2022年广东省广州市越秀区九年级数学一模试题

这是一份2022年广东省广州市越秀区九年级数学一模试题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列四个选项中，最小的数是（ ）
A．- πB．0C．|- 6|D．3
2．神舟十三号飞船在太空中以约每小时28440千米的速度飞行，每90分钟绕地球一圈．将28440用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）.
A．B．C．（a+b）2 = a2 + b2D．2a2b - ba2 = a2b
4．若点A（1，），B（2，）在反比例函数的图象上．则，的大小关系是（ ）．
A．B．C．D．
5．如图，菱形ABCO的顶点O为⊙O的圆心，顶点A，B，C均在圆周上，则∠A的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
6．今年3月份某校举行学雷锋志愿服务活动，为了解学生一周学雷锋志愿服务的次数、随机抽取了50名学生进行一周学雷锋志愿服务次数调查，依据调查结果绘制了如图的折线统计图．下列有关该校一周学雷锋志愿服务次数说法正确的是（ ）
A．众数是5B．众数是13C．中位数是7D．中位数是9
7．根据统计数据提示：广州市2019年地区生产总值为2.36万亿元，2021年地区生产总值为2.82万亿元如果广州市地区生产总值的年平均增长率为x，那么下列方程正确的是（ ）
A．2.36（l + x） = 2.82B．2.36（1 + 2x） = 2.82
C． D．2.36（1+x）2 = 2.82
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CE是斜边AB上的中线，BD⊥CE于点D，过点A作AF⊥CE交CE延长线于点F．下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠BAC = ∠DBCB．tan ∠ECB C．AF = BDD．CE = CB
9．将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上．已知BG =，BC = 3，连接DF．M是DF的中点，连接AM，则AM的长是（ ）
A．B．C．D．
10．已知二次函数（a<0）的图象经过A（ - 5，），B（-3，），C（0，）．D（2，）四个点．下列说法一定正确的是（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
二、填空题
11．使在实数范围内有意义的应满足的条件是 ．
12．如图，若直线//，是截线，∠1 = 32°，则∠3的度数是 ．
13．已知一个圆锥的底面直径是10厘米，高是12厘米，则该圆锥的侧面积是 平方厘米．（结果保留π）
14．若关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0．则a = ．
15．如果一次函数y = kx + b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如下表所示：那么关于x的不等式kx + b≥8的解集是 ．
16．如图，点E为矩形ABCD的边BC上一点（点E与点B不重合），AB = 6，AD = 8，将△ABE沿AE对折，得到△AFE，连接DF，CF．给出下列四个结论：①∠BAF与∠BEF互补；②若点F到边AD、BC的距离相等．则sin∠BAE =；③若点F到边AB、CD的距离相等．则tan∠BAE =；④△CDF的面积的最小值为6．其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
17．解不等式组：
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E．使BE = AB．连接DE交BC于点F．求证：CF = BF．
19．已知．
(1)化简A；
(2)若点P（m，n）是直线y =- 2x + 5与y = x - 1的交点，求A的值．
20．2022年2月6日晚，中国女足在第20届亚洲杯决赛中以3：2逆转夺冠！全国各地掀起了一股学女足精神的热潮．某学校准备购买一批足球，第一次用3000元购进A类足球若干个，第二次又用3000元购进B类足球，购进数量比第一次多了20个．已知A类足球的单价是B类足球单价的1.5倍．
(1)求B类足球的单价是多少元；
(2)若学校需采购A，B两类足球共200个，总费用不超过12000元，则A类足球最多购买多少个？
21．某班以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题对全班学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：短道速滑、冰壶、单板滑雪、自由式滑雪及其它项目（每位同学仅选一项），根据调查结果绘制了如下统计表：
根据以上信息解答下列问题：
(1)频数分布表中的a = ；
(2)若将各运动项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，则“冰壶”对应扇形的圆心角度数为 ______；
(3)若在选择“自由式滑雪”的4名学生中，有2名男生，2名女生，现需从这4人中随机抽取2名学生进行项目介绍，请用树状图或列表的方法求所抽取的2名学生恰好是2名男生的概率．
22．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴上．反比例函数数y =（x > 0）的图象经过矩形OABC对角线的交点D（4，2），且与边AB，BC分别交干点E，F，直线EF交x轴于点G．
(1)求点F的坐标；
(2)求证:四边形AEGC是平行四边形．
23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB = 6，BC = 8，∠ABC = 90°，弧AD = 弧DC．
(1)求边CD的长；
(2)已知△ABE与△ABD关于直线AB对称．
①尺规作图:作△ABE；（保留作图痕迹，不写作法）
②连接DE，求线段DE的长．
24．已知抛物线G：y = ax2 + bx + c经过点A（-1，a-b+9），且与y轴交于点B，与x轴仅有一个交点．
(1)求点B的坐标；
(2)当a + b取最小值时，求抛物线G的解析式；
(3)若P、C（，m），D（，m）（）为抛物线G上三个不同的点（点P与点B不重合），直线PC，PD与y轴分别交于点E、F，且BF = 5BE，求m的值．
25．如图，在等边△ABC中，AB = 6，点D为边BC的中点，点E为边AB上一动点，将线段DE绕点D顺时针旋转60°得到线段DF，射线DF与边AC相交于点G（点G与点A不重合），连接CF，EG．
(1)求证∶△BED∽△CDG；
(2)点E在边AB上运动的过程中，△AEG的周长是否会发生变化？若不变，求△AEG的周长；若变化，请说明理由；
(3)设△CDF的面积为．△CGF的面积为，若 = 3．求△AEG的内切圆半径r．
x
-3
-2
-1
0
1
y
11
8
5
2
-1
运动项目
频数/人数
频率
短道速滑
7
0.35
冰壶
2
b
单板滑雪
a
0.25
自由式滑雪
4
0.2
其它
2
0.1
参考答案：
1．A
【分析】先化简绝对值， 结合正数大于0，0大于负数，可得答案.
【详解】解：

