y轴的直线可以表示为直线 ．
12．（4分）写出命题“圆内接四边形的对角互补”的逆命题： ．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝3cm，将△ABC沿着与AB垂直的方向向上平移2cm，得到△FDE，则阴影部分的面积 ．
14．（4分）若一个数的平方等于3，则这个数等于 ．
15．（4分）定义：在平面直角坐标系中，已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“友好间距”．例如：点P1（﹣2，2），P2（0，2），P3（0，3）的“友好间距”是1，点Q1（2，1），Q2（5，1），Q3（2，5）的“友好间距”是 ；已知点A（1，0），B（1，5），C（x，5），则点A，B，C的“友好间距”的最大值为 ．
16．（4分）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）计算：+|2﹣|+﹣．
18．（6分）如图，已知线段a，b，用圆规和直尺作线段AB，使它等于2a﹣b．
19．（6分）（1）为了增加小区的绿化面积，幸福公园准备修建一个面积121πm2的草坪，草坪周围用篱笆围绕．现从对称美的角度考虑有甲，乙两种方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建成圆形的．如果从节省篱笆费用的角度考虑，你会选择哪种方案？请说明理由；
（2）在（1）的方案中，审批时发现修如此大的草坪，目的是亲近自然，若按上述方案就没达到目的．因此建议用如图的设计方案：建成正方形，正方形里修三条小路，三条小路的宽度是一样，这样草坪的实际面积就减少了21πm2，请你根据此方案求出各小路的宽度．
20．（8分）已知：如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，点M、G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．
求证：∠DMB+∠ABC＝180°．
小勇在做上面这道题时用了以下推理过程．请帮他在横线上填写结论，在括号内填写推理依据．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知），
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90° （ ）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴ （同位角相等，两直线平行）．
∴∠CBD＝∠2 ．
∵∠1＝∠2（已知）．
∴∠CBD＝∠1 （ ）．
∴ （ ）．
∵∠AMD＝∠AGF（已知）．
∴GF∥MD（同位角相等，两直线平行）．
∴BC∥MD （ ）．
∴∠DMB+∠ABC＝180° （ ）．
21．（8分）在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，且点A'的坐标为（﹣2，2），现将三角形ABC平移，使点A变换为A'，点B'、C′分别是点B、C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形A'B'C'，并直接写出点B'、C'的坐标；
（2）若三角形ABC内有一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P'的坐标为 ．
（3）求四边形A'BCC'的面积．
22．（10分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD于点O．
（1）若∠AOF＝50°，求∠BOE的度数．
（2）若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．
23．（10分）如图1，教材P41页有这样一个探究：把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形．试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 ；
（2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为 ， ；
（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在两条数轴上分别找到表示以及的点．（作图过程中标出必要线段长）
24．（12分）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当a＞0时，∵a+＝（）2﹣2+（）2+2＝（）2+2，
∴当＝，即a＝1时，a+的最小值为2．
请利用以上结果解决下面的问题：
（1）当a＞0时，a+的最小值为 ；当a＜0时，a+的最大值为 ；
（2）当a＞0时，求的最小值；
（3）如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若△AOD的面积为1，△BOC的面积为4，求四边形ABCD面积的最小值．
2022-2023学年浙江省台州市路桥区七年级下学期期中数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在下列图形中，不能由基本图形通过平移得到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据平移的性质即可进行判断．
【解答】解：A，B，D中的图形都能由基本图形通过平移得到，
C中的图形不能由基本图形通过平移得到．
故选：C．
2．（3分）下列各数中，无理数的是（ ）
A．B．
C．0.121221222D．π
【答案】D
【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
【解答】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、＝2，2是有理数，故此选项不符合题意；
C、0.121221222是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、π是无理数，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）设面积为7的正方形边长为m，下列关于m的四种说法：①m是无理数；②m可用数轴上的一个点来表示；③3＜m＜4；④m是49的算术平方根，其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据题意可得m＝，即可判断①②④，再估算出的值，即可判断③．
【解答】解：由题意得：
m2＝7，
∴m＝或m＝﹣（舍去），
∴m是无理数，
故①正确；
∴m可用数轴上的一个点来表示，
故②正确；
∴m是7的算术平方根，
故④不正确；
∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴2＜m＜3，
故③不正确；
所以，上列关于m的四种说法，其中正确的个数为2，
故选：B．
4．（3分）已知平面直角坐标系内的点P（x，y）的纵坐标、横坐标满足下列条件：y＝﹣x2，则点P位于（ ）
A．x轴上方（含x轴的一点）B．x轴下方（含x轴的一点）
