2023-2024学年江西省南昌市第十中学高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省南昌市第十中学高二上学期第二次月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（ ）
A．20B．90C．120D．240
【答案】C
【分析】根据排列可求不同的选派方案的种数.
【详解】共有种不同的选派方案．
故选：C.
2．老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的4篇，该同学能及格的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】若该同学能及格，只需抽取的3篇文章里至少有2篇是会背诵的，所以可以分别求出抽的3篇中有2篇和3篇的情况，相加即可.
【详解】若该同学能及格，只需抽取的3篇文章里至少有2篇是会背诵的，
所以，抽取的3篇里有2篇会背诵的概率为，
抽取的3篇里有3篇会背诵的概率为，
故该同学能及格的概率为.
故选：D.
3．下列说法：①离散型随机变量的方差反映了随机变量取值的波动情况；②随机变量，其中越大，曲线越“高瘦”；③若A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件；④从10个红球和20个白球（除颜色外完全相同）中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数X服从超几何分布；其中，正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】按离散型随机变量的方差的性质判断可判断A；随机变量，其中越大，曲线越“矮胖”，可判断B；若与是相互独立事件，则与也是相互独立事件，可判断C；从10个红球和20个白球除颜色外完全相同中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布，符合超几何分布的定义可判断D.
【详解】对于A，离散型随机变量的方差反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度，故A正确；
对于B，随机变量，其中一定时，越小，曲线越“高瘦”；越大，曲线越“矮胖”，故B错误；
对于C，若与是相互独立事件，则，因为与不相交，
所以，
故和独立，故C正确；
对D，超几何分布是统计学上一种离散型概率分布，
它描述了从有限个物件（其中包含个指定类物件）中抽出个物件，
这件中所含指定种类的物件数是一个离散型随机变量，故D正确.
故选：C.
4．某一电子集成块有三个元件a，b，c并联构成，三个元件是否有故障相互独立.已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行.若每个元件能正常工作的概率均为，则在该集成块能够正常工作的概率为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】记事件为该集成块能够正常工作，进而结合对立事件的概率公式得.
【详解】解：记事件为该集成块能够正常工作，则为该集成块不能正常工作，
所以.
故选：A.
5．过抛物线的焦点且斜率为1的直线与该拋物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线，然后根据过焦点直线方程和抛物线联立求得线段中点横坐标即可求得答案.
【详解】解：由题意得：
的交点坐标为，准线为
直线，设
联立直线和双曲线方程可知：
有韦达定理可知：
线段的中点横坐标为：
故线段的中点到准线的距离为
故选：B
6．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，
故选：B
【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立
7．在的展开式中，项的系数为（ ）
A．299B．300
C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用组合应用问题列式求出项的系数.
【详解】的展开式中，项是从5个多项式中任取1个用，
再余下4个多项式中任取1个用，最后3个多项式都用1相乘的积，
即，所以项的系数为.
故选：C
8．随机变量的概率分布为，其中是常数，则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：由已知得可得a值，在求出期望算方差即可.
详解：因为随机变量的概率分布为，故得，故E（X）=,又，而,故= ，选B
点睛：考查分布列的性质和期望、方差的计算，熟悉公式即可，属于基础题.
二、多选题
9．冯老师教高二4班和5班两个班的数学，这两个班的人数相等.某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数的图象如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且，，.关于这次数学考试成绩，下列结论错误的是（ ）
A．4班的平均分比5班的平均分高
B．相对于5班，4班学生的数学成绩更分散
C．4班108分以上的人数约占该班总人数的4.55%
D．5班112分以上的人数与4班108分以上的人数大致相等
【答案】ABC
【分析】分别求得4班的平均分和5班的平均分判断选项A；观察两个班图象的胖瘦进而判断选项B；求得4班108分以上的人数占比判断选项C；求得5班112分以上的人数并与4班108分以上的人数进行比较判断选项D.
【详解】选项A：4班的平均分98分，5班的平均100分，则4班的平均分比5班的平均分低，故A错误；
选项B：5班的图象比4班的图象更“矮胖”，则相对于4班，5班学生的数学成绩更分散，故B错误；
选项C：4班的最大值为，则，
则，故C错误；
选项D：5班的最大值为，则，
则，
又4班和5班两个班的人数相等，则5班112分以上的人数与4班108分以上的人数大致相等，故D正确.
故选：ABC.
