2023-2024学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高二（上）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知点A(−1,4)，B(2,7)在直线l上，则直线l的倾斜角的大小为( )
A. 5π6B. 3π4C. π4D. π6
2.椭圆x216+y28=1的焦点坐标是( )
A. (2 2,0)，(−2 2,0)B. (0,2 2)，(0,−2 2)
C. (2 3,0)，(−2 3,0)D. (0,2 3)，(0,−2 3)
3.已知数列{an}满足an+1=11−an(n∈N+)，若a1=2，则a100=( )
A. −1B. 12C. 1D. 2
4.若圆x2+y2−4x+8y+2m=0的半径为2，则实数m的值为( )
A. −9B. −8C. 9D. 8
5.已知点A，B分别是直线l1：2x+y−2=0与直线l2：4x+2y+1=0上的点，则|AB|的最小值为( )
A. 0B. 5C. 52D. 54
6.已知圆C经过点M(3,−5)，N(−1,3)，且圆心C在直线3x+y+5=0上，若P为圆C上的动点，则线段OP(O为坐标原点)长度的最大值为( )
A. 5+5B. 2 5C. 10D. 2 5+10
7.定义[x]表示不超过x的最大整数，例如：[0.3]=0，[2.1]=2，[−1.7]=−2.若an=[n+23](n∈N+)，数列{an}的前n项和为Sn，则S20=( )
A. 64B. 70C. 77D. 84
8.已知点P在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若PF1⋅PF2=−2，且△PF1F2的面积为 3，则a的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆C：x216+y27=1的左焦点为F，点P是C上任意一点，则|PF|的值可能是( )
A. 1B. 3C. 6D. 8
10.已知直线l1与直线l：y=x+2平行，且l与l1间的距离为2 2，则l1的方程可以是( )
A. x−y+6=0B. x−y+3=0C. x−y+1=0D. x−y−2=0
11.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=20，an+1=an−4(n∈N+)，则( )
A. 4是数列{an}中的项B. 当Sn最大时，n的值只能取5
C. 数列{Snn}是等差数列D. 当Sn≥0时，n的最大值为11
12.已知圆C1：x2+y2+2mx−10y+m2=0，圆C2：x2+y2+4y−5=0，则下列说法正确的是( )
A. 若点(1,1)在圆C1的内部，则−2B. 若m=2，则圆C1，C2的公共弦所在的直线方程是4x−14y+9=0
C. 若圆C1，C2外切，则m=± 15
D. 过点(3,2)作圆C2的切线l，则l的方程是x=3或7x−24y+27=0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.椭圆C：x24+y216=1的四个顶点围成的四边形的周长等于______．
14.若直线(3−m)x+y+1=0与直线2x−(m−2)y+3=0垂直，则实数m= ______ ．
15.在公比为q(016.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2,4)，军营所在位置为B(6,2)，河岸线所在直线的方程为x+y−3=0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知三条直线l1：3x−4y+11=0，l2：x+2y−3=0和l3：(2m−3)x−(m+1)y−2m+3=0．
(1)若l1//l3，求实数m的值；
(2)若三条直线相交于一点，求实数m的值．
18.(本小题12分)
已知数列{an}是单调递增的等比数列，数列{bn}是等差数列，且a1=b1=3，a2+b2=17，a3−b3=14．
(1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an−bn}的前n项和Sn．
19.(本小题12分)
已知A(−2,0),B(1,32)在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，F1，F2分别为C的左、右焦点．
(1)求a，b的值及C的离心率；
(2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形PF1QF2的周长及四边形PF1QF2的面积的取值范围．
20.(本小题12分)
已知A(2,1)，B(0,5)，C(1,−2)，圆M是△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)若直线l过点(1,−5)，且被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．
21.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且an>0，4Sn=(an+3)(an−1)(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=1Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<34．
22.(本小题12分)
已知点A(0,−2)，B(2,0)，⊙C的方程为x2+y2−103x−103y+429=0，点P是⊙C上的动点．
(1)求△PAB面积的取值范围；
(2)是否存在点P，使得|PA|=2|PB|？若存在，求出满足条件的点P的个数；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：直线l的斜率为k=7−42−(−1)=1，
设直线l的倾斜角为α，则tanα=1，
