2024届北京市东城区第一七一中学高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届北京市东城区第一七一中学高三上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，双空题，填空题，问答题，证明题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，集合，则
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】,故选A.
2．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的抛物线，直接求出其准线方程即得.
【详解】抛物线的焦点在x轴的正半轴上，准线方程为.
故选：C
3．在的展开式中，常数项为（ ）
A．10B．20C．40D．80
【答案】C
【分析】根据题意，求得二项展开式的通项为，进而求得展开式的常数项，得到答案.
【详解】由二项式展开式的通项为，
令，可得，即二项式展开式的常数项为.
故选：C.
4．已知复数（，），则“为纯虚数”的充分必要条件为 ( )
A．B．C．，D．，
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算化简复数，由纯虚数的定义即可求解.
【详解】,所以为纯虚数即且,
故选：D.
5．设,，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：举反例判断A、C、D，根据指数函数的单调性判断B．
详解：a，b∈R，若a＞b，
当a=1，b=﹣1时，故A不成立，
因为y=2x为增函数，所以2a＞2b，故B成立，
当a=﹣1，b=﹣2时，C没有意义，故C不成立，
当a=，b=时，D不成立，
故选B．
点睛：本题考查了不等式的性质以及指数函数的单调性，属于基础题
6．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数图象在区间上单调递减，则m的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用函数的图象变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的单调性的性质列不等式求得的最小值．
【详解】将函数的图象向左平移（）个单位长度，
可得到，其减区间满足:
，
即，
所以函数的减区间为
又在区间上单调递减，
则
则且,
即且，
所以
的最小值为：.
故选：C.
7．甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（ ）
A．12B．40C．60D．80
【答案】D
【分析】首先从五个位置中选出三个给甲乙丙三人，再排丙，接着安排甲、乙，最后再安排丁、戊，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】解：先从五个位置中选出三个给甲乙丙三人，共有种选法，
其中丙在两端，有种选法，剩余两个位置甲、乙全排有种，
最后剩余两个位置给丁、戊有种，
所以排法种数为；
故选：D.
8．已知曲线：（为参数），，，若曲线上存在点满足，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】曲线化为普通方程为:,由，可得点在以为直径的圆上,又在曲线上,即直线与圆存在公共点,故圆心到的距离小于等于半径,根据点到直线的距离公式有:,解得,故选C.
9．已知函数，若关于的方程在内有唯一实根，则实数的最小值为（ ）
A．-1B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据题意，作出函数的图象，结合图象求得实数的取值范围，得出答案.
【详解】由函数，作出函数的图象，如图所示，
因为在上有唯一的实数根，
可得，所以实数的最小值为.
故选：B.
10．已知甲､乙､丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠公里数为（ ）
A．1080B．900C．810D．540
【答案】C
【分析】每人最多带36天的水和食物，按乙丙两人同时把水和食物交给甲，乙丙先后不同时把水和食物交给甲两种情况分别计算甲行驶的总天数即可判断.
【详解】甲、乙、丙三人一起出发，设天后，乙丙两人同时把水和食物交给甲，乙丙分别给甲天的水和食物，
于是，解得，甲全程共有水和食物的天数，
因此从出发点甲最多往前走天，最远能深入沙漠公里；
甲、乙、丙三人一起出发，设天后乙丙之一独自返回，不妨令丙返回，丙扣除天的水和食物后，
把剩余的水和食物的一半分别分给甲乙，则由，得，
从出发甲乙带的水和食物的天数都为，当且仅当时取等号，
要使前行天数最多，则取，甲乙均有36天的水和食物，甲乙继续前行，再行天后，乙独自返回，
乙扣除天的水和食物后，把剩余的水和食物给甲，则由，解得，
此时甲全程共有水和食物的天数是，
因此从出发点甲最多往前走27天，最远能深入沙漠公里，显然，
所以甲最远能深入沙漠公里数为810.
故选：C
【点睛】方法点睛：分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.