10．下列命题正确的是（ ）
A．若随机变量，且，则
B．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A与是互斥事件，也是对立事件
C．一只袋内装有m个白球，个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，等于
D．由一组样本数据得到回归直线方程，那么直线至少经过中的一个点
【答案】BC
【解析】A.根据二项分布求期望和方差公式，直接求解；B.根据互斥，对立事件的定义直接判断；C.首先理解表示的事件，再求概率；D.样本数据中每个点到回归直线的距离的平方和最小即可，可以一个点都不过.
【详解】A.，，，则，故A不正确；
B.根据互斥事件的定义可知与是互斥事件，且，也是对立事件，故B正确；
C.由题意可知，表示前两个是白球，第三个是黑球，则，故C正确；
D.回归直线方程也可以一个点都不经过，故D不正确.
故选：BC
11．对任意实数x，有则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由二项式定理，采用赋值法判断选项ACD，转化法求指定项的系数判断选项B.
【详解】由，
当时，，，A选项错误；
当时，，即，C选项正确；
当时，，即，D选项正确；
，由二项式定理，，B选项正确.
故选：BCD
12．已知双曲线:左、右两个顶点分别是，一条渐近线过点，是双曲线上异于的任意一点，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线与双曲线上有相同的渐近线
B．双曲线的离心率为
C．直线的斜率之积等于定值
D．若直线：与渐近线围成的三角形面积为，则焦距为
【答案】ACD
【分析】首先利用渐近线方程经过的点得到，即可判断A、B选项；再利用斜率公式表示出的斜率之积，即可判断C选项；最后表示出，利用面积公式，即可求解D选项.
【详解】设渐近线方程为，因为渐近线经过点，所以，解得，
所以渐近线方程为，而双曲线，焦点在轴，渐近线方程为，
则得，故双曲线与双曲线上有相同的渐近线，A正确；
由A知，，则，解得，故B错误；
对于C，设，则，所以，
因为，所以，直线的斜率之积等于定值，正确；
对于D，如下图所示：设与渐近线交点分别为、
.
由图可知，，将点横坐标代入中，得点纵坐标为，则，
由面积公式得，即①，由前面可知，②，
联立①②可得，则焦距为，D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．随着我国对新冠肺炎疫情的控制，全国消费市场逐渐回暖，某商场统计的人流量x（单位：百人）与销售额y（单位：万元）的数据表有部分污损，如下所示.
已知x与y具有线性相关关系，且线性回归方程，则表中污损数据应为 .
【答案】5.5
【分析】先计算出，再由线性回归方程过点，可得答案.
【详解】由表可知.因为线性回归方程过点，所以，
所以表中数据应为.
故答案为：5.5.
【点睛】本题考查线性回归方程过样本中心点，属于基础题.
14．随机变量服从正态分布，，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据正态分布的对称性，得到，再利用均值不等式计算的最小值.
【详解】随机变量服从正态分布，∴，
由，得，
又，
∴，且，，
则．
当且仅当，即，时等号成立．
∴的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题考查了正态分布的计算，均值不等式的运用，综合性较强，需要同学们熟练掌握各个知识点.
15．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种(用数字作答).
【答案】1080
【分析】该问题属于平均分组（堆）再分配的问题，先将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，再将其分配到四个不同场馆即得.
【详解】将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人有种方法，进而将其分配到四个不同场馆，有种情况，
由分步计数原理可得，不同的分配方案有45×24=1080种.
故答案为：1080.
【点睛】易错题，在分组过程中，要注意分组重复的情况，理解中分母的意义．
16．已知椭圆的右焦点为上的两点关于原点对称，，且，则离心率的取值范围是 .
【答案】
【分析】设椭圆的左焦点为E，根据椭圆的定义可知，，利用余弦定理求出，利用，最后结合平面向量的数量积计算即可得答案.
【详解】解：由题意得：
椭圆的左焦点为E，则
因为两点关于原点对称，所以四边形为平行四边形
由，得，，且，
所以，化简可得，所以；
在中，
，
由得：
整理得：，又，所以；
综上，
故答案为:
四、解答题
17．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）具有较强的相关性，且两者之间有如下对应数据：
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)根据（1）中的线性回归方程，当广告费支出为10万元时，预测销售额是多少?
参考公式：，参考数据：，，.
【答案】(1)；
(2)92.5万元.