C．y轴右方（含y轴的一点）D．y轴左方（含y轴的一点）
【答案】B
【分析】易得x可取任意值，y为非正数，那么可求得此点所在的位置．
【解答】解：∵y＝﹣x2，
∴y≤0，
∴点P（x，y）位于x轴下方（含x轴的一点），
故选：B．
5．（3分）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠DAC＝∠BCAB．∠D＝∠DCE
C．∠B＝∠DCED．∠BAD+∠B＝180°
【答案】C
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：A、当∠DAC＝∠BCA时，可得：AD∥BC，不合题意；
B、当∠D＝∠DCE时，可得：AD∥BC，不合题意；
C、当∠B＝∠DCE时，可得：AB∥CD，符合题意；
D、当∠BAD+∠B＝180°时，可得：AD∥BC，不合题意；
故选：C．
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2﹣＝1B．﹣＝﹣6C．＝±2D．＝﹣3
【答案】D
【分析】根据二次根式的加减运算、二次根式的性质以及立方根的性质即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝，故A不符合题意．
B、原式＝，故B不符合题意．
C、原式＝2，故C不符合题意．
D、原式＝﹣3，故D符合题意．
故选：D．
7．（3分）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点（﹣1，﹣2），“炮”位于（﹣4，1），则“象”位于点（ ）
A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
【答案】C
【分析】根据“将”和“炮”的坐标建立平面直角坐标系，据此可得答案．
【解答】解：由“将”和“炮”的坐标可建立如图所示平面直角坐标系：
，
故“象”位于点（1，﹣2）．
故选：C．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD＝，AB＝1，则∠BOC的度数为（ ）
A．60°B．120°或60°C．120°D．30°或60°
【答案】C
【分析】利用矩形的性质求得OA＝OD及BD的长，根据30°所对的直角边是斜边的一半求出∠OAD＝∠ADO＝30°，根据三角形内角和求出∠AOD，进而求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝AC，OD＝BD，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
BD＝＝＝2，
∴∠OAD＝∠ADO＝30°，
∴∠BOC＝∠AOD＝180°﹣∠OAD﹣∠ADO＝120°，
故选：C．
9．（3分）如图，∠1＝75°，∠2＝75°，∠3＝112°，则∠5﹣∠4的度数是（ ）
A．68°B．44°C．180°D．34°
【答案】见试题解答内容
【分析】由∠1＝75°，∠2＝75°可证明直线a∥b，根据平行线的性质求出∠4、∠5，根据角的和差即可求解．
【解答】解：∵∠1＝75°，∠2＝75°，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠3+∠4＝180°，∠3＝∠5，
又∵∠3＝112°，
∴∠4＝68°，∠5＝112°，
∴∠5﹣∠4＝44°．
故选：B．
10．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中．有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列．如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），根据这个规律探索可得．第2021个点的坐标为（ ）
A．（64，4）B．（63，0）C．（63，4）D．（64，2）
【答案】A
【分析】应先判断出第2021个数在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．
【解答】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，
依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，
第n列有n个数．则n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．
因为1+2+3+…+63＝2016，则第2021个数一定在第64列，由下到上是第5个数．
因而第2021个点的坐标是（64，4）．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，经过点A（﹣3，4）且垂直于y轴的直线可以表示为直线 y＝4 ．
【答案】y＝4．
【分析】垂直于y轴的直线，纵坐标相等为4，所以为直线：y＝4．
【解答】解：由题意得：经过点A（﹣3，4）且垂直于y轴的直线可以表示为直线为：y＝4，
故答案为：y＝4．
12．（4分）写出命题“圆内接四边形的对角互补”的逆命题： 对角互补的四边形是圆内接四边形 ．
【答案】对角互补的四边形是圆内接四边形．
【分析】根据逆命题是条件、结论互换解答即可．
【解答】解：命题“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：对角互补的四边形是圆内接四边形，
故答案为：对角互补的四边形是圆内接四边形．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝3cm，将△ABC沿着与AB垂直的方向向上平移2cm，得到△FDE，则阴影部分的面积 8cm2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先依据平移的性质得出四边形ABDF是平行四边形，又∠ABD＝90°，可证四边形ABDF是矩形；依据平移的性质得出S△ABC＝S△FDE，那么阴影部分的面积＝矩形ABDF的面积＝4×2＝8cm2．
【解答】解：由平移可得，DF＝AB，DF∥AB，
∴四边形ABDF是平行四边形，
又由平移的方向可得，∠ABD＝90°，
∴四边形ABDF是矩形；
由平移可得，△ABC≌△FDE，BD＝2cm，
∴S△ABC＝S△FDE，
∴阴影部分的面积＝矩形ABDF的面积＝AB•BD＝4×2＝8cm2．
故答案为：8cm2．
14．（4分）若一个数的平方等于3，则这个数等于 ± ．
【答案】±．
【分析】根据平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：∵（±）2＝3，
∴这个数为±，
故答案为：±．
15．（4分）定义：在平面直角坐标系中，已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“友好间距”．例如：点P1（﹣2，2），P2（0，2），P3（0，3）的“友好间距”是1，点Q1（2，1），Q2（5，1），Q3（2，5）的“友好间距”是 3 ；已知点A（1，0），B（1，5），C（x，5），则点A，B，C的“友好间距”的最大值为 5 ．
【答案】3；5．