因为α∈[0,π)，所以α=π4．
故选：C．
利用倾斜角和斜率之间的关系计算即可求得倾斜角的大小为π4．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意得a2=16，b2=8，
所以c2=16−8=8，即c=2 2，
又因为椭圆焦点在x轴上，
所以焦点为(2 2,0)，(−2 2,0)，
故选：A．
由椭圆的性质求解．
本题主要考查了椭圆性质的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为数列{an}满足an+1=11−an,a1=2，
所以a2=11−a1=−1,a3=11−a2=12,a4=11−a3=2=a1，
以此类推可得数列{an}是以3为周期的周期数列，
所以a100=a3×33+1=a1=2．
故选：D．
由已知条件可得数列{an}是以3为周期的周期数列，然后求解即可．
本题考查了数列的周期性，属基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由x2+y2−4x+8y+2m=0，得(x−2)2+(y+4)2=20−2m，
所以r= 20−2m=2，解得m=8．
故选：D．
由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案．
本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意可知直线l1//l2，所以当AB⊥l1，且AB⊥l2时，|AB|有最小值，
其最小值为平行直线 l1与l2的距离，
直线l1的方程可化为l2：4x+2y−4=0，
所以 |AB|min=|−4−1| 42+22= 52．
故选：C．
由两平行直线间的距离定义和公式可求．
本题主要考查两平行线间的距离计算，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：点M(3,−5)，N(−1,3)，线段MN中点的坐标为(1,−1),kMN=3−(−5)−1−3=−2，
所以线段MN的中垂线的斜率为k=12，
所以线段MN的中垂线的方程为x−2y−3=0，
又圆心在直线3x+y+5=0上，所以x−2y−3=0,3x+y+5=0,解得x=−1y=−2，
所以圆心为(−1,−2),r= (3+1)2+(−5+2)2=5,|OP|≤|OC|+r= 5+5．
故选：A．
求解MN的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解半径，然后求解线段OP的最大值．
本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
7.【答案】C
【解析】解：因为an=[n+23]，
所以当1≤n≤3，n∈N+时，an=1；
当4≤n≤6，n∈N+时，an=2；
当7≤n≤9，n∈N+时，an=3…；
当3k−2≤n≤3k，k∈N+时，an=k．
所以a19=a20=7，
S20=3×(1+2+…+6)+7×2=3×6×(1+6)2+14=63+14=77．
故选：C．
由[x]的定义，推得当3k−2≤n≤3k，k∈N+时，an=k，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列的求和公式，以及[x]的含义，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：∵设|PF1|=m，|PF2|=n，∠F1PF2=θ，θ∈[0,π]，
则根据题意可得：mncsθ=−212mnsinθ= 3，
∴tanθ=sinθcsθ=2 3−2=− 3，又θ∈[0,π]，
∴θ=2π3，∴csθ=−12，∴mn=4，
又m+n=2a≥2 mn=4，当且仅当m=n=2时，等号成立，
∴a≥2．
故选：B．
根据椭圆的几何性质，向量数量积的定义，三角形面积公式，基本不等式，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，向量数量积的定义，三角形面积公式，基本不等式，属中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：由椭圆方程x216+y27=1，
可知a2=16，b2=7，则c=3，
∴a−c≤|PF|≤a+c，即1≤|PF|≤7．
结合选项可知，|PF|的值可能是1，3，6．
故选：ABC．
由椭圆方程求得a与b的值，进一步得到c，求出|PF|的范围，结合选项得答案．
本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆定义的应用，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：由题意，设直线l1的方程为x−y+a=0，
直线l：y=x+2，即x−y+2=0，
由题意可得|a−2| 2=2 2，解得a=6或−2，
故直线l1的方程为x−y+6=0或x−y−2=0．
故选：AD．
由题意，设直线l1的方程为x−y+a=0，利用两条平行直线的距离公式求解即可．
本题考查两直线平行的性质，考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：由an+1=an−4，得an+1−an=−4，所以数列{an}是首项为20，公差为−4的等差数列，
则an=20+(n−1)×(−4)=−4n+24，
令−4n+24=4，得n=5∈N+，
所以a5=4，故A正确；
由等差数列的公差为−4，可得{an}为递减数列，
当1≤n≤6时，an≥0，且a6=0，当n≥7时，an<0，
可得S5=S6，即当Sn最大时，n的值为5或6，故B错误；
因为Sn=n(20−4n+24)2=−2n2+22n，
所以Snn=−2n+22,Sn+1n+1−Snn=−2，
所以数列{Snn}是等差数列，故C正确；
令Sn≥0，则−2n2+22n≥0，解得0≤n≤11，
所以当Sn≥0时，n的最大值为11，
故D正确．
故选：ACD．