【分析】（1）利用最小二乘法求得回归直线方程即可；
（2）当时，代入回归方程中，即得预测的销售额.
【详解】（1）根据表中数据，得
，
，
，，
∴，
，
∴y关于x的线性回归方程；
（2）当时，，
∴当广告费支出为10万元时，预测销售额是92.5万元.
18．牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取100盒，利用牛排的分类标准得到的数据如下：
(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；
(2)若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的数量，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）先根据分层抽样分别求出T骨牛排和非T骨牛排的和数，再利用古典概型求解即可；
（2）先求出从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的概率，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式求解即可.
【详解】（1）用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，
其中T骨牛排有3盒，非T骨牛排有7盒，
再从中随机抽取4盒，设恰好有2盒牛排是T骨牛排为事件A，
则；
（2）这100盒牛排中菲力牛排有20盒，所以菲力牛排的频率为，
设从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的事件为B，
将频率视为概率，用样本估计总体可得，
从这批牛排中随机抽取3盒，抽到的菲力牛排的数量X满足，
，
．
所以X的分布列为
所以．
19．玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”求：
(1)顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率；
(2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据全概率公式即可求解，
（2）由贝叶斯公式即可求解.
【详解】（1）由题设可知，，，，且，，，
所以
.
即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为.
（2）因为，
所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是.
20．在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79，常数项为.
(1)求n和a的值；
(2)求展开式中系数最大的项.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）运用二项式系数公式及展开式的通项公式计算即可.
（2）由解不等式即可.
【详解】（1）由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为，
整理可得（），解得，
又的展开式的通项为（），
令，可得，
所以，展开式中的常数项为，解得，
故，.
（2）由不等式组()，解得，
所以，
所以展开式中系数最大的项为.
21．近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（满分100分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示.
(1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率.
(2)高一学生的这次化学成绩Z（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得，且这次测试恰有2万名学生参加.
（i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：
方案1：每人均赠送25小时学习视频；
方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多?请根据数据计算说明.
参考数据：则，.
【答案】(1)
(2)（i）0.8186；（ii）方案2该平台赠送的学习视频总时长更多.
【分析】（1）由古典概率公式结合对立事件的概率求解即可；
（2）（i）由平均数的计算公式求出，再由原则求解即可；（ii）对于方案2，设每位学生所获赠学习视频的小时数为X，求出X的所有可能取值及其概率，再求出，与方案一比较即可得出答案..
【详解】（1）用分层抽样的方法抽取9人，则第1，2，3组各抽取了2，3，4人，⋯
从这9人中抽取4人，则这4人中至少有2人来自前2组的概率为.
（2）（i）由题意得：
所以样本平均数为.
因为，，所以，，，，
所以
.
（ii）对于方案2，设每位学生所获赠学习视频的小时数为X，
则X的所有可能取值为40，30，10.
化学成绩不高于56.19分的概率为，
化学成绩在内的概率为，
化学成绩高于84.81分的概率为.
则数学期望（小时）.
因为，所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多.
22．已知点，点M是圆A：上任意一点，线段MB的垂直平分线交半径MA于点P，当点M在圆A上运动时，记P点的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程；
(2)作轴，交轨迹E于点Q（Q点在x轴的上方），直线与轨迹E交于C、D（l不过Q点）两点，若CQ和DQ关于直线BQ对称，试求m的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆定义即可求得轨迹E的方程；
（2）先将直线的方程与轨迹E的方程联立，再利用设而不求的方法表示，进而得到的关系式，从而求得m的值.
【详解】（1）圆的圆心，半径，
点为线段的垂直平分线与半径的交点，，
，
点的轨迹是以､为焦点的椭圆，设其方程为，
则，，所以，，，
因此，轨迹的方程为.
（2）设、，轴，点在轴的上方，
将代入方程，可得，则，
联立可得，
，可得，
由韦达定可得，.
因为、关于直线对称，则，
则，
又，，
则，
即，
化简得： ，即
则或，
当时，，
此时，直线的方程为，
直线过点，不合题意.
综上所述，.
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
6.5
7.0
x
2
4
5
6
8
y
28
36
52
56
78
牛排种类
菲力牛排
肉眼牛排
西冷牛排
T骨牛排
数量/盒
20
30
20
30
X
0
1
2
3
P
组别
频数
20
30
40
60
30
20
中间值
45
55
65
75
85
95
概率
0.1
0.15
0.2
0.3
0.15
0.1