【分析】认真读懂题意，根据新定义计算两点间距离，再确定“友好间距”．
【解答】解：∵点Q1（2，1），Q2（5，1），Q3（2，5），
∴Q1Q2＝＝3，
Q1Q3＝＝4，
Q3Q2＝＝5，
∵3＜4＜5，
∴“友好间距”是3；
∵点A（1，0），B（1，5），C（x，5），
∴△ABC是直角三角形，
∴AB＝＝5，
AC＝≥5，
BC＝＝|1﹣x|，
∵点A，B，C有“友好间距”，
∴当BC≥5时，友好间距是5，
当BC＜5时，友好间距是|1﹣x|，
∴点A，B，C的“友好间距”的最大值为 5．
故答案为：3；5；
16．（4分）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 40°或140° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；
②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．
【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝40°，
∴∠2＝40°；
②若∠1与∠2位置如图2所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠1＝180°，
又∵∠1＝40°
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
综合所述：∠2的度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）计算：+|2﹣|+﹣．
【答案】+2．
【分析】直接利用二次根式的性质和立方根的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝．
18．（6分）如图，已知线段a，b，用圆规和直尺作线段AB，使它等于2a﹣b．
【答案】见试题解答内容
【分析】在射线AM上截取AB＝BC＝a，再截取CD＝b，则线段AD满足条件．
【解答】解：如图，AD为所作．
19．（6分）（1）为了增加小区的绿化面积，幸福公园准备修建一个面积121πm2的草坪，草坪周围用篱笆围绕．现从对称美的角度考虑有甲，乙两种方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建成圆形的．如果从节省篱笆费用的角度考虑，你会选择哪种方案？请说明理由；
（2）在（1）的方案中，审批时发现修如此大的草坪，目的是亲近自然，若按上述方案就没达到目的．因此建议用如图的设计方案：建成正方形，正方形里修三条小路，三条小路的宽度是一样，这样草坪的实际面积就减少了21πm2，请你根据此方案求出各小路的宽度．
【答案】（1）从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形．理由见解析；
（2）小路的宽度为m．
【分析】（1）甲方案：设正方形的边长为xm，则x2＝121π，可算出x的值，即可算出正方形的周长，乙方案：设圆的半径为rm，则πr2＝121π，可算出r的值，即可算出圆的周长，应用作差比较大小的方法进行求解即可得出答案；
（2）依题意可进行如图所示的平移，设小路的宽度为ym，则：（11﹣y）2＝121π﹣21π，计算即可得出答案．
【解答】解：（1）甲方案：设正方形的边长为xm，则x2＝121π，
∴x＝11，
∴正方形的周长为：4x＝44m，
乙方案：设圆的半径为rm，则πr2＝121π，
∴r＝11，
∴圆的周长为：2πr＝22π（m），
∴44﹣22π＝22（2﹣），
∵4＞π，
∴2，
∴＞0，
∴正方形的周长比圆的周长大，
故从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形．
（2）依题意可进行如图所示的平移，设小路的宽度为ym，
则：（11﹣y）2＝121π﹣21π，
∴11﹣y＝10，
∴y＝，
答：根据此方案求出小路的宽度为m．
20．（8分）已知：如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，点M、G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．
求证：∠DMB+∠ABC＝180°．
小勇在做上面这道题时用了以下推理过程．请帮他在横线上填写结论，在括号内填写推理依据．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知），
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90° （ 垂直的定义 ）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴ BD∥EF （同位角相等，两直线平行）．
∴∠CBD＝∠2 （两直线平行，同位角相等） ．
∵∠1＝∠2（已知）．
∴∠CBD＝∠1 （ 等量代换 ）．
∴ GF∥BC （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∵∠AMD＝∠AGF（已知）．
∴GF∥MD（同位角相等，两直线平行）．
∴BC∥MD （ 平行公理的推论 ）．
∴∠DMB+∠ABC＝180° （ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
【答案】垂直的定义，BD∥EF，两直线平行，同位角相等，等量代换，GF∥BC，内错角相等，两直线平行，平行公理的推论，两直线平行，同旁内角互补．
【分析】根据垂直定义得出∠BDC＝∠EFC，根据平行线的判定推出BD∥EF，根据平行线的性质得出∠CBD＝∠2，求出∠CBD＝∠1，根据平行线的判定得出GF∥BC，GF∥MD即可．
【解答】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知），
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（ 垂直的定义 ），
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换），
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠CBD＝∠2（ 两直线平行，同位角相等 ），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠CBD＝∠1（等量代换），
∴GF∥BC（内错角相等，两直线平行 ），
∵∠AMD＝∠AGF（已知），
∴GF∥MD（同位角相等，两直线平行），
∴BC∥MD（平行公理的推论），
∴∠DMB+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：垂直的定义，BD∥EF，两直线平行，同位角相等，等量代换，GF∥BC，内错角相等，两直线平行，平行公理的推论，两直线平行，同旁内角互补．
21．（8分）在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，且点A'的坐标为（﹣2，2），现将三角形ABC平移，使点A变换为A'，点B'、C′分别是点B、C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形A'B'C'，并直接写出点B'、C'的坐标；