由等差数列的定义和通项公式、求和公式，解方程和不等式，对各个选项判断可得结论．
本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的前n项和的最值，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由点(1,1)在圆C1的内部，得1+1+2m−10+m2<0，解得−4对于B，若m=2，则圆C1：x2+y2+4x−10y+4=0，
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是4x−14y+9=0，故B正确；
对于C，圆C1的标准方程为(x+m)2+(y−5)2=25，圆心为C1(−m,5)，半径r1=5，
圆C2的标准方程为x2+(y+2)2=9，圆心为C2(0,−2)，半径r2=3，
若圆C1，C2外切，则|C1C2|=r1+r2，即 m2+49=5+3，解得m=± 15，故C正确；
对于D，当l的斜率不存在时，l的方程是x=3，圆心C2到l的距离d=3=r2，满足要求，
当l的斜率存在时，设l的方程为y=k(x−3)+2，
圆心C2到l的距离d=|4−3k| k2+1=r2=3，解得k=724，
所以l的方程是7x−24y+27=0，故D正确．
故选：BCD．
根据点在圆的内部解不等式1+1+2m−10+m2<0即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确，综合可得答案．
本题考查圆方程的综合应用，涉及圆的标准方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题．
13.【答案】8 5
【解析】解：椭圆C：x24+y216=1的四个顶点为(±2,0)，(0,±4)，
∴顺次连接椭圆C：x24+y216=1的四个顶点，得到的四边形周长为4× 4+16=8 5．
故答案为：8 5．
确定椭圆C：x24+y216=1的四个顶点，根据对称性，利用勾股定理，即可求出四边形周长．
本题考查椭圆的性质，正确运用椭圆的对称性是关键．
14.【答案】83
【解析】解：因为直线(3−m)x+y+1=0与直线2x−(m−2)y+3=0垂直，
所以2(3−m)−(m−2)=0，解得m=83．
故答案为：83．
根据两直线垂直列方程，解方程即可．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
15.【答案】12
【解析】解：根据题意，可得a2an−1=a1an=128，结合0因为Sn=126，所以a1−anq1−q=126，即64−2q1−q=126，解得q=12．
故答案为：q=12．
根据题意，利用等比数列的性质，解关于a1、an的方程组，得到a1=64，an=2，进而利用等比数列的前n项和公式，列式算出公比q的值．
本题主要考查等比数列的性质、等比数列的前n项和公式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
16.【答案】M(138,118)
【解析】解：由题可知A，B在x+y−3=0的同侧，
设点B关于直线x+y−3=0的对称点为B′(a,b)，
则a+62+b+22−3=0b−2a−6=1，
解得a=1，b=−3，即B′(1,−3)，
将军从出发点到河边的路线所在直线即为AB′，又A(2,4)，
所以直线AB′的方程为7x−y−10=0，
设将军在河边饮马的地点为M，则M即为7x−y−10=0与x+y−3=0的交点，
联立7x−y−10=0x+y−3=0，解得x=138，y=118，即M(138,118)．
故答案为：M(138,118)．
由题可知A，B在x+y−3=0的同侧，设点B关于直线x+y−3=0的对称点为B′(a,b)，然后结合对称性可求．
本题主要考查了点关于直线的对称性的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为l1：3x−4y+11=0，l3：(2m−3)x−(m+1)y−2m+3=0且l1//l3．
所以3×[−(m+1)]=−4×(2m−3)，解得m=3；
经检验，当m=3时，l1//l3；
(2)由3x−4y+11=0x+2y−3=0，解得x=−1y=2，即l1与l2的交点为(−1,2)，
因为三条直线相交于一点，
所以点(−1,2)在l3上，
所以(2m−3)(−1)−(m+1)2−2m+3=0，解得m=23．
【解析】(1)由两条直线平行的条件求解即可；
(2)先由两条确定的直线求出交点坐标，然后代入直线求解即可．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，
因为a2+b2=17，a3−b3=14，
所以a1q+(b1+d)=17a1q2−(b1+2d)=14，即3q+3+d=173q2−(3+2d)=14，解得q=−5d=29或q=3d=5，
因为数列{an}是单调递增的等比数列，且a1=3，
所以q>1，所以q=3d=5，
所以an=3⋅3n−1=3n，bn=3+5(n−1)=5n−2．
(2)由(1)知an=3n，bn=5n−2，
所以数列{an}的前n项和为3(1−3n)1−3=3n+1−32，
数列{bn}的前n项和为n(3+5n−2)2=5n2+n2，
所以数列{an−bn}的前n项和Sn=3n+1−32−5n2+n2=3n+1−5n2−n−32．
【解析】(1)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，结合已知条件与等差、等比数列的通项公式，可得关于q和d的方程组，解之即可；
(2)采用分组求和法，利用等差、等比数列的求和公式，求解即可．
本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式与求和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵A(−2,0),B(1,32)在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，
