高中数学讲义——直线与圆位置关系

这是一份高中数学讲义——直线与圆位置关系，共17页。学案主要包含了基础知识，典型例题，历年好题精选等内容，欢迎下载使用。

1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
2、圆的标准方程：设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：
3、圆的一般方程：圆方程为
（1）的系数相同
（2）方程中无项
（3）对于的取值要求：
4、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：
（1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则：
① 当时，直线与圆相交
② 当时，直线与圆相切
③ 当时，直线与圆相离
（2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数。设直线：，圆：，则：
消去可得关于的一元二次方程，考虑其判别式的符号
① ，方程组有两组解，所以直线与圆相交
② ，方程组有一组解，所以直线与圆相切
③ ，方程组无解，所以直线与圆相离
5、直线与圆相交：
弦长计算公式：
6、直线与圆相切：
（1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心到切线的距离等于半径
例：已知圆的方程为：及圆上一点，求过的圆的切线
方法一：利用第一条性质：，所以可得切线斜率
切线方程为：，整理后可得：
方法二：利用第二条性质：设切线方程为：
即
整理可得： 解得：
（2）圆上点的切线结论：
① 圆上点处的切线方程为
② 圆上点处的切线方程为
（3）过圆外一点的切线方程（两条切线）：可采取上例方法二的做法，先设出直线方程，再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程。（要注意判断斜率不存在的直线是否为切线）
7、与圆相关的最值问题
（1）已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为（即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点
（2）已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦
解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为，若最小，则要取最大，在圆中为定值，在弦绕旋转的过程中， ，所以时，最小
（3）已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于
（4）已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为
解：，则若最小，则只需最小即可，
所以点为过作垂线的垂足时，最小
过作圆的切线，则切线长最短
8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含
（1）可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆的半径为，
① 外离
② 外切
③ 相交
④ 内切
⑤ 内含
（2）可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系。但只能判断交点的个数。例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直接判定。
二、典型例题：
例1：已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数（ ）
A. B. C. 或 D.
思路：因为为等边三角形且为圆心，所以该三角形的边长为，由等边三角形的性质可知高为，即到的距离为，由圆方程可得：，所以利用点到直线距离公式可得：，解得：
答案：D
例2：圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
思路：不妨设圆心，其中，半径为，因为直线与圆相切，所以有，若圆的面积最小，则半径最小，则
，即，此时，所以圆方程为：
答案：A
例3：设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
思路：由圆的性质可知：圆上一点，与所组成的角，当与圆相切时，最大。所以若圆上存在点，使得，则。由和可知过且与圆相切的一条直线为，切点 ，所以在直角三角形中，，从而
答案：A
例4：设，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
思路：通过圆方程可知圆心，半径，因为直线与圆相切，所以，整理后可得：，即，所以，进而由“对勾函数“性质可知
答案：D
小炼有话说：本题由于，所以对于不能使用均值不等式，而要通过换元转换为常见函数求得值域
例5：若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线斜率的取值范围是___________
思路：本题的关键在于如何将“至少三个符合条件的不同的点”这个条件与找到联系。通过图像可知该条件与圆心到直线的距离相关。圆方程为：，即圆心为，半径，作出图像可知若至少有三个不同的点到直线距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，所以，即解不等式：，解得：
答案：
例6：直线与圆交于不同的两点，且，其中是坐标原点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
思路：不妨设的中点为，则可知，从而，在圆中，可知为圆心到的距离，即弦心距。由圆中弦，半径，弦心距的关系可得：，代入可得：，解得：，即，所以
答案：D
例7：在平面直角坐标系中，已知圆，点是轴上的一个动点，分别切圆于两点，则线段的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
思路：如图设交于，则有，只需确认的范围即可，由圆方程可得，设，所以，在中，可得：，所以，下面确定的范围。设，因为，所以，从而解得。则
答案：B
例8：已知圆，直线下面四个命题：
（1）对任意实数与，直线和圆相切；
（2）对任意实数与，直线和圆有公共点；
（3）对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切;
（4）对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切.
其中真命题的代号是______________
思路一（代数运算）：四个命题均和直线与圆位置关系相关，所以考虑圆心到直线的距离和半径的大小关系：由圆方程可知圆心，半径为1，所以，为了便于计算，不妨比较与1的大小关系，从而有：

所以对任意的实数，直线和圆有公共点，但不一定相切。故（1）错误（2）正确；（3）（4）与相切有关，所以考虑，由上式可得：①，从而可得，对于任意的实数，不一定会存在，使得等式成立。例如时，①不成立；但对于任意的，总有，使得①成立，即直线与圆相切。所以（3）错误，（4）正确，综上所述，正确的是（2）（4）
思路二（数形结合）：通过观察，可知为单位圆上的点。则必有，又因为的半径为1，所以可得过原点。而直线过定点，所以直线与圆必有公共点。（2）正确。因为在圆上，所以可知若直线与圆相切，则原点为切点，故切线也只有一条。所以（1）错误。对于（3）（4），通过前面的结论可知对于任意的一个圆，均可过原点作出圆的切线。另一方面通过切线也可确定圆心。所以（4）正确。而（3）忽略了一种情况，当圆心位于轴上时，此时切线为轴，虽有切线但斜率不存在，所以不能表示为的形式。所以（3）错误
答案：（2）（4）
例9：:设，直线圆.若圆既与线段又与直线有公共点，则实数的取值范围是 ．
思路：本题的取值范围为两个条件的交集。先处理圆与有公共点：由圆方程可知圆的圆心为，半径，若圆与直线有公共点，则，解得：，所以。另一方面，考虑圆与有公共点，因为该圆半径不变，圆心在轴上移动，所以可根据的符号进行分类讨论：显然成立，当时，由图像可知圆心的最远端为在的右侧且到的距离为1，即，当时，可知圆最左端的位置为与线段相切的情况，，所以，解得：。所以，综上所述：圆与线段有公共点时，，从而
答案：
例10：已知的三个顶点，，，其外接圆为圆．
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；
（3）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围
解：（1）思路：求圆的方程关键在于确定圆心坐标，条件中给了三个点，考虑两点所成线段的垂直平分线为直径（过原点），所以选择两组点，求出两条直径，即可解出圆心。在本题中抓住，关于轴对称。从而得到圆心在轴上，设其坐标为再根据，即可解出值。从而得到圆心坐标，然后计算半径即可得到圆的方程
由外接圆为圆可得：
在垂直平分线上
在轴上 设
，解得：