（2）若三角形ABC内有一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P'的坐标为 （a﹣5，b﹣2） ．
（3）求四边形A'BCC'的面积．
【答案】（1）△A'B'C'即为所求；B'（﹣4，1）、C'（﹣1，﹣1）；
（2）（a﹣5，b﹣2）；
（3）13．
【分析】（1）根据平移的性质即可画出△A'B'C'，并写出点B'、C'的坐标；
（2）结合（1）左移5个单位长度，下移2个单位长度即可得点P的对应点P'的坐标；
（3）根据网格即可求四边形A'BCC'的面积．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
∴B'（﹣4，1）、C'（﹣1，﹣1）；
（2）P'的坐标为（a﹣5，b﹣2）．
故答案为：（a﹣5，b﹣2）．
（3）四边形A'BCC'的面积为：6×4﹣5×2﹣2×3﹣1×3﹣3×1＝13．
22．（10分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD于点O．
（1）若∠AOF＝50°，求∠BOE的度数．
（2）若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．
【答案】（1）70°；（2）70°．
【分析】（1）由角平分线定义，邻补角的性质，即可求解：
（2）由∠BOD：∠BOE＝1：4，列出关于∠BOD的方程，即可求解．
【解答】解：（1）∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠AOF＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝70°；
（2）设∠BOD＝x° 则∠BOE＝4x°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOE＝8x°，
∵∠BOD+∠BOC＝180°，
∴x+8x＝180，
∴x＝20，
∴∠AOC＝∠BOD＝x°＝20°，
∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝70°．
23．（10分）如图1，教材P41页有这样一个探究：把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形．试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 ；
（2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为 ， ；
（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在两条数轴上分别找到表示以及的点．（作图过程中标出必要线段长）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长；
（2）依据图2中小正方形对角线长为，AO＝﹣1，BO＝+1，即可得到A，B两点表示的数为1﹣和1+；
（3）先根据大正方形的面积为5，可得小长方形的对角线长为，进而在两条数轴上分别找到表示以及的点．
【解答】解：（1）∵面积为2dm2的大正方形的边就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，
∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即，
故答案为：；
（2）图2中小正方形对角线长为，AO＝﹣1，BO＝+1，
∴A，B两点表示的数为1﹣和1+；
故答案为：1﹣；1+；
（3）如图3，大正方形的面积为5，
∴小长方形的对角线长为，
如图所示，点C表示的数为；
如图所示，点D表示的数为．
24．（12分）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当a＞0时，∵a+＝（）2﹣2+（）2+2＝（）2+2，
∴当＝，即a＝1时，a+的最小值为2．
请利用以上结果解决下面的问题：
（1）当a＞0时，a+的最小值为 4 ；当a＜0时，a+的最大值为 ﹣4 ；
（2）当a＞0时，求的最小值；
（3）如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若△AOD的面积为1，△BOC的面积为4，求四边形ABCD面积的最小值．
【答案】（1）4；﹣4；
（2）9；
（3）9+6．
【分析】（1）根据阅读材料计算即可；
（2）将的分子分别除以分母，展开，根据（1）中结论求得最小值，再加上常数即可；
（3）设S△AOB＝x，已知S△AOD＝3，S△BOC＝6，则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△COD，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给方法求得最小值，加上常数即可．
【解答】解：（1）当a＞0时，
∵a+＝（）2﹣2•+（）2+2•＝（﹣）2+4≥4，
∴当＝，即a＝2时，a+的最小值为4；
当a＜0时，a+＝﹣（﹣a﹣），
∵﹣a﹣＝（）2﹣2•+（）2+2•＝（﹣）2+4≥4，
∴﹣（﹣a﹣）＝﹣[（﹣）2+4]≤﹣4，
∴当＝，即a＝﹣2时，a+的最大值为﹣4；
故答案为：4；﹣4；
（2）由＝2a++3，
由（1）中结论可知，当＝，即a＝2时，2a+的最小值为6，
∴的最小值为9；
（3）设S△AOB＝x，已知S△AOD＝3，S△BOC＝6．
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD，
∴6：S△COD＝x：3，
∴S△COD＝，
∴四边形ABCD面积＝3+6+x+＝9+x+，
∵x+＝（）2﹣2•+（）2+2•＝（﹣）2+6≥6，
当＝，即x＝3时，四边形ABCD面积的最小值为9+6．
A．
B．
C．
D．
2．（3分）下列各数中，无理数的是（ ）
A．B．
C．0.121221222D．π
3．（3分）设面积为7的正方形边长为m，下列关于m的四种说法：①m是无理数；②m可用数轴上的一个点来表示；③3＜m＜4；④m是49的算术平方根，其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（3分）已知平面直角坐标系内的点P（x，y）的纵坐标、横坐标满足下列条件：y＝﹣x2，则点P位于（ ）
A．x轴上方（含x轴的一点）B．x轴下方（含x轴的一点）
C．y轴右方（含y轴的一点）D．y轴左方（含y轴的一点）
5．（3分）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠DAC＝∠BCAB．∠D＝∠DCE
C．∠B＝∠DCED．∠BAD+∠B＝180°更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2﹣＝1B．﹣＝﹣6C．＝±2D．＝﹣3
7．（3分）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点（﹣1，﹣2），“炮”位于（﹣4，1），则“象”位于点（ ）