二、双空题
11．若等比数列满足，，则公比 ，前项和 ．
【答案】 2
【分析】根据等比数列通项公式可得方程，可求出公比，继而求得首项，利用等比数列前n项和公式求得.
【详解】等比数列满足，,设公比为q,
则;
又,
故答案为：.
12．在中，，① ；②若，则 ．
【答案】
【解析】①利用余弦定理将已知等式角化边，可得三边关系，即可求得角;
②由①得出角的关系,利用诱导公式化简得出的值.
【详解】①由，得，整理得，
所以．
②由①得，
所以．
故答案为:；.
【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用,考查诱导公式,考查学生计算能力,属于中档题.
三、填空题
13．若非零向量，满足，，则向量，夹角的大小为 ．
【答案】120°
【详解】因为,所以因此,又,所以夹角为,故填.
14．双曲线的渐近线为等边三角形的边，所在直线，直线过双曲线的焦点，且，则 ．
【答案】/
【分析】结合已知条件和双曲线的对称性求出与之间的关系，然后利用平面几何求出，再结合即可求解.
【详解】由题意和双曲线的对称性可知，，
又因为双曲线的渐近线方程为，
从而，即，
又由等边三角形性质可知，，
又由可知，.
故答案为：．
15．在平面直角坐标系中，动点到两坐标轴的距离之和等于它到定点的距离，记点的轨迹为.给出下面四个结论：①曲线关于原点对称；②曲线关于直线对称；③点在曲线上；④在第一象限内，曲线与轴的非负半轴、轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于.其中所有正确结论的序号是 .
【答案】②③④
【分析】根据动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论．
【详解】动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，所以，
即.若，则，即，故，
以为中心的双曲线的一支；若，则，即，故或，
所以函数的图象如图所示

所以曲线C关于直线对称，②正确；又，所以点在曲线上，
③正确；在第一象限内，曲线与轴的非负半轴、轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于，故④正确.
故答案为：②③④.
【点睛】本题考查求曲线的轨迹方程，考查数形结合的数学思想方法，本题解题关键是正确作出函数图象，是一道中档题．
四、问答题
16．已知是函数的一个零点．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求的单调递增区间.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ），．
【详解】试题分析: （Ⅰ）由题意，可得a值; （Ⅱ）利用二倍角公式和两角和与差的正弦公式对函数解析式化简整理, 由，，求得x的范围,进而确定函数的单调递增区间.
试题解析:（Ⅰ）由题意可知，即，
即，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，
函数的递增区间为，．
由，，
得，，
所以，的单调递增区间为，．
五、证明题
17．某公司购买了A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩.为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出25台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）：
（Ⅰ）已知该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；
（Ⅱ）从A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A品牌待机时长高于B品牌的概率；
（Ⅲ）再从A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是a，b，c（单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为.若，写出a+b+c的最小值（结论不要求证明）.
【答案】（Ⅰ）该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为800台；（Ⅱ）；（Ⅲ）18.
【详解】试题分析：（Ⅰ）设该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为台，则购买的C品牌电动智能送风口罩为台，由此可求解结论；
（Ⅱ）设A品牌待机时长高于B品牌的概率为，求得的值，即可得到结论；
（Ⅲ）根据平均数的定义，即可求解的最小值.
试题解析：
（Ⅰ）设该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为x台，
则购买的C品牌电动智能送风口罩为台，
由题意得，所以.
答：该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为800台
（Ⅱ）设A品牌待机时长高于B品牌的概率为P，
则.
答：在A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中各任取一台，A品牌待机时长高于B品牌的概率为.
（Ⅲ）由题意得，有三个数 构成数据的平均数为 ，表中数据的平均数为 ，所以，所以，所以 的最小值为18
18．如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，平面平面
（I）求证：；
（II）若M为中点，求证：平面；
（III）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面所成的角为？若存在，求得值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)不存在这样的点P.