所以最小的数是
故选A
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，绝对值的含义，掌握“实数的大小比较的方法”是解本题的关键.
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：．
故选：B
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3．D
【分析】根据二次根式、同底数幂的除法、完全平方公式、合并同类项的方法即可解答．
【详解】A.，故本选项错误；
B.，故本选项错误；
C.（a+b）2 = a2 +2ab+ b2，故本选项错误；
D.2a2b - ba2 = a2b，故本选项正确；
故选D．
【点睛】此题主要考查二次根式、同底数幂的除法、完全平方公式、合并同类项，解题的关键是熟知各知识的运算法则．
4．B
【分析】分别计算的值，再比较大小即可．
【详解】解： 点A（1，），B（2，）在反比例函数的图象上，


故选B
【点睛】本题考查的是求解反比例函数值以及反比例函数值的大小比较，掌握“比较的方法”是解本题的关键．
5．C
【分析】连接BO，证明△AOB是等边三角形，故可求解．
【详解】如图，连接BO，
∵菱形ABCO的顶点O为⊙O的圆心
∴AO=AB=BO=r
∴△AOB是等边三角形
∴∠A=60°
故选C．
【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知菱形的性质及等边三角形的判定定理．
6．A
【分析】一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数，把一组数据按照从小到大或从大到小先排序，如果这组数据有奇数个，则正中间的数即为中位数，如果数据是偶数个则最中间两位数的平均数为中位数．根据众数和中位数的定义可得答案．
【详解】解：从折线图可得：4人每人服务4次，13人每人服务5次，9人每人服务6次，7人每人服务7次，9人每人服务8次，6人每人服务9次，2人每人服务10次，
出现次数最多的数据是5次，所以众数是5次，故A符合题意，B不符合题意；
50个数据已经按照从小到大的顺序排列好，排在第25个，第26个数据是6次，6次，
所以中位数为（次），故C，D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是折线统计图的应用，中位数与众数的含义，掌握“中位数与众数的含义”是解本题的关键．
7．D
【分析】利用2021年地区生产总值＝2019年地区生产总值×（1＋增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：2.36（1+x）2 = 2.82，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．D
【分析】根据题意可得，，继而得出∠BAC = ∠DBC；再由直角三角形的边角关系得到tan ∠ECB ；再证明，便可得到AF = BD，至此，即可得到答案．
【详解】∠ACB = 90°，CE是斜边AB上的中线，BD⊥CE，AF⊥CE
∠BAC = ∠DBC，故A正确；
在Rt△ABC中，
tan ∠ECB ，故B正确；
在和中
AF = BD，故C正确；
没有足够的条件证明D选项
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、直角三角形的边角关系、全等三角形的判定及性质，熟练掌握并灵活运用知识点是解题的关键．
9．A
【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质得出BH，继而利用勾股定理解答即可．
【详解】
延长AM交BC于点H
四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，BG =，BC = 3
点F，B，C在同一直线上
∴AD//CF
M是DF的中点
在中，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．C
【分析】先由抛物线解析式求出抛物线对称轴，再由a＜0可判断，进而求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵a＜0， ∴抛物线开口向下，
∵
∴，
若，则y1y2＞0，y3y4＜0，选项A不符合题意．