A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD＝，AB＝1，则∠BOC的度数为（ ）
A．60°B．120°或60°C．120°D．30°或60°
9．（3分）如图，∠1＝75°，∠2＝75°，∠3＝112°，则∠5﹣∠4的度数是（ ）
A．68°B．44°C．180°D．34°
10．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中．有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列．如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），根据这个规律探索可得．第2021个点的坐标为（ ）
A．（64，4）B．（63，0）C．（63，4）D．（64，2）
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，经过点A（﹣3，4）且垂直于y轴的直线可以表示为直线 ．
12．（4分）写出命题“圆内接四边形的对角互补”的逆命题： ．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝3cm，将△ABC沿着与AB垂直的方向向上平移2cm，得到△FDE，则阴影部分的面积 ．
14．（4分）若一个数的平方等于3，则这个数等于 ．
15．（4分）定义：在平面直角坐标系中，已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“友好间距”．例如：点P1（﹣2，2），P2（0，2），P3（0，3）的“友好间距”是1，点Q1（2，1），Q2（5，1），Q3（2，5）的“友好间距”是 ；已知点A（1，0），B（1，5），C（x，5），则点A，B，C的“友好间距”的最大值为 ．
16．（4分）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）计算：+|2﹣|+﹣．
18．（6分）如图，已知线段a，b，用圆规和直尺作线段AB，使它等于2a﹣b．
19．（6分）（1）为了增加小区的绿化面积，幸福公园准备修建一个面积121πm2的草坪，草坪周围用篱笆围绕．现从对称美的角度考虑有甲，乙两种方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建成圆形的．如果从节省篱笆费用的角度考虑，你会选择哪种方案？请说明理由；
（2）在（1）的方案中，审批时发现修如此大的草坪，目的是亲近自然，若按上述方案就没达到目的．因此建议用如图的设计方案：建成正方形，正方形里修三条小路，三条小路的宽度是一样，这样草坪的实际面积就减少了21πm2，请你根据此方案求出各小路的宽度．
20．（8分）已知：如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，点M、G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．
求证：∠DMB+∠ABC＝180°．
小勇在做上面这道题时用了以下推理过程．请帮他在横线上填写结论，在括号内填写推理依据．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知），
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90° （ ）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴ （同位角相等，两直线平行）．
∴∠CBD＝∠2 ．
∵∠1＝∠2（已知）．
∴∠CBD＝∠1 （ ）．
∴ （ ）．
∵∠AMD＝∠AGF（已知）．
∴GF∥MD（同位角相等，两直线平行）．
∴BC∥MD （ ）．
∴∠DMB+∠ABC＝180° （ ）．
21．（8分）在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，且点A'的坐标为（﹣2，2），现将三角形ABC平移，使点A变换为A'，点B'、C′分别是点B、C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形A'B'C'，并直接写出点B'、C'的坐标；
（2）若三角形ABC内有一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P'的坐标为 ．
（3）求四边形A'BCC'的面积．
22．（10分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD于点O．
（1）若∠AOF＝50°，求∠BOE的度数．
（2）若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．
23．（10分）如图1，教材P41页有这样一个探究：把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形．试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 ；
（2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为 ， ；
（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在两条数轴上分别找到表示以及的点．（作图过程中标出必要线段长）
24．（12分）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当a＞0时，∵a+＝（）2﹣2+（）2+2＝（）2+2，
∴当＝，即a＝1时，a+的最小值为2．
请利用以上结果解决下面的问题：
（1）当a＞0时，a+的最小值为 ；当a＜0时，a+的最大值为 ；
（2）当a＞0时，求的最小值；
（3）如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若△AOD的面积为1，△BOC的面积为4，求四边形ABCD面积的最小值．
2022-2023学年浙江省台州市路桥区七年级下学期期中数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在下列图形中，不能由基本图形通过平移得到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据平移的性质即可进行判断．
【解答】解：A，B，D中的图形都能由基本图形通过平移得到，
C中的图形不能由基本图形通过平移得到．
故选：C．
2．（3分）下列各数中，无理数的是（ ）
A．B．
C．0.121221222D．π
【答案】D
【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
【解答】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、＝2，2是有理数，故此选项不符合题意；