（2）思路：已知弦长和半径，可求出弦心距。直线过从而可设出直线方程，再利用弦心距解得直线方程即可
设
由弦长为2和可得：
，解得：
当斜率不存在时，，联立方程：
弦长为2，符合题意
综上所述：的方程为和
（3）思路一：（代数方法）由坐标可求出的方程：，其线段上一点，设，则中点，由在圆上可得（设圆的半径为）：，则存在即方程组有解。方程组中的方程为两个圆，只需两个圆有公共点即可。所以，再由整理后可得：对任意恒成立。可得：，再有线段与圆无公共点，即在恒成立。解得：，从而，即可求得的范围
解： 的方程为：
设 在线段上
且
设 为中点
设圆，由在圆上可得：
，整理后可得：
，若存在，则方程组有解
即圆心为，半径为的圆与圆心为，半径为的圆有公共点
根据两圆位置关系可知：，即：
在恒成立
，整理后可得：
在恒成立
设
，解得：
若为中点，则在圆外
即在恒成立
综上所述：
思路二（数形结合）：通过图像可观察出，若对于线段上任意一点均满足题意，则需达到两个条件：第一，在圆外，可先利用坐标判定出为锐角，从而在上的投影位于线段上，所以；第二，到圆上点的最小距离（记为）应小于或等于到圆上点最大距离（记为）的一半，即，否则，若当圆上取其他点时，，由不等式的传递性可知：，不可能为中点。因为在圆外，所以可知在圆上任意一点中，，，代入可得恒成立。综上即可求出的范围
解：，若对任意点，已知条件均满足
则在外

为锐角
在上的投影位于线段上
依题意，若对任意点，均存在使得
设到圆上点的最小距离为，到圆上点最大距离为，则有：
否则若
，导致不存在满足条件的
在圆外 ，代入可得：
由图可知：
即
综上所述：
三、历年好题精选
1、设圆，直线，点，若存在点，使得（为坐标原点），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2、已知，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3、（2015，广东）平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
4、（2015，江苏）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
5、（2014，湖北）直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则_______
6、（2014，全国卷）直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与夹角的正切值等于_______
7、(2016，吉安一中高三期中)已知圆C：，直线经过点，若对任意的实数m，直线被圆C截得的弦长都是定值，则直线的方程为________
8、已知是圆内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线，则（ ）
A. ，且与圆相交 B. ，且与圆相交
C. ，且与圆相离 D. ，且与圆相离
9、（2015，广东）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点
（1）求圆的圆心坐标；
（2）求线段的中点的轨迹的方程；
（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
习题答案：
1、答案：B
解析：依题意可知，由可得：。
在与圆相切时取得最大值
若变长，则的最大值将变小
当且与圆相切时，
若存在点，使得，则
，解得：
2、答案：C
解析：即为以为圆心，为半径的圆的内部，集合为圆心在原点，半径为的圆的内部。则表示圆在圆的内部，在坐标系中作出圆，数形结合即可得到圆半径的范围为，则的范围为
3、答案：D
解析：由平行关系可设切线方程为，则，解得：，所以切线的方程为或
4、答案：
解析：方法一：可知动直线过定点，所以可算出圆心与定点的距离为，所以半径最大的圆即为以该定点为切点的圆，所以，圆方程为：
方法二：由相切可知，所以半径最大的圆方程为
5、答案：2
解析：由直线方程可知，若将单位圆分成相等的四段弧，则弦端点与圆心所成的角为，所以，所以解得，所以
6、答案：
解析：从几何性质出发，结合坐标计算线段的长，设，则，又因为，所以，所以可得，则所求
7、答案：
解析：圆标准方程：，圆心为，半径为，可知在直线。点到直线的距离，所以过且与平行的直线与圆相交，因为圆的半径，所以截得的弦长为定值。所以，即
8、答案：C
解析：由圆的性质可知可知中点弦与垂直，所以斜率，中点弦方程为：，可得，另一方面，，因为在圆内，所以，所以，直线与圆相离
9、解析：（1）圆
圆心坐标为
（2）设，则可知
，整理可得：
当动直线与圆相切时，设直线方程：
则

切点的横坐标为
由圆的性质可得：横坐标的取值范围为
所以轨迹方程为
（3）由（2）可得曲线为圆的一部分圆弧（不包括），其中
直线过定点
① 当直线与圆相切时：
② 当直线与圆不相切时，可得，
数形结合可得：当时，直线与圆有一个交点
综上所述：时，直线与曲线只有一个交点