2023-2024学年广东省广州市第六中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省广州市第六中学高二上学期期中数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数（i为虚数单位，a，且）为纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算化简，根据其为纯虚数可得且，即可求得答案.
【详解】由题意得
,
∵为纯虚数
∴且，∴，
另解：设（），则，
即，，
∴，
故选：D.
2．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】由可得直线与直线平行，即充分条件成立；由直线与直线平行，求得的值为，即必要条件成立；
【详解】因为，所以直线，直线，则与平行，故充分条件成立；
当直线与直线平行时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线，直线平行，故必要条件成立.
综上知，“”是“直线与直线平行”的充要条件.
故选：A.
3．数学多选题A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得5分，部分选对的得2分.有选错的得0分.已知某道数学多选题正确答案为BCD，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了1个，或2个，或3个选项，则他能得分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用组合数求得随机地填涂了1个或2个或3个选项，每种可能性都是相同的，然后列举计数能得分的涂法种数，求得所求概率.
【详解】解：随机地填涂了1个或2个或3个选项，共有种涂法，
能得分的涂法为（BCD），（BC），（BD），（CD），B，C，D，共7种，
故他能得分的概率为．
故选：A.
4．已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】计算，再考虑和两种情况，得到倾斜角范围.
【详解】，则，
设直线的倾斜角为，故，
所以当时，直线的倾斜角；
当时，直线的倾斜角；
综上所述：直线的倾斜角
故选：B
5．设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】G是等边的重心，可得，再由，可得，而，从而可以将用表示出，进而可求出
【详解】因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心，
所以，
因为D是PG上的一点，且，所以，
因为，
所以
,
因为，所以，所以为.
故选：B
6．如图是一个近似扇形的湖面，其中，弧的长为.为了方便观光，欲在两点之间修建一条笔直的走廊.若当时，，扇形的面积记为，则的值约为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题可得，再根据扇形面积公式可得，结合条件即得.
【详解】设扇形的圆心角为，则，
在中，，
又，
∴，又，
∴.
故选：B.
7．设是同一个半径为的球的球面上四点，是以为底边的等腰三角形，且面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先计算外接圆的半径，再利用图形得到点的位置，即可求三棱锥体积的最大值.
【详解】设，则，得，
中，，得,
再根据正弦定理可知，得，
如图，点是外接圆的圆心，点是四面体外接球的球心，当点和在一条直线上时，此时三棱锥的体积最大，
，，
此时
故选：D
8．已知，则（ ）
A．B．C．a【答案】D
【分析】先通过简单的放缩比较和的大小，再通过构造函数,利用图像特征比较和的大小，由此可得答案.
【详解】
，
设，，
当时，
与相交于点和原点
时，
，即
故选：D.
二、多选题
9．PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地4月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）的折线图，则关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是（ ）
A．众数为33B．第70百分位数是33
C．中位数是32D．前4天的方差小于后4天的方差
【答案】AC
【分析】结合折线图求众数、中位数及百分位数，并求出前后4个数据的方差比大小即可.
【详解】由图知：指标值从小到大为，
所以众数为，中位数为，A、C对；
由，故第70百分位数是，B错；
前4天均值为，则方差为；
后4天均值为，则方差为，D错.
故选：AC
10．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．直线过定点，直线过定点
D．当，平行时，两直线的距离为
【答案】AD
【分析】A选项：把的值分别代入两直线，根据直线垂直时，斜率相乘为，直接判断即可；
B选项，把的值分别代入两直线，根据直线平行时，斜率相等判断即可；
C选项，把直线的方程变形，根据直线过定点的定义判断即可；
D选项，由直线平行时，斜率相等，可求得得值，排除重合情况，再利用平行直线的距离公式直接求解即可.
【详解】对于A，当时，那么直线为，直线为，此时两直线的斜率分别为和，所以有，所以，故A选项正确；
对于B，当时，那么直线为，直线为，此时两直线重合，故B选项错误；
对于C，由直线：，整理可得： ，故直线过定点，直线：，整理可得：，故直线过定点，故C选项错误；
对于D，当，平行时，两直线的斜率相等，即，解得：或，当时，两直线重合，舍去；当时，直线为，为，此时两直线的距离，故D选项正确.
故选：AD.
11．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的取值范围为
C．的取值范围为
D．的取值范围为
【答案】AC
【分析】由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得，即可判断A，再根据三角形为锐角三角形，即可求出角的范围，从而判断B，再根据三角函数的性质判断C、D；
【详解】解：因为，又由余弦定理，
即，
所以，所以，即，
由正弦定理可得，
又，
，即，
，
，，为锐角，
，即，故选项A正确；
，，，故选项B错误；
，故选项C正确；
，
又，，
令，则，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
又， ，
，故选项D错误．
故选：AC．
12．如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )
A．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得平面
C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大
D．若，那么Q点的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】A：取、中点，连接、、PF，证明平面∥平面，则点的轨迹为线段；
B：以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，根据求出x、z即可判断；
C：的面积为定值，当且仅当到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大；
D：可求为定值，即可判断Q的轨迹，从而求其长度.
【详解】取、中点，连接、、PF，
由PF∥∥且PF＝知是平行四边形，
∴∥，∵平面，平面，∥平面，
同理可得EF∥平面，∵EF∩＝F，
∴平面∥平面，则点的轨迹为线段，A选项正确；
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，设，
则，，
设为平面的一个法向量，
则即得取，则.
若平面，则∥，即存在，使得，则，解得，故不存在点使得平面，B选项错误；
的面积为定值，当且仅当到平面的距离d最大时，三棱锥的体积最大.