C、0.121221222是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、π是无理数，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）设面积为7的正方形边长为m，下列关于m的四种说法：①m是无理数；②m可用数轴上的一个点来表示；③3＜m＜4；④m是49的算术平方根，其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据题意可得m＝，即可判断①②④，再估算出的值，即可判断③．
【解答】解：由题意得：
m2＝7，
∴m＝或m＝﹣（舍去），
∴m是无理数，
故①正确；
∴m可用数轴上的一个点来表示，
故②正确；
∴m是7的算术平方根，
故④不正确；
∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴2＜m＜3，
故③不正确；
所以，上列关于m的四种说法，其中正确的个数为2，
故选：B．
4．（3分）已知平面直角坐标系内的点P（x，y）的纵坐标、横坐标满足下列条件：y＝﹣x2，则点P位于（ ）
A．x轴上方（含x轴的一点）B．x轴下方（含x轴的一点）
C．y轴右方（含y轴的一点）D．y轴左方（含y轴的一点）
【答案】B
【分析】易得x可取任意值，y为非正数，那么可求得此点所在的位置．
【解答】解：∵y＝﹣x2，
∴y≤0，
∴点P（x，y）位于x轴下方（含x轴的一点），
故选：B．
5．（3分）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠DAC＝∠BCAB．∠D＝∠DCE
C．∠B＝∠DCED．∠BAD+∠B＝180°
【答案】C
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：A、当∠DAC＝∠BCA时，可得：AD∥BC，不合题意；
B、当∠D＝∠DCE时，可得：AD∥BC，不合题意；
C、当∠B＝∠DCE时，可得：AB∥CD，符合题意；
D、当∠BAD+∠B＝180°时，可得：AD∥BC，不合题意；
故选：C．
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2﹣＝1B．﹣＝﹣6C．＝±2D．＝﹣3
【答案】D
【分析】根据二次根式的加减运算、二次根式的性质以及立方根的性质即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝，故A不符合题意．
B、原式＝，故B不符合题意．
C、原式＝2，故C不符合题意．
D、原式＝﹣3，故D符合题意．
故选：D．
7．（3分）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点（﹣1，﹣2），“炮”位于（﹣4，1），则“象”位于点（ ）
A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
【答案】C
【分析】根据“将”和“炮”的坐标建立平面直角坐标系，据此可得答案．
【解答】解：由“将”和“炮”的坐标可建立如图所示平面直角坐标系：
，
故“象”位于点（1，﹣2）．
故选：C．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD＝，AB＝1，则∠BOC的度数为（ ）
A．60°B．120°或60°C．120°D．30°或60°
【答案】C
【分析】利用矩形的性质求得OA＝OD及BD的长，根据30°所对的直角边是斜边的一半求出∠OAD＝∠ADO＝30°，根据三角形内角和求出∠AOD，进而求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝AC，OD＝BD，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
BD＝＝＝2，
∴∠OAD＝∠ADO＝30°，
∴∠BOC＝∠AOD＝180°﹣∠OAD﹣∠ADO＝120°，
故选：C．
9．（3分）如图，∠1＝75°，∠2＝75°，∠3＝112°，则∠5﹣∠4的度数是（ ）
A．68°B．44°C．180°D．34°
【答案】见试题解答内容
【分析】由∠1＝75°，∠2＝75°可证明直线a∥b，根据平行线的性质求出∠4、∠5，根据角的和差即可求解．
【解答】解：∵∠1＝75°，∠2＝75°，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠3+∠4＝180°，∠3＝∠5，
又∵∠3＝112°，
∴∠4＝68°，∠5＝112°，
∴∠5﹣∠4＝44°．
故选：B．
10．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中．有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列．如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），根据这个规律探索可得．第2021个点的坐标为（ ）
A．（64，4）B．（63，0）C．（63，4）D．（64，2）
【答案】A
【分析】应先判断出第2021个数在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．
【解答】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，
依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，
第n列有n个数．则n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．
因为1+2+3+…+63＝2016，则第2021个数一定在第64列，由下到上是第5个数．
因而第2021个点的坐标是（64，4）．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，经过点A（﹣3，4）且垂直于y轴的直线可以表示为直线 y＝4 ．
【答案】y＝4．
【分析】垂直于y轴的直线，纵坐标相等为4，所以为直线：y＝4．
【解答】解：由题意得：经过点A（﹣3，4）且垂直于y轴的直线可以表示为直线为：y＝4，
故答案为：y＝4．
12．（4分）写出命题“圆内接四边形的对角互补”的逆命题： 对角互补的四边形是圆内接四边形 ．
【答案】对角互补的四边形是圆内接四边形．
【分析】根据逆命题是条件、结论互换解答即可．
【解答】解：命题“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：对角互补的四边形是圆内接四边形，
故答案为：对角互补的四边形是圆内接四边形．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝3cm，将△ABC沿着与AB垂直的方向向上平移2cm，得到△FDE，则阴影部分的面积 8cm2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先依据平移的性质得出四边形ABDF是平行四边形，又∠ABD＝90°，可证四边形ABDF是矩形；依据平移的性质得出S△ABC＝S△FDE，那么阴影部分的面积＝矩形ABDF的面积＝4×2＝8cm2．
【解答】解：由平移可得，DF＝AB，DF∥AB，