∴(−2)2a2+02b2=112a2+(32)2b2=1a>b>0，解得a=2,b= 3，
∴c= a2−b2=1，椭圆C的离心率e=ca=12．
(2)∵动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，
∴由椭圆的定义，得四边形PF1QF2的周长为4a=8，
∴四边形PF1QF2的面积为12⋅|F1F2|⋅(|yP|+|yQ|)=|yP|+|yQ|∈(0,2b]=(0,2 3],
∴四边形PF1QF2的面积的取值范围是(0,2 3]．
【解析】(1)将点A、B的坐标都代入椭圆C的方程，可得出关于a、b的方程组，求出a，b的值，再求出椭圆C的离心率即可；
(2)根据椭圆的定义，可求得四边形PF1QF2的周长，求出|yP|+|yQ|的取值范围，结合三角形的面积公式可求得四边形PF1QF2的面积的取值范围．
本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
20.【答案】解：(1)设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为圆M过A(2,1)，B(0,5)，C(1,−2)三点，
所以4+1+2D+E+F+025+5E+F=01+4+D−2E+F=0，解得D=6E=−2F=−15，
所以圆M的一般式方程为x2+y2+6x−2y−15=0．
(2)由(1)可知圆心为M(−3,1)，半径r=5，
又l被圆M截得的弦长为6，所以圆心M到直线l的距离d= 52−32=4，
当直线l的斜率不存在时，l过点(1,−5)，
所以l的方程为x=1，圆心M到直线l的距离d=4，故x=1满足题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+5=k(x−1)，即kx−y−k−5=0，
由点到直线的距离公式可得|−3k−1−k−5| 1+k2=4，解得k=−512，直线l的方程为5x+12y+55=0．
综上所述，直线l的方程为x=1或5x+12y+55=0．
【解析】(1)设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标可得圆M的一般式方程为x2+y2+6x−2y−15=0．
(2)由垂径定理可得圆心M到直线l的距离d= 52−32=4，分直线l的斜率是否存在两种情况讨论可求直线l的方程．
本题考查求圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
21.【答案】(1)解：当n=1时，4a1=4S1=(a1+3)(a1−1)，即a12−2a1−3=0，又a1>0，所以a1=3．
当n≥2时，4Sn−1=an−12+2an−1−3，
又4Sn=an2+2an−3，两式相减，
得4(Sn−Sn−1)=an2−an−12+2an−2an−1，
即4an=an2−an−12+2an−2an−1，
即2an+2an−1=an2−an−12−=(an+an−1)(an−an−1)，
得(an+an−1)(an−an−1−2)=0，
又an>0，an−1>0，所以an−an−1=2，
所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以an=3+2(n−1)=2n+1．
(2)证明：因为an=2n+1，所以Sn=n(3+2n+1)2=n(n+2)，
所以bn=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，
所以Tn=b1+b2+b3+...+bn−2+bn−1+bn=12(1−13)+12(12−14)+12(13−15)+...+12(1n−2−1n)+12(1n−1−1n+1)+12(1n−1n+2)
=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n+1)(n+2)，
因为2n+32(n+1)(n+2)>0，所以Tn<34．
【解析】(1)由数列的通项与前n项和的关系，结合等差数列的定义、通项公式，可得所求；
(2)由等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，计算可得所求和Tn，再由不等式的性质可得证明．
本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由⊙C的方程为x2+y2−103x−103y+429=0，可得⊙C的标准方程为(x−53)2+(y−53)2=89，
所以圆心C(53,53)，⊙C的半径r=2 23，
因为A(0,−2)，B(2,0)，
所以|AB|=2 2，可得直线AB的方程为x2−y2=1，即x−y−2=0．
所以圆心C到直线AB的距离d=|53−53−2| 2= 2，
所以点P到直线AB的距离d′∈[d−r,d+r]，
所以点P到直线AB的距离d′∈[ 23,5 23]．
所以S△PAB=12|AB|⋅d′= 2d′∈[23,103]，
所以△PAB面积的取值范围是[23,103]．
(2)不妨设点P的坐标为(x,y)，因为|PA|=2|PB|，
所以 x2+(y+2)2=2 (x−2)2+y2，
整理，得(x−83)2+(y−23)2=329，
即点P的轨迹是以点M(83,23)为圆心，半径r1=4 23的圆．
因为|CM|= (83−53)2+(23−53)2= 2,|r−r1|=2 23,|r+r1|=2 2，
所以|r−r1|<|CM|<|r+r1|，所以圆M与圆C相交．
所以在圆C上存在点P使得|PA|=2|PB|，且满足条件的点P有2个．
【解析】(1)求得⊙C的圆心C的坐标与半径，进而可求C到直线AB的距离，可得P到AB的距离的范围，进而可求△PAB面积的取值范围；
(2)求得P的轨迹方程，求得两圆心之间的距离，可得两圆相交，进而可得结论．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．