若，则y1y4＞0，y2y3＜0，选项B不符合题意．
若，则同号，则，或，
则 选项C符合题意．
若，则y3y4＞0，y1y2＜0，选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的增减性．
11．x≥1
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵式子在实数范围内有意义，∴x-1≥0,解得x≥1.
故答案为x≥1.
【点睛】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.
12．32°/32度
【分析】根据两直线平行，同位角相等求解．
【详解】解：∵//，∠1 = 32°，
∴∠3＝∠1＝32°（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：32°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
13．
【分析】先根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可．
【详解】圆锥的底面直径是10厘米
圆锥的底面半径是5厘米
高是12厘米
母线长
该圆锥的侧面积（平方厘米）
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及圆锥的侧面积公式，即，熟练掌握知识点是解题的关键．
14．-1
【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到，求解即可．
【详解】关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．
【分析】通过一次函数与一元一次不等式的关系可知，kx+b≥8，即为y≥8．即可得到对应的x的取值范围．
【详解】解： 根据表中数据可知函数值y随x的增大而减小，且当x=-2时y=8，
∴不等式kx+b≥8的解等是x≤-2．
故答案为x≤-2．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键在于通过一次函数的增减性得到x的取值范围．
16．①②④
【分析】根据折叠的性质及四边形的内角和即可判断①；根据含30°的直角三角形的性质即可判断②；根据题意作图，先求出tan∠PFB=，再证明∠BAE =∠PFB，故可判断③；根据三角形的面积公式即可判断④．
【详解】∵将△ABE沿AE对折，得到△AFE，
∴∠AFE=∠B=90°
∵四边形ABEF是内角和为360°
∴∠BAF+∠BEF=360°-∠AFE-∠B=180°，故∠BAF与∠BEF互补，①正确；
若点F到边AD、BC的距离相等
如图，过F点作MN⊥BC，故MN⊥AD，
∵AB = 6，
∴MF=FN=3，AF=AB=6
∴MF=AF，
∵△AMF是直角三角形
∴∠MAF=30°
∵∠BAE=∠FAE
∴∠BAE=
∴sin∠BAE =，②正确；
若点F到边AB、CD的距离相等
如图，过F点作PQ⊥AB，则PQ⊥CD
∵AB=6，BC=8
∴AF=6，PF=4
在Rt△APF中，AP=
∴BP=AB-BP=6-
如图，连接BF，交AE于O点
∴在Rt△BFP中，tan∠PFB=
∵AB=AF，BE=EF
∴AE垂直平分BF
∴AE⊥BF
∴∠ABO+∠BAE=90°
又∠ABO+∠PFB=90°
∴∠BAE =∠PFB
故tan∠BAE =，③错误；
如图，当F点在AD上时，F点到CD的距离最短
此时△CDF的高为DF=AD-AF=AD-AB=2
∴S△ACD=，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】此题主要考查矩形的判定与性质应用、折叠的性质、解三角形的应用，解题的关键是根据题意作图，画出辅助线进行求解．
17．2＜x≤3
【分析】首先计算出两个不等式的解集，然后再根据解集的规律确定不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：x≤3，
由②得：x＞2，
∴不等式组的解集是：2＜x≤3．
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
18．证明见解析
【分析】利用平行四边形的性质证明结合 证明 可得从而可得结论．
【详解】证明： 四边形ABCD是平行四边形，