∴四边形ABDF是平行四边形，
又由平移的方向可得，∠ABD＝90°，
∴四边形ABDF是矩形；
由平移可得，△ABC≌△FDE，BD＝2cm，
∴S△ABC＝S△FDE，
∴阴影部分的面积＝矩形ABDF的面积＝AB•BD＝4×2＝8cm2．
故答案为：8cm2．
14．（4分）若一个数的平方等于3，则这个数等于 ± ．
【答案】±．
【分析】根据平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：∵（±）2＝3，
∴这个数为±，
故答案为：±．
15．（4分）定义：在平面直角坐标系中，已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“友好间距”．例如：点P1（﹣2，2），P2（0，2），P3（0，3）的“友好间距”是1，点Q1（2，1），Q2（5，1），Q3（2，5）的“友好间距”是 3 ；已知点A（1，0），B（1，5），C（x，5），则点A，B，C的“友好间距”的最大值为 5 ．
【答案】3；5．
【分析】认真读懂题意，根据新定义计算两点间距离，再确定“友好间距”．
【解答】解：∵点Q1（2，1），Q2（5，1），Q3（2，5），
∴Q1Q2＝＝3，
Q1Q3＝＝4，
Q3Q2＝＝5，
∵3＜4＜5，
∴“友好间距”是3；
∵点A（1，0），B（1，5），C（x，5），
∴△ABC是直角三角形，
∴AB＝＝5，
AC＝≥5，
BC＝＝|1﹣x|，
∵点A，B，C有“友好间距”，
∴当BC≥5时，友好间距是5，
当BC＜5时，友好间距是|1﹣x|，
∴点A，B，C的“友好间距”的最大值为 5．
故答案为：3；5；
16．（4分）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 40°或140° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；
②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．
【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝40°，
∴∠2＝40°；
②若∠1与∠2位置如图2所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠1＝180°，
又∵∠1＝40°
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
综合所述：∠2的度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）计算：+|2﹣|+﹣．
【答案】+2．
【分析】直接利用二次根式的性质和立方根的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝．
18．（6分）如图，已知线段a，b，用圆规和直尺作线段AB，使它等于2a﹣b．
【答案】见试题解答内容
【分析】在射线AM上截取AB＝BC＝a，再截取CD＝b，则线段AD满足条件．
【解答】解：如图，AD为所作．
19．（6分）（1）为了增加小区的绿化面积，幸福公园准备修建一个面积121πm2的草坪，草坪周围用篱笆围绕．现从对称美的角度考虑有甲，乙两种方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建成圆形的．如果从节省篱笆费用的角度考虑，你会选择哪种方案？请说明理由；
（2）在（1）的方案中，审批时发现修如此大的草坪，目的是亲近自然，若按上述方案就没达到目的．因此建议用如图的设计方案：建成正方形，正方形里修三条小路，三条小路的宽度是一样，这样草坪的实际面积就减少了21πm2，请你根据此方案求出各小路的宽度．
【答案】（1）从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形．理由见解析；
（2）小路的宽度为m．
【分析】（1）甲方案：设正方形的边长为xm，则x2＝121π，可算出x的值，即可算出正方形的周长，乙方案：设圆的半径为rm，则πr2＝121π，可算出r的值，即可算出圆的周长，应用作差比较大小的方法进行求解即可得出答案；
（2）依题意可进行如图所示的平移，设小路的宽度为ym，则：（11﹣y）2＝121π﹣21π，计算即可得出答案．
【解答】解：（1）甲方案：设正方形的边长为xm，则x2＝121π，
∴x＝11，
∴正方形的周长为：4x＝44m，
乙方案：设圆的半径为rm，则πr2＝121π，
∴r＝11，
∴圆的周长为：2πr＝22π（m），
∴44﹣22π＝22（2﹣），
∵4＞π，
∴2，
∴＞0，
∴正方形的周长比圆的周长大，
故从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形．
（2）依题意可进行如图所示的平移，设小路的宽度为ym，
则：（11﹣y）2＝121π﹣21π，
∴11﹣y＝10，
∴y＝，
答：根据此方案求出小路的宽度为m．
20．（8分）已知：如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，点M、G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．
求证：∠DMB+∠ABC＝180°．
小勇在做上面这道题时用了以下推理过程．请帮他在横线上填写结论，在括号内填写推理依据．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知），
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90° （ 垂直的定义 ）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴ BD∥EF （同位角相等，两直线平行）．
∴∠CBD＝∠2 （两直线平行，同位角相等） ．
∵∠1＝∠2（已知）．
∴∠CBD＝∠1 （ 等量代换 ）．
∴ GF∥BC （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∵∠AMD＝∠AGF（已知）．
∴GF∥MD（同位角相等，两直线平行）．
∴BC∥MD （ 平行公理的推论 ）．
∴∠DMB+∠ABC＝180° （ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
【答案】垂直的定义，BD∥EF，两直线平行，同位角相等，等量代换，GF∥BC，内错角相等，两直线平行，平行公理的推论，两直线平行，同旁内角互补．
【分析】根据垂直定义得出∠BDC＝∠EFC，根据平行线的判定推出BD∥EF，根据平行线的性质得出∠CBD＝∠2，求出∠CBD＝∠1，根据平行线的判定得出GF∥BC，GF∥MD即可．
【解答】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知），
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（ 垂直的定义 ），
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换），
