高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.1条件概率精品同步达标检测题

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一、条件概率公式
1、定义：一般地，设A，B为两个事件，，
我们称为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，
记为，读作“发生条件下发生的概率”，即
2、乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则.
3、条件概率的性质：设，则
（1）；
（2）
（3）如果、互斥，则；
4、两点说明
（1）一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件），求另一事件在此条件下发生的概率；
（2）通常情况下，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的。
二、全概率公式
1、全概率公式：若事件两两互斥，且它们的和，且，，则对于中的任何事件，有.
2、全概率公式的来由：
不难由看出，全概率被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于在较复杂情况下直接计算不易，但总伴随着某个出现，适当去构造这一组往往可以简化计算。
3、另一个角度理解全概率公式
（1）某一事件的发生有各种可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件发生的概率是.
（2）每一个原因都可能导致发生，故发生的概率是各原因引起发生概率的总和，即全概率公式。
（3）由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了它们之间的关系。
三、贝叶斯公式
设是一组两两互斥的事件，，且，则对于中的任何事件，，有，．
题型一 利用定义求条件概率
【例1】（2023春·河北石家庄·高二校联考期中）已知某同学投篮一次的命中率为，连续两次均投中的概率是，若该同学在投中一次后，随后一次也投中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若为第次投篮并投中，则，，
所以.故选：D
【变式1-1】（2023春·山西太原·高二统考期中）根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为．则4月8日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，设事件表示吹东风，事件表示下雨，
则，，，
所以在吹东风的条件下下雨的概率为．故选：D．
【变式1-2】（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中）某校开展了课后延时服务，要求张老师在每个星期的周一至周五选两天参加课后延时服务，则张老师在周二参加课后延时服务的条件下，周三也参加课后延时服务的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记事件A表示“张老师在周二参加课后延时服务”，
事件B表示“张老师在周三参加课后延时服务”，
则，，所以，故选：B．
【变式1-3】（2023春·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期中）有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：设第一次取得次品为事件A，第二次取得正品为事件B，
则，所以.
法二：在第一次拿出一件次品后还有6件，其中4件正品，2件次品，
故第二次拿出正品的概率为.故选：B.
【变式1-4】（2023春·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考期中）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是3”，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】事件为“两次所得点数均为奇数”，
则事件为，，，，，，，，，
故；
为“至少有一次点数是3”，
则事件为，，，， ，
故，所以.故选：B.
题型二 条件概率的性质及应用
【例2】（2023春·陕西西安·高二校联考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A． B．是可能的
C． D．
【答案】B
【解析】由，当，则，A错误；
当A或B为不可能事件时，，C错误；
B：要使，即，
当恰好为A的子事件成立，正确；
D：由，故错误.故选：B
【变式2-1】（2022春·广东佛山·高二统考期末）设A，B是两个事件，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A：由，而，
则，
即时成立，否则不成立，排除；
B：当A，B是两个相互独立的事件，有，否则不成立，排除；
C：由且，
故时成立，否则不成立，排除；
D：由，而，则，符合；故选：D
【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则 A，B对立
C．若A，B独立，则
D．若A，B互斥，则
【答案】C
【解析】对A，，故A错误；
对B，若A，B对立，则，反之不成立，故B错误；
对C，根据独立事件定义，故C正确；
对D，若A，B互斥，则，故D错误；故选：C
【变式2-3】（2022·高二课时练习）下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以当，，时，，A错，
又由概率的性质可得，B错，
由得，C对，
，当不独立时，，D错，故选：C.
题型三 全概率公式及其应用
【例3】（2023春·山东烟台·高二统考期中）若事件A，B满足：，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，，
得，
又，
所以，解得.故选：D.
【变式3-1】（2022·全国·高二专题练习）某地区居民的肝癌发病率为，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有肝癌的人其化验结果呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果呈阳性，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记事件某人患肝癌，事件化验结果呈阳性，
由题意可知，，，
所以，，
现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是
.故选：C.
【变式3-2】（2023春·重庆·高二校联考期中）某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为______.
【答案】
【解析】设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，
学生选道类试题为事件，
设学生答对试题为事件，
则，，，
，，，
所以，
所以.
故答案为：
【变式3-3】（2023春·山东滨州·高二统考期中）甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，求它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，求它是丙车床加工的概率.
【答案】（1）0.0525；（2）
【解析】（1）设B=“任取一个零件是次品”，A甲=“零件为甲车床加工”，
A乙=“零件为乙车床加工”，A丙=“零件为丙车床加工”，
则，且A甲，A乙，A丙，两两互斥，
根据题意得
.
由全概率公式得
（2）由题意知“如果取到的零件是次品，它是丙车床加工的概率”
就是计算在B发生的条件下事件A丙发生的概率.
【变式3-4】（2023春·山西吕梁·高二山西省交城中学校统考期中）设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球（每个球除颜色以外均相同）．
（1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率；
（2）先从乙袋中取2个球放人甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依题意，从8个球中取4个球有种取法，
其中4个球中恰好有3个红球，
即恰好有3个红球、1个白球，有种取法，
所以4个球中恰好有3个红球的概率；
（2）记为从乙袋中取出1个红球、1个白球，为从乙袋中取出2个红球，
为从甲袋中取出2个红球，
则，，
所以．
题型四 贝叶斯公式及其应用
【例4】（2023·全国·高二专题练习）某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84
【答案】A
【解析】此人是癌症患者的概率为.故选：A
【变式4-1】（2023春·高二课时练习）某同学连续两次投篮，已知第一次投中的概率为0.8，在第一次投中的情况下，第二次也投中的概率为0.7，且第一次投不中，第二次投中的概率为0.5，则在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率为______．
【答案】
【解析】设事件A表示“第一次投中”，事件B表示“第二次投中”，
由贝叶斯公式可得:
故答案为：.
【变式4-2】（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）一道考题有4个，要求学生将其中的一个正确选择出来．某考生知道正确的概率为，而乱猜正确的概率为．在乱猜时，4个都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确”，
由全概率公式：．
又由贝叶斯公式： ．故选：B
【变式4-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格，现从总产品中随机地抽取一个零件，求：
（1）它是不合格品的概率；
（2）若它是不合格品，则它是由哪一部机器生产出来的可能性大．（计算说明理由）
【答案】（1）（2）它是由机器甲生产出来的可能性大，理由见解析
【解析】（1）设、、分别表示事件：任取的零件为甲、乙、丙机器生产的，
B表示事件：抽取的零件是不合格品，
由题意可知，，，
，，，
则
，
所以它是不合格品的概率为.
（2），
，
，
因为，
所以它是由机器甲生产出来的可能性大.