．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的运用平行四边形的性质进行证明是解本题的关键．
19．(1)
(2)5
【分析】（1）根据分式的运算法则即可化简；
（2）联立两直线求出m，n，代入A即可求解．
【详解】（1）
=
=；
（2）联立，解得
∴m=2，n=1
∴A==．
【点睛】此题主要考查分式的运算、解二元一次方程组及直线与方程的关系，解题的关键是熟知分式的运算法则、二元一次方程组的求解．
20．(1)B类足球的单价为元．
(2)A类足球最多购买80个．
【分析】（1）设B类足球的单价为元，则A类足球的单价是元，则根据第二次购进数量比第一次多了20个列方程，再解方程即可；
（2）设A类足球购买个，则B类足球购买了个，根据总费用不超过12000元，再列不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设B类足球的单价为元，则A类足球的单价是元，则

解得：
经检验：是原方程的根，且符合实际意义；
所以
答：B类足球的单价为元．
（2）解：设A类足球购买个，则B类足球购买了个，则

解得：
答：A类足球最多购买80个．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系列方程或不等式是解本题的关键．
21．(1)5
(2)36°
(3)
【分析】（1）根据短道速滑的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去各项目的人数即可求出a的值；
（2）用冰壶的人数除以总人数，求出b的值，用360°乘以冰壶所占的百分比，即可求出对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据题意先画出树状图，得出所有可能出现相同的结果数和2名学生恰好是2名男生的结果数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）∵7÷0.35＝20（人），
∴a＝20-7-2-4-2＝5（人），
故答案为：5；
（2）b=2÷20=0.1
∴在扇形统计图中，“冰壶”所在的扇形的圆心角的度数为：360°×0.1＝36°
故答案为：36°；
（3）2名男生分别用A1和A2表示，2名女生分别用B1和B2表示，根据题意画树状图如下：
由图可知总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中2名学生恰好是2名男生的结果数2种，所以抽取的两人恰好是2名男生的概率是．
【点睛】此题考查了频率分布直方图，用到的知识点是频率＝频数÷总数，概率公式，读懂统计表，运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题是本题的关键．
22．(1)点F的坐标为（8，1）；
(2)见解析
【分析】（1）由点D的坐标可得出点B的坐标，再利用矩形的性质可得出OA，AB的长；由点D的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值，结合点B的坐标可得出点E，F的坐标；
（2）进而可得出BE，BF的长，由各线段的长度可得出，结合∠ABC=∠EBF可证出△ABC∽△EBF，再利用相似三角形的性质及平行线的判定定理可得出EF∥AC，即可证明四边形AEGC是平行四边形．
【详解】（1）解：∵点D的坐标为（4，2），
∴点B的坐标为（8，4），
∴OA=4，AB=8．
∵反比例函数y=的图象经过点D（4，2），
∴k=4×2=8．
∵点B的坐标为（8，4），AB∥x轴，BC∥y轴，
∴点F的坐标为（8，1），点E的坐标为（2，4）；
（2）解：∵点F的坐标为（8，1），点E的坐标为（2，4），
∴BF=3，BE=6，
∴，，
∴．
∵∠ABC=∠EBF，
∴△ABC∽△EBF，
∴∠BCA=∠BFE，
∴EF∥AC．
∵AB∥x轴，
∴四边形AEGC是平行四边形．