，
，，则当时，d有最大值1；
②，，则当时，d有最大值；
综上，当，即和重合时，三棱锥的体积最大，C选项正确；
平面，，
，，Q点的轨迹是半径为，圆心角为的圆弧，轨迹长度为，D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】本题综合考察空间里面的位置关系的判断与应用，需熟练运用线面平行、面面平行的判定定理和性质，需掌握运用空间直角坐标系和空间向量来解决垂直问题，掌握利用空间向量求点到平面的距离，利用几何关系判断空间里面的动点的轨迹，考察知识点较多，计算量较大，属于难题.
三、填空题
13．设向量，且，则的值为 ．
【答案】168
【分析】根据向量，设，列出方程组，求得，得到，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】由题意，向量，设，
又因为，
所以，
即，解得，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的共线条件，熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14．正三棱台上下底面棱长分别为3和6，侧棱长为2，则正三棱台的体积为 .
【答案】
【分析】将正三棱台补全为三棱锥，有正三棱台的体积，即可求体积.
【详解】如下图，正三棱台，将其补全为三棱锥，为其高，
∴正三棱台的体积，由题设易知，
∴设，则，即三棱锥的高，故的高为1，
∴.
故答案为：
15．在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则 .
【答案】
【分析】在中，根据正弦定理可求出，从而可得，再解即可．
【详解】如图，在中，，，
由正弦定理可得，
，又，则，
，，
又AD为的平分线，
，，
．
故答案为：2．
16．若不等式对于任意正实数x、y成立，则k的范围为 ．
【答案】
【分析】将不等式转化为．只要求得最大值即可．
【详解】易知，，
．
令，分式上下同除y，
则，则即可，
令，则．
可转化为：，
于是，．
∴，即时，不等式恒成立（当时等号成立）．
故答案为：
四、解答题
17．已知的顶点.
(1)求边上的中线所在直线的方程；
(2)求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段的中点，再利用两点式即可求出所求；
（2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求.
【详解】（1）线段的中点为，
则中线所在直线方程为：，即.
（2）设两坐标轴上的截距为，
若，则直线经过原点，斜率，
直线方程为，即；
若，则设直线方程为，即，
把点代入得，即，直线方程为；
综上，所求直线方程为或.
18．已知函数的图象在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由题意可知函数的周期，且，再结合函数图像的平移变换后图像关于原点对称，可得，结合，运算可得函数解析式；
（2）由（1）可得，令，当在上有两个不同的解，则，又，即可得实数的范围.
【详解】（1）由题意可知函数的周期，且，所以，故.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为，因为函数的图象关于原点对称，所以，即.
又，所以，故.
（2）由（1）得函数，其周期为，
又，所以.令，因为，所以，
若在上有两个不同的解，则，
所以当时，方程在上恰有两个不同的解，即实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法及函数图像的平移变换，重点考查了解三角方程，属中档题.
19．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．
(1)求证；
(2)若平面平面，，，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）首先证明平面，再根据线面平行的性质定理，即可证明线线平行；
（2）取的中点，首先证明互相垂直，再以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用线面角的向量公式，即可求解.
【详解】（1），
且平面，平面，
平面，
又平面，且平面平面，
；
（2）连结，取中点，连结，，
在菱形中，，是等边三角形，
又为中点，，
平面平面，平面平面，
平面，且，
平面，平面，
，
又，，
以点为原点，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，，
故，又，
设与平面所成角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20．女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛.
(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
(2)若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲､乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.求两队打了个球后，甲队赢得整场比赛的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得甲队将以或的比分赢得比赛，从而可求出甲队最后赢得整场比赛的概率；
（2）由题意可知甲接下来可以以或赢得比赛，此时的取值为2或4，然后分别求出各自对应的概率，从而可求出甲队赢得整场比赛的概率.
【详解】（1）依题意，甲队将以或的比分赢得比赛.
若甲队以的比分赢得比赛，则第4局甲赢，
若甲队以的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢.
故甲队最后赢得整场比赛的概率为.
（2）依题意，甲每次发球，甲队得分的概率为，接发球方得分的概率为.
甲接下来可以以或赢得比赛，此时的取值为2或4.
当时，其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺序为“甲甲”，
；
当时，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”，
.
两队打了个球后，甲队赢得整场比赛的概率为：
.
21．如图，三棱锥中，，，，．
(1)求三棱锥的体积：
(2)若点M在棱AP上，且直线CM与平面ABC所成角的正弦值为，求二面角所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作出辅助线，证明出⊥，建立空间直角坐标系，，由边长列出方程，求出，结合，由棱锥体积公式求出答案；
（2）设，根据线面角的正弦值得到方程，求出，，进而利用二面角求解公式求出答案.
【详解】（1）取AC中点O，连接，
因为，所以⊥，
因为，所以，由勾股定理得，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，如图建系，
则，，，
设，因为，，
，故，解得，故
则点到平面的距离为1，又，所以；
（2）设，则，
则，
又平面ABC的法向量，设为与平面所成的角，
则，解得，
所以，，
设平面MBC的法向量，
，
令，则，故，
设平面PBC的法向量，
，
，
令，则，故
设所成角大小为，由图可知，为锐角，
则．
22．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设函数，试求的伴随向量；
(2)记向量的伴随函数为，求当且时，的值；
(3)当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化简的解析式，从而求得伴随向量.
（2）先求得，由求得，进而求得，从而求得.
（3）先求得，然后根据三角函数的最值求得正确答案.
【详解】（1）
，
所以.
（2）依题意，
由得，
，所以，
所以.
（3）的函数解析式，
所以
区间的长度为，函数的周期为，
若的对称轴在区间内，
不妨设对称轴在内，最大值为1，
当即时，函数在区间上的最大值与最小值之差取得最小值为；
其它的对称轴在内时最大值与最小值之均大于，
若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最小值，则最大值与最小值之差为：
，
故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
【点睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法.