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠CBD＝∠2（ 两直线平行，同位角相等 ），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠CBD＝∠1（等量代换），
∴GF∥BC（内错角相等，两直线平行 ），
∵∠AMD＝∠AGF（已知），
∴GF∥MD（同位角相等，两直线平行），
∴BC∥MD（平行公理的推论），
∴∠DMB+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：垂直的定义，BD∥EF，两直线平行，同位角相等，等量代换，GF∥BC，内错角相等，两直线平行，平行公理的推论，两直线平行，同旁内角互补．
21．（8分）在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，且点A'的坐标为（﹣2，2），现将三角形ABC平移，使点A变换为A'，点B'、C′分别是点B、C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形A'B'C'，并直接写出点B'、C'的坐标；
（2）若三角形ABC内有一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P'的坐标为 （a﹣5，b﹣2） ．
（3）求四边形A'BCC'的面积．
【答案】（1）△A'B'C'即为所求；B'（﹣4，1）、C'（﹣1，﹣1）；
（2）（a﹣5，b﹣2）；
（3）13．
【分析】（1）根据平移的性质即可画出△A'B'C'，并写出点B'、C'的坐标；
（2）结合（1）左移5个单位长度，下移2个单位长度即可得点P的对应点P'的坐标；
（3）根据网格即可求四边形A'BCC'的面积．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
∴B'（﹣4，1）、C'（﹣1，﹣1）；
（2）P'的坐标为（a﹣5，b﹣2）．
故答案为：（a﹣5，b﹣2）．
（3）四边形A'BCC'的面积为：6×4﹣5×2﹣2×3﹣1×3﹣3×1＝13．
22．（10分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD于点O．
（1）若∠AOF＝50°，求∠BOE的度数．
（2）若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．
【答案】（1）70°；（2）70°．
【分析】（1）由角平分线定义，邻补角的性质，即可求解：
（2）由∠BOD：∠BOE＝1：4，列出关于∠BOD的方程，即可求解．
【解答】解：（1）∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠AOF＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝70°；
（2）设∠BOD＝x° 则∠BOE＝4x°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOE＝8x°，
∵∠BOD+∠BOC＝180°，
∴x+8x＝180，
∴x＝20，
∴∠AOC＝∠BOD＝x°＝20°，
∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝70°．
23．（10分）如图1，教材P41页有这样一个探究：把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形．试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 ；
（2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为 ， ；
（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在两条数轴上分别找到表示以及的点．（作图过程中标出必要线段长）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长；
（2）依据图2中小正方形对角线长为，AO＝﹣1，BO＝+1，即可得到A，B两点表示的数为1﹣和1+；
（3）先根据大正方形的面积为5，可得小长方形的对角线长为，进而在两条数轴上分别找到表示以及的点．
【解答】解：（1）∵面积为2dm2的大正方形的边就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，
∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即，
故答案为：；
（2）图2中小正方形对角线长为，AO＝﹣1，BO＝+1，
∴A，B两点表示的数为1﹣和1+；
故答案为：1﹣；1+；
（3）如图3，大正方形的面积为5，
∴小长方形的对角线长为，
如图所示，点C表示的数为；
如图所示，点D表示的数为．
24．（12分）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当a＞0时，∵a+＝（）2﹣2+（）2+2＝（）2+2，
∴当＝，即a＝1时，a+的最小值为2．
请利用以上结果解决下面的问题：
（1）当a＞0时，a+的最小值为 4 ；当a＜0时，a+的最大值为 ﹣4 ；
（2）当a＞0时，求的最小值；
（3）如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若△AOD的面积为1，△BOC的面积为4，求四边形ABCD面积的最小值．
【答案】（1）4；﹣4；
（2）9；
（3）9+6．
【分析】（1）根据阅读材料计算即可；
（2）将的分子分别除以分母，展开，根据（1）中结论求得最小值，再加上常数即可；
（3）设S△AOB＝x，已知S△AOD＝3，S△BOC＝6，则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△COD，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给方法求得最小值，加上常数即可．
【解答】解：（1）当a＞0时，
∵a+＝（）2﹣2•+（）2+2•＝（﹣）2+4≥4，
∴当＝，即a＝2时，a+的最小值为4；
当a＜0时，a+＝﹣（﹣a﹣），
∵﹣a﹣＝（）2﹣2•+（）2+2•＝（﹣）2+4≥4，
∴﹣（﹣a﹣）＝﹣[（﹣）2+4]≤﹣4，
∴当＝，即a＝﹣2时，a+的最大值为﹣4；
故答案为：4；﹣4；
（2）由＝2a++3，
由（1）中结论可知，当＝，即a＝2时，2a+的最小值为6，
∴的最小值为9；
（3）设S△AOB＝x，已知S△AOD＝3，S△BOC＝6．
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD，
∴6：S△COD＝x：3，
∴S△COD＝，
∴四边形ABCD面积＝3+6+x+＝9+x+，
∵x+＝（）2﹣2•+（）2+2•＝（﹣）2+6≥6，
当＝，即x＝3时，四边形ABCD面积的最小值为9+6．
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