【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）由点B的坐标利用矩形的性质求出OA，AB的长；（2）利用相似三角形的判定定理找出△ABC∽△EBF．
23．(1)
(2)①图见解析②14
【分析】（1）先求出直径AC，再得到△ADC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解；
（2）①以B点为圆心，BD为半径，和以A点为圆心，AD为半径画弧，交点为E点，再顺次连接即可；
②过A点作AH⊥BD，先求出BD的长，再证明△BDE是等腰直角三角形，故可求出DE的长．
【详解】（1）∵AB = 6，BC = 8，∠ABC = 90°，
∴AC=，AC是⊙O的直径
∴∠ADC=90°
∵弧AD = 弧DC
∴AD=CD
∴△ADC是等腰直角三角形
∴AD2+CD2=AC2
解得CD=；
（2）①如图，△ABE为所求；
②过A点作AH⊥BD，
∵弧AD = 弧DC
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=45°
∴△ABH是等腰直角三角形
∵AB2=BH2+AH2，AH=BH
∴AH=BH=3
∵AD=CD=5
∴在Rt△ADH中，DH=
∴BD=BH+DH=
∵△ABE与△ABD关于直线AB对称
∴∠EBD=2∠ABD=90°，BE=BD=
∴△BDE是等腰直角三角形
∴DE=．
【点睛】此题主要考查圆内的线段长度求解、尺规作图，解题的关键是熟知圆周角的性质、等腰直角三角形的判定与性质及对称性的应用．
24．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由y = ax2 + bx + c经过点A（-1，a-b+9），求解 从而可得B的坐标；
（2）由y = ax2 + bx + 9与x轴仅有一个交点，可得 可得 再利用二次函数的性质求解最小值，从而可得答案；
（3）如图，设 由C（，m），D（，m）（）为抛物线G：上，可得 再求解为： 同理 结合 可得 再分类讨论即可得到答案．
【详解】（1）解： y = ax2 + bx + c经过点A（-1，a-b+9），
，
解得：
抛物线为：
当时，
．
（2）解： y = ax2 + bx + 9与x轴仅有一个交点，



当时，的最小值为：
此时 所以
所以抛物线为：
（3）解：如图，设
C（，m），D（，m）（）为抛物线G：上，
即
设的解析式为：
即
解得：
所以为：


同理


点P与点B不重合，
则
若 则 不符合题意，舍去，

①若 则
则


②当时，则
则



综上：或
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数与x轴的交点问题，证明是解第（3）问的关键，本题难度大，计算量大，对学生的要求很高．
25．(1)见解析
(2)不变，周长为9
(3)或
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，根据已知条件可得，进而可得，即可证明；
（2）设，则，过点作于点，根据（1）中结论，相似三角形的性质分别求得，解，求得，根据三角形周长公式求解即可；
（3）根据两三角形面积比可得，根据相似三角形的性质可得，解一元一次方程求得的值，继而求得，，根据（2）的结论求得，分别根据内心的性质以及求得三角形面积，从而得到关于的一元一次方程，解方程求解即可．
【详解】（1）是等边三角形
将线段DE绕点D顺时针旋转60°得到线段DF，
（2）如图，过点作于点，
设，则
为的中点，则
，
，，
在中
（3）设△CDF的面积为．△CGF的面积为，
= 3．
设，则
解得
由（2）可知周长为9
的内切圆半径为，
则
解得
当点在外时，过点作交于点，
∵，
∴，,即
设，则
解得，
∴
，
设的内切圆半径为，
，
，
解得：，
综上，△AEG的半径为或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，三角形内心的性质，综合运用以上知识是解题的关键．