数学苏教版 (2019)6.3空间向量的应用优秀练习

这是一份数学苏教版 (2019)6.3空间向量的应用优秀练习，文件包含631632直线的方向向量与平面的法向量空间线面关系的判定原卷版docx、631632直线的方向向量与平面的法向量空间线面关系的判定解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。

一、空间中直线的向量表示式
1、直线的方向向量：
若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。
【注意】（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。
2、空间直线的向量表示式：
直线l的方向向量为a ，且过点A。如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ta①，把eq \(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))②，
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
二、空间中平面的向量表示式
1、平面ABC的向量表示式
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使，我们称其为空间平面ABC的向量表示式。
2、平面的法向量
如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；
过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合
3、利用待定系数法求平面法向量的步骤
（1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)
（2）选向量：在平面内选取两个不共线向量eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))
（3）列方程组：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\(AC,\s\up7(→))＝0，))列出方程组
（4）解方程组：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\(AC,\s\up7(→))＝0.))
（5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)
（6）得结论：得到平面的一个法向量
4、求平面法向量的三个注意点
（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量
（2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量
（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时要注意这个坐标不为0
三、空间中直线、平面的平行
1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得 .
2、线面平行：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则 .
法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则.
法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，
使得，且，则.
3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得.
四、空间中直线、平面的垂直
1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则.
2、线面垂直：设直线的方向向量，是平面的法向量，
则，使得.
法2：在平面内取两个不共线向量，若.则.
3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则.
题型一 求直线的方向向量
【例1】若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】已知一直线经过点A（2，3，2），B（－1，0，5），下列向量中是该直线的方向向量的为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知，在直线l上，写出直线l的一个方向向量：______．
【变式1-3】如图，已知长方体中，，，，建立空间直角坐标系，分别求直线与AC的方向向量．
【变式1-4】如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，，H是的中点，建立适当的空间直角坐标系，求线段，EF，，FH所在直线的一个方向向量．
题型二 求平面的法向量
【例2】已知平面平面，是平面的一个法向量，则下列向量是平面的法向量的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】已知向量，，，若是平面ABC的法向量，则mk的值是（ ）
A．3 B．2 C．6 D．4
【变式2-2】已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式2-3】如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）求平面的一个法向量；
（2）求平面的一个法向量．
题型三 坐标法证明空间线面平行
【例3】已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．
【变式3-1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1.
【变式3-2】在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
【变式3-3】如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面．
【变式3-4】如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面∥平面.
【变式3-5】如图，在正方体中，点E，F，G，H，M，N分别是该正方体六个面的中心，求证：平面平面HMN．
题型四 坐标法证明空间线面垂直
【例4】如图，在正方体中，和相交于点O，求证：．
【变式4-1】如图，在直棱柱中，，，分别是，，的中点．求证：；
【变式4-2】如图所示在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．求证：平面．
【变式4-3】如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．
【变式4-4】如图所示，在直三棱柱中，，，，点为的中点，证明：平面平面.
【变式4-5】如图，在长方体中，，，E是CD的中点，F是BC的中点．求证：平面平面．