【详解】（I）由，根据面面垂直的性质得到平面，从而可证明；（II）由于，建立空间直角坐标系，利用的方向向量与平面 的法向量数量积为零可得平面 ；（III）由（II）可知平面的法向量，设，利用空间向量夹角余弦公式列方程可求得，从而可得结论.
详解：证明：（I）在直三棱柱中，
∵平面 ∴
∵平面平面，且平面平面
∴平面
∴
（II）在直三棱柱中，
∵平面，∴
又，
建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得，
，，，，

设平面的法向量
∵ ∴ 令 则
∵为的中点，∴
∵ ∴
又平面，∴平面
（III）由（II）可知平面的法向量
设
则
若直线DP与平面所成的角为，
则
解得
故不存在这样的点P，使得直线DP与平面所成的角为
点睛：本题主要考查利用空间向量的证明与求值，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
六、问答题
19．已知函数，其中实数．
(1)判断是否为函数的极值点，并说明理由．
(2)若在区间上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)是的极值点，理由见解析；
(2)
【分析】（1）对函数求导，将代入导函数的分子，可得函数值为，根据判别式结合验证可得是函数的异号零点，所以是函数的极值点．
（2）求出函数的导数，通过讨论的范围结合函数的单调性确定的范围即可．
【详解】（1）解：由可得函数定义域为．
，
令，经验证，
因为，所以的判别式，
由二次函数性质可得，是函数的异号零点，
所以是的异号零点，
所以是函数的极值点．
（2）解：已知，
因为，
又因为，所以，
所以当时，在区间上，所以函数单调递减，所以有恒成立；
当时，在区间上，所以函数单调递增，
所以，所以不等式不能恒成立；
所以时，有在区间恒成立．
七、解答题
20．已知椭圆的左右两个焦点为，且，椭圆上一动点满足．

(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)如图，过点作直线与椭圆交于点，过点作直线，且与椭圆交于点，与交于点，试求四边形面积的最大值．
【答案】(1)椭圆方程为，离心率为
(2)
【分析】（1）由椭圆的定义以及焦距，求得和的值，则，即可求得椭圆的方程和离心率.
（2）当直线的斜率不存在时，由，当斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由椭圆方程及弦长公式分别求得，，根据函数单调性即可求得四边形面积的最大值.
【详解】（1）由题意，又因为，
所以，椭圆方程为，离心率为．
（2）①当直线斜率不存在或者为时，
易得，从而四边形的面积为4．
②当直线斜率存在且不为时，设，直线，
联立，
易知，由韦达定理得，，
，
同理，
所以，
从而四边形面积的最大值为．
八、证明题
21．对于正整数集合（，），如果去掉其中任意一个元素（）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
（Ⅰ）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）；
（Ⅱ）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
（Ⅲ）若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值．
【答案】（Ⅰ）不是“和谐集”；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）7.
【分析】（Ⅰ）利用定义直接求解；（Ⅱ）利用定义直接证明，对分奇数和偶数分别证明；（Ⅲ）根据合情推理，结合反证法思想求解.
【详解】（Ⅰ）集合不是“和谐集”．
（Ⅱ）设集合所有元素之和为．
由题可知，（）均为偶数，
因此（）的奇偶性相同．
（ⅰ）如果为奇数，则（）也均为奇数，
由于，所以为奇数．
（ⅱ）如果为偶数，则（）均为偶数，
此时设，则也是“和谐集”．
重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”．
此时各项之和也为奇数，集合中元素个数为奇数．
综上所述，集合中元素个数为奇数．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合中元素个数为奇数，
当时，显然任意集合不是“和谐集”．
当时，不妨设，
将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有 ①，或者 ②；
将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有 ③，或者 ④．
由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；
由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾．
因此当时，集合一定不是“和谐集”．
当时，设，
因为，，
，，
，，
所以集合是“和谐集”．
集合中元素个数的最小值是7．
A
4
4
4.5
5
5.5
6
6
B
4.5
5
6
6.5
6.5
7
7
7.5
C
5
5
5.5
6
6
7
7
7.5
8
8