2024年高考数学一模模拟卷2

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
，
所以，，故选：B.
2．已知，则复数的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得，
所以复数的共轭复数是，故选：C
3．已知向量，满足，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，∴
∵，∴
∵，∴，即.故选：C.
4．记函数的最小正周期为T．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据最小正周期，可得，解得；
又，即是函数的一条对称轴，
所以，解得.
又，当时，.故选：C
5．2022年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有支，冬奥会冰壶比赛的赛程安排如下，先进行循环赛，循环赛规则规定每支队伍都要和其余支队伍轮流交手一次，循环赛结束后按照比赛规则决出前名进行半决赛，胜者决冠军，负者争铜牌，则整个冰壶混双比赛的场数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知可得循环赛的比赛场数为场，
故总场数为场，故选：B.
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数，，排除，
，排除，故选：A
7．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球的球面上.若该圆锥的底面半径为，高为6，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，故球心在圆锥的内部且在高上，设球心到圆锥底面的距离为，
则有，解得，则圆半径，
表面积.故选：C
8．已知实数，且，为自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
函数在上单调递增，且，因为
所以，所以，即，
又，所以，所以，即，综上，.故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（ ）
A．甲种的样本极差小于乙种的样本极差
B．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数
C．甲种的样本方差大于乙种的样本方差
D．甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数
【答案】ABD
【解析】对A，，故A对；
对B，，，故B对；
对C，因为甲、乙平均值都为，所以，
，
显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故C错误；
对D，为整数，故甲的60百分位数，
乙的60百分位数为，故D对.
故选：ABD
10．已知随机变量服从二项分布，其数学期望，随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】因为，所以，即A错误，B正确；
易知，因为，所以，
所以，即C错误，D正确.
故选：BD.
11．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．函数为偶函数B．函数的最小值为
C．函数的最大值为D．函数在上有两个极值点
【答案】AC
【解析】对于A选项，函数定义域为，，所以函数为偶函数，故正确；
对于B选项，，
所以，当时，函数有最小值，故错误；
对于C选项，由于，故当时，函数有最大值，故正确；
对于D选项，当，，令得或，
令在上的两个实数根为，则，
所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增；
当当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，在处取得极大值，在和处取得极小值，
所以，函数在上有三个极值点，故错误.
故选：AC
12．已知四棱柱的底面为正方形，，，则（ ）
A．点在平面内的射影在上
B．平面
C．与平面的交点是的重心
D．二面角的大小为
【答案】ACD
【解析】设，，，正方形的边长为1，
则，，，
对选项A：，，根据对称性知，点在平面内
的射影在的角平分线上，即在上，正确；
对选项B：，，
，错误；
对选项C：设，相交于，与交于点，
即为与平面的交点，
则，为中边上的中线，故为的重心，正确；
对选项D：连接与相交于，连接，根据对称性知，
又，平面，平面，
故为二面角的平面角，
，
故，故，
，，故，正确
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若tanθ＝3sin2θ，θ为锐角，则cs2θ＝ .
【答案】
【解析】tanθ＝3sin2θ，
∵θ是锐角，∴sinθ≠0，
∴，
∴﹒
14．定义在上的奇函数满足，请写出一个符合条件的函数解析式 .
【答案】（等其他符合条件的函数也可）
【解析】依题意是定义在上的奇函数，
由于，所以，
所以的图象关于直线对称，
所以
，
所以是周期为的周期函数.
是定义在上的奇函数，且最小正周期为，
，所以关于对称，符合题意.
15．在平面直角坐标系中，已知点，直线：与圆：交于A，B两点，若为正三角形，则实数的值是 .
【答案】
【解析】由题意可知在圆上，
如图，
设AB中点为H，连接PH,则PH过点O,且 ,
设直线l的斜率为k, 则 ,
故即为，
因为为正三角形，则O点为的中心，
则，故 ，解得 ，
结合在圆上，是圆的内接正三角形，可知 ，
即.
16．设过双曲线左焦点的直线与交于两点，若，且（O为坐标原点），则的离心率为
【答案】
【解析】如图，

设为中点，，
由可知，，
由双曲线的定义可知， ，
由可知，
又为中点，为中点，可知，则,
从而为线段的垂直平分线，， 即 ，
所以，则为正三角形，，
在直角△中，，即，所以 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（本小题满分10分）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．
(1)求角A的大小；
(2)若D为线段延长线上的一点，且，求的面积．
【解析】（1）若选择①，∵．∴，
∵，∴，
即，
∵∴；
若选择②，∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵∴；
若选择③，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，又∵．∴，
∴，∵，∴；
（2）设，，，
在中，用余弦定理可得，
即 ①，
又∵在中，，
即.即，即 ②，
在中，用余弦定理可得，
即 ③，③+①可得，
将②式代入上式可得，．
18．（本小题满分12分）已知数列，当时，，.记数列的前项和为.
(1)求，；
(2)求使得成立的正整数的最大值.
【解析】（1）因当时，，，而，则，又，则，
所以，.
（2）因当时，，，
当时，，当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，
而，
又，
则有时，，由得：
，而，于是得，
所以使得成立的正整数的最大值是51.
19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小.
【解析】（1）(1)因为△ABC是正三角形，点E是BC中点，所以AEBC，
又因为平面ABC平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE平面ABC，
所以AE平面BCD，
又因为CD平面BCD，所以CDAE，
因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EF//BD，
又因为BDCD，所以CDEF，又因为CDAE，AE∩EF，
AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF，
又因为CD平面ACD，所以平面ACD平面AEF.
（2）在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H,
设BC=4，则，DF=FC=l，.
以为正交基底，建立如图空间直角坐标系E-xyz,
则,
设，则,，
设平面AEG的法向量为,
由，得，令，故，
设平面ACD的法向量为，
则,即，令，则,
设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为,
则，
当最大，此时锐二面角最小，
故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小.
20．（本小题满分12分）我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：
并计算得
(1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；
(2)规定：数组（xi ，yi）满足| xiyi| < 0.1为“Ⅰ类误差”；满足0.1≤| xiyi| < 0.3为“Ⅱ类误差”；满足| xiyi|≥0.3为“Ⅲ类误差”．为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望．
附：相关系数
【解析】（1）因为，…
代入已知数据，
得．
所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.
（2）依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组．
若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，抽到“I类误差”的组数
的所有可能取值为.
则，
，
，
.
所以的概率分布为
所以X的数学期望.
另解：因为，所以.
21．（本小题满分12分）已知曲线由和两部分组成，所在椭圆的离心率为，上、下顶点分别为，右焦点为与轴相交于点，四边形的面积为.
(1)求的值；
(2)若直线与相交于两点，，点在上，求面积的最大值.
【解析】（1）由题意知；
（2）①当斜率存在时，设直线的方程为，
，
，
且，
，
计算可得，
故原点到直线的距离，
当时，即或时取等号，
故原点到直线的距离的最大值为1，则点P到直线的距离，
故，∴△PAB面积最大值2；
②当斜率不存在时，，此时.
综上：面积的最大值为2.
22．（本小题满分12分）已知函数，函数，其中.
(1)判断函数在上的单调性，并说明理由；
(2)证明：曲线与曲线有且只有一个公共点.
【解析】（1），
则函数在上单调递增.
（2）设，题设等价于证明函数有且仅有一个零点，，
设，，则函数在上单调递减，又，
则当时，；当时，；
当时，，则函数在上单调递减，又，故此时函数有且仅有一个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，，则当时，恒成立；
当且时，
，，
则，函数在上存在一个零点，此时函数有且仅有一个零点；综上即证.
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人工测雨量xi
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
遥测雨量yi
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
5.56
4.27
4.15
6.04
4.49
| xiyi|
0.05
0.08
0.2
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
0.26
0
1